火箭外弹道学

# 火箭外弹道学

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**作者**：徐明友（哈尔滨工业大学出版社等）
**页数**：480
**提取方式**：OCR（_ocr_pdf.py / RapidOCR）
**OCR日期**：2026-08-07
**校对状态**：🌿 已校对（3处封面/版权页修正，2026-08-07）
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兵器科学与技术
火箭外弹道学
徐明友
哈尔滨工业大学出版社
北京航空航天大学出版社北京理工大学出版社
西北工业大学出版社
哈尔滨工程大学出版社

普通高等教育“十五”国家级规划教材
国防科工委十五规划教材
兵器科学与技术
责任编辑：尹继荣
书籍装顿：彩多设计
ISBN7-5603-2090-2
ISBN7-5603-2090-2
787560320908
TJ：2定价：39.00元

国防科工委“十五”规划教材兵器科学与技术
火箭外弹道学
徐明友著
哈尔滨工业大学出版社
上北京理工大学出版社
北京航空航天大学出版社
西北工业大学出版社哈尔滨工程大学出版社

内容简介
本书系统地论述了火箭的弹道计算、扰动运动、飞行稳定性、弹道优化理论、弹道修正和射
表编制,并简要地阐明了有控飞行理论。
本书取材于国内外火箭外弹道学方面的最新成果,并加以综合深化而成。书中内容新颖，
构成了独特而完整的理论体系；并具有突出的系统性、科学性、先进性和实用性。本著作可作
为大专院校的教材，同时也可作为从事火箭武器和弹药研究、设计、生产及靶场试验的工程技
术人员的参考书。
图书在版编自（CIP)数据
火箭外弹道学/徐明友著.一哈尔滨：哈尔滨工业
大学出版社,2004.11
ISBN 7 - 5603 - 2090 - 2
I.火...
ⅢI.火箭外弹道学
N .TJ013.2
中国版本图书馆CIP数据核字（2004)第102193号
火箭外弹道学
徐明友
出版发行
哈尔滨工业大学出版社
社址
哈尔滨市南岗区复华四道街10号
邮编 150006
0451 ---86414749
哈尔滨工业大学印刷广
印张 30.25.
字数 640 千字
1/16
787 x 960
版•次
2004年11月第1版
2004年 11.月第 1次印刷
ISBN 7 - 5603 - 2090 - 2/TJ -2
1 ~ 2 000
39.00 元

国防科工委“十五”规划教材编委会
（按姓氏笔画排序）
主‧任：张华祝
陈懋章屠森林
副主任：王泽山
编委:王
」田爵史仪凯
三祁王
王文生
王泽山
仲顺安‧张华祝
乔少杰
张耀春
张近乐
宏肖锦清苏秀华
辛玖林陈光褐
杨志宏
重庞思勤武博祎
陈国平
金鸿章
陈懋章
邑聂宏贾宝山
贺安之
，夏人伟徐德民
郭黎利屠森林崔锐捷黄文良葛小春

国防科工委『十五』规划材
国防科技工业是国家战略性产业，是国防现代化的重要工业和技术
基础，也是国民经济发展和科学技术现代化的重要推动力量。半个多世
纪以来，在党中央、国务院的正确领导和亲切关怀下，国防科技工业广大
辉煌成就。研制、生产了大量武器装备，满足了我军由单一陆军，发展成
为包括空军、海军、第二炮兵和其他技术兵种在内的合成军队的需要，特
别是在尖端技术方面，成功地掌握了原子弹、氢弹、洲际导弹、人造卫星和
核潜艇技术，使我军拥有了一批克敌制胜的高技术武器装备，使我国成为
世界上少数几个独立掌握核技术和外层空间技术的国家之一。
国防科技
工业沿着独立自主、自力更生的发展道路，建立了专业门类基本齐全，科
研、试验、生产手段基本配套的国防科技工业体系，奠定了进行国防现代
化建设最重要的物质基础；掌握了大量新技术、新工艺，研制了许多新设
备、新材料，以“两弹一星”“神舟”号载人航天为代表的国防尖端技术，大
大提高了国家的科技水平和竞争力，使中国在世界高科技领域占有了
席之地。十一届三中全会以来，伴随着改革开放的伟大实践，国防科技工
业适时地实行战略转移，大量军工技术转向民用，为发展国民经济做出了
重要贡献。
国防科技工业是知识密集型产业，国防科技工业发展中的一切问题
归根到底都是人才问题。50多年来，国防科技工业培养和造就了支以
两弹星”元勋为代表的优秀的科技人才队伍，他们具有强烈的爱国主
义思想和艰苦奋斗、无私奉献的精神，勇挑重担，敢于攻关，为攀登国防科
技高峰进行了创造性劳动，成为推动我国科技进步的重要力量。面向新
世纪的机遇与挑战，高等院校在培养国防科技人才，生产和传播国防科技
新知识、新思想，攻克国防基础科研和高技术研究难题当中，具有不可替

代的作用。国防科工委高度重视，积极探索，锐意改革，大力推进国防科
国防科工委『十五』规划教材
技教育特别是高等教育事业的发展。
高等院校国防特色专业教材及专著是国防科技人才培养当中重要的
知识载体和教学工具，但受种种客观因素的影响，现有的教材与专著整体
上已落后于当今国防科技的发展水平，不适应国防现代化的形势要求，对
国防科技高层次人才的培养造成了相当不利的影响。为尽快改变这种状
况，建立起质量上乘、品种齐全、特点突出、适应当代国防科技发展的国防
特色专业教材体系，国防科工委全额资助编写、出版200种国防特色专业
重点教材和专著。为保证教材及专著的质量，在广泛动员全国相关专业
领域的专家学者竞投编著工作的基础上，以陈懋章、王泽山、陈一坚院士
为代表的100多位专家、学者,对经各单位精选的近550种教材和专著进
行了严格的评审，评选出近200种教材和学术专著;覆盖航空宇航科学与
技术、控制科学与工程、仪器科学与工程、信息与通信技术、电子科学与技
术、力学、材料科学与工程、机械工程、电气工程、兵器科学与技术、船舶与
海洋工程、动力机械及工程热物理、光学工程、化学工程与技术、核科学与
技术等学科领域。一批长期从事国防特色学科教学和科研工作的两院院
士、资深专家和一线教师成为编著者，他们分别来自清华大学、北京航空
航天大学、北京理工大学、华北工学院、沈阳航空工业学院、哈尔滨工业大
学、哈尔滨工程大学、上海交通大学、南京航空航天大学、南京理工大学、
苏州大学、华东船舶工业学院、东华理工学院、电子科技大学、西南交通大
学、西北工业大学、西安交通大学等，具有较为广泛的代表性。在全面振
兴国防科技工业的伟大事业中，国防特色专业重点教材和专著的出版，将
为国防科技创新人才的培养起到积极的促进作用。
党的十六大提出,进入二十一世纪，我国进入了全面建设小康社会、
加快推进社会主义现代化的新的发展阶段。全面建设小康社会的宏伟目
标，对国防科技工业发展提出了新的更高的要求。推动经济与社会发展，
提升国防实力，需要造就宏大的人才队伍，而教育是奠基的柱石。全面振

兴国防科技工业必须始终把发展作为第要务，落实科教兴国和人才强
国防科工委『十五』规划教材
国战略，推动国防科技工业走新型工业化道路，加快国防科技工业科技创
新步伐。国防科技工业为有志青年展示才华，实现志向，提供了缤纷的舞
台，希望广大青年学子刻苦学习科学文化知识，树立正确的世界观、人生
观、价值观，努力担当起振兴国防科技工业、振兴中华的历史重任，创造出
无愧于祖国和人民的业绩。祖国的未来无限美好，国防科技工业的明天
将再创辉煌

国防科工委十五凹规划教材
1976年，国防工业出版社为填补弹道专业图书的空白，特委托我撰
写一本《火箭外弹道学》专著。原著定稿时，由于教学急需，1980年便以
教材类书目出版，后由兵器工业出版社于1989年再版。20多年来的教学
和科研实践表明，该书的理论体系是正确的，与国外同类著作相比，该书
有独具特色的理论体系，完整地揭示了各类火箭的运动规律，以统一的数
学力学方法处理和分析飞行动力学问题，而且尽可能地沟通了无控与有
控火箭运动理论之间的关系。
作为著作品牌之一的《火箭外弹道学》被列入“十五”国家级规划教材
和国防科工委规划教材，为提高教材质量，作者对书中的内容重新做了审
核、修改和补充，以满足新形势的需要。作为高等学校专业基础教科书，
首先考虑到的是如何引导初学者学习火箭外弹道学的基本知识，认识火
箭运动规律及总体性能，掌握建立数学力学模型的方法和技巧，建立必要
的物理概念。尽管有了快速计算机，解析分析还是非常重要的。足够精
确的解析式不仅能直观地反映出各物理量之间的函数关系，便于分析影
响运动规律的各种因素，从而打下坚实的专业知识基础，而且也是数值结
果是否正确的判别依据。实践表明，坚实的基础理论和系统的专业知识
是以深厚的理性认识为前提的，本书特别重视物理概念的阐述，旨在提高
分析和解决问题的能力。
本书仍以较大篇幅求解火箭的运动规律，同时力求以简捷的方法推
导出精确的弹道模型，为准确的数值计算奠定可靠的基础。与前两版相
比，本书把重点放在建立精确而实用的运动模型方面。所建立的运动模
型计及了地球表面曲率和重力加速度随高度的变化，使之不仅对近程弹，
而且对远程弹亦能适用。给出了各类坐标系通用的转换模式，可以将任
一坐标系内的几何量和力学量很方便地转换到所需要的坐标系中，书中
具体给出了转换网络图及坐标转换矩阵的相关表达式。这种转换也可以

直接由计算机完成，而不必人工推导，避免出错。导弹运动模型中的气动
国防科工委十五凸规划教材
力还考虑了风这一重要因素，并给出了对各坐标系的转移关系；火箭在有
风存在条件下的气动力也更精确化。本书的另一重要贡献是沟通并统一
了有控与无控弹道的动稳定性理论，建立了导弹新的传递函数，由此不仅
可得出通用的动稳定性判据，也便于简明地对滚转导弹做系统性的稳定
性分析。外弹道优化理论增加了具有广泛用途的制导律的推导，并给以
应用实例。
现代战争要求实施远程精确打击，射程较远的火箭在飞行全过程中，
已逐渐应用主动段姿态控制、弹道修正技术以及末段制导等措施，特别对
远程火箭是很现实的问题。还有其他灵巧弹，均有不同形式的控制飞行
过程。可见所谓“有控弹道”已不专属于导弹，其涉及面较为广泛。书中
所述“有控弹”亦不是专指导弹。本书适当地论述有控弹道，不仅是必要
的，而且国外有的优秀外弹道著作也是这样做的。作为一一本外弹道理论
著作，以统一的理论体系和系统的分析方法，阐述各运动过程的共同规律
及其特性，为总体性能设计论证与试验分析奠定坚实的理论基础，这就是
撰写本书的宗旨。
本书共17章,从内容安排上力求做到由浅入深、循序渐进。第一章
至第六章为无控及有控过程的火箭质心运动规律，即质点弹道学，述及弹
道的一些基本概念和计算分析方法。第七章至第十二章研究无控火箭的
绕心运动，差不多占据了全书二分之一的篇幅，是本书的重点。在此将火
箭作为六自由度力学对象，进行了全面的受力分析，尤其给出了气动力和
力矩的精确表达式，建立了统一的运动模型，该模型精确度高，适用范围
广，具有很大的实用价值。对各类弹箭的扰动运动做到了方程、变量、运
既揭示了共性，又比较出各类弹的特点，做到
动模式和公式形式四统一。I
了举一反三，加强了火箭扰动运动规律和散布理论的系统性。第十三章
到第十五章研究运动稳定性，包括无控及有控弹道，给出了通用的稳定性
判据并做了较全面分析。第十六章外弹道优化理论，为读者简略介绍寻
求最佳运动状态的基本原理和弹道优化方法。第十七章阐述无控火箭弹

道修正量的内涵及射表编制的基本原则。鉴于本书是大学本科兵工专业
国防科工委『十五』规划教材
的教材，对其内容的广度和深度必须加以适当控制。而且作为专业基础
教科书，不可能也没有必要对武器系统各方面的弹道问题做全面深入的
探讨，其侧重点应该是分析和处理问题的原理和方法。至于弹箭武器设
计中所涉及到的一些专门问题，则是专业课的任务。对无控和有控弹道
学中更深层次的理论及应用问题，则纳入研究生教材或其他专著。比如
起始扰动的计算与分析，既是外弹道学的内容，又属于发射动力学的范
畴；任一武器的发射动力学问题均处于学术研究的前沿，而且需要撰写大
量的篇幅,对此,本书只能给予一些初步知识。
在撰写本书过程中，始终得到南京理工大学教务处和弹道研究所领
导的有力支持和深切关怀；马殿荣将军（教授、博导）、李鸿志院士、朵英贤
院士、宋丕极教授、康新中研究员、苗瑞生教授、郑民达研究员、杨绍卿总
工、徐中信总工、马怀义总师等著名学者和我的同事们，各以不同方式给
予了热情帮助，在此对他们表示裹心的感谢！
限于作者水平，难免有错，望读者不各赐教。
徐明友
2003年8月于南京理工大学

绪论·
火箭质心运动方程···
第一章
质心运动惯性参考系
1.1
火箭质心运动失量方程的一般形式
1.2
推力及推力加速度
1.3
重力及重力加速度
1.4
10
标大气和炮兵标推气象条件
1.5
15
空气阻力及阻力加速度
1.6
19
在基本假设下的火箭质心运动矢量方程·
1.7
21
火箭质心运动的标量方程组
1.8
25
空气弹道特性
1.9
附录
火箭质心运动的一般方程
火箭弹道主动段的解析解
第二章
31
31
运动方程组
2.1
33
K点弹道诸元的计算公式
2.2
36
计算顺序
2.3
40
增程弹道增速段解法··
2.4
火箭弹道被动段解法
第三章
42
42
前言··
3.1
42
分段解法
3.2
45
3.3
虚速法·
51
西亚切解法及其应用··
3.4
58
第四章
椭圆理论
方程的组成和积分
4.1
61
弹道方程的讨论
4.2
62
任意点弹道诸元，
4.3
63
射程与最大射程角
4.4
64
给定射程下所必需的最小初速的解
4.5

火箭外弹道学
第五章
自动瞄准弹道
66
66
引言·
5.1
68
自动瞄准导弹相对运动方程
5.2
71
追踪弹道
5.3
平行接近路线
5.4
77
比例导引法
5.5
第六章
遥控弹道
83
概述··
6.1
85
6.2
反坦克导弹的三点法导引弹道
88
三点法导引弹道的法向加速度
6.3
90
导弹速度变化和目标机动时对三点法导引特性的影响
6.4
91
前置量法和半前置量法··
6.5
第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
95
95
前言·
7.1
96
7.2
运动方程的建立
104
扰动方程组的变量变换
7.3
106
起始扰动所引起的攻角和偏角·
7.4
114
再论有效滑轨（定向器)长度··。
7.5
115
计算散布的方法及散布与射程的关系
7.6
118
推力线偏心的影响
7.7
122
风的影响
7.8
129
火箭在被动段内的摆动运动
7.9
131
附录
几个次要因素对主动段的影响
第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组··
135
135
概述
8.1
136
火箭外弹道学中常用的坐标系及其相互关系
8.2
143
火箭运动方程组的般形式
8.3
150
诸外力和外力矩
8.4
163
扰动运动方程组及其简化
8.5
168
含有其他次要力和力矩以及扰动因素的扰动运动方程组
8.6
172
第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动··
172
前言
9.1
172
运动微分方程的变量变换
9.2
174
起始扰动所弓引起的攻角和偏角·
9.3

181
9.4
推力线偏心的影响
187
低速旋转范围内推力线偏心引起偏角的另散布公式
9.5
189
风的影响
9.6
192
动不平衡的影响
9.7
195
散布计算与分析小结
9.8
196
野战尾翼式火箭弹低速旋转范围的判据
9.9
第章
涡轮式火箭弹的扰动运动·
204
204
概述
10.1
205
起始扰动所引起的攻角和偏角
10.2
212
推力偏心的影响
10.3
215
风的影响
10.4
220
10.5
动不平衡的影响
222
散布小结
10.6
发射过程一一起始扰动计算·
224
第十章
224
前言‘
11.1
224
在半约束期内旋转火箭弹的扰动方程··
11.2
225
质量分布不均衡引起的起始扰动
11.3
228
定向器振动所引起的起始扰动
11.4
229
只考虑重力矩时运动方程的解
11.5
231
弹炮间隙存在下的运动方程
11.6
火箭增程弹的扰动运动··
234
第十二章
234
前言·
12.1
234
野战尾翼式增程弹的散布分析
12.2
240
起始扰动引起偏角的极限值
12.3
246
周期性扰动因素引起的散布
12.4
251
合理点火条件的选择·
12.5
259
反坦克增程弹的立靶密集度
12.6
263
无控火箭的运动稳定性··
第十三章
263
引言
13.1
264
扰动运动方程的简化与变换
13.2
265
动态稳定条件的推导·
13.3
269
稳定性区域
13.4
271
几个主要参量对动态稳定性的影响··
13.5
274
共振效应
13.6

火箭外弹道学
276
无控火箭的追随稳定性
13.7
279
尾翼式火箭弹的转速范围
13.8
280
涡轮式火箭弹的转速范围一一喷管倾斜角的确定
13.9
有控弹一般运动方程组··
第十四章
282
282
概述
14.1
282
导弹飞行力学中的惯用坐标系及其相互关系
14.2
287
运动方程
14.3
288
联系方程
14.4
290
诸力和力矩
14.5
294
控制方程
14.6
294
导弹运动方程组
14.7
297
机动性与过载
14.8
有控弹飞行稳定性和操纵性
第十五章
299
299
引言·
15.1
299
扰动运动方程组
15.2
302
纵向运动的动态稳定性
15.3
307
有控弹的操纵性
15.4
311
有控滚转火箭的飞行稳定性
15.5
315
有控弹道系统稳定性分析
15.6
外弹道优化理论·
318
第十六章
318
概述·
16.1
318
变分法简介
16.2
322
变分法的应用举例·
16.3
326
最小值原理简介
16.4
329
最小值原理的应用举例
16.5
333
线性系统最优制导律
16.6
无控火箭弹道偏差量及射表编制·
337
第十七章
337
序言·
17.1
338
主动段的弹道偏差量·
17.2
344
被动段的修正系数··.
17.3
348
偏流简介
17.4
349
火箭射表编制的基本原则
17.5
353
主要符号汇编

目录
附表··
363
附表 1
K-1
p(y)
364
π(y):
附表 2
expl -
Pon
365
H(y) =
附表 3
Don
366
附表4
饱和蒸汽压力··
366
附表 5
Cxon(Ma)
1943年阻力定律
1943年阻力定律F（）
367
附表 6
371
Ki(μ) = (1-μ)ln(1-μ) + μ
附表 7
371
K2(μ)= -
附表 8
0.01 in(1 -- μ)
372
L(v) =
F()d
附表 9
L(v)
372
R() =
附表 10
1 + sino
373
= (0)3
附表 11
cos
0 cos8
379
(α)= l-Inil-l
附表 12
381
Kx :
附表 13
fif6
384
expli( u - uo)]du
B(uo,u) × 105 = 105
附表 14
Bi(y,u)
421
Rr(uo,u) × 105 = 105
附表 15
2y
103
443
[1 -- Br(y, u)ldy
$(uo, u) × 103
附表16
447
Sc(c, V0, 00)
附表 17
463
参考文献···

火箭外弹道学属于外弹道学的一个组成部分。外弹道学是研究弹箭的运动规律和总体性
能的科学。这里的“弹箭”泛指各类有控或无控火箭弹、枪弹和炮弹。有人曾把有控弹道称为
的。在现代武器不断发展的条件下，有控和无控弹道是不可截然分开的。就无控火箭及炮弹
而言，目前已着手采用简易制导，而对有控火箭（导弹)而言，也有一段弹道是无控飞行过程。
因此本书在主要论述无控火箭运动的同时，对导弹飞行理论亦作简明阐述。
火箭的运动可区分为质心运动和围绕质心运动（简称绕心运动)两部分。前者主要解决弹
道计算问题，后者主要解决飞行稳定性及射弹散布的计算与分析问题。所谓飞行稳定性，大致
说来，就是弹箭受到外界干扰因素作用，引起了运动状态的变化；当干扰去掉之后，弹箭能够自
身恢复到既定运动状态的能力。对无控火箭弹，保证飞行稳定性的基本条件，就是要求把弹轴
与速度矢量之间的夹角（即攻角)数值，限制在额定范围之内，以使弹轴在全弹道上能大致与速
度方向一致。对导弹来说,其稳定性乃要求在其飞行过程中，大致沿既定的规律运动；如果外
界扰动使其运动状态发生改变，那么导弹将具有迅速消除这偏差的能力。外弹道学的任务
就是具体建立保证飞行稳定性的条件，并寻求飞行不稳定的原因所在。这不仅需要借助外弹
道学理论分析，而且需要必要的外弹道试验手段。
现代无控火箭的主要问题是散布较大，保证其飞行稳定性，是力求减小散布的一个必要条
件。无控火箭弹保持飞行稳定性的方法，不外乎装设尾翼，或是高速旋转。前者为尾翼式，后
者为涡轮式。弹体的气动外形布局，对飞行稳定性的影响很大，因此空气动力学与外弹道学的
关系是非常密切的。为了减少散布，还必须在稳定性基础上具体研究各类扰动因素对运动状
态的影响规律，从而合理地选取各设计参数。本书将用较大的篇幅研究无控火箭弹的散布理
论。
对火箭的弹道计算，必须确定定的条件，比如气象条件、地理条件及弹道条件（依赖于火
箭的参数）。目前弹道计算多是采用电子计算机进行,这样就可以得到准确的结果。然而，近
似的解析计算便于分析各种因素间的相互关系，在做估算时比较方便，其重要性也是不可忽视
的。就导弹弹道学而言,解析分析法是寻求最优控制弹道的主要手段之一。
综合上述，火箭外弹道学担负的主要任务为：
一根据已知的数据计算弹道，或根据给定的战术技术要求决定弹箭的弹道特性，寻求最
佳弹道设计方案；

火箭外弹道学
一研究飞行稳定性;
一计算散布，寻求减小散布的途径；
一研究一些专门课题，如射表编制。
本书的第一章到第四章，对火箭弹道进行了具体计算，它涉及到各类无控火箭弹和增程
弹,其中椭圆理论用于远程弹道。在弹道计算时,将火箭弹道区分为三个阶段：
滑轨段一一指火箭后定心部脱离滑轨端点之前的运动过程，其中前定心部脱离滑轨端点
之前的运动叫约束期，接着就是半约束期；
主动段一一后定心部脱离滑轨端点到发动机停止工作之间的飞行过程；
被动段一一主动段结束后的飞行过程。
在一定基本假设下，火箭质心运动的轨迹将
是一条平面曲线,如图0.1所示。
在弹道计算中常用到下列术语和符号：
(x,y)
弹道一质心运动的轨迹;
射出点一一后定心部脱离滑轨端点时的质心
位置，以0表示（图0.1中未标出）;
火箭启动前在滑轨上的质心
弹道起点
火筛弹道
图0.1
位置,以 0表示;
初速射出点的质心速度，以 Vo表示;
过滑轨轴线的铅直面，以 xoy表示，ox轴与水平面平行,指向前方，oy轴铅直
射击面
向上，0为弹道起点；
一一通过弹道起点的水平面,以 xoz 表示,其中 oz 轴依右手定则确定;
弹道起点水平面
-固连于地面的坐标系，以 o-xyz 矛
表示,弹道起点0为坐标原点；
地面坐标系
一发动机停止工作时的质心位置，以K表示;
主动段终点
弹道最高点，以S表示;
弹道顶点
弹道落点一一弹体自射出点飞出后质心轨迹再与弹道起点水平面的交点，以C表示；
升弧段—从 o到S 点的段弹道;
降弧段
-—从 S到C点的一段弹道;
弹道诸元一表示某一时刻火箭在空中的质心坐标及质心速度大小与方向的诸参量,时
间以t表示,质心坐标以（x，，z)表示,速度大小以v表示,速度矢量与水平面之间的夹角即弹
道切线倾角以θ表示，如表0.1所示。
第五、六章为自动瞄准弹和遥控弹弹道学，对几种主要导引关系作了运动学分析。这两章
论，这是研究绕心运动的人门，是以后研究其他类型火箭弹散布理论的基础。第八章为火箭运
动建立了一般性微分方程组，以便适用于电子计算机计算。同时，其简化的扰动运动方程组，将

绪论
适用于各类火箭绕心运动的解析分析。第九、十、十一、十二章研究了尾翼式旋转火箭弹、涡轮
式火箭弹和火箭增程弹的绕心运动规律，并进行散布计算与散布分析。其中第十一章专门介绍
了起始扰动的计算问题。第十三章讨论了无控火箭弹的运动稳定性并建立了保证运动稳定性
的条件。第十四、十五章为有控弹建立了一般性的运动方程组，并研究了飞行稳定性和操纵性。
第十六章介绍了现代最优化理论。这三章内容又具有相对独立性。第十七章介绍了无控火箭弹
道修正量和射表编制原则。
本书一律采用国家法定计量单位制。
表 0.1
弹道上任意点与主要点的弹道诸元符号表
落点
顶点
任意点
射出点0
主动段终点K
质心位置
X,yc = 0,z
xs, Y, zs
Xo, Yo, Z0
X*YK+ZK
xyz
ys
00
s = 0
飞行时间
ts
to
tK
T—全飞行时间；Vc—落速；c—落角。
注：X一射程；Y—弹道顶项点高；T

第一章"
火箭质心运动方程
质心运动惯性参考系
1.1
火箭作为个力学对象，它在空中的运动属于刚体的般运动。其运动可分为质心运动
与围绕质心运动两大部分。针对火箭运动的特点，围绕质心运动对质心运动的影响是次要的。
也就是说，对火箭的旋转运动考虑与否,对其前进运动不会带来很明显的差别。因此，根据在
力学中所述“质点”的含义，在研究火箭质心运动时，就当作质点的运动来进行研究。
运用牛顿运动定律时，所采用参考系是惯性系。天体研究证明，如果选择一个以太阳为原
点的参考系，以指向任一恒星的直线为坐标轴，则所观察到的无数天文现象与牛顿运动定律相
符，这个参考系就可作为惯性系。凡相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。由
于地球中心相对于太阳的加速度很小，因而常把它作为惯性系的原点，其三轴指向宇宙中的恒
星，这个不随地球自转的坐标系，就作为研究弹箭运动及其他机械运动的惯性系。
2火箭质心运动量方程的一般形式
1.2
在理论力学中，“常质点系”所遵循的动量定理为
dQ
(1.1)
dt
式中
一一质点系的总动量矢量；
F作用于质点系的全部外力矢量之和;
t时间。
在火箭发动机的工作过程中，由于推进剂（火药）燃烧而产生的高温高压气体不断地向火
箭体外喷射，因而火箭的质量随之不断减小。在这种条件下，对火箭的动量就不能直接应用式
（1.1），但可选取一个定质点系。事实上，若以任意瞬时t的火箭体所包含的全部质点作为研究
对象，则在此后很短的时间间隔△t内，即使有一部分燃气质点喷出体外，这喷射出去的部分质
点仍属于所研究的对象。这样,在△t过程中,就能够运用式（1.1）了。
假设火箭体在瞬时t的质量为m，火箭质心速度为v，其质心用C表示,如图1.1（a）所示。
经过△t后，即在（t+△t）时，火箭已喷射出质量为i△㎡l的燃气，其相对于火箭体的喷射
速度为ui（目前固体火箭发动机 u1 的数值大于2000 m/s）。这样,在（t +△t）时所研究的定质

第一章·火箭质心运动方程
m-Am
(b)(t + △t)时质点系布局
(a)t瞬时火箭体
图 1. 1
发动机在工作中的火筛
点系已分成了两部分，部分是火箭体包含的质量为（mI△㎡）的质点系，另一部分是质量
为丨^m丨的已喷出火箭体外的燃气。由于旋转对发动机工作的影响很小,故可不考虑火箭体
的转动。经过△t后，火箭质心速度改变了△,因而（t+△t）时的火箭质心速度为（△v）。在
△t 内所喷出的火箭燃气的速度为(u1 + + △v/2)①,那么（t + At）时的全部动量为
而 t 时的动量为
Qt
- mv
于是得动量的增量为
Qt+t - Qt
mAv +I Am I ui -
1△m 1 △v
dy
dm
(1.2)
lim
dt
At
At--0
dm
(1.3)
dt
Fp =-| m I u
(1.4)
再将式（1.2）代人式（1.1），便得火箭质心运动矢量方程式为
dy
(1.5)
Fp+ F
在时喷出的气体质点速度为（ui+）,在（t+△t)时喷出的气体质点速度为（u+ +△v),对IAmI而言可取其
平均值。

火箭外弹道学
式中F，被称为喷气反作用力或动推力，它是由于燃气喷射而引起的对火箭的反作用力。
由式（1.4）看出，Fp之值取决于燃料的每秒质量流量lm丨及燃气相对于弹体的喷射速度u1;
Fp方向与喷射速度u1相反。如果火箭弹具有多个喷管的结构布局，而且各喷管轴线也互不平
行，那么火箭的总动推力则是各个喷管燃气喷射所产生诸动推力的合力。
由式（1.5）可看出，变质点系的火箭主动段质心运动方程在形式上与常质点系运动方程
仅相差一个力Fp，故在建立变质点系质心运动方程时，只须把Fp当做外力看待，就可直接引！
用牛顿第二定律了。
另外,在推导式(1.5）过程中忽略了某些次要因素。其一，由于发动机燃料的消耗，,弹体内
燃气相对火箭体不断移动着。由于这个移动速度的存在，加之弹体相对固定坐标系有旋转角速
度，便产生一个柯里奥利力；其二，弹体内燃气的加速运动还产生惯性力。对大多数火箭而言，
这些次要力的影响很小，可以略去。
推力及推力加速度
1.3
上节介绍了动推力，也就是喷气反作用力；除此之外，还有静推力。动推力和静推力合起
来就是推力。在此,需要了解静推力是如何产生的。这有以下两方面的原因，如图1.2所示。
在火箭发动机工作过程中，一方面由于在喷管出口端面处燃气压力为P。（一般p。有几个大气
压力那么大），若以S。表示喷管端面面积,那么对喷管端面垂直于弹轴的火箭而言，火箭将受
到一个大小为P。Se,方向沿弹轴向前的力的作用；另一方面,因大气不能进人喷管端面处,对
火箭体外表面及喷管端面所包围的隔离体来说，大气压力p的合力已不为零，从而产生一个大
小为pS。，且方向沿弹轴向后的力。显然，上述两个力比较起来，前者大于后者，故它们合成的
结果，便是一个沿弹轴向前的力
Se(pe - p)
把这个静推力与式（1.4）所表示的动推力合起来，便得推
力的表达式（标量形式）
(1.6)
Fp = 1 m 1 ui + Se(pe - p)
或写成下式
Fp =l mIueff
(1.7)
Sd
Se(pe - p)
(1.8)
式中
+ in = n
imi
称为有效排气速度，可理解为若发动机的推力全部由动推
Ueff
力提供时，燃气在喷管出口端面所应具有的排气速度。不言而
图 1.2
静推力的组成
的表达式将依赖于火箭喷管的结构。比如对涡轮式火
,ueff i

第一章
火箭质心运动方程
表达式就与式（1.8）不同（这将在以后介绍，有兴趣的读者也可自行推导）。
箭弹，其
因为 ui取决于推进剂性质及喷管形状，而与其他因素（比如燃烧室压力）无关；而p。与
Im|的比值不随燃烧室内的压力变化,故在忽略次要量 Sep／Ｉm｜的较小变化情况下，可把
视为常量。
Ueff
推力可以实验测定。将火箭置于推力试验台上，就能把发动机工作过程中的推力时间曲线
Fp-t记录下来。由试验台上测出的推力，应换算成地面大气压力的标准值Pon下的推力FPon(这
个Pon 的具体数值将在炮兵标准气象条件中介绍）。于是
(1.9)
其典型的曲线如图1.3所示(图中 tp是发动机工作时间)。
根据推力曲线积分，得推力总冲量为
FPon( t )dt
Ip =
(1.10)
将式(1.7)代人得
m!
dm
Ip =
ueff[m(0) - m(tp))
-dm
Uefrdt
dt
式中的质量差，正是发动机的推进剂的质量
mp， Fpon(t)
Ip = ueffrmp
(1.11)
若用 l1表示比冲量，它是 1kg推进剂所产生
的冲量（Ns）与其所受重力（N）之比,则
Ip = lμmpg
(1.12)
由式（1.11）和（1.12）便得
(1.13)
Iig
= n
因此，只要测出了比冲量I1，也就等于知道了有效
推力－时间曲线
图 1.3
排气速度。现今一般固体火药火箭的I1，其数量级
的数量大于2 000 m/s;液体推进剂的更大可达 300 ～450 s。具体数
为 200 s以上,因而
j ueff
值依不同火箭而异，不可混用。
为了表示推力对火箭质心运动影响的程度，引用推力加速度这物理量。它是推力与火箭
质量之比,以 αp表示,即
FP
ap
将式（1.7)代人则
Imi
(1.14)
Je n.
αP :
m.

火箭外弹道学
弹质量变化率,可表示为 |㎡|= q(t)。
式中
式(1.14)
）…般用于近似计算。若在精确计算中考虑到不同飞行高度处的大气压力的不
巴 uefr 中的p作为高度的函数。
同，则应把
重力及重力加速度
1.4
在地球上的一切物体,均随地球一起不断地旋转。火箭也不例外，它除了受到地球引力作
用外，还受到因地球旋转所引起的离心惯性力的作用。引力和离心惯性力的合力，就是重力，如
图1.4所示。该图是北半球的一部分,图中G1表示地球引力，Fe表示离心惯性力，于是重力G
的矢量表达式为
(1.15)
=Gi+F
重力G的大小和方向与不同的地理位置有
Qe+
关。地球引力G1 是根据牛顿引力定律所确定的
量,它与火箭到地心O 白
的距离 r的平方成反比;
而离心惯性力则与火箭到地球极轴（南北两极的
FE
连线）的垂直距离有关。实际的地形是凸凹不平
的,而且整个地球外形也不是一个规则的几何体。
一如大地测量学、天文学和
为了便于各种计算
弹道学，就有必要采用比较规则的地球模型。现今
常采用椭球模型和圆球模型。对两轴椭球体来说，
重力
图 1.4
其两轴长度分别为
长半轴（赤道平均半径）=6378245m
短半轴（极半径）=6 356863 m
若采用圆球模型，主要的地球常数是地球半径。它可以按照不同方式来确定。如按体积来
TE
讲,具有和椭球体同样体积的球体半径等于6 371 110 m。此值通常作为地球的平均半径，以
表示。
重力的方向与悬垂线的方向一致，即在所研究点上，水平面的垂线与地球体表面的法线一
致。表面的法线（n）和地球赤道面之间的夹角称为地理纬度，以△表示。它与地心纬度A1是有
差别的，但差别不大，它们之间的关系近似式确定为
(1.16)
A1 A - 11'30'sin2A
可见在北纬45°时，（△－A,）的最大值等于11'30"（显然，图1.4中的A是夸大了的）。
这样，只要知道了地理纬度（或地心纬度），重力及其相应的重力加速度g便被确定。由式
(1.15）,g与引力所对应的引力加速度g1有如下关系
(1.17)
E×(2
2E×r)
g = g1 - 2

第一章
火箭质心运动方程
式中
一地球自转角速度。
点的地心向径，即地心到火箭质心的矢量线。若火箭离地面高度为y，取圆球模
型时，向径长为
(1.18)
TE+ y
2E × rE) 1 = QErECOSA10
式（1.17）第二项之值要比g1小得多,在地面上,其值为Ie×（2
地球自转一周的时间是 23 h 56 min 4 s,故旋转角速度为
2元
jrad/s = 7.292 × 10-5rad/s
(23 × 60 + 56) × 60 + 4
QErE （
(7.292 × 10-5)² × 6 371 110 m/s² = 0.033 9 m/s²。这个值
则I2E ×(2)
2E× rE)i
max
只有重力加速度的1/289,故可认为g的方向与g1基本上一致,数值也相差很小（为清楚起见，
图1.4中夸大了Fe)。
计及地心纬度A，对重力加速度的影响，可采用地球表面（海平面）上计算重力加速度的
简单公式[9]
(1.19)
go = g'o(1 + kasin?Ar)
赤道（Al = 0）上的重力加速度，g' = 9.780 34 m/s;
式中
g'0
克列罗系数,ka=5.28001×10-3
由该式算得A，于45°32’33"海平面的重力加速度go为9.80665m/s2①。此值最初于1901年被国
际度量衡委员会（ICWM）采纳，一直作为国际计量检定业务中的标准重力加速度值。
为了计算弹道高度为处的重力加速度g，可采用平方反比公式
ro
(1.20)
式中，yg是弹道起点的海拔高度；ro不是平均地球半径，而是在特定纬度上考虑了该纬度的离
韦45°32'33的g（y）值所采用的ro 为
心加速度影响所取的有效地球半径。用于计算北纬
6 356.766 km。在参考文献［52】中的重力加速度随高度变化的函数表，就是由式（1.20）算出
的,其高度达到 1 000 km
在我国进行弹道计算中,重力加速度地面标准值常取为 gon= 9.80m/s²。按式（1.19)进行
反算，可得相应的地球纬度大约38°，这对于我国地理位置来说还是比较适中的。为了解析计算
重力加速度随高度的变化规律，可根据平方反比公式算得与9.80 m/s²相应的有效地球半径为
9.806 65
ro = 6 358.922 km
9.80
可用 ron 和 gon替代式（1.20）中的 ro 和 go,即得与 gon相应的 g（y)。计算表明,若y= 32 km,
1901年时认为该值对应的纬度是45°,但后来证实更精确的纬度应该是4532'33"；按式（1.19）应是地心纬度。

火箭外弹道学
标准大气和炮兵标准气象条件
1.51
地球周围的空气层称为大气。随着距地面高度的增加，空气越趋稀薄。在5km高度范围
内，含有将近全部空气质量的50%;在20km高度范围内，含有将近全部空气质量的90%。在30
km高度上,空气已很稀薄，其密度只有地面值的1.5%。因此,在弹道近似计算中，常将30km以
上的空间视为真空。
影响火箭运动的大气参量有气温、气压、密度、声速以及粘性系数等物理量，这些参量随着
时间和空间在不断变化。为了进行弹道计算及其他需要，对气象条件要标准化，即对气温、气
压等参量随高度的变化规律采取某种合适的确定函数。
接近地面的大气层，由于地球表面吸收了大量的太阳热能，同时又把热能向空中幅射，故
使下层空气受热上升、膨胀，并逐渐冷却；上层较冷的空气下降、压缩而受热，使空气不断上下
对流。靠近地表上下对流的空气层，叫做对流层。对流层高度与季节有关，夏季增高，冬季降
低。不同纬度处的高度也不一样,在两极约为 8 km,赤道处约为 17 km,中纬度 A = 45°附近约
为 10～12 km。）
对流层包含了全部大气质量的75%和水蒸气的主要部分。天气现象是在对流
层形成的，其特点是气温随高度的增加而下降较快。
对流层以上是平流层,中纬度的上层为 51 km,总厚度为 40 km。
其中高度 20 km 到 47 km
的范围内温度是上升的。平流层以上是中层,层顶高度约为 80～90 km,中纬度平均高度为 86
该层温度随高度增加而下降,其状态与对流层有些类似。中层也称为散逸层。
kmo
在以上三层内，大气是若于种气体成分均勾的混合物，并假定气体处于流体静力学平衡状
态，而且水平成层分布。气压微分dp和几何高度的微分dy的关系是
(1.21)
dp = - gpdy
一空气密度（单位是kg/m²）。
式中
重力与作用于空气层上、下面的压力差dp相平衡。
在中层以上是电离层。由于气体在太阳紫外线幅射作用下将要分解，并处于原子状态，空
气成分将随高度变化，1mol空气的质量随高度增加而递减。由于各种气体的扩散和垂直输送，
因而大气流体静力学平衡遭到破坏。电离层内的温度随增加而上升，并趋于外层温度T。。
T。是在≥120km、温度随指数上升时的渐近值；相应于太阳黑子活动的平均情况T。
1 000 K.
所谓标准大气，就是能够粗略地反映出周年、中纬度状况下假定的大气温度、气压和密度
的垂直分布。它的典型用途是作为压力高度计校准、飞行器性能计算和气象制图的基准。经
我国国家标准总局批准，在建立我国标准大气之前，可使用1976年美国标准大气。该标准在
32 km 以下和1964 年国际民用航空组织（ICA0)标准大气相同；在50 km 以下，和国际标准化组

第一章
火箭质心运动方程
织(ISO)的标准相同。在具体介绍该标准之前，先简介-下气温、气压及密度等主要大气参量
之间的关系。
把干燥空气作为理想气体,在大气中任一点的压力p，热力学温度T和总的密度β,满足理
想气体状态方程，其形式之一是
ORT
(1.22)
R-—摩尔气体常数,或称为普适气体恒量，R = 8.314 351 × 103 J/(kmol·K);
式中
M一一摩尔质量，即 1kmol气体的质量,数值等于相对分子质量，单位是 kg/kmol。在高
度86 km以下，大气是均勾混合物，扩散和光化学过程对 M的影响可略而不计，
M 被视为常量,取其海平面值 Mo，等于 28.964 4 kg/kmol;
T热力学温度,它与摄氏温度 t 的关系为
def
T=t+
(1.23)
To, To
273. 15 K
将式（1.22）代人式（1.21）得
Mg
dp
dy
(1.24)
RT
可见，只要知道了温度T随高度的变化规律,那么气压P随高度的变化规律便也确定；再由式
（1.22）进而确定密度随高度的变化规律。这样，问题的关键就是要首先确定标准温度分布。
根据大量探测和分析，在高度86km的范围内，大气分为七层，每层中的分子标度温度TM
和位势高度h之间构成线性函数关系，即[52]
LM,b(h - hb)
(1.25)
TM,b + L
式中，TM 是 T与比值 Mo/ M 之积,即
Mo
(1.26)
位势高度定义为
(1.27)
gdy
它表示单位质量在实际重力场中，上升高度所增加的势能，与通过区域的重力加速度全是
go,增加同样大小的势能所需上升的高度。将式（1.20）代入积分得
roy
(1.28)
ro+ y
可见h总小于，当不太大时，二者相差甚微。式(1.25）脚注b的取值从0到6,分子标度温度
TM,b及梯度LM,b值列于表1.1中。
对于 y从86 km到1000 km的整个高度范围内分为四层,其中：
(1)y = 86 ～ 91 km,是等温层,T = T = 186.867 3 K； :
11

火箭外弹道学
(2) = 91 ～ 110 km,T(y）具有椭圆形式,且
表1.1
86km范围内温度-高度廊线图上各段的参考高度和梯度
位势高度hs/km
脚注
分子标度温度梯度 LM,b/(K·km-1)
分子标度温度 TM,b/K
-6.5
288. 15
0.0
216.65
20
+ 1.0
216.65
32
+ 2.8
228.65
47
0.0
270.65
51
-2.8
270.65
71
-2.0
214.65
84 . 85200
相应的 =86km
212
y- y8
T = Tc + Al1 -
k1
式中
y8 = 91 km, Tc = 263.190 5 K, A1 = -- 76.323 2 K, k1
1 = - 19.942 9 km;
(3) = 110 ～ 120 km,T(）是线性函数,且
T = Tg + Lt,9(y - yg)
式中
Tg = 240 K,Lk,9 = 12 K/km,yg = 110 km;
(4)y = 120 ～ 1 000 km,T(y）具有指数形式
T = T- (T - Tio)exp( ^)
Lk,9
(y -- y10)(ro. 4 y1o)
式中
0.018 75, $
(T- To)
ro + y
y10 = 120 kmo
图1.5给出了T随y从0到1000km高度范围内的变化曲线。
为了积分得到气压P,将式（1.27）微分得知
= g·dy,并与式(1.26)一并代人式
go : dh
(1.24)得
1. dh
dp
R TM
8.314 32 × 103
Ri =
式中
）= 29:271 3 m/K,称 R1 为大气常数。
go Mo
于是
dh
(1.29)
p pbexpl
再利用式（1.22），即可得到密度公式。声速c可用下式求出
12

第一章
火箭质心运动方程
y/km
KR
TM
(1.30)
Mo
400
式中，K是空气的比定压热容与比定容热容之比，叫做绝热指
数或比热比，取值为1.400。
空气动力还与雷诺数Re有关，Re依赖于空气黏性系数n，
300
它是两层气体间单位面积上摩擦应力（切应力）与两层间的速
度梯度之比，又称为动力黏度或黏度。各种气体的黏度可用
200
Sutherland公式计算，即
100
To + T
T+ T
T$
Sutherland 常数, To = 273.15 K;
式中
500
1 000
T/K
-101.325kPa（1 atm）下,0℃ 时气体的黏度。
图 1.5
T-y 曲线
对空气 T= 110.4 K,no = 1.789 4× 10-5kg/(m·s),于是
得空气的黏度公式为
T2
(1.31)
= βa
1.458 × 10-6 kg/(s · m · K²)
βa = 1
式中
大气地面值（在海平面，地理纬度为45°32'33"）确定为：气压po=101.325kPa(1atm）；气温
To= 288.15 K(t = 15 ℃);密度 po = 1.2250 kg/m²;空气相对分子质量 Mo= 28.964 4;声速
Cs0 =- 340.294 m/so
以上所述美国1976年标准大气没有具体计及空气的湿度；实际上，水蒸气对大气状态是
有影响的。假定气压为p的潮湿空气中,水蒸气的分压为 p,则干燥空气的分压为(p－p）,由
式（1.22）分别求出它们的密度为
Py
p-py
M.
P2 =
RT
RT
M—1kmol水蒸气的质量,单位是kg/kmol,数值等于水蒸气的相对分子质量18.0153。
式中
那么潮湿空气的密度为
R[1 (→-
W = + I =
18.015 3/28.964 4 5/8,则
而M/M=1
RT
引进所谓虚拟温度（简称虚温）
13

火箭外弹道学
(1.32)
Py
1.
以t代替实际湿空气的气温T，那么湿空气的状态方程在形式上就与纯干空气的状态方程完
全相同，郎
oRr
(1.33)
顺便指出，虚温实际上是不存在的，可以把它理解
y/km I
为在有水蒸气存在下对真实气温的修正值。以后
50
在外弹道学中所指气温,均系指虚温而言。
40
一般对几十千米射程的近程炮兵武器来说，
30F
我国解放初期曾取如下标准气象条件，地面标准
20
10
50%）。据此代人式
Pa(相对湿度
847
P von
（1.23）、（1.32）、（1.33）算出和β的地面标准值：
300
T/K
200
1.205 74 kg/m²。至于气温
图 1.6
气温标准定律
随高度的分布，采用解析函数形式标准化，称为标
准分布；当地面值取标准值时,按习惯称为标准定律,如图1.6所示。
y≤ 9 300 m,t
Ton - Gy;
= 9 300 ~ 12 000 m, = A - B(y - 9 300) + C( - 9 300)²;
= 12 000 ~ 30 000 m,t =
221.5 K
G = B = 6.328 × 10-3 K/m, A = 2
式中常数
知道了,Ponvon和随变化的标准分布,那么气压p随高度变化的标准分布就相应确
定,通常用它们的相对值。参照式（1.29）得
π(y)
(1.34)
Pon
通常称π（）为气压函数。值得注意的是,式(1.34)中的Ri应与重力加速度9.80 m/s²匹配,其
8.314 32 × 103
R 二
(m/K)
) = 29.291 1 m/K
9. 80 x 28. 964 4
gon M.
将式（1.34）代人式（1.33）得空气密度的相对值
(y)
(1.35)
Oon
在国内以往的外弹道学书中取值 288.9 K,这是因为 T取了近似值288 K之故。鉴于历史原因,暂且仍保留 om = 288.9 K。
14

第一章
火箭质心运动方程
此相对值是高度的函数,记为
H(y)
(1.36)
Don
称H（）为空气密度函数。π（）、H）随的变
y/km +
化曲线示于图1.7中，在对弹道近似计算时，
H（y）往往采用下列经验公式
10.
H(y)
(1.37)
H(Y)
) = exp(- β'y)
T(y)
式中,β²= 1.059×10-^m-1。当y在10 km以内时,
可给出与H）的准确值较一致的结果。（）、
π（）、H（）随高度的变化值均已列成表格函
数，见附表 1、2、3。
0.5
1.0
至于声速随高度的变化，由式（1.30）知
π（）和H(y）曲线
图1.7
(1.38)
20. 046 8
m/s
Cs = 2
最后指出，在炮兵标准气象条件中，还有一条无风无雨的规定。此外，这些年来的气象观测
表明，我国北纬35°以下地区的对流层高度远大于9300m，大致为（15～16）km。对弹道高明显
超过9300m的远程弹，采用以上炮兵标准气象条件，就会给弹道计算带来偏差，就有必要对该
条件加以修改。
空气阻力及阻力加速度
1.6
空气阻力的般表达式
1.6.1
现在研究火箭在飞行中所受到的空气阻力。在弹道计算中，通常假定弹轴与速度矢量线是
重合的。空气动力学指出，火箭相对空气运动所产生的剩余压力之合力就是空气动力；在弹轴
与速度方向一致的情况下,就是空气阻力 RxR的一般表达式为
pop= SCao()
(1.39)
R.
式中
空气密度;
πd²/4,d 为弹径;
S-弹体最大横断面面积，S
马赫数，以Ma 记之，Cs是声速；
Co()—
阻力系数,脚注“0”表示火箭几何纵轴与速度方向的夹角（即攻角)为零。

火箭外弹道学
由式（1.39）看出，阻力R除了与火箭相对于空气的相对速度有关外，还取决于两方面
因素，一是火箭自身的外形尺寸，另是空气的性质。
阻力系数，弹形系数及阻力定律
1.6.2
目前对射程在几十千米以下的火箭弹，还广泛用到弹形系数这一概念。这里将说明这一概
念的含义，以及与此有关的问题。
火箭及其他弹箭的外形对空气阻力有很大影响，但是表达式（1.39）却没有一个直接体现
这种影响的物理量,这个影响是隐含在阻力系数 Cxo 中的。Cxo 这个量,对某一种弹体而言,它
主要随马赫数 Ma（= /c）变化。其变化规律及原因，可参阅有关空气动力学方面的著作。
为了查明弹形对阻力大小的影响，可取不同形状的弹体做实验,测出他们各自的 Cxo-Ma
曲线,由不同形状之弹体阻力系数曲线 Cxo-Mα 的差异,就可直接反映出弹形的影响。人们曾对
无翼的旋转炮弹做了Cxo-Ma 曲线的测定实验。图1.8中的两条不同弹形的 Cxo-Ma 曲线,其随
Mα 变化的规律大体上是相的，但曲线高度不同。而且，只要两类弹形相差不太大，在同一马
赫数处，其阻力系数比值，与另一马赫数下的比值是近似相等的，即
CxoI (Mar)
CxoI (Ma2)
(1.40)
const
Cxo(Ma1)
Cxo (Ma2)
Cxo t
Ma
Ma3
Ma 2
Mai
图 1.8
Cxo-Ma 曲线
根据不同形状弹体阻力系数的这一一特性，就可以选取某一具有代表性的弹体(或是一组弹
形相近的弹）作为标准弹，并仔细地测出其阻力系数曲线（如果是一组弹，则取平均值），以
Cxon（Ma）记之,或简写成 Cxon。于是,对其他新设计的弹，只要与标准弹形相差不太大，其阻力
系数 Cxo 与 Cxon 京
就存在下示关系
Cxo( Ma)
(1.41)
= i(const)
Cxon( Ma )
比值i说明该弹体外形与标准弹的外形相差的程度，称之为弹形系数。因为对同一弹体来讲，
16

第一章
火箭质心运动方程
于外形不同之故。
通常，人们把标准弹的 Cxon~Ma 曲线叫做阻
力定律。早期有西亚切阻力定律，它用的标准弹是
一组圆弧形弹头（所谓卵形弹头）,其长度 hr 为弹
hr
径 d的1.2 ～1.5倍,如图1.9所示。后来,为适应
图1.9
标准弹形示煮图
速度较高的较细长弹形的需要，又选取一组弹头
长度 hr =（3～3.5)d的弹形,测出了Cxo-Ma 曲线平均值,叫做43年空气阻力定律,见附表5。
现今旋转弹与43年空气阻力定律所用标准弹的外形较为接近，故用43年空气阻力定律时，弹
形系数 i43大约为0.85 ～1.0;而用西亚切定律时,则 i。的数量级为 0.45 ～0.50。
目前我国~一般采用43年空气阻力定律，以后不做申明时，所论空气阻力定律都是指的43
年空气阻力定律。
综合上述，可看到弹形系数i具有下述几个性质：（1）它决定于弹箭本身的形状，而与弹径
无关；（2）决定于所取空气阻力定律,即是对给定的阻力定律说的。
对尾翼弹，目前还有用弹形系数这个概念的。有些尾翼弹的弹形与标准弹形相差较大，弹
0.7～0.8的情况下才能把i当成常数。但对超过这个速度范围的尾翼弹，在设计和靶场试验
中,往往还是对全弹道取用某一适当的 i值,这是在保证射程准确的前提下，而取的某一平均
值。之所以抓住弹形系数这一概念不放，是因为它给弹道计算带来了很大方便。如果抛弃这个
概念，则需准确确定实际的阻力系数，以便用数值积分法计算。在电子计算技术和空气动力学
已具相当水平的今天，这是种很现实的办法。
空气阻力加速度，弹道系数
1.6.3
空气阻力对弹箭运动的影响，不仅与空气阻力的大小有关，同时还与弹体质量m㎡有关，就
是说，由阻力引起的加速度大小来决定。设弹质量为㎡，阻力加速度以α表示，则
将式（1.39）代人，并考虑到式（1.41）得
id?
10-3
103
Pon
隔开的三部分，分别代表一个重要方面的因素对阻力加速度的影响。第二部分
上式用乘号“×”
的o/βon 是空气密度函数 H(y）,已介绍过了。第一部分与弹形、弹径、弹体质量有关,记为
id2
(1.42)
× 103
17

火箭外弹道学
它表征弹体本身特征的物量理，称为弹道系数。最后一部分表示为
10-3
(1.43)
F(U,Cs)
它表征弹箭的相对速度与空气阻力的关系，称阻力函数。于是，阻力加速度可表示为
(1.44)
cH(y) F(V, Cs)
在 α所依赖的三方面因素中,H(y）是气象条件,无从减小;F（,Cs）主要取决于速度，
在既定的射程要求下，它也无从减小；惟有弹道系数c值是可以人为地作适当改变的量，它的
大小，直接关系到α的大小，从而影响到弹道特性。就是说,在其他条件一定的情况下，比如将
一发炮弹以→一定射角和一定初速发射出去，℃ 值越大，则受到的阻力加速度就越大，弹道就越
式(1.42）初看起来，似乎应减小弹径,但实际上却相反。这是因为 d与m之间不是相互无关的
量，㎡将以弹径d之三次方的正比关系而变化。就某一类型的弹种而言，大致存在下列关系
(1.45)
nd3 × 103
Cm称为弹体密度系数,在设计中习惯上用kg/dm3 作单位（其数值,如榴弹炮爆破榴弹为 10 ~
12,穿甲弹就大些）。由此代人式（1.42），便得
(1.46)
可见，弹道系数c与d成反比，而与弹形系数i成正比,故改善弹形，乃是设计者的重要任务之
一。c 的单位在运算及书写中通常省略。
至于与弹径的关系,可给出一个数量级的概念,对大口径弹在0.5以下;对中口径弹在1
左右;对小口径弹在5左右,特别对小口径枪弹可达10之多。
应该强调，在计算空气阻力加速度和进行弹道计算时，所用弹道系数、弹形系数、阻力定律
及阻力函数，均必须是属于同一阻力定律的，决不可同时采取几种阻力定律混用。
弹道上任意点加速度公式的另外形式
1.6.4
阻力加速度计算式（1.44）中的阻力函数 F（，Cs）是两个变量（，Cs）的函数,计算起来不
甚方便。最好将双变量函数变成由两个单变量函数的组合函数，再将单变量函数编成表格，计
算起来就方便了。针对 F（，Cs）是可能的,由于 Cxon是马赫数的函数，只要马赫数相同，Cxon的
值就相等。为此，进行如下变量置换
Vt
(1.47)
C son
式中，Cson 是声速的地面标准值，Cson
340.74 m/s;V 是引进的一个新变量,是一个虚拟速度,
18

第章
火箭质心运动方程
C son
on
(1.48)
Vt = V
于是
(1.49)
Ton
将式(1.47）和（1.49）代人式（1.43),得
F(v,cs) = F(vt)_
(1.50)
T on
10-3
式中
F(t)
(1.51)
这样，F（,C。）就是两个单变量函数 F（）
F(ur)I
140
和/on之积。F（）也常叫做阻力函数,已
120
编成了函数表,见附表6。F（V）曲线示
100
于图1.10中（43年阻力定律）。
80
于是阻力加速度αx表示为
60
40
cH(y) F(v)
T on
20
将式（1.35）、（1.36）代人,得
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 v (m s-I)
c(y) F(vt)
(1.52)
F()V 曲线
图 1. 10
在往后建立运动方程中，需要用到一个函
数 G(,Cs）,它定义为
IF(V,ca)
G(V, Cs)
(1.53)
cH(y)G(, Cs)V
ax 二 (
在基本假设下的火箭质心运动矢量方程
1.7
实际上火箭在飞行中的运动是很复杂的。在研究火箭质心运动时，要分析哪些是影响质心
运动的主要因素，哪些是次要因素。从而作一些必要的假设以暂时忽略一些次要因素，得出质
心运动的主要规律，然后再考虑那些次要因素加以修正。这样既可以掌握问题的本质，使问题
简化处理，又可求得与实际情况相符的结果。对问题进行简化，首先要抓住主次。比如对稳定性
良好的火箭弹，在飞行中的攻角总是很小的，般几度而已，它的存在对质心运动的影响甚
小,故当研究质心运动规律时,可暂时忽略它，即假设飞行中的=0。
另外，由于制造上的缺陷，外形常会形成不对称。这样，即使弹轴和速度方向一致，气流不
19

火箭外弹道学
对称流动，也会形成对质心的力矩。火箭推力Fp的方向一般也不完全沿着弹轴,形成对质心的
推力矩，也会引起围绕质心运动。但是，只要控制加工精度，上述不良后果便可大大克服。因此，
可以假定弹体是轴对称的，而且推力Fp沿弹轴方向。
有了上述假设，火箭就不存在围绕质心运动，方程（1.5）中的推力沿弹轴方向亦与速度矢
量方向一致，空气阻力即为R，，与攻角无关。这样就把火箭弹运动当作一个全部质量集中于质
心的一个质点运动。
相对于惯性参考系来说,若火箭质心加速度为a，在主动段上，式（1.5）为
Fp+ Gi + R
(1.54)
所关心的问题不是火箭相对于惯性参考系的运动，而是要观测火箭在地面坐标系内如何
运动。在图0.1中，曾经将地面坐标系以o-xyz表示,原点在弹道起点，oα轴为起点水平线（射向
为正）;oy轴铅直向上，oz轴垂直于oα 和oy轴,依右手法则确定其方向。由于o-αxyz 坐标系随地
不断转动着,因而它不是惯性参考系。若在该坐标系内观测到的加速度是αr，
球以角速度2
并仍然用dv/dt表示ar，于是可知
ap
Fp+ Rx + G1 + Fe + Fc
(1.55)
mar =
+p
等式右边另加上去的 Fe 和 Fc是离心惯性力及柯里奥利(Coriolis）惯性力,其中 Fc
= - macs
这里的柯里奥利加速度αc 由下式决定
ac = 2(e × v)
(1.56)
以 m通除式(1.55),并考虑到（1.15）这个关系式,可得
dy
(1.57)
ap+ ax+g-ac
dt
注意,这里的是相对地球表面的速度。一般柯里奥利加速度影响甚小，如火箭速度高达1 000
m/s时,其最大值也不过0.15m/s²,只有重力加速度g的1.5%。柯里奥利加速度对质心运动的
ac = 0.
影响，当射程较大时，可以单独计算其影响量，这里不妨暂且假设
另外,地球表面实际上应考虑曲面为宜,但射程不大时可视为平面（当射程大于80 km时，
视为平面就会带来一定误差）。
综合上述，特将质心运动基本假设归纳如下：
（1）火箭整个飞行过程中, = 0;
（2）弹体外形及质量分布轴对称，推力沿弹轴方向；
（3）标准气象条件，无风；
（4）不计柯里奥利加速度；
（5）重力加速度大小和方向不变;
（6）地表面为平面。
在这些假设条件下，火箭质心运动轨迹将是一条平面曲线，质心运动方程为
20

第章
火箭质心运动方程
dy
(1.58)
ap+ ax + g
dt
此方程可以用来具体地计算火箭质心的平面运动。求解此方程，即所谓的“外弹道学基本问
题”，所得弹道称为理想弹道。实际弹道与理想弹道总是会有差别的。由于实际情况与假设1、2
的问题，将在修正理论中解决。
火箭质心运动的标量方程组
1.8
确定质心运动的主要变
1.8.1
在外弹道基本问题中，主要任务是计算理想弹道。如图1.11所示，火箭在射击平面内，若
知道火箭从弹道起点飞行t秒那一瞬时,在空中某一点的坐标（α，）,就是确定了火箭在该时
刻所到达的位置。如果同时得知在该瞬时的速度大小和方向，就能确定火箭将飞向何方。因此，
只要知道了（t，，θ，α，）五个变量，则火箭质心运动问题就完全解决了。
(x,y)
射击平面内的火箭质心运动
图 1.11
但速度的大小和方向不仅用和θ两个量表示，还可以用别的两个量表示，比如可用其两
个坐标轴投影表示,即（x，uy）;还可以用（tan，）表示,等等。
以上各变量在理论上都可以作自变量组成质心运动方程组，但常用的是以t或x作自变
量。
在平面自然坐标系内火箭质心运动方程组
1.8.2
取火箭质心速度方向，也就是弹道切线方向为一轴，此轴上的单位矢量记为T，又取垂直
于速度方向的弹道主法线方向作另一轴,其上的单位矢量记为 n，（t，n）即构成平面自然坐标
系(图 1.12)。
21

火箭外弹道学
火箭的运动速度可表示为
(1.59)
则加速度为
dt
dy
dv
3P
(x,y)
根据矢量导数规则，有
dt
op
dt
于是
dy
(1.60)
dt
dt
平面自然坐标系
图 1. 12
这就是质心加速度向自然坐标轴分解的表达式，其
中 dv/dt 是切线加速度的大小;而（de/dt）是法向加速度的大小。
将式（1.60）代人式（1.58)，同时向坐标轴 t 和n投影,便得向 π轴投影
dy
ap- ax - gsing
dt
向n轴投影
-- gcos
dt
再加上确定坐标α和（它们对时间t的导数分别等于速度在该二轴上的分量）的方程，就
得到以为自变量的平面自然坐标系里的质心运动方程组
dv
ap - cH(y)F(v,cs) - gsing
gcos6
(1.61)
dy
vsing
dt
dx
dt
Vo, = fo,y = yo,x = xoo
积分初始条件为：t = to 时， =
从第-一个方程可见,如要积分出速度,必须知道和是t的什么函数;αp中的p也是高
度的函数。在解方程②时，又要知道是t的什么函数。在解方程③时,须知道和θ是t的
什么函数。因此，这三个方程都不能单独求解，必须同时联立求解，此具有联解性的方程式以
号标记之。第四个方程在前三个方程求出和θ之后,再行单独积分。此外,方程中的声速
cs和空气密度函数H（y）分别由式（1.38）、（1.36)给出，它们都是y的函数，求解方程时需单独
列出。
22

第一章
火箭质心运动方程
火筋在被动段内的质心运动方程组
1.8.3
这只要将方程组（1.61）中的推力加速度αp取为零即可。此时得
dv
- - ckH(y)F(v,cs) - gsing
op
gcos
dt
(1.62)
vsing
dt
dx
UCOSO
dt
初始条件取主动段末端K点弹道诸元
Uk, = k,y-=
t = tk时,=
YK-x
如果取 α为自变量，以和P（= tan）为表示速度大小和方向的两个函数,则可得到形式
较为简单的方程组。由于
dP
dtan de dt
dtang
gcoso1
dx
dx
dt dx
-192800
dvx
ip *ap
- -- cH(y)G(v, C,)
dx
xp p
这样就组成了以x为自变量的方程组
dvx
= - ckH(y)G(u,c,)
dx
dP
2x
dx
(1.63)
dy
dx
dx
联系方程为
/1+ p2
Vkcosok,P = tandk,y = yk,t = tko
时,Vx
初始条件是，当
此方程组的缺点是由于函数 P = tan,当 θ >60° 时，P值变化太快,容易发生误差,故用
于较平缓的弹道计算。
以上介绍的质心运动方程组并不是一成不变的，可以针对武器的特点结合工作经验，组成
其他形式的方程，以便更好地解决弹道计算问题。比如求解炸弹弹道，就可采用以为自变量
的方程组，读者可自行推导。关于在滑轨段的质心运动方程组，读者也可自行解决。
23

火箭外弹道学
计及地表曲率及重力随高度变化时的火箭质心运动方程组
1.8.4
对远程火箭，在其射程范围内，地球表面曲率是需要考虑的。在此，对地球可采用球体模
型,其半径rE等于6371110 m。现引人地表切面坐标系
0-xeyee，原点 o取火箭质心，ox。轴平行
于地表切面,处于射击面内，oy。轴在地心至弹质心连线上，向上为正，oz。轴依右手定则确定，
如图1.13所示。它是动参考系，当火箭飞行t时刻时动坐标转动角度为E，转动角速度
We
E;此时火箭速度在动坐标上的二分量（投影）为和y，与oα轴的夹角为，显然
dy
表示对时间的相对导
ucosO, Vy
三 vsin。依据矢量导数运算法则,对动参考系而言，有（以
dt
数)
dry
dy.
(1.64)
dt
dt
O-αeyeze中,v和we表示为
在动参考系
(1.65)
(Vx, Vy,0)
(0,0, - pe)
(1.66)
)=0
E 由图 1.13知
Ye
(1.67)
We
rE + yg
式中，是从射出点至火箭在地面上的投影的曲线长。α为火箭
在地面上投影的移动速率，它与火箭地表切面分速Vx之间的
关系为
Ze
rE + Y
弹道
1+
(1.68)
rE+yy
rE + yg+y
由此得
rE +yg
(1.69)
TE + yg
代人式（1.67),即
Oe
Y+Yg
(1.70)
PE -
= am
地表切面坐标系
图 1.13
TE
将式（1.65)、（1.66)代人式（1.64),得
dy
(1.71)
(Vx + VyWe, Vy -
- VeWe,0)
将式（1.71）代人式（1.58），重力加速度取式（1.20），便得所需的火箭质心运动方程组
24

第一章
火箭质心运动方程
dvx
y + Yg
apcoso - cH(y)G(u, c,)vx -
1 +
TE
rE
y+ Yg
ro
apsing - cH(y)G(v, c,)vy +
1 +
gol
ro + yg + y
dt
TE
(1.72)
dx
1+
rE + yg
dt
以同样方法，还可以在平面自然坐标系内建立计及地表曲率和重力随高度变化的火箭质心运
动方程。图 1.13 以 T和n 构成的坐标系之转速为
(0,0,8 - ge)
(1.73)
在此坐标系内的火箭速度为
(1.74)
y = (v,0,0)
d, v
dy
(v,v(6 - Φe),0)
(1.75)
+0m×v=(
dt
将式（1.75）代人式（1.58）,便可得所需运动方程组的另一种形式
ro
ap - cH(y) F(v,cs) - gosino(
To + yg+ y
gcoso
rE+yg+y
(1.76)
dx
vcoso( 1 +
rE + yg
dy
vsing
显然，方程组（1.76）是方程组（1.61）的局部修正式。
空气弹道特征
1.9
四个参量决定
被动段弹道完全由
CK-UK-OK-yK
1.9.1
由微分方程理论可知，当初始条件确定后,微分方程的解是惟一的。对方程组（1.62），先须
对前三个方程联立求解,这就需依赖于给出的初始条件 VK、k、yK，另外还要给出一定的参数
值 ck,于是便得
25

火箭外弹道学
V(c, Uk,Ok, yK,t)
= (ck,Uk,ok yk,t)
(1.77)
= y(ck,Vk,Ok,yK,t)
而第四方程，可以最后积分出来，即
α = α + αi（ck，Uk,k,yk，t)。在积分前三个方程时,×对
它们无任何影响；αk只是在α轴上改变了K点对坐标原点o的距离，不能改变速度和倾角的变
化规律，即不改变弹道的形状。当各弹道的
CK，Vk，Ok，yK,对应相等时,对应的被动段弹道完全
重合。所以说，火箭被动段弹道完全由
日 Ck，Uk，Ok，yk 四个参量决定。特别是，当
百 α = yk= 0时,
则相当于地面火炮弹道。地炮弹道是由其弹道系数、初速 Vo和射角 o三个参量所决定。例
如,对于落点，c = O,t =
T,则
yc = y(c,Vo,go, T)
)=0
T=T
T(c, Vo, 8o)
将上式代人x、、θ的表达式中,得
X = X(c,Vo,o)
Vc = v(c, Vo,60)
6. = 8.(c,V0,00)
对弹道顶点,由 t = ts 时的s= 0,同时可证明项点诸元也是 c,Vo,的函数。
现今，人们已对地面火炮常用的几个落点和顶点诸元 X、T、Uc、I6cI、Y,编出了以c，Uo
三个参量为表头的表格，列于“地面火炮外弹道表”第一部分，采用的是43年空气阻力定律。
对于火箭被动段，只是坐标原点在 K点而不是在地面上，多了一个参量 yK。以后可以尽量利用
已有的地炮外弹道表来解决火箭弹道被动段的计算问题。
这里简单介绍一下查表的方法。例如 c = 1.10,Vo = 570m/s,0o= 45°,求 X。
解由“地外表 I”知，c和o不刚好是表上给出的值,需要进行插值。一般进行直线插值
就可以了。在外弹道学中，常用列表法进行直线插值是比较方便的。先把与给定量临近的上下
两个表点值都列出来，并查出各表点对应的表格函数值，然后直线插值。本例题结果如下表。
/(m * s-1)
580
570
560
c/(m² • kg-1
10 985 m
10 841 m
1.00
10 697 m
10 336
1.10
9 950 m
9 831 m
9 711 m
1.20
若三个参量都不是表点值,需进行三变量插值。如果 c1< < C2,Uo1
< Vo < V02,001
9o<602,则可列表如下。
26

第一章
火箭质心运动方程
802
001
VO
V02
VO
V02
X12
X12
X11
Xo
AT
X2
X21
X22
X2
X21
C2
用同样方法，可以求出其他所需的弹道诸元。
应指出的是,该地炮外弹道表对于8。<5°的低伸弹道进行插值是不合适的,那将带来很
大误差。1977年国防工业出版社已出版了《低伸弹道表》，可以弥补原地炮外弹道表的不足。
对高射炮弹,需要知道任意时刻的弹道诸元，现用的有高射外弹道表第一至第六部分，其
初速 Vo ≥ 700 m/so
火箭弹速度沿全弹道的变化
1.9.2
在解弹道方程之前，对质心运动速度沿全弹道的变化规律有一个定性了解，对以后有关
问题的讨论是有益的。
按方程组（1.61）第①式
ap- ax - gsing
dt
分几段加以讨论，并参见图1.14。
1.在主动段内
因推力加速度αp远比阻力加速度和重力加速度
SN
大,所以dv/dt > O,速度是单调递增的,且在 K点
有最大速度
VKO
2.在被动段内
此段
- ax -- gsino
αp = 0,那么
(1)KS 段。因 α总是正值,且此段内的 > 0,
<0,单调递减;
Us Umin
(2)项点 S。此时 s = 0,但 αx≠0,继续减小;
(3)SN段。过 S点后,倾角变为负值,则
火箭速度沿全弹道的变化规律
图 1.14
- ax + gsin ll
27

火箭外弹道学
重力加速度的切线分量 gsin1开始抵消一部分阻力加速度ax的作用,并且 gsin1随弹
道下降越来越大,故在过顶点后不远的 N点处,便有 du/dt =～αx + gsin！Ｉ= 0的情况,此
时出现的极值，为的极小值min;
(4)NC 段。过 N点后，gsinI1继续增大,且通常比 ax值要大,故又出现了dv/dt >0的
情况，又逐渐增加，直到落地为止。
这里且问,若在速度增加的过程中，火箭并不落地,那么速度是不是会无限增大呢？这是不
可能的,因为重力加速度的分量最大也大不过一个g;而αx则随的增加而增加,因此经过一
t =－ αx+ g = 0的情况,这又是一个速度极值点 B;此后进人稠密
段路程之后，就会出现dv/dt
的大气层，阻力又将有所增大，速度又将减小。
3.最大射程角的概念
一般来讲，对-一定的弹箭，用某初速发射时，其射程为最大时的射角，叫最大射程角，以符
号 6ox
表示。
真空弹道的最大射程角是45°。对空气弹道，由于空气阻力影响程度的不同，各类弹箭的最
大射程角便不-定是45°,而各有其值。现将一些普通枪、炮弹丸的ox,
值列于表1.2中。
max
火箭弹在主动段内的倾角有所减小，为达到最大射程，一般应使 K点倾角k 达到表中之
值,其须大一些。
除上述几条之外，还有其他一些弹道特性，比如弹道的不对称性，就不再介绍了，有兴趣
者，可参阅其他外弹道学。
表1.2
几类弹的最大射程角
0ox
0ox
弹种与初速
弹种与初速
max
大口径远程弹丸(vo = 770 ～ 800m/s)
450
50p ~ 55°
真空抛射
30°左右
45°左右
小速度弹丸(<声速)
中口径、中速度弹丸（o 在500m/s左右）
43° 44
火箭质心运动的一一般方程
附录
在变质量力学中,若有一定量质点，在 t 瞬时的质量为m㎡，速度为，同时另有一微小量
△m,以速度 v运动,并于(t+△t)时刻与 m合并。合并后的总速度为(+△v);若作用于其上
的全部外力为F，则根据质点系的动量定理，有
(m + Am)(v + Av) - (mv + △m - yi)
lim
At-+0
即得
28

第一章
火箭质心运动方程
dm
dy
F+u1
(1.78)
式中,ul= V-,u 是质量为 △m 的微小质点的相对速度。
若将量（dm/dt)ui理解为一外力，则变质量质点的运动方程与定质量质点的运动方程在
形式上是相同的。
火箭弹是一一变质点系，取t时刻时火箭体所包含的全部质量作为研究对象。显然，对弹体
内的第 i个质点,亦满足式（1.78）,即
dvi
dmi
(1.79)
Fi+ u1
mi
dt
不过此式中的F；也包括了弹体内其他质点对mi及dmi的作用力（即内力）。
在（t + dt）时刻,对所考虑的质点系的全部质点求和,得
dvi
dmi
Zmi
(1.80)
取一与火箭体刚性部分相固联的坐标系，其原点为A，坐标系的角速度（即火箭的角速度）为
の;此坐标系不仅有转动,并且有平动。以r;表示m;在该坐标系中的矢径，VA表示A点相对静参
考系的速度，Vri 表示mi相对于该动参考系的相对速度,则
(1.81)
Vri+vA+oxri
于是
dVA
dyi
dvri
(o x ri)
(1.82)
dt
dt
对任何矢量T,其绝对变化率用dT/dt表示，T在转动角速度为の的参考系内的投影的变
化率用 d,T/dt 表示,便存在关系
dT
(1.83)
+xT
dt
dt
因此
dyri
d,'ri
(1.84)
ax0+
dt
op
( ×r) =
(o × r;) + × (o× ri)
×ri+x yri+x(o×ri)
dt
(1.85)
将式(1.84)、（1.85）代人式(1.82),再代人到式（1.80),得
dw
×ri + ×(× r;))
d.'r
dmi
(1.86)
ur -- Zmi
ZF: +
dt
29

火箭外弹道学
方程（1.86）等式左边为
mp
式中,rc是瞬时t火箭质心对A点的矢径，m为此时的火箭质量。中括号内的三项为t时刻火箭
质心的牵连加速度，以a。表示。方程(1.86)等式右边第一项ZF；中，由于内力成对出现（大小
相等,方向相反）,则两两相消，只剩下外力合力，以 F记之。第二项Z(dmi/dt）u1，即为动推
力，以Fp表示。第三项与燃气质点相对弹体的加速度有关,第四项为因弹体转动及燃气流动而
mae = F+Fp+ F
(1.87)
gas
在与火箭刚性部分固联的坐标系内,若火箭质心对 A 点的相对速度为Vrc，相对加速度为
αrc，则火箭质心运动的一般方程为
(1.88)
F+ Fp+ F
ma
等当作外力时，则火箭质心运动方程与刚体运动方程具
可见，把动推力F和燃气惯性力F
gus
有相同的形式，这种把火箭之类的变质点系作为刚体处理的原则，就是所谓“刚化原理”
30

火箭弹道主动段的解析解
第二章
在火箭弹设计时，所提出的战术技术指标中，主要是最大射程、威力、散布（或密集度)及机
动性等。在总体设计中，为了选取套合理的弹体参数（这些参数涉及全弹质量mo、推进剂质
量 mp、弹形系数等）,需要进行大量弹道计算；但并不要求很精确，只要有一定准确性的解析公
式就可满足要求。为求得全弹道，首先得求出主动段末端K点诸元，然后求解被动段。本章先
研究主动段解析解。
运动方程组
2.1
推力加速度采用式（1.14)。由式（1.61）得
Im
- cH(y)F(v,cs) - gsin
ueff
dt
gcoso
(2.1)
dy
vsind
dt
dx
vCOSO
为了进行解析积分，必须将该方程组简化。其根据是对影响主动段质心运动的主要因素和
次要因素加以区别，以便对次要因素近似处理,并保障主要因素的可靠性。
目的在于求 K点诸元u、、yαk;继之求解被动段,以得到全射程 X。影响计算射程准确
性的主要诸元是Vk。就普通炮兵火箭而言，一般主动段不长，即使射程达到50km，主动段长也
不过2km左右，小火箭的弹道主动段就更短了,甚至只有几十米。因此，αk和yk即使有些误差，
对全射程影响不大。而切线倾角θ在全主动段变化也很小，一般为3°以下,甚至 1°以下。况且，
在考虑用最大射程角射击时,k的误差对全射程影响是小的。至于 K，它是火箭动能的来源，
对射程影响较明显。
通观各个方面,要使被动段计算准确，首先应保证速度 Vk准确。
而从方程组(2.1）本身来看,②、③、④三个方程中都有和。在主动段内,θ变化缓慢，V
变化剧烈。这样,为使 k 和α
足够准确,也依赖于的准确性。因此,解方程组（2.1）的关
31

火箭外弹道学
E①式积分的准确性。
键，在于保证
在①式等号右边的三项中,对野战火箭,推力加速度 αp很大，一般20 g 以上,甚至有 100
g以上的,最大速度 k很少超过1000 m/s,故阻力加速度比之ap就很小了，它与重力加速度合
ap = 572 m/s²,当 vk = 370 m/s时,ax = 22 m/s;而
起来，仍比推力加速度小得多。比如某火箭
k =45°时,gsink～7m/s,当< k时的α更小,所以积分①式时,主要保障 ap的准确性,
另两项可粗略一些。
此外,计算阻力加速度 αx时,可把声速 c。取地面标准值 Cson,因为主动段高度不高,则
F(v,cs) - F(v)
为了使K点诸元直接与火箭弹的结构参量（mo，mp会
等）相联系，故选取排出推进剂的相对
mo - m
(2.2)
mo
作自变量。特别是,当发动机工作完毕时 μK
mp/ moo
由式（2.2）知，任意瞬时的弹体质量为
(2.3)
mo(1 - μ)
m=
并且有
1.
dm
(2.4)
dt
mo dt
mo
将式（2.3）代人式（1.42）,得弹道系数为
03
(2.5)
1-μ
id?
(2.6)
× 103
mo
为了得到以μ为自变量的方程，可用du/dt除式(2.1)①等式两边，并利用式（2.3）、
(2.4)、(2.5),得
eff
03
dt
-H(y)F(v)
- (gsing)
(2.7)
d pμ
1-μ
1-μ
上式等号右边第一项是可靠的。对第二、三项中的dt/du可做如下近似替代,即在全主动段内
取其平均值
(2.8)
dμ
式中，p是火箭弹的发动机工作时间，对野战火箭弹就是主动段时间
tk。把式(2.8）运用到式
(2.1)②、③、④中,便得以μ为自变量的方程组
32

第二章
火箭弹道主动段的解析解
αF(v)
dv
eff
-β
1-u
1-u
gtp.coso
(2.9)
dy
tp
vsing
dμ
dx = (coto)dy
H(y)
式中
(2.10)
μK
gtP sing
(2.11)
K点弹道诸元的计算公式
2.2
速度公式
2.2.1
由式(2.9)①知,对积分,需要依赖于α中的H(y）及β中的 sin8。但考虑到其中二、三项
是较次要的项,故可以把 Hy）和 sinβ取某一平均值。这样,就可对①式单独积分。另外,在主
动段及滑轨段的速度变化规律，在形式上都遵循①式，只不过在滑轨段时的为%而已。这
样，为避免繁琐起见，就不用分段求，而干脆把滑轨段一起考虑进去，；这样在初始条件
μ=0 =0 时,对①式积分得
αF(v)
uefrK(μ) - J。
dμ -
(2.12)
Bdμ
1-u
(2.13)
式中
K(μ) =
= - ln(1 -- μ)
In
1-u
-u
(2.14)
βdμ = Bu
式中，β系按积分中值定理取成某一常量。
下面专门研究式（2.12）第二项的积分。由于推力加速度远较阻力加速度和重力加速度为
大，因此主动段内火箭的质心运动速度，主要由推力加速度项(第一项）决定，也就是说，-μ曲
线主要取决于uerK(μ）。为了把次要量第二、三两项并人第一项，引进所谓代有效排气速
度”uweff
来代替有效排气速度
ueff,于是得
K(μ)
(2.15)
ueff
33

火箭外弹道学
也是u的函数,不过它的变化很小，对近似计
u eff
算来说,可忽略这一变化。因此，可取以K点为标
准的常数值，即
VK
(2.16)
eff
K(μk)
这样,μ与uerK(μ）-μ曲线,能在原点 o
uerK(u)
和 K 点重合,其间略有相差,如图 2.1 所示。
把ueff
视为式（2.16）所确定的常数时，对式
(2.15）求导数,得
e n
主动段内火箭速度变化曲线
图 2.1
1-u
代人式(2.12）第二项，,得
αF()
μαF(v)
(2. 17)
L(V)
F(v)dv
dμ
e n
1-u
eff
Weff
(2.18)
F(v)dv
L(v)
式中
L（）已根据43年空气阻力定律编成了表（见附表9)。
为了计算方便,有时把式(2.17）变换一下,利用式(2.15),可得
(2.19)
L() = αK(μ)R()
eff
L(0)
(2.20)
R(v)
式中
R（）是 F（）的积分平均值（见附表10)。
在积分式(2.17)时,对变化不大的 α 亦按照积分中值定理,对函数 H(y）取某平均值。
这样，求得K点速度公式为
(2.21)
L(vk) - βμk
uefrK(μk) -
UK
eff
(2.22)
ueffK(μk) -- αK(μk)R(vk) - Buk
UK =
式（2.22）用于一般野战火箭弹。式中 α和β根据经验可取其中的H（y）和 sino为下列近似值
[1 + 3H(yk)]
H(y)
(2.23)
(00 + 0k)
倾角公式
2.2.2
倾角在滑轨段上不变,式(2.9)②式是不存在的。在主动段内,有
34

第二章
火箭弹道主动段的解析解
cos8
gtp cosg
gtp
K(μ)
dμ
uK ueffi
分离变量并积分，得
du
gtp
K(μ)
uxueffμo
1. + sing
(0)
(2.24)
in
cos0
cos
(2.25)
K2(μ)
0.01 K(μ)
≤（8）和 K2（μ）分别列附表11 和附表8。
利用式(2.24）和（2.25）,便得
(2.26)
≤(8k) = ≤(60)
PIKUK
剩下的问题是 μo值如何计算。μo 是火箭离轨时排出火药量的相对值,即与滑轨长 so 相应
的μ值。为此,须考虑火箭滑轨段的运动。在滑轨段,其速度很小,阻力加速度可忽略不计,并且
在已知时，质心位置仅由弹道孤长s确定，于是
dv
- gsinfo
ueff
dt
变为以u为自变量的方程组
Ueff
βBo
dp
1-μ
(2.27)
tp
gtP sing0
Bo
式中
对 ① 式积分得
(2.28)
ueffK(μ) -- βoμ
V=
由于
K(μ) = μ +
在滑轨段的 u 的最大值μo，般不超过 0.03,故取 K（u）～ μ就足够准确了。于是
35

火箭外弹道学
r(og -n)a
ds
tp
(og - n)
μdμ =
So =
2μK
那么
2souK
(2.29)
μo
tp( uefr - βo)
当然,若是 Vo 已由试验测得,那就可以直接根据式(2.28）反求出 μo 来,这样得出的 μo 会更准
确。
K点坐标公式
2.2.3
由方程组（2.9）第③式,将式(2.15）代人，得
dy
K(μ)sing
eff
HK
积分得
tpksing
(2. 30)
Ki(μk)
yK :
ukK(μk)
式中,θ按式(2.23)计算;
(2.31)
K(μ)dμ = (1 - μ)In(1 = μ) + μ
(r)'y
对 K（μ）这个函数也编了表,列于附表 7。
由式(2.9)中④式,积分得
cotody
XK
利用中值定理，有
(2.32)
xk = ykcot
根据经验，这里取
(3cotk + cotoo)
(2.33)
coto
比较合适。
3计算顺序
2.3
为了求K点诸元，须对式（2.22）、（2.26）及（2.30）联立求解，同时考虑到式（2.22）是关于
36

第二章
火箭弹道主动段的解析解
V的隐函数,故需采取逐次逼近的方法。这个方法在高等数学中已有论述。
若已知微分方程为
dy
= f(x,y)
dx
初始条件是
y1x=x
yo
用逐次逼近法解此方程的步骤是
一次近似
yi(α) yo +
f(x, yo)dx
二次近似
y2(α) = yo +
f(x,y1)dx
yn(x) = yo +
f(x,yn-1)dx
当 n -→+ ,则 y(α)→ y(x)。
于是，可写出 K点诸元的迭代形式的联立方程组
K(μk) - an-1K(μk)R(VKn-1) -- gtpsingn-1
eff
VKn
$(OKn) =
$(00) -
(2.34)
μKVKn
tpVKn Sing
Ki(μk)
YKn
μK(μk)
为简化书写形式，现将有关常量记为如下符号：
uefK（μk）（表示不计阻力和重力时的火箭最大速度）
Vp =
tpcok(μk)
B1 =
B2 = gtp
(2.35)
B3
tp
B4 =
ukk(μk)Ki(μk)
于是式(2.34）具有简单形式
37

火箭外弹道学
Up -- BrHn-1(y)R(UKn-1) -- B2sinon-1
UKn
B3
$(0kn) = ≤(00) -
(2.36)
VKn
B4 UKn sinO
YKn
对方程组（2.36）的计算顺序如下：
1.常量计算
（1）计算
μk、K(μuk）、βo并进而计算
μoi
(2)查表: Ki(μk)、K2(μk)、K2(μo)、E(80) ;
(3)计算 Vp、B1、B2、B3、B40
2.一次近似
(1) VKI
Up － B2sino,查表得 R(vki);
(2)≤(0k1） = (80） B3/vK1,查表得 k1,计算 61 =（8o + 0k1)/2;
(3)yK1 =
B4Ukisingi,得到 Hi(y）=【1 + 3H(yki)]/4。
3.二次近似
(1) VK2
Up - B,Hi(y)R(vk1)- B2singi,查表得 R(vk2);
B3 ,02
00 + 0k2
(2)s(0k2) = ≤(00) -
VK2
(3)yk2 =
B4 Vk2sin02 0
如此继续下去，直到 n次近似值和（n－1）次近似值相差在允许的范围内为止。一般应保
证 VKn 和 VKn-1 之
之差在 1 m/s之内。最后根据式(2.32)计算出
已知某火箭弹 d = 122 mm,mo = 49.0 kg,mp = 9.40 kg,tp = 0.640 s,ueff
例题 2.1
1 960 m/s,so = 3 m,i= 1.50,8o= 45°求主动段终点弹道诸元。
1.常量计算
9. 40
(1) μk
0.191 8
49.0
mo
K(μk) = In
ln1.237 = 0.212 7
1 - 0.191 8
1 - μK
0. 640
gsinfo =
βo =
× 9.80 × 0.707 = 23. 1
0. 191 8
2soμk
2 × 3 × 0.191 8
= 0.030 5
uo =
tp(ueff -- βo)
0.640(1 960 - 23)
(2）查表
Ki(μk) = 197 × 10-4; K2(μk) = 2.863; K2(μo) = 1
1. 103; $() = 0.881 37
(3) vp =
uef K(μk) = 1 960 × 0.212 7 = 417.5
38

第二章
火箭弹道主动段的解析解
tpcok(μk)
0.640
B1 =
1.50 × 0.1222
× 103 × 0.212 7 = 0.324
0. 191 8
49.0
B2 = gtp = 9.80 × 0.640 = 6.27
gtp
B3
K(μk)[K2(μx) -- K2(μo)]
6.27
× 0.212 7(2.863 - 1.103) = 12.25
0. 191 8
tp
B4 2
0. 640
ukk(uk)Ki(μk)
× 197 × 10-4
0.309
0. 191 8 × 0. 212 7
2.-一次近似
Vp - B2sin0o = 417.5 -- 6.27sin45o
VK1
= 413.1
查表
R(Vk1) = 7.21
B3
≤(0k1l) = $
12. 25
(0)3
0.881 37 -
0.851 72
VK1
413. 1
= 43'47",61
(60 + 8k1)
K1
1:
(45° + 43°47') = 4424'
B4Uk1sin91 = 0.309 × 413.1 × sin44924 = 89.3
yK1 =
查表得
H(yk1) = 0.991 4, Hi(y)
[1 + 3H(yki)]
(1 + 3 × 0. 991 4) = 0. 993 6
3.二次近似
Up -- BrHi(y)R(vki) - B2sing)
UK2 =
417.5 - 0. 324 x 0.993 6 x 7.21 - 6.27 x sin44°24
' = 410.8
查表
R(0k2) = 7.08
B3
(0k2) =
12. 25
-- (0)3
0.881 37 -
: 0.851 55
VK2
410.8
2 = 43°47 ; 82
O k2
(60 + 6k2) = 44°24'
B4Uk2sin62 = 0.309 × 410.08 × sin44°24'
YK2 =
'= 89.0
查表得
H(yk2) = 0.991 5, Hi(y)
4.三次近似
Up - B,H2(y)R(vk2) - B2sing2
UK3
417.5 -- 0.324 × 0.993 6 × 7.08 -- 6.27 x sin 44°24'
' = 410.8
因为算得
Uk2，k² = kl,故不用再算了。由此得
VK3 =
Vk = 410.8 m/s,0k
= 43°47,yk = 89 m
最后根据式（2.32）和（2.33），得
39

火箭外弹道学
-(3cotok + cot8o) = 89.0 ×
-(3 × cot 43°47 + cot 45°) = 92 m
x = yk ×
增程弹道增速段解法
2.4
增程弹一般用火炮发射，使弹丸具有比较高的初速
Vo。飞离炮口一段路程后，火箭发动机
开始点火，此点火位置以H表示（图2.2）。从H点开始到发动机工作完毕这一段弹道叫主动段
或增速段,增速段时间是 tp。增速段弹道诸
元的增量以如下符号表示：
VKH
VK - UH
k -- H
KH
(2.37)
YKH
YK - YH
(XH, YH)
XKH
XK - XH
对 UKH、OKH、YKH 和 αH 计算，原则上可以运
用上面野战火箭主动段解法的思路，只是
现在需要注意积分的初始条件不是零值罢
火饰增程弹弹道
图 2.2
了。就速度公式而言，当式（2.21）考虑到初
始条件为
VIμ=0 = VH
时，则得
[L(vk) - L(v)] - βuk
K(uk) - -
(2.38)
UKH
eff
UKH
式中
(2.39)
Ueff
(X)Y
β中的仍取为
(0H + 8k)
0 :
(2.40)
α中的可取更简单的形式为
(yh + yk)
(2.41)
对kH计算，由于点火时的速度VH比较大，kH的数值比之野战火箭弹主动段倾角变化值
要小,故可采取更简单方法计算。直接从方程组(2.1）第②式
gcosg
取和θ为某平均值时,得
40

第二章
火箭弹道主动段的解析解
gcoso
O KH
(2.42)
tp
式中 6按式(2.40)计算,而
(UH + Vk)
(2.43)
对 yKH 计算，仍由式(2.9)③式积分，只要注意到速度的表达式为
K(μ)
(2.44)
n + Ha
于是对式(2.9)③式积分可得
(2.45)
YKH = (VHtp + B4VKH)sing
而 αKH 为
(2.46)
XKH = 3
YKHCOt
式(2.45）、（2.46）中的8均由式(2.40）确定。
综合上述，按逐次逼近法写成迭代形式的方程组为
L(VKn-1) - L(vH)
- B2sinOn-1
n = Vp - BrH(yn-1) -
V KHn
VKHn - 1
cosOn-1
(2.47)
VKHn
Un = VH +
KHn
Vn
+ Hg =
(UHtp + B4UKHn)sinen,On :
LYKHn
41

第三章‘
火箭弹道被动段解法
3.1 前
火箭在被动段内，仅受到空气阻力和重力作用，其质心运动规律与普通炮弹弹道是一样
由c、Vo、o三个参数确定,并已编成了《地面火炮外弹道表》，用以查取弹道顶点
的。炮弹弹道由
和落点诸元。但火箭被动段的起点是 K点，多了一个影响弹道的 yK，所以被动段由
CK~UK、OK\
四个参数确定。由于编制四个参数的表过于繁杂，故对被动段的计算还需要求解质心运动
YK
微分方程组。然而,基于被动段与炮弹弹道的共性,在考虑到 yk 影响的前提下,可以充分利用
现有的地炮外弹道表来解决被动段顶点和落点诸元的计算问题。常用解法有弹道分段解法和
虚速法。此外，对反坦克火箭弹及反坦克增程弹弹道，还要用到适用于低伸弹道计算的西亚切
解法。
分段解法
3.2
如图 3.1所示,过 K点作水平面,与被动段交点为 L,则被动段分成两部分：KSL一一习惯
上称为“被动段”;LC—被动结束段。
yi
KSL的弹道解法
被动段
3.2.1
火箭在这一段的运动，相当于将火炮
放在K点发射的炮弹运动。当其他条件相
同时，这时炮弹所受到的空气阻力比从地
Y'.
Y'N
面发射时小，如果直接用
CK、VK、Ok 三个参
量查地炮外弹道表所得到的这部分射程XL
Yk
将会比实际的要小。因为这部分弹道比地
Xl.-
炮弹道高出了 yk这一高度之故。正因为高
出了 yK，则任意点的空气阻力加速度都减
图 3.1
弹道分段
小了一些。在任意点N的阻力加速度比在
地面上的K’点发射时要小的程度，可以从阻力加速度的表达式看出。由于
CkH(y) F(u,c,) = CkH(yk + yn)F(u,c,)
42

第三章
火箭弹道被动段解法
而 H（）利用近似表达式（1.37),其值为
H(y)
= exp(- β'y)
H(yk + yn) = expl- β(yk + yn)) = exp(- β'yk)exp(- β'yn) = H(yk)H(yn)
从而
CkH(yk) H(yk) F(v, c, )
CkH( yk)
(3.1)
CK
ax = c*H(yn)F(,c,)
(3.2)
上式说明,在K点发射时,若忽略 yk引起的声速的变化,弹道上任一点所受阻力加速度为地面
发射时的 H（yk）倍。由于弹道系数和空气密度函数均与阻力加速度成正比关系，故可以把
H）的减小量看作是弹道系数的减小量。这样一来，火箭从K点发射由 cKUk、6k、yk所决定
的弹道KSL就与从地面上发射由c、UK、k所确定的火炮弹道一样了。不言而喻，由
CK、UK、OK
查地炮外弹道表，就可以得到以K点为坐标原点的顶点S和L点弹道诸元：XL，YL，TL，UL，I6L1。
被动结束段LC的弹道计算
3.2.2
分三种情况，是对Ｉ「很小的低伸弹道要用到下面将介绍的西亚切解法：二是丨|不
解。
对第二种情形，易知
(3.3)
XLC = }
Ykcot I L!
该段的飞行时间为
YK
(3.4)
=
Uisin I L I
对第三种情形,不妨选取 K'为新的坐标原点,将 KSLC 用弹道曲线= f(α）表示,对此在
α = XL处邻域内展成泰勒级数
(△x )3
(△x )2
+ f"(Xr)
(3.5)
y = f(XL) + f'(XL)Ax + f"(Xi)
2!
3!
[f(XL) = yL = yk
式中
(d)
f'(Xr)
tan = -- tan I I
dtang
f"(Xr)
dx
(3.6)
xL
[%(-最)
2g. dvx
f"(XL)
TI xp
xL
CkH( yk) G(VL , CsL)
Vicos3 OL
43

火箭外弹道学
==()(9)
时,= yc = 0,那么式(3.5)成为下式
gckH( yk) G( VL, CsL).
(3.7)
Y tan I 1 xic +
X LC
2v2cos30L
3vicos3 6L
解代数方程（3.7）就可以得到
αLC。显然式（3.3）是式（3.7）的最简单情况。
火箭弹道顶点和落点诸元
3.2.3
根据上面求得的结果，可得全弹道有关诸元为
X = α + X + xLC
YL
T = tk + TL + tuc
(3.8)
CVL
c f
简短的评价
3.2.4
这种解法计算简单而迅速，尤其在火箭弹方案设计，或对准确性要求不很高的弹道计算
中，常用此法。但有一定误差,来源于以下两方面：
（1）声速 c，因高度yk引起的变化,在把
KSL当作地炮弹道计算时未进行修正。
(2）对空气密度函数用了近似公式（1.37）,也带来误差,其误差大小可见下表。
H(yk)
H(y - yk) = H(yn)
H(yk) H(yn)
H(y)
误差
y/ m
Yk/ m
0. 744
500
0.781
0.4%
0.953
3 000
0.741
0.745
0. 907
0.821
0.5%
1 000
0. 704
0.671
0.953
0.4%
500
0. 741
0.7%
4 000
0.673
0. 668
1 000
0. 907
0.9%
0. 781
0.674
0.863
1 500
由上表可知，yk不大时,误差是很小的；当 yk较大时,误差会增加。
对 yk影响的全面修正法,可以利用朗日文定理(参阅《外弹道学》)。
已知某火箭弹弹道K点诸元及有关参数为：Ck
例题 3.1
0.564 , VK
410.8 m/s.
= 92 m,tk = 0.64 s,求其弹道顶点和落点诸元。
89 m, xk
1.XL、YL、UL、1I、TL等计算,用第一章1.9节的列表法
CkH(yk) = 0.564 × 0.991 = 0.559
CK
由c、K、Ok查地炮外弹道表,查得诸量及插值结果列出表格。
44

第三章
火箭弹道被动段解法
2.被动结束段计算
由于 yk较小，1 6zI较大,可用式(3.3)、式(3.4)计算
= 70 m
ykcot 1 Gz 1 = 89cot 51°38"
89
YK
0.404 s
281 x sin 51°38
Uusin L i
3.全弹道落点和顶点诸元
89 + 2 904 = 2 993 m
Vc ~ VL = 281 m/s
1 6c 11 01 51°38°
40°
450
43°47
1o/(m s-1)
诸元
400
420
410.8
400
410.8
410.8
420
0. 55
10 168
10 430
10 654
10 272
10 537
10 763
Xr/m
0.559
10 380
10 459
10 485
0.60
9 904
10 361
9 997
10 151
10 246
10 458
2 530
0.55
2 452
2 597
2 945
3 038
3 119
Yi m
0.559
2 521
2 904
3 027
2 407
2 482
2 546
0.60
2 889
2 978
3 054
0.55
276
281
280
278.7
283.2
286
281
0. 559
277.6
V/(m- s-)
282. 1
270
0.60
285
274
272.7
277.2
280
0.55
4737
47'52'
48°04
52°31
5255
52°44'.
4757
0.559
51:38
52°49
0.60
48°20
48°05
48'32"
52058'
53°11'
53922
44.47
0.55
45.68
45. 12
48. 76
49.47
50. 08
Tt/ s
45.04
0.559
48.33
49. 38
0.60
44.68
44. 06
45.21
48. 30
48.98
49. 56
虚速法
3.3
虚速法的实质
3.3.1
虚速法又名等效弹道法。其关键在于寻求具有同火箭被动段同样弹道系数的等效炮弹发
射条件-—一初速 vo和射角o如果这一炮弹飞达 K点时,亦具有速度 vk和倾角Ok,那么 K点
45

火箭外弹道学
之后,该炮弹弹道便与火箭被动段完全重合。根据弹道特性，是容易理解的。因为由
CKUK、O
yk 所确定的火箭被动段是惟一的,这就必然导致了两条弹道的一致性。这种一致性,归根于二
者都遵循同样的微分方程组（1.62）所确定的运动规律。至于如何求得等效炮弹的发射条件，
也是容易解决的。根据微分方程组
dy
= - ckH(y)F(, C,) - gsing
g cos0
(3.9)
dy
vsinG
dx
VCOS
下进行数值积分，便可
在已知条件
CKUK、OKyK
求出等效炮弹的发射条件vo和。以及发射点
到K点的水平距离αk(图 3.2）等,习惯上称 o为
虚初速,称θ。为虚射角。于是由
CKVo、6o 三个参
量查地炮外弹道表得到等效炮弹弹道的顶点和落
点诸元：
X, Y, T, c,Oc
00
00
因而，实际火箭弹道落点和顶点诸元便为
X = X- x+ α
等效炮弹的发射条件
图 3. 2
Y-Y
T- tk+ tK
(3.10)
cc1
综合上述，虚速法就是把火箭被动段看作某等效炮弹弹道的一部分，求得炮弹发射条件
后，利用地炮外弹道表间接可获得火箭弹道有关弹道诸元的方法。
Vo.bo~t和xk
的近似计算
3.3.2
现介绍一种利用微分方程组(3.9）来求解o、0o、tk和αk的解析方法。无疑,这需要对方程
组作某些近似处理,才能达到求解目的。方程组（3.9）中，F（,cs）是一个随递增的函数,需
要把重点放在对它的处理上；而且，无论哪一种弹道近似解法，都差不多把重点放在这一问题
46

第三章
火箭弹道被动段解法
上。由于在 yk 范围内的声速c，变化甚小,可取地面标准值,于是 F（,cs）= F（)。这里,将把
F（）用直线型函数替代,因为考虑到vo与k相差不会很大,加之F(）-曲线变化比较平缓，
尤其是在>350 m/s时与直线较为接近,这可从图1.10看出来。总之,在k和vo的范围之内，
用直线型函数代替F（）-V的实际函数是完全可以的。不妨采取如下形式
F()
(3.11)
)=-Fo+Fy
式中，Fo和 F"是依据所取的区间而确定的常数,可由表3.1查取。查表时,须考虑到 vo比 Uk
为大。Uk一般不应大于所取速度范围的中间速度,以保证能使 vk 和vo在同一区间之内。
表 3.1
Fo与 F"与的关系
Fo(m - s? - kg-1)
Fo(m · s? · kg-1)
F'(m?· s kg-1)
v/(m * s-1)
F"(m? · s· kg-1)
w/(m * s-1)
27.3
0. 144
1.79
0.0239
400 -- 600
100 ~ 200
31.0
0. 148
3.22
0.0415
500 ~ 700
150 250
40.0
0. 162
8.28
0. 0524
600 ~ 800
200 - 300
53.8
0. 180
56. 0
0. 214
700 -- 900
280 ~ 330
74. 9
0. 203
0. 241
64. 9
800 ~ 1 000
300 370
95.0
0. 226
40.2
0. 173
900 ~ 1 100
330 ~ 400
125.0
0.253
0. 148
30.0
1 000 ~ 1 200
350 ~ 450
为求vo,用式(3.9)③式去除①式,并将式(3.11）代人得
Bo - B'v
dv
(3.12)
dy
using
Bo = ckH(y)Fo - gsing
式中
(3.13)
CkH(y) F"
在下面的积分过程中,可把 Bo和 B’取为常量,且取
Ok + 00
(3.14)
YK
yy
将式（3.12）分离变量积分,得
Bo
.vdv
dy
sing J.
1-
Bo
由积分表中的积分公式可得
以后凡符号顶上加横线“”者，般表示平均值，只有个别情况例外。
47

火箭外弹道学
()(
Bo
B"
B"
B"
- (1-
11-
VO
VK
-Bo
Vo- lnl 1 -
Vk - ln!
Bo
Bo
sing Yk
现已编成一个函数表(附表12),定义为
(x)=1-αx-ln11-x!
(3.15)
则得
B'2
(3.16)
Bosind yk
下面再求6，用式（3.9)①式除②式，并将式（3.11）和（3.13）代人，得
d8
gcose
(Bo - B'v)v
dv
分离变量并积分
dv
Bo Ji.
B"
cos6
1 -
利用积分公式
dx
xq + D
x(a + bx)
o( 1 -
UK
Bo
(00) = $(0k) --
(3.17)
Bo
UK
VO
Bo
为了求tk,由式(3.9)①式
dt
dv
Bo -- B'y
ap
In | Bo - B'v [
B'
Bo - B'v
VO
Bo
(3.18)
tk =
B"
B"
1 -
VK
Bo
(3.19)
Xk = ykcoto
根据经验，此处θ*取为加权值
(3.20)
0 + 0.55(00 - 0k)
用例题3.1的数据，以虚速法求弹道顶点和落点诸元。
例题 3. 2
48

第三章
火箭弹道被动段解法
解　1. 次近似
(1)求 Vo
YK
44.5; H() = 0.995 6,查取 Fo = 30.0, F"
0.148
Bo = cxH(y) Fo - gsinx = 0.564 × 0.995 6 × 0.30 - 9.80sin43°47"
10.07
B' - ckH()F"
, = 0.564 x 0.995 6 × 0. 148 = 0.083 1
0.083 1 × 410.8
3.390
VK
10.07
B'? yK
(0.083 1)2 × 89
= 0.088 2
Bosing
10.07 x sin43°47'
B'UK
$(3.390)
- 3.261 3
B'Vo
= - 3.261 3 - 0.088 2 = - 3.349 5
Bo
反查Φ（×）表,得 Bvo/Bo= 3.452 4,由此得虚初速为
3.452 4 x 10.07
418.4 m/s
VO
0.083 1
(2)求9
(8k) = 0.852 09
vo( 1 -
VK
Bo
9.80
418.4(1. - 3.390)
in
= - 0.007 171
B"
410.8(1 - 3.452 4)
Bo
10.07
VO
Bo
(8o) = 0.852 09 - (- 0.007 171) = 0.859 26
查表得6= 4406
查表得
2. 二次近似
(1)求 vo
Bo ckHl
Fo- gsin
B'K
0.083 1 x 410.8
B' = 0.083 1;
3.397
Bo
10.05
B'? yk
0.088 12
-(00+ 00)
Bosin
49

火箭外弹道学
B'UK
B'Vo
= - 3.271 2; Φ
= - 3.271 2 - 0.088 1 = - 3.359 3
Bo
B.
反查表得 B'vo/ Bo = 3.459 3,则 vo = 418.4 m/so
(2)求0
vo( 1 --
UK
Bo
9.80
418.4(1 - 3.397)
In
In
= - 0.007 184
410.8(1 - 3.459 3)
Bo
B"
10.05
1.
VK
(0o) = 0.852 09 - （- 0.007 184) = 0.859 27
6o = 44°06'
由于二次近似与一次近似已相等（或者可略有误差），故以二次近似中求得的结果作为需
求值，即
00 44°06"
Vo = 418.4 m/s,
3.求xk
k + 0.55(0o- 6k) = 43°57"
89 × cot 43°57" = 92.3 m
xk ykcoto
4.求tk
1-
VO
-Bo
(- 2.459)
In
= 0.308 s
IK
B'UK
B"
(- 2.397)
1 -
Bo
5.求等效炮弹弹道顶点和落点诸元
已知 ck = 0.564,Vo = 4
418.4 m/s,0= 44°06'。用与例题 3.1 相同的列表插值法求得
X = 10 618 m; T= 49.04 s, Y = 2 993 m, c = 2
283 m/s, 1 6c I = 52°10
根据式（3.10），得弹道顶点和落点诸元
Y = Y= 2 993 m,Vc
283 m/s
VC
1 c = 1 cl= 52°10
T = T- tk+ tk = 49.04 - 0.31 + 0.64 = 49.37 s
上面结果与用分段法计算结果比较,除落角、落速相差较大（32'和2 m/s）外，其余结果均
50

第三章
火箭弹道被动段解法
比较接近。但落角、落速应以虚速法计算结果为准,因为分段解法近似取 Ic！=1LI和 c
会带来一定误差。
VL
西亚切解法及其应用
3.4
任意点弹道诸元和西亚切辅助函数
3.4.1
西亚切解法是一种火炮弹道计算的方法。在外弹道表编出以前，它是一种主要方法；外弹
道表编出后，由于表的射角间隔为5°，不能满足小射角（尤其是5°以下）的低伸弹道的要求,因
而西亚切解法仍有它的作用。直到目前，低伸弹道表虽已编出，但某些特殊情况下还是要用到
西亚切解法。比如火箭弹道被动结束段公式（3.3)，当1LI很小时误差就很大。因为
cot|L I（当1I很小时）是一个变化非常剧烈的函数,但可借西亚切解法求解。所以，,掌握这
一解法是很有用处的。
根据方程组（1.63）可得
dvx
-- cH(y)G(,C,)
dx
dP
dx
(3.21)
dx
dt
dx
α=0时,=
Vocoso,P = tando,y = O,t = O。为了求得解析解,针对低
初始条件是：当
伸弹道的特点,可以将其简化。首先考虑到弹道低伸,可取声速为地面标准值,并取 H（y）= 1。
另-一方面,全弹道 θ 很小,cos 就同 cosOo 相差不多,可用 coso代替 cosO,就等于用
(3.22)
cos80
代替vx/cosの，称U为假速度，如图3.3所示。假速度U是真速度v在铅直方向上向初速方向线上
的投影。在绝大部分弹道上,其 1I< o,因而 cos > coso,则< U。而 G(） G(,Cson）是
v的增函数,这样在弹道大部分上,甚至全弹道平均来看,都存在G(）<G(U)。另外，上面用1代
替 H(y）也略偏大。综合上述两方面,式(3.21)①的 H(y)G(,cs）可用 G(U)cos。替代,即
H(y)G(v,c,) = G(U)coso
(3.23)
G(U)乘上cosbo,是由于 G(U)将大于H)G(,c）,以用一个小于1的 cos来补偿之故。式
（3.23）就是所谓西亚切替代”。用此替代后，方程组（3.21）便可对各式一一单独积分了。
将式（3.23）代入式(3.21)①,则有
51

火箭外弹道学
80
图 3.3
假速度和速度的关系
d( Ucosfo)
= -- cG(U)coso
dx
分离变量得
dU
(3.24)
G(U)
引进一个函数
2 000
dU
D(U) =
(3.25)
G(U)
将式（3.24）自射出点积分到弹道上任意点，则得
1[D(U) - D(vo))
(3.26)
再引进函数
2g
72 000
r2 000
(U)
I(U) =
A(U) =
dU,
G(U)
U? G(U)
r2 000
dU
T(U) =
(3.27)
UG( U)
可将方程组（3.21）变成如下以假速度为自变量的任意点弹道诸元的公式组
1[D(U) - D(vo))
x:
tang tanfo --
[I(U) - I(vo))
2ccos?60
A(U) -- A(Vo)
-(o)
(3.28)
【T(U) - T(vo)]
ccos? 80
cos0o
cos8
式中，D(U）、I（U）、A（U）和 T（U）叫做西亚切主要函数，已用43年空气阻力定律编成了表，
见《地面火炮外弹道表》第二部分。
52

第三章
火箭弹道被动段解法
根据弹道落点yc =0和弹道顶点6s=0的特点，也可用式(3.28)来计算弹道落点和顶点
诸元。但由于计算过繁，因而引出计算较简便的所谓西亚切辅助函数。
对落点，式(3.28)③变成下式
A(Uc) - A(vo)
(3.29)
) = csin260
) - I(vo)
D(Uc) - D(vo)
由式(3.28)① 知
) = cX + D(vo)
(3.30)
D(Uc)
此式说明落点的假速度是 cX 和 vo 的函数，只要 cX 和 vo 给定，Uc 也就惟一地被确定。可见式
(3.29）等号左边也是 cX 和 Vo 的函数,即
A(Uc) -- A(vo)
(3.31)
fo(cX , Vo)
) -I(vo)
D(Uc) - D(vo)
则式（3.29）可变为下式
(3.32)
) csin280
fo(cX, Vo)
若将 fo（cX,Vo）乘以语/cX,其乘积仍然是 cX 和 vo 的函数,并用 fi（cX,Vo）表示,得
vesin200
(3.33)
fi(cX, Vo)
为求落点1c,将式(3.28)②除以 tan8得
I(Uc) - I(vo)
tan 1 c 1
csin280
tanfo
将式(3.32)代人，有
I(Uc) - I(vo)
tan I c I
(3.34)
f2(cX, Vo)
=-1+
tan00
fo(cX , Vo)
应用上面同样的原理和方法，可得 Y、αs 和vc与（cX，Vo）的函数关系。综合起来得到下列诸式
) = csin28o
[fo(cX, Vo)
vesin280
fi(cX, Vo)
tan 1 ec 1
f2(cX, Vo)
tan80
Vosindo
f3(cX, Vo)
(3.35)
f4(cX, Vo)
cos00
xs
fs(cX, Vo)
f6(cX, Vo)
Xtando
53

火箭外弹道学
道表》第二部分。
应用辅助函数计算 6。< 5°的弹道，与精确结果比较起来是足够准确的。为了扩大西亚切
解法的使用范围,对 o>5°的弹道,可对西亚切替代加一修正系数 β,则
H(y)G(v, c,) = βG(U)cosfo
(3.36)
代人到式(3.21)①可得
dU
(3.37)
dx
c' G(U)
式中
(3.38)
比较式（3.24）和（3.37），所差之处，仅是将弹道系数c 用c替代，所以没有必要重复上面的推
导过程，只要把弹道任意点诸元公式及辅助函数中的c以c'替代就行了。现在的西亚切辅助函
数是以 c'X和Vo为自变量的。按理,对不同的弹道诸元 X、Y、T、,应有不同的修正系数 β;。但
为了简单，只是在保证射程X精确可靠的前提下确定一个修正系数，叫做主要系数，它随弹道
的不同而变化。就是说,β是由c、Uo、6o三个参量所确定的,即
β = β(c,Vo,00)
它随c、Vo、8的变化较缓,故β表的篇幅不大，见《地面火炮外弹道表》第二部分,计算表明,用
此 β计算其他量,在 %<15°时还是足够准确的;只是 6较大时,误差才显得大些。
西亚切解法除直接用来求弹道顶点和落点几个弹道诸元值外，还有其他一些特殊用处。
西亚切解法的其他应用
3.4.2
1.直射距离的计算
直射距离是指弹道顶点高度等于目标高度时的射程。目前，一般所指直射距离多是指目标
高度为2m而言。这是评价反坦克武器和步兵武器的一个重要参量。利用西亚切辅助函数，可
以推导出X和的关系式。由
vesin280
及 f6 =
Xtango
相乘得
2v Ycos?6o
fif6
X=
o V Ycosfo
fife
由于弹道低伸,o很小,可取 cos6o ～ 1。又记
54

第三章
火箭弹道被动段解法
Kx -
(3.39)
fif6
便得射程公式为
X - KxvoVY
(3.40)
当 Y给定时，即为直射距离公式。
现已对Kx编成了以vo和c/Y为表头的函数表（见附表13)。这样，公式(3.40）的计算就简
便了。至于 Kx表的来源,可作如下说明。
将式(3.40）两边乘以弹道系数 c,得
cX = Kxvo - c/y
(3.41)
因式(3.39）定义的Kx仅是cX和Uo 的函数,那么式(3.41）仅有三个变量，即cX，Uo，cVY。这就
是说,由给定的 Vo 和 c √Y 可惟一地确定cX。从而也就惟一地确定了 Kx,即 Kx 是vo 和 c Y 的
函数。
当初速 vo < 250 m/s 时,Kx值随vo 很少变化,仅由 c/Y查vo = 250 m/s栏下的值即可。
可根据式(3.40)和 Kx表中的数值,考虑当 Y= 2 m时的直射距离 Xzh所依赖的主要因素。
在 Kx表中取典型的初速值vo等于500、1000、1500m/s三个值,取弹道系数在1到7的范围内，
则可得出如下相应的值
1.2 0.93
Vo = 500 m/s
VO
X.
zh
1.2 ~ 0.81
Vo = 1 000 m/s
VO
1.2 ~ 0.73
Vo = 1 500 m/s
VO
这说明,初速o是决定直射距离 Xzh的主要因素。在相当多的情况下，Xzh与 Vo的比值在数值上
具有1的数量级。然而，弹道系数的影响也是不可忽视的，减小弹道系数将使 Xzh 扶
提高，尤其对
大的直射距离更为明显。
对反坦克火箭弹和增程弹的直射距离,则主要以最大速度 Uk 为依据。它对 Xzh 的影响，与
上述情况大致类似。由此可以粗略地说，反坦克武器的直射距离是以接近于1比1的速度值换
来的。
2.速度换算
斐 o,往往不是直接测得的；由于后效作用，只可能测出距炮口
对火炮或增程弹的炮口速度
某一定距离 α处的速度,这可由式(3.26)换算为
D(vo) = D() - cx
(3.42)
对弹道上任意两点的速度值都可相互换算。
55

火箭外弹道学
3.求弹道顶点 S.处的速度vs
往后对旋转弹作飞行稳定性校核时，需要知道 vs之值。目前《地面火炮外弹道表》中没有
编出此量，只有当 Vo>700 m/s时,才可借高炮弹道表查取。也可借式(3.28)②、两式求得
cβ),但有一定的误差。
(式中的 c 须改用c’ = c
4.反坦克火箭增程弹弹道起始段和被动结束段的计算
作为西亚切解法的运用，首先介绍如何求得反坦克增程弹点火点H处弹道诸元。由式
式（3.28)①可得H点处的假速度UH，然后代人式(3.28）其余各式就可算出SHYH、tH和VH值
得注意的是，式（3.28)③的括号还可借助式（3.31）定义的fo函数，此时有
A(UH) -- A(vo)
fo(cH , Vo)
) I(vo)
D(UH) -- D(vo)
于是便得
fo(cVH , Vo)
(3.43)
tango -
XH
YH =
2c cos?o
关于被动结束段（如图3.4所示），在已知L点弹道诸元的情况下，如何确定
XLCtICVC
Ic1。在3.2已指出，当1很小时,亦可借助西亚切解法求解。
Yk
被动结束段
图 3.4
因已知弹道系数 ck及VL、QL、yK，由式(3.28)③,其中括号内的值可借fo函数,为
A(U) - A(vo)
) - I(vo) = fo(cx, vo)
(3.44)
D(U) - D(vo)
运用于被动结束段时,将L视为火炮射出点,则落点C对L点的y值为－yk，于是由式(3.28)③
XIC
fo(CkXIc, VL)
Xictandt --
yK = ?
2ckcos?0i
(3.45)
xucfo(ckxic,V) + Ckxicsin2 1 Q 1 = 2ykCkcos?0L
56

第三章
火箭弹道被动段解法
由上式通过计算，就可以把αxuc求出来。然后将此xuc代人式(3.28)①,有
D(Uc) = D(Ut) + ckic
(3.46)
序 Uc代人式(3.28)②、④、③,便可算出 c、tuc 和 vc。
便得到落点假速度 Uc,再将
57

第四章椭圆理论
现代武器发展很快，射程和威力都已达到了惊人的程度，即使对于战术武器来讲，其射程
对这种远程弹道，其大部分已脱离了稠密的大气层（高度约为30km），因
也能达到 1 000 kmo
而可应用椭圆理论来计算弹道。所研究的对象是定质量物体在地心弓引力场中相对于惯性坐标
系的运动，在研究中，可以既不考虑空气阻力，也不考虑地球旋转的影响，但重力的大小和方向
变化是要考虑的。
方程的组成和积分
4.1
对地球采用圆球模型。如图4.1所示，重力G的方向指向地心。可选取一极坐标，以固连
于地球的一直线Oel为基准,则质量为 m的火箭位置由矢量r的大小r及极角完全确定。不
妨取π和为广义坐标。现只有一个重力作用于火箭上，此重力G的大小为
(A)
(4.1)
mgA
式中，gA和rA表示弹道起点A处的重力加速度及起点到地心的距离。
根据拉格朗日方程
(%)
(4.2)
Q:
be
可以把运动方程式建立起来。从图4.1可知，速度
2 + (m)2
(4.3)
火箭的动能为
+ +292)
(4.4)
Oe
现广义坐标 qi为r和n,仅在G的作用下,相应的
火箭仅在重力场作用下的运动
图 4.1
广义力为
ar
Q, =
ar
(4.5)
ar
Qn
对坐标r的微分方程,须预先求出方程（4.2）等号左边各项
58

第四章
椭圆理论
最()
mr?,
mr
mr
ar
ar
将它们及式（4.5）中的第一式代人式(4.2),便得
(4.6)
r m
对广义坐标 ,有
0.
() = 0
(4.7)
则得方程
方程（4.6）和（4.7）是被用来近似决定弹道火箭和地球卫星运动特性的椭圆理论的基础。
对式（4.7）积分,得
(4.8)
= Ci(const)
应当指出，式（4.8）可以由动量矩定理直接得到。因为仅在有心力场的作用下，外力矩为
零，动量矩是守恒的，故
Ci（常矢量）
rxy=
Ci同r 和正交,因之r 和总在同一平面内，火箭运动是共面的，C,是动量矩示性数。
若以θ表示速度矢量与当地水平线间的夹角，则式（4.8）可写成下列等式
(4.9)
该式具有积分面积的意义，它表示矢径┌在等时间间隔内所扫过的面积相等。
下面着手建立 r与之间的函数关系。由于
dr dr
dr
dr
再考虑到将式（4.8）代入式（4.6），则式（4.6）变为下式
C?
()
dr
gA
dr
积分得
BATA
(4.10)
- 2
C2(const)
由于Ci = 1
vcoso,r =
vsing,故
(4.11)
于是从式(4.10)知
BATA
² - 2
(4.12)
59

火箭外弹道学
不难看出，C2实际上是火箭的总能量除以 m/2,它是-个能量示性数。又因为
tpp
dr.Ci
dn
p up
将它代人式（4.10),并略加整理后,得
dn =
dr
C?
2gAr
C2 -
查积分表得
gATA
_二 arcsin
BATA
C2 +
(4.13)
1 - esin(n -- K)
VAcos? 0A
（R为通径）
R1 =
(4.14)
式中
gAr?
gA
将Ci和C2的表达式（4.9）及（4.12）代人，并令弹道起点的两倍动能与势能的无因次比为
VA
(4.15)
gATA
1 + v(v - 2)cos?6A
(4.16)
为了确定系数 K值,考虑在弹道顶点 S 处有
(dr/dn)s = 0,且取 ns = 0(图 4.2),对式(4.13)
求导数,得知在 S点 cosns～ K）=O,故 ns－ K =
= －元/2。于是式(4.13）为
π/2,则 K
弹道对称轴
R1
(4.17)
1 -- ecosn
由解析几何知道，这是极坐标系中的锥形截面方
程,其极轴乃是弹道对称轴(过地球中心与弹道顶
弹道对称轴
图 4.2
点 S的直线）。其几何性质由偏心率e确定：
60

第四章
椭圆理论
当 e = 0时,表示圆;
当0< e< 1时,表示椭圆;
当 e = 1时,表示抛物线;
当 e > 1时,表示双曲线。
P是通径,对应于 e = 0时的圆半径。下面对弹道方程进行讨论。
弹道方程的讨论
4.2
从弹道方程（4.17）及式（4.14）、（4.16）可以看出，弹道完全由弹道起点的速度大小A、速
度方向倾角GA及起点到地心距离rA 所决定。为了清楚地看出速度 VA 对弹道形状的影响，不妨
先取 A = 0的特殊情况进行讨论,此时从式(4.16）得 = 1± e,便有下列四种情况。
（1）当 e = 0时,弹道方程(4.17）变成 r = R1,即以 R,为半径的圆。火箭成了地球卫星;
=1意味着所受到的重力加速度与向心加速度相等。成为地球卫星所必需的最小速度叫做第
一宇宙速度,以I表示,其值为gArA。将式（1.20）代人,则I'（ro/ra）／gorA。若取yA = 30
km,算得 l = 7.876 9 km/s;若取 yA = 50 km,算得 1 = 7.864 6km/s。可见第一宇宙速度随
A 点高度而异，人们通常所指7.9km/s 只是一种粗略的说法。
2,相应的速度叫做第二宇宙
(2)e = 1,弹道为抛物线，火箭将逃逸地球引力场。此时 = 2
Ⅱ= /2I,与上述 yA 为 30 km 和 50 km 相应的
等于 11.140 km/s
速度,以Ⅱ
表示。显然
和11.122 km/so
(3)0<e< 1,弹道为椭圆。因为式= 1±e,所以有两种不同的椭圆，一种< 1,另一种
在1与 2之间,如图4.3所示。对应于 = 1+ e的椭圆A 点为近地点,椭圆不与地球相交;对
应于 = 1一e的椭圆A 点为远地点,椭圆必然穿过大气层和地球体，不可能成为卫星轨道。
(4)e> 1,弹道是双曲线,此时 A >。
直 emin 可由 de/dy= 0求
当 8A >0 时,由 e 的表达式(4.16)知,e 不可能等于零,其最小值
出;由式(4.16）得( 1)cos²A = 0,即 1来确定
/1 - cos?0A
- sinGA
emin
无论速度A多少，都不存在圆运动。那么在什么情况下e≥1，即火箭飞离地球引力场？由式
（4.16）可知，仍然是条件≥2,也就是说,不管A之值如何，火箭达到第二宇宙速度后，总可
以飞离地球引力场。对于<2的椭圆弹道如图4.4所示。当最小矢径rmin之值P/1+e）小于
地球半径时，便是一般远程弹道。从方程（4.17）可知，弹道具有对称性，升弧段和降弧段是对
称的。而且地心到椭圆的最小距离rmin总小于rA，这可将式（4.14）和（4.16）代人rmin的表达式
得以证明：
TAV COS? A
TAV COs? OA
min
1+ly-1l
1 + ( -- 2) + lcosOA
1 + 1 + (y 2)cos?0A
61

火箭外弹道学
TAY
当２>≥1时
TA
1+1v-1l
当O<
<1时
TA
min
2-
因此,在 VA< VI
的条件下，只要A点靠近地球稠密的大气层，那么火箭就必然穿过大气
层回到地球上来，而不可能成为地球卫星。
VA = VI
抛物线
Ha>a >Ia
VA= VII
VA< UI
Oe
VI VAVII
图 4.4
A > 0时的弹道
图4.3
64 = 0 时的弹道
任意点弹道诸元
4.3
椭圆弹道上任意点弹道诸元系指自弹道起点
A飞达任意点M所经历的时间t，M 点的坐标α和
y，M点的速度及弹道切线倾角6(图4.5)。其中
Al
M点的距离α是以地心Oe为圆心、rA 为半径，A点
到M点的地心向径r之间的弧线长，易见
2 βx
(4.18)
(V - )Vi
x=r
须注意的是，弹道升孤段 AS 之极角㎡为负，降孤
OE
段 SB 之极角为正。
任意点M的弹道高为其地心向径r与A点
图 4.5
弹道诸元
地心向径rA 之差，邸
(4.19)
1 - ecosm
62

第四章
椭圆理论
当取 cosn = 1时,便得与最高点 S 相应的最大弹道高Y。
任意点 M的速度,由式(4.12）得
VA - 2gATA(1 - TA/r)
(4.20)
切线倾角由
dy
dy
tang :
dx
dx
dn
可得。由于
Riesinm
dy
dx
TA
(1 - ecosn)2
故得
r?esinn
(4.21)
tang
TAR1
关于飞行时间t，由式（4.8）知
= p
将式（4.17）代人并积分得
(VAcos0A)3
(4.22)
t=
(1 - ecosn)2
gATA
对该式可查积分表得到初等函数的组合表达式。
射程与最大射程角
4.4↓
椭圆弹道弧段 ASB 所相应的地面射程XE，等于弧段 A;B1的长度。由图4.5看出
XE = 2βxYE
(4.23)
式中2βx被称为角射程。为求得2βx，据式(4.17）有
R1
R1
TA
1 - ecos(- βx)
1 -- ecosβx
则得
1 - vcos?0A
cosβx
V(v -- 2)cos20A + 1
L?cos?@A sin?8A
tan? βx
-1
cos? βx
(1 - vcos'0A)2
63

火箭外弹道学
sin20A
(4.24)
tanβx
2(1 - Vcos?0A)
将此式求出的 βx值代人式(4.23),Xe就立即可以求出。例如，当 βx = 5°时，XE= 1112
km。可见对战术武器,其 βx值均在 5°以下。
最大射程角 6Ax
满足aXE/a0A =0的条件。先将式(4.24）变换成下列形式
tanGA
tanβx
tan? + 1 -
易见条件aXe/adA =0与atanβx/atanOA = 0是一致的。而今
v(1 - - tan?0A)
tanβx
tanGA
(1 - + tan?0^)2
即得
tanG AX
(4.25)
V1-y
进一步可求得
a2tanβx
0>
Stan?A l8,= 8
故由式（4.25）所对应的βx是极大值，即得
tanβx
(4.26)
21-y
给定射程下所必需的最小初速的解
4.5
给定射程,就是给定角射程2βx，要根据式(4.24),在βx-定的情况下,寻求使值极小的
条件，也就是求出射角A的最佳值8Aopto由式（4.24）可解出√的表达式
2tanβx
sin20A + 2tanβxcos?0A
4 = 1 + tan?0A,则
分子分母用 cos204 除之,并考虑到 1/cos?0A
tan?0^ + 1
(4.27)
tanβx
tangA + tanβx
2tang^(tangA + tanβx) - (tan?A + 1)
tanβx = 0
(tangA + tanβx)2
tanGA

第四章
椭圆理论
号- βx)
1 -- cos
1 -- sinβx
tandAopt = tan'βx + 1 - tanβx
tan
cosβx
O Aopt
(4.28)
可以进一步求 a/atan?A 的表达式,读者不妨自行验算证明
atan?oAle,=eA
Aopl
故式(4.28)0Aopt
所相应的是极小值，对应的弹道叫做最小速度弹道。
65

第五章
自动瞄准弹道
1引
5.1
现代兵器（尤其灵巧弹)已不局限于全弹道范围内的无控自由飞行状态。为了达到准确有
效命中自标的目的，现今大型远程火箭主动段多采用姿态控制，有的炮弹和火箭弹道末段则采
用自动瞄准技术，即末段制导。也有对弹道某一段采用修正技术,称为修正弹道。人们通常称
有控火箭为导弹，但对无控火箭主动段进行控制或末制导，一般称之为简易控制火箭或末制导
火箭，而不称为导弹。可见，有控弹道不是专属于导弹，其涉及面更广。就力学意义而言,无论
导弹或是火箭，其飞行过程的受控阶段,都作为有控弹道加以研究,没有什么本质区别。况且，
凡是火箭的有控弹道问题,均可以借鉴导弹运动的有关理论加以灵活应用。
导弹是现代战争中广泛使用的武器。与普通无控火箭的主要不同点，就在于导弹具有制
导系统（或称控制系统)-一能使飞行操纵机构动作，保证导弹击中目标或按预先给定的弹道
飞行的全部装置。导弹正是制导系统的控制对象。制导系统的基本任务如下：
(1)确定导弹相对于地球的位置和导弹相对于目标的位置,或导弹与目标相对于观察点的
位置；
(2)根据所确定的导弹与目标位置,发出操纵信号;
(3)依据操纵信号使导弹操纵机构转动,操纵导弹飞行。
在图 5.1中，T表示活动目标（比如飞机）,M表示导弹,导弹与目标的联线 MT称为目标
瞄准线，或目标线。导弹的运动将要受到控制系统的某种约束。如果在飞行过程中，能够使导弹
速度方向总指向目标，即其速度矢量与目标线重合，这就是
T(目标)
所谓纯追踪法。如果让导弹速度指向目标的前方，即要求”与
MT之间的夹角㎡保持为常数,此称之为广义追踪法。还有其他
种的运动参数间的关系，以后将陆续介绍。总之，控制系统根据
预先选定的导弹与目标之间的某种运动参数应满足的关系，将
导弹引向目标。这种运动参数的关系叫导引关系。制导系统按
定导引关系，引导导弹命中目标的方法，叫做导引方法。
(兼者)W
导引方法按弹道形成的形式看，可分成两大类。一类是用
于攻击活动目标的，其特点是这种弹道在发射前不预先给定，
图 5.1
导弹攻击活动自标
要视目标的活动情况而随机应变，如图5.1所示。属于此类的
66

第五章
自动瞄准弹道
有空空导弹、地空导弹及空地导弹等。也有的是
目视控制，如地地反坦克导弹，坦克作为目标是活
正常式
动的，根据其运动情况，通过有线操纵（或激光制
导)控制导弹向目标飞去。另一类是用于攻击固
定目标的，其特点是整个弹道或大部分弹道在发
射前已被制导系统预先确定，如弹道式导弹，人造
无尼式
卫星运载火箭等。这里主要介绍第一类导弹的弹
道。作为攻击活动目标的战术导弹，其弹道的大
部分在稠密的大气层中，因此该种导弹都是有翼
导弹。这类导弹除了尾翼之外，,还有弹翼。对一
式一
般的防空导弹来说，其外形大致有三种类型，即“正
常式”，“无尾式”和"鸭式”,其示意图见图5.2。
正常式导弹又称普通式，其尾翼提供恢复力
图 5.2
反飞机导弹外形示煮图
矩，起稳定作用，弹翼提供升力，以保证导弹机动
飞行。弹翼有可转动的,也有不能转动的，后者需要尾翼转动,这时的尾翼兼做舵面;通过舵面
转动产生控制力，对弹体质心造成一个力矩来转动弹体以形成一个攻角，于是弹翼便产生必要
的升力使导弹机动飞行。可见后者不及由弹翼直接转动提供升力来得迅速，无尾式是以弹翼
兼行尾翼的作用。若以空气动力舵面做操纵机构时，则可将舵面装于弹翼后缘。鸭式乃将舵
面移至重心前方，尾翼与弹翼合并为一。各类弹外形的气动力布局分析，可参阅有关资料。
对反坦克导弹,最常见的外形如图5.3所示。其弹翼的平
面形状，绝大多数都是矩形，或接近矩形。这是由于其飞行速
度大多是亚声速的缘故。当速度更高时，外形将相应改变。
目前在不同导弹上或同一导弹的不同弹道段上常用的制
导方法有以下几种(相应的弹道也以该控制方法而命名）。
(1)自主控制(或称方案控制或预定制导）。其特点是导弹
与目标无直接联系，完全依靠弹内的制导设备（参照弹内或外图5.3
无尾式反坦克导弹外形
示意图
界的某些预先固定的基准），拟制出控制信号，控制导弹按预定
弹道飞行，直至命中目标。它只适用攻击固定目标，或用于地空导弹的起始段一一作为很短的
一段控制，使弹道按一定顺序弯曲，此即地空导弹的自主段。
(2)遥控。依靠设在地面、海上舰艇或飞机上的指挥站来测定目标和导弹的相对位置，并
向导弹发出命令飞向目标。常见的有无线电波束制导、无线电指令制导等。无线电波束制导
是由雷达发射出无线电波束射向目标，该波束一直跟踪目标,随目标的移动而转动。导弹永远
不脱离波束,好似骑在波束轴线上，故波束制导也称之为驾束制导。无线电指令制导又叫指挥
制导，乃由指挥站测出目标和导弹的运动状态，根据预定的导引方法，由计算装置算出导弹相
67

火箭外弹道学
对目标的偏移量，从而给导弹发出指令以便消除这种偏移
(3)自动瞄准。自动瞄准系统也称为自寻系统。它利用目标辐射的能量或目标反射的能
量，向目标自动地引导导弹，所有的制导系统均装在弹体内。其能量有的是红外线，有的为电
磁波，有的为激光。此类制导多为空空导弹所采用，也有的用在地空导弹或飞航式导弹在接近
目标时的末段制导上。自寻制导根据能量来源的不同，又可细分为以下三类：
①主动式自寻制导：导弹主动向目标发射能量（电波、激光等），并接收从目标反射回来的
能量，从而跟踪目标；
②半主动式自寻制导：由指挥站向目标发射无线电波，由导弹接收目标反射的信号，从而
跟踪目标。此种制导由于能源强,故作用距离大,被广泛采用;
③被动式自寻制导：能量发自目标,红外线制导就是其中之一。
除了上述三大类制导方式之外,还可在同一导弹的飞行过程的不同阶段上，采取不同的制
导方式。如地空导弹起初用自主控制，以后用波束制导，最后又用自寻制导。若在一个导弹上
装有两种以上的导引系统者，谓之复合制导。此种方式在于充分发挥不同制导方式的优点，克
服各自之不足，因为自寻制导是离目标愈近愈准确，但作用范围有一定限制；遥控的作用距离
大，但离指挥站愈远（导弹接近目标），则误差愈大。
导弹弹道如同无控火箭弹道一样，首先要解决的也是所谓理想弹道问题。对无控火箭的
理想弹道，是建立在六条基本假设基础上的。类似的情况对于导弹来说，还把控制系统的工作
看成无延滞的理想工作。就是说，人为给定的导引关系是严格保证的，不存在误差，但实际上
误差是存在的。
目前，导引的方法有很多种。多年来，人们把作为拦击活动目标所采用的导引方法分为两
类。一类是适用于自动瞄准制导系统的两点法(导弹和目标）,有追踪法、平行接近法、比例导
引法等；另一类是适用于遥控系统的三点法（导弹、目标和制导站）。前者的某些导引方法遥控
也可以采用。应该指出，目前多采用最优过程理论确定最优导引律。以上这些传统的导引方
法虽然显得过时，但却是学习和研究有控弹道的基本知识，况且像比例导引法和三点法仍在某
些型号中采用，有关人员就有必要掌握这些制导规律。
自动瞄准导弹相对运动方程
5.2
自动瞄准导弹攻击活动目标时，导弹是根据它和目标之间的相对位置及相对运动而导向
目标的。因此，必须研究导弹与目标之间的相对运动。在运动学研究中,通常都把导弹和目标
看成为质点，并近似地认为二者始终在同一一平面内。事实上，地空、空空导弹的实际弹道与平
面弹道差别不大。这个平面被称之为攻击平面，它可以是水平面，也可以是铅垂面，一般为倾
斜面。相对运动方程采用极坐标系。导弹相对目标的位置用极坐标（r，9）表示。导弹与目标
的相对位置如图5.4所示。图中：
68

第五章
自动瞄推弹道
一导弹 M 与目标T的相对距离，MT线被
称为目标瞄准线，简称目标线或视线；
一目标线与攻击平面内某一基准线 α 之
OT
间的夹角，称为目标方位角或视线角，目标线相对
基准线逆时针转动为正；
一导弹、目标速度矢量与基准线 α之
间的夹角，速度矢量相对基准线逆时针转动为正；
导弹、目标速度矢量与目标线之间
的夹角，称为前置角。目标线相对速度矢量逆时针
转动为正。
图 5.4
导弹与标的相对位…
在建立相对运动方程时，可把目标 T看成是
极坐标的原点，而目标T到导弹M的连线为矢径，以r表示。那么所谓相对运动，就是研究r的
大小（为r）和方向（以9度量）的变化规律。由理论力学得知，M点相对T点的相对速度（即
dr/dt）等于 M 点的速度矢量与T点的速度矢量之差,即
dr
(5.1)
y - VT
将式(5.1）投影到r矢量上,就得到描述r大小变化的方程式;将式(5.1）投影到r的垂直
方向上，并考虑到dr/dt在r垂直方向n上的投影即为法向速度，它等于r的模数r与r的角速
度 dq/dt 之积,便得到描述 r方向变化的方程式。于是便得到下列方程组
dr
- VCOSn + VTCOSTT
dt
dq
Usinn - VTSinnT
(5.2)
= OT+ IT
方程组(5.2）的第三、四等式为联系方程,若已知q、α.和αT三个量，n和nT便已知了。
方程组(5.2）包含有六个独立参数：r、qα、OT、、UT。它们是由目标和导弹的运动特性，以
及所采用的导引方法决定的。目标的运动特性，包括其飞行高度、速度及机动性能，都不能预先
确定，但可以选择几种典型的目标运动状态，如等速直线飞行或等速盘旋等。从这种典型情况
的分析中，可以推断出目标按实际飞行的状况。这样，目标的运动特性可视为已知的。导弹的飞
行速度为（t），只要导弹设计参数-一经确定，就完全可以将其速度变化规律计算出来。在研究
导弹按目标导引的运动特性时，可以把（t）看成为已知的。
将方程组（5.2）写成下列形式
69

火筋外弹道学
dr
VTCOs(q - or) -- VcOs(q - )
(5.2*）
bp
vsin(q - α) -- Vrsin(q - r)
式中任一时刻的运动参数 UT 和均认为是已知的,剩下的未知数为 r、q。但方程只有两
个,故它不能确定导弹的运动学弹道。欲确定其弹道,需要增加一个与r、9、有关的方程,即
(5.3)
f(r,q,o) = 0
它表示自动瞄准导弹的导引关系。自动瞄准导弹的飞行控制一般是方向控制，即制导系统只控
制导弹一目标线的角方位或角速度。因此，其控制的对象是目标线相对导弹速度矢量线或弹
体纵轴的位置。目标线与导弹速度矢量线的夹角称为前置角，可设定它为常数，也可确定为
变量。当给定
(5.4)
7=0
时，则导弹速度矢量总是指向目标，此是追踪法或称纯追踪法。若给定
(5.5)
↑ = const
这种导引法叫等前置角法，又称广义追踪法。若控制目标线在空间的方向保持不变，它在空间
保持平行移动，那么
(5.6)
1suo0 = 0b = b
这就是平行接近法。式中，90为制导初始瞬间时的目标线方位角。如果导弹的速度方向变化率
do
与目标线方向变化率是正比关系，即
da
(5.7)
yi
dt
dt
YT
式中K为比例系数,这种导引方法称为比例导引
法。
这样，在已知目标运动规律和导弹速度（t)
的条件下，就可以由运动学方程及导引关系方程
Y'mt
完全把运动学弹道确定下来。应该指出，如此确定
的弹道是导弹在相对坐标系（r，9）中所确定的飞
XT
行路线，即所谓“相对弹道”就是观察者在活动目
标上所看到的导弹运动轨迹。如果要确定导弹的
相对坐标系与地面坐标系间的关系
图5.5
绝对弹道,即相对地面坐标系xoy的弹道，可进行下列坐标变换（图5.5)
= xr(t) - rcosq
XM
(5.8)
= yr(t) - rsinq
YM
70

第五章
自动瞄推弹道
3追踪弹道
5.3
追踪法是最早提出的一种导引方法。这种方法目前已不大采用，但其弹道特性却有启发作
用。首先研究一种最简单的情况，即目标作等速直线飞行，导弹的飞行速度大小不变，并且它的
速度方向永远指向目标。取α轴与目标飞行速度方向平行,如图5.6所示。
导弹运动方程（5.2）简化为
dr
VTCOSq -
dt
(5.9)
dq
= - UTSinq
dt
初始条件
0b = b
ro.
r=
令速度比
(5.10)
UT
追踪弹道所用坐标系
图 5.6
将式(5.9)左右两边分别相除,并分离变量积分,得
dr
sinq
cscqdq -
In -
cotqdq
ro
查积分表，可得
tan
sinq
- ln
ln
pln
sinqo
tan
利用三角函数关系
sing
tan
1 + cosq
可得
(sing )p-1
(5.11)
(1 + cosq)P
式中积分常数
(1 + cosqo)p
C=
(singo)p-1
71

火箭外弹道学
它取决于速度比和初始条件。
式(5.11）就是以目标T为原点，极坐标系内
的追踪曲线方程式，即相对弹道方程。由此弹道方
程可知,要命中目标,就须 r-→0,这只有 p >1,且
9→0时才有可能。而 q= 0,则意味着尾追,即导
弹总是要从目标正后方去击中。利用式（5.11），可
以作出由不同初始条件所确定的相对弹道曲线
族,示于图5.7。
为了易于控制，应该使法向加速度尽量小些，
那么就希望弹道平直些，最好以直线飞行攻击目
追踪法相对弹道曲线族(p > 1)
图5.7
标。由式(5.9)第二式
dq
(5.12)
二 -- TSinq
可知，当以初始瞄准角
q0 = 0°或180°攻击
目标时,则 = 0,目标方位角 9一直不变,
便得到两条而且仅有的直线弹道。但二者
Ag>0
在稳定性和抗干扰方面迥然不同。
Aq<0
180°（迎击）是一条不稳定的直线弹道。就是
说，一旦由于干扰作用使导弹偏离该直线，
产生了一微小的偏差△g（图 5.8)，那么
I△q将不断增大。因为△q所引起的目标
不稳定的直线弹道(q = 180P)
图 5.8
线转动角速度由（5.12）得出
d(180° + △q)
= - UTsin(180° + △q)
d(△g)
UT sindg
可见与同号,如>0,则>0,将不断增大;反之,如q0,则0,将
不断减小而△q1继续增大。所以导弹远离 =180°的直线。
=(尾追）时,与此情况恰恰相反，由△g所引起的角速度为
UT sinq
与反号,若 >,则 0,将会减小;反之若 0,则>0,g将增大即
IqI减小,最后恢复到0°。因此 = 0° 是一条稳定的直线弹道。
此外,由式(5.12）可见,对绝对值小于180°的任何9，当9>0时,则9<0,9将不断减小，
72

第五章
自动瞄推弹道
向 =0 靠近;若 q<0,则△>0,将不断增大,也向 = 0°靠近。所以不管从哪个方向
发射，导弹都会绕到目标后面去尾追（图5.7)。尤其在前半球（1q0|=90°～180°）攻击目标时
也是如此，此时将使弹道十分弯曲，法向加速度过大，这是追踪法的严重缺点。
下面来分析追踪弹道的法向加速度。事实上，每一种导弹所提供的法向力是有限的，因而
在弹道上所允许的最大法向加速度也是有限的。如果导弹转弯过急，致使其法向加速度απ超
过了其最大限度［αn},那么导弹就会失去控制雨无法击中目标。可见对弹道法向加速度的分析
非常重要
导弹法向加速度为
dq
将式(5.12)代人,得
(5.13)
值得注意的是,式(5.13）的导出,并不是从弹道方程(5.11）出发而得到。在和vT一定的
条件下，αn仅是以目标为中心的坐标（r,q）所确定的函数。用数学观点来看，这相当于一个
“势”函数，不过这里“势”的物理意义是法向加速度。为考察目标周围“势”函数的特性，即弄清
目标周围法向加速度大小的分布状况，可以给定不同的法向加速度值αn（i= 1,2,3，），从而
作出等法向加速度曲线。导弹在飞行中的法向加速度大小的变化,亦可从族等法向加速度曲
线判定。当给定一常数αn时,从式(5.13）可得
fan4
WT
(5.14)
sinq
[an3]
Ian2!
该式是极坐标系中的圆方程，圆半径等于
Ianil
m)T/(2！an I)，此圆通过目标 T且与目标速度矢量相
切。给出不同的
anlan2，an3，,就得到一族半径大小不
同的圆，如图5.9所示。显然，仅就数值大小而言，法向加
速度 an 对矢量vr是对称分布的。考虑到 an的正负号并
-lant t
没有多大实际意义，因此在考察 αn 的分布规律时,往往
-[an2]
不必计及其正负号，下面图5.10及图5.11将是如此。
[an3]
由图5.9还可看出，圆半径与法向加速度是反比关
-[an4]
系。如果依式（5.11）作出相对弹道曲线，则它与圆的交
ant]>[an2/>|an3] >[an4
点处的法向加速度就是该圆所相应的法向加速度值；与
等法向加速度圆
图 5.9
弹道曲线相交的最小圆所相应的法向加速度，就是该条
弹道的最大法向加速度。如图5.10中的那条弹道的最大法向加速度，就是在B点相切的一个
圆所相应的法向加速度α。

火箭外弹道学
从理论上可以证明,对速度比 p = /VT<2的弹道,在追
踪过程中，B点以前的法向加速度是不断上升的，从B点到T
点是减小的，直至趋于零。如果最大允许法向加速度
【αn］（>0）给定之后，就可作出与an】相应的等法向加速度
圆,亦可作出与该圆相切的一条弹道。同时可作出与该弹道对
an
VT 相对称的曲线，用斜划线表示两曲线所构成的区域,这个区
域叫做攻击禁区。因为凡是初始条件在该区域之内，其弹道的
最大法向加速度必将超过最大允许值而失控。只有在禁区之
图 5.10
追踪弹道的法向加
外，导弹飞行中的法向加速度才会小于最大允许值。
速度变化过程
下面再看看速度比p对导弹法向加速度变化的影响。将式
(5.11）代人式(5.13),得
T(1 + cOsq)P
(5.15)
C(sing )p-2
由于分母中 sing 有指数(p － 2),且根据前面的讨论,导
an
弹在接近目标时的 9-→0,故分三种情况
(1)当1< p<2时,liman = 0;
4T
(2)当 p = 2时,liman
an
90
(3)当 p >2时,liman
9-0
第三种情况是不容许的，故追踪法导引时的速度比
p受到严格限制,其允许范围为1< p≤2。
综合上面分析，前置角为0的追踪法的缺点很严重：
图 5.11
攻击禁区
①导弹速度受到严格限制②只有一条稳定的直线弹
道，而且是尾追的情况，导弹总是要绕到目标后面去攻击，使之迎面攻击的弹道非常弯曲，为限
制最大法向加速度，导弹不能实施全向攻击，作战空域小。尽管追踪法的导引方法简单，但其实
际意义是不大的（只在某种特殊情况下采用)。
为了扩大攻击范围，人们试图使导弹速度矢量相对于目标线超前一个常值夹角，即常值前
置角，这种导引法被叫做广义追踪法。导弹相对于目标的运动方程可根据方程组（5.2）知
dr
= - VCOS? + VTCOS4
dt
dq
Usin - UTsinq
(5.16)
=a+n
const
74

第五章
自动瞄雅弹道
在建立这组方程时，仍假定目标作等速直线运动，那么总
可把基准坐标α轴取成与VT方向一致。从式(5.16)的第二个方
程知,当
=0时的直线弹道满足
dt
vsinn - vrsinq = O
这就给出了确定直线弹道方向的q角值(在丨qsinn|≤1时）
arcsin(psinn)
91
(5.17)
q2 = π q1
仿照前面对直线弹道稳定性分析法，可以发现前半球的直
线弹道也是不稳定的，只有一条分布在后半球的直线弹道才是
广义追踪法图
图 5. 12
稳定的。除了前半球只有理论意义的一条直线弹道外，所有广
义追踪弹道曲线在接近目标时,都将与 91角所
psinn>0
确定的直线弹道相切。因而迎面攻击目标时的
92
弹道仍将弯曲得很厉害。进一步对法向加速度
分析表明，在对速度的限制方面，广义追踪法
比纯追踪法并没有多少放宽。其主要优点，在
-psinn<0
于对任意起始角9o发射导弹时，可以及时地选
择前置角为 n= arcsin[（1/p)sinqo］,使之得到
广义追踪法直线弹道
图 5. 13
近似于直线的弹道。但这种导引关系使分布在
前半球的可能直线弹道是不稳定的。总的来讲，广义追踪法的导弹速度和攻击位置仍受到较大
限制，并没有克服纯追踪法的严重缺点，因而还需寻求更好的导引方法。
平行接近路线
5.4
平行接近路线是按平行导引法所得到的飞行路线，基本特点是导弹在攻击目标过程中，目
标线在空间保持平行移动。这一导引方法的导引关系为
dq
(5.18)
1suo0 = ob = b
dt
式中，90为目标线在制导初始瞬间的方位角。
由式(5.18）和式(5.2）的第二式可知,这就是要求导弹速度v和目标速度VT在目标线垂
直方向上的分量相等,即（见图5.14)
(5.19)
UTSin YT
vsinn
也就是说，VT和v矢量端点的连线与目标线是平行的。导弹的前置角只有满足(5.19）这-关
系式，才可能沿平行接近路线飞行。式（5.19）可写为
75

火箭外弹道学
sinIT
(5.20)
arcsin
如果目标作等速直线运动，导弹作等速运
动,且按式(5.20）确定前置角，则导弹与目
标二者的速度矢量的延伸线相交于某一点
B(图5.14),B将是导弹与目标的遭遇点。
也就是说，当目标作等速直线飞行时，根据
式(5.20）来选定前置角，就相当于导弹瞄
准目标的遭遇点。如果导弹与目标之速度
比p和目标前置角nT是变化的,那么就必
图 5.14
平行导引法
须按照式（5.20）来相应地改变导弹前置
角，以保证目标线方向不变。在目标作机动
标作等速直线运动时，仅导弹飞行速度的
变化也会导致弹道弯曲。可见按平行接近
法飞行的全部相对弹道是直线，但绝对弹
道则不一定是直线。按照平行接近导引法，
当目标作机动飞行时，导弹的飞行弹道也
将弯曲。然而导弹弹道的弯曲程度要比目
图 5.15
自标机动飞行时的导弹平行接近路线
标飞行路线的弯曲程度小。相对地说来，为
了击中目标，导弹所作的机动比目标的机动要少。根据导引关系式（5.19），两边对时间求导数，
mcOSn + Vsinn = VTITCOSnT + UTsinnT
由于q=+=r
nT + or =
(5.21)
UTOTCOSIT + sinn - VTSinNT
vocOSn =
当和T为常值时,式中后两项为零,则上式变为
COS IT
(5.22)
cos 7
VTOT
式中，ä（VToT）正是导弹与目标的法向加速度之比,即
β an/anTo由于 p = /VT > 1,由式(5.
19）有
sin T
>1
sin
VT
则 >,从而 cos<cos,那么由式(5.22)知
(5.23)
76

第五章
自动瞄准弹道
导弹法向加速度比目标法向加速度要小，就表明导弹的飞行弹道比目标机动飞行时的路线要
平缓。这是在假定式（5.19）导引关系成立和导弹与目标速度值不变的条件下所得到的结论。
然而实际中的前置角不可能绝对准确地满足式（5.20），由于控制过程中有误差，以致可能使不
等式(5.23）遭到破坏;另一方面,当考虑到和T之值有变化时,遭到破坏的可能性更大。但
是，导弹的许可法向加速度一般都能保证作到比目标的大几倍（如2～3倍），这样，目标无论怎
么机动,也难免遭到导弹击中。
总之,平行接近导引法以 dq/dt = 0作为控制系统工作的基础，它保证导弹的相对速度
vr=dr/dt 准确地指向目标的方向,能得到较之目标轨迹更为平缓的弹道,并且导弹的任意位
置都可实施攻击，是一种较理想的导引方法。但是，为了严格保持平行接近法的导引关系【式
(5.19)],对制导系统提出了很高的要求,致使制导系统的设计十分困难,因此目前并未能广泛
采用。
比例导引法
5.5
引言
5.5.1
比例导引法属前置角为变量的导引方法之一。其基本原则就是让导弹速度矢量的转动
角速度与目标线的转动角速度成正比关系，即导引关系为
do
dq
(5.24)
式中
K一一比例系数,又称为导航系数。
将式(5.24）积分，代人初始条件0v90,则
K(q - qo)
(5.25)
αgo =
若 =1,qo=o,则= q,此即导弹前置角 =
0的情形,就是追踪法的导引关系。若 K= 1,90
o+o,那么 =+no,即导弹前置角 =o（常
值),这就是广义追踪法的导引关系。又由式（5.
平行接近弹道
(1/K)do/dt，当 K → α 时,
24)知 dg/dt
dq/dt = 0,这就是平行接近法的导引关系。这些
说明了式（5.24）这个导引关系式可以包括前面所
道踪弹道
讨论过的几种导引关系。为了区别起见，讨论比例
导引法时把比例系数选定在 1 < K< 8 范围内。
图 5.16
几类相对弹道的比较
显然，比例导引法所得到的弹道将是介乎于平行
接近法与常值前置角法之间的弹道，如图5.16所示。对比例导引法来说,最关紧要的问题是如
77

火箭外弹道学
何选取合适的比例系数K之值。在运动学分析中,其基本出发点在于，一方面保证直线弹道的
稳定性;另一方面要求目标线的转动角速度的绝对值191随时间变化而不断减小，从式(5.
24）看出，这就等于保证弹道趋于平缓。
K 值的确定
5.5.2
T=0,那么由方程组（5.2）及导引关系（5.24）可得比例导引时的导弹相对目标运动的方程组
dr
VTCOSq -- VCOSY
dq
-- Utsinq + wsin
dt
(5.26)
dq
do
dt
dt
为了得到直线弹道,在导弹开始运动的瞬间,就必须使9=0,即
(5.27)
vsin no - VTsinqo = 0
而且在直线弹道上各点的 q =
70这是因为
90, =
(1 - K)g
(5.28)
q-=(
在直线弹道上 9 = 9o= 0,从而 = no = 0。式(5.27)表明,导弹相对速度在起始时就指向目
标,乃是直线弹道的基本条件。一般根据 qo值来调整导弹发射装置,以确定满足式(5.27)的 no
值。大于90°的o无实际意义，它意味着导弹背离目标飞行。但假若不能调整no时,那么就只可
能有两个qo值所相应的两条直线弹道了。
现假定导弹偏离直线弹道，出现了一个偏离量△9，那么前置角有相应的变化量，根据式
(5.28)为
△n = (1 - K)△q
此时产生的目标线角速度为
vsinl no + (1.- K)△ql - Vrsin(qo + Aq)
dq
vsinnocos[(1 - K)Aq] + vcosnosin[(1 - K)Aq] - Vrsinqocos△q - UrcosqosinAq
由于和n 很小,且考虑到式(5.27）及 = qo q,则得
d(Ag)
(5. 29)
dt:
显然,为使导弹在飞行中产生的偏离 △β逐渐消除,必须使 d(△q)/dt 与△q有不同的符号,即
[d(△q)/dt]/△q<0才行。所以可把直线弹道的稳定条件写为下式
78

第五章
自动瞄弹道
(5.30)
VTCOSqO
K>1
vcos Yo
据式（5.27）即得
cosq0
(5.31)
K>1-
- sin
q0
(p
不同速度比p的情况下，K
K min +
min
-1/2
sin?qo)-
2cosqo与qo的关系曲线如图5.17所示。
由图中曲线可见,对后半球攻击（I9|<90°）,不
后半球
管 p 为多少,只要比例系数 K > 1,就保证得到稳
p =r 00
定的直线弹道。对前半球攻击（90°
>ob >
p=5
180°），只要K≥2就能使不等式(5.31)满足。总的
p=2.5
前半球
说来,不管导弹从那里攻击，也不管速度比p为多
p=1.25
大，只要选择比例系数 K≥2,就能得到稳定的直
180°
.06
线弹道。
Kmin ～ qo 曲线
图 5.17
应该指出，当起始发射时不满足式（5.27）的
条件，导弹弹道尽管不是直线弹道，但在整个飞行过程中9的变化是比较小的，而且对同一发
射方向（相同的 qo值）而不论 ro多大,导弹击中目标时的qf都是同一数值。可以说明如下。
在击中目标时，f =0,并假定qf 为有限值,则由式(5.26）的第二式
(rq)f = vsinnf - VTsinqf = O
由式（5.28）积分得
nf - no = (1 - K)(qf - qo)
(5.32)
vsin[ no + (1 - K)(qf - qo) - Vrsinqf = 0
sinqf
1 - no
(5.33)
arcsin
qo - qf =
K-il
从式(5.33)看出，9f的确与ro无关。若能使满足式(5.27)这个直线弹道条件，必有
Jb - 0b
%不满足式(5.27),而考虑no=0的情况,式(5.33）则变为
0。假定
singf
(5.34)
arcsin
Jb 0b
K-1
式(5.34)表明（qo－qf)的绝对值是不大的。比如K值常取到3～ 5左右,若取 K= 5,P= 2时，
()
7.50
arcsin
K-1
79

火箭外弹道学
此种情况如图5.18所示。
在一般情况下,介于 0° 与之间
9,0°
9g-180
[这个
即是满足式(5.27）的%）,那么其
全弹道上的|q0-qf1之值还会比式(5.34)
的 /qo -q「要小。显然,与 n*
越接近，
9o - 146.5
9,- 30°
则qo－qf丨越小。根据比例导引关系式便
9g- 142°
可知道，只要K值不是很大，那么导弹的速
度方向变化就不会大，弹道就较平直。
下面再讨论选取K值的另个要求，
qf=90°9=97.5°
即要求191随时间变化不断减小的问题。
no = 0 时的比例导引弹道(K = 5,p = 2)
图 5. 18
如果能够达到这个要求，那就是说，要求
的变化率9的正负号与9相反。根据式(5.26）的第二式两边求导,得
mcosn -- VTqcosq
bu + bi
而㎡ =（1 K)q,代人上式,再考虑式(5.26）的第式,经整理后有
1(Kucosn + 2i)q
(5.35)
显然,使9与9 具有相反符号的充要条件是
Kvcosn + 2r > 0
K>
(5.36)
VCOS 7
在式(5.36）的条件下，lI将随时间变化而不断减小。由于导弹法向加速度αn=
= vKq,
可以看出，αn丨也将是不断减小的。这样的弹道可称为收敛弹道。对收敛弹道来说，丨「或
1αn1的最大值将是在起始发射点,因此应该尽量使 no接近
n*，以减小！qo和！！的数值。
图5.19表示出不同K值时收敛弹道9和。的变化规律。
Col
K,>K2
K,>K2
002
不同 K值时收敛弹道9和。的变化
图 5. 19
80

第五章
自动瞄准弹道
图中K,和K2都满足式(5.36),弹道1和弹道2的其他条件相同，由于K,较大，导弹在初始
段转弯较快。可见比例系数K值不能过大。此外，K太大时，9的微小变化，将引起。的很大变
化。这不仅对限制最大法向加速度的要求是不允许的，而且从保证制导系统能稳定地工作而
言,也是不允许的。』讠！是相对接近速度,导弹从不同方向发射,其！「值是不同的。尾追时，
」I= ～T;迎击时，I丨= ＋T因而从不同方向攻击目标时所需要的 K值是不同的。如
考虑到全面兼顾,并注意到最严重的情况(1I= +T,=0),则
2( + VT)
K>
由于 T< ,若取 K ≥4，一般来讲就可以满足从任何方向命中目标的要求。
最后指出，当目标作变速机动飞行，且导弹变速飞行时，对K值所要求的条件仍为式(5.
36)。欲证明这点，可将式（5.2）第二式求导并利用其余三式及式（5.28）得
= - (Kvcosn + 2r)(9 - q*)
(5.37)
b.
Vsin - UTsinNT + VOTCOSNT
(5.38)
式中
Kcosn + 2r
是时间的函数，当 Kucosn ＋2π ≠ 0时是有限值。由式(5.37）知,若 Kvcosn ＋ 2 >0,当
时,>0,将增加;当
时,9<0,9将减小,故9总是趋近于9*。反之,若
之趋势。由此可见,满足弹道收敛性的条件仍然是式(5.
Kvcosn +2i < 0,则总是有离开* 之
36），不过视其右边诸参数值是变化的，在选择K时，应通观其变化过程的最严重情况。
关于合适比例系数K的选取问题，还可以从导弹击中目标的可靠性程度进行分析，这个
问题将在弹道最优化理论中介绍。
比例导引法的其他形式
5.5.3
根据上面分析,正确设计导弹的9 总是向9
趋近。在接近目标时,根据式（5.38）,有
Usinn - UTsinT + VOTCOS IT
(5.39)
Kvcosn + 2r
则相应的法向加速度为
Vsinn -- VTsinIT + TOTCOSIT
vof = vKqf
cos - 2 1 /(Kv)
从该式分母看出,按。=Kq规律导引,在命中目标时的法向加速度与导弹的速度有直接关系。
若是在弹道被动段击中目标，由于此时速度下降甚多，其法向加速度将会很大。为消除导弹速
度对命中点法向加速度的影响，可采用如下比例导引关系
(5.40)
an = K1q
仿照式（5.39）的推导方法,并考虑到
= K19/,相应得
81

火箭外弹道学
Vsinn - UTsinNT + VTCOSNT
(5.41)
cosn-21I/Ki
安 αn = Ki9 的规律导引时的αn 与没有直接关系,但还受到相对速度I1的影响。而
可见按
Ii|对不同方向相差很大,为了不致使αnfl
随攻击方向而相差太大，以利于实现全向攻击，于
是试图采取下列比例导引关系
(5.42)
an=i
(5.43)
K2rq
仿照前述方法，可得
Vsinn - VTsinnT + VTOTCOs nT
(5.44)
cos - 2/ K2
可见此种导引方法之α与Ｉ｜无关,有利于全向攻击。
总起来说，比例导引法的优点是速度不受限制，且可以得到较为平直的弹道。由于初始条
件对导弹弹道有重要影响，因而对初始发射条件提出了较严格的要求，如能使起始前置角
arc sin[（1/p)sinqo］，则 qo及q、均较小。比例系数 K值应保证满足K
接近
2II／cosn）这个条件,但不能过大。比例导引特性受到、i及r的影响,就命中时的法向
加速度来说，它们对几种比例导引关系的影响都是一样的。只是按式（5.42）的导引关系利于
实施全向攻击。
82

第六章遥控弹道
6.1
遥控类型的导引方法也是对付活动目标的方法，尤其对地空导弹和反坦克导弹更为广泛
应用。其中主要有三点法和半前置量法。所谓三点法,就是导弹在攻击目标过程中,要使导弹·
始终位于目标和制导站的连线上。由制导站看目标，目标的影像正好被导弹的影像盖住。也
就是说，制导站和导弹的连线（叫跟踪线)以及制导站和目标的连线（叫瞄准线）是重合在…·起
的,所以三点法又有目标覆盖法和重合法之称。在地空导弹设计中，有的赋予导弹(朝目标飞
去的方向)一个“提前量”,让跟踪线超前瞄准线一个角度,称其为位置前置量。为了获得较为
平直的弹道，便于实施全向攻击，并使导弹法向加速度不致受到目标机动的明显影响，必须选
取比较合适的前置量，其中半前置量法就是一种较好的导引关系。而对反坦克导弹来说，目前
大都采用三点法这种方式。
导弹在攻击空中目标时，其攻击平面一般为倾斜平面;在攻击坦克时，则认为是水平面。
在三点法导引弹道运动学分析中。它们的本质是一样的。因此只要分析其中之一就行了。首
先要弄清楚反坦克导弹在理想情况下的运动规律。在研究中，可以把控制站、导弹和目标都看
作一个几何意义上的“点”，并假定控制站是静止的；目标做等速直线运动，导弹等速地飞行在
一个水平面上，而方向是可控制的。这些假定虽不完全符合实际情况，但有助于从本质上弄清
问题。
无论地空导弹或是反坦克导弹，其制导系统都要担负两方面任务。其一，测量导弹的实际
弹道相对于理想弹道之间的偏差，并针对这个偏差产生适当的操纵指令。这一一功能就是通常
所说的“导引”。其二,按照操纵指令产生一定的控制力，以纠正导弹的实际弹道，使它尽量符
合于理想弹道，这就是所谓“控制”。这两方面是密切联系在一起的,统称“制导”。相应的机构
称为“制导系统”，或称“控制系统”
这里介绍一下反坦克导弹的制导系统的工作过程。如图6.1所示,射手在阵地上，借助光
学器材来瞄准运动中的坦克。从瞄准点（射手的眼睛）0到坦克正面中心T的连线OT,就是瞄
准线。瞄准点到导弹电光管M的连线OM就是跟踪线。只要导弹不是精确地位于瞄准线上，那
△（人工地或自动地），根据它的大小和方位来形成适当的指令，然后把指令传输给导弹上的
控制系统，产生一定的控制力，以改变导弹的运动方向，准确而迅速地消除这个误差角，使导弹

火箭外弹道学
实际弹道逼近于三点法的理想弹道。
瞄准镜中的图象
图 6.1
发射过程中的反坦克导弹
现有的各种型号反坦克导弹，就其运动误差的测量方式以及形成并传输操作指令的方式
来看，是经历了几个发展阶段的。早期的反坦克导弹，现称之为“第代导弹”，它的运动误差，
是由射手借助望远镜观察导弹偏离瞄准线的程度来测量的，即估计△e的大小和方位。射手根
据对△e的估计，适当地扳动控制手柄来操纵指令。手柄的偏斜程度决定于△e 的大小，手柄的
偏斜方向决定于△e的方位。手柄下面联结着电位器的滑臂，从而输出-一个电信号，经过控制盒
而转化成为操纵指令，再通过导线把操纵指令传输到导弹上去。归结起来就是：
“目力瞄准（坦克），目力跟踪（导弹），人工操纵（手柄），有线传输（指令）”
第一代导弹的导引方案之优点是：简单，灵活，成本低，研制周期短；其缺点是：射手负担
重,操作极为紧张，而且须经过严格训练。为适应射击反应能力，导弹飞行速度只能限制在100
m/s左右的低速,然而射弹命中率是不高的(约 70%以下）。
针对以上严重缺点，采取了一些改进措施。方面用红外线测角器来自动地跟踪导弹电光
管，以代替目力跟踪；另一方面直接由红外线测角器根据测得的△大小和方位,输出个电信
号，由地面计算装置将此电信号自动地转化成操纵指令，以代替人工操纵。这就是所谓“第一二代
导弹”。它仍然保留了第一代导弹的目力瞄准（射手用瞄准镜把目标瞄准在十字线中心）和有
线传输。归结起来就是：
“目力瞄准，红外自动跟踪，自动操纵，有线传输
同第一代导弹相比，它已经实现了两个环节的自动化,故称之为“半自动式”的制导。它克
服了第一代导弹的缺点，减轻了射手负担，使命中率有所提高,并且导弹速度可提高到200～
300 m/s。然而,仍存在着以下一些问题:如射手仍须参与导弹整个导引过程;射手与导弹发射
阵地在同一点上，容易暴露；红外线测角器的中心线与光学瞄准具的中心线难以严格平行，造
成测角的系统误差,影响命中率（约为80%～90%）；以及仍是导线传输指令，使导弹飞行速度
不能太高，否则易于断线。
为了克服尚存缺点，目前人们已研制第三代反坦克导弹。其主要途径是采用激光驾束制
84

第六章
遥控弹道
导，以代替导线传输。这样，导弹飞行速度可提高到500～600 m/s以上;射速可以提高到每分
钟发射4枚以上。
此种导引方案的步骤是，由射手发出一束激光来照射目标，从目标反射回来的光能又被导
弹上的自动导引头所接收；自动导引头根据这个信息来判定导弹相对于目标的运动情况，执行
机构便据此发出相应的操纵指令。然而，新增加的激光设备，将会明显地影响到武器的机动性
能。
反坦克导弹的三点法导引弹道
6.2
作图法
6.2.1
在图6.2中，0为制导站，T为坦克,坦克速度为VT（常量）,导弹速度为（常量），作图步
骤如下。首先选取适当的时间间隔△t，把各瞬时坦克的位置To、Ti、T2、T3、标注出来，然后
作出0点的连线。根据三点法的要求，导弹总要处于制导站与目标的连线上。在初始时刻，导
弹处于0点;经△t时间后，导弹飞经的路程为·
T6
TsT4 T3 T2 Ti To
△t，于是在各瞬时的连线上，依次借直尺和圆规截
取长度为·△t,定出各对应时刻导弹的位置 M1、
M4
M2、M3、。最后用光滑曲线连接各点，就得到三
点法导引时的绝对弹道。（读者可借此方法，画出
M2
目标作变速曲线运动、导弹作变速运动的弹道曲
线）。
这种作图法可推广应用到其他任何导引弹道
的绘制。作图法简单易行，直观性强，不用建立运
用作图法确定弹道
图 6. 2
动方程就可求出弹道曲线。但其缺点是精确性差，
在分析弹道特性时不如用解析法解决问题
由微分方程求得弹道曲线的通用形式
6.2.2
设导弹和目标的速度为常值，目标作直线运动。图6.3中,坦克T是以速度VT作等速直线
运动的，选基准方向Ox平行于vT;OT为瞄准线，OM为跟踪线，它们与 Ox轴的夹角分别为e和
ET,按三点法导引关系,有
(6.1)
ET
图中 H表示坦克T到Oα轴之垂直距离,称之为“偏移参量”，它和控制点 O到坦克T的距离Rr
之间，存在一个简单关系
(6.2)
H = Rtsine
85

火箭外弹道学
由图6.3易知导弹M在极坐标内的运动学方程为
dR
vCOSY
(6.3)
de
wsinn
dt
坦克 T在极坐标系内的运动学方程为
dR
-- VTCOST
dt
E-ET
(6.4)
dET
VTSinNT
RT
dt
三点法
图 6.3
为求得导弹弹道方程R － ε 的关系,将式(6.3）两个方程
相除得
dR
(6.5)
Rcotm
de
此处应表示成R和ε的显式。由于导引关系式(6.1）,可从式(6.3）和(6.4）的第二式知
VTSinIT
vsin?
(6.6)
RT
于是
RUT
Rsin?e
Rsine
(6.7)
sinm :
sine
RTU
RP
Hp
Hp
cot? n
(6.8)
-1=
-1
Rsin?e
对式（6.5）取平方，再将式（6.8）代入并移项,得
dR
+ R2 = (pHcsc²ε)2
(6.9)
de
这就是导弹以控制点0为原点，用极坐标表示的弹道微分方程，它是非线性方程，一般要用数
值。由于实践中遇到的 pH 之值是可能很多的,如果针对每一具体的 pH 值都作弹道曲线,那就
不胜其烦了。然而,考察一下方程(6.9)，只要取变换
R = pHR
(6.10)
R*称为无量纲极径，便得一个在形式上不含任何参数（只有自变量和待求函数）的微分方程
dR
(6.11)
+(R*)2
cscE
de
* - ε 曲线,那么依线性变换关系式(6.10)便得到实际的 R － ε 曲
只要按照方程（6.11）作出R
线，这就使方程（6.9）的求解大为简化。方程（6.11）称为方程（6.9）的相似方程。在初始条件
(6.12)
E = EO?
86

第六章
遥控弹道
下,对不同的值 εo作出的R
* －ε 曲线,如图6.4所示。下面讨论如何利用 R
R*ε曲线族,来转
换成实际的弹道曲线。
Vr (p=1)
F0-45
n -60°
Eo -90
[=*H
Fo -135
37.5
03
=30
03
UT (P=5)
H*=0.2
15
R* － ε 曲线族
图 6.4
从式(6.10)可看出，R＊是无因次的，它是比值R/(pH)。如果取 pH作为一个单位长度（数
的数值相等了。就作图的实际情况而言，在
十米或数百米,无关紧要）,那么R的数值便与R*白
绘制图6.4时,采用了pH这一比例尺，使长度变成了原有实际长度的1/(pH）倍。因此对偏移
H/(pH)= 1/p;比如,当 p = 1
参量 H,在图6.4中的数值也就应该乘上1/(pH）倍，即 H
二1的那条直线(该直线平行于横轴）。如果导弹的初
时，坦克在图6.4中的运动路线，就是H
=1的直线的交点Fi就是命中点。再比如p
始瞄准角 o = 30°,它沿OFi曲线飞行，OF 与 H*：
=0.2作平行于横轴的直线，即代表坦克
= 1/5 = 0.2,此时在图6.4上截取 H*
= 5时,则H
的运动路线,对于 ε0 = 30° 的弹道来说,其命中点将是 F2。
总之，由于图6.4上的曲线以pH为单位,这族曲线便具有通用性。对任意速度比为p的情
= 1/p的直线运动,按三点法导引的导弹便沿着与初始瞄准角 εo
形,在图面上的目标沿着 H*
相应的某一条曲线飞行，且两线相交处就是命中点。
一般反坦克导弹的p具有10的数量级,故实际用到的只是靠近原点的一部分。为使用方
便，常将这-部分放大绘出,如图6.5所示。导弹飞行的时间,可从图6.6所示的关系中求出。
假定导弹速度为常数且目标为等速直线运动的情况下，当已知初始瞄准角εo和命中时的
瞄准角εf（此值可从图6.4量得）时，则从发射到命中目标所需时间为
ToTf
(6.13)
T=
VT
导弹所经过的全路程为
(6.14)
s = vT = pH(cotEo - cotef)
87

火箭外弹道学
E075°
09 03
0.10
To
105
80 13
0.05
E0 150
Ep -30
En -165°
E0--15
Ef
图 6.5
R* 曲线族(局部放大)
图 6.6
导弹飞行时间的确定
三点法导引弹道的法向加速度
6.3
导弹的法向加速度an应是导弹速度与其速度矢量的转动角速度d/dt之积,这个为
n与ε 之和(见图 6.3),即
de)
(6.15)
an
dt
下面须求出dn/dt及de/dt之值。
由式(6.7)
sinn =
sine
Hp
求导数有
de)
cosn dt
PA( SR
将式(6.3）中dR/dt 和de/dt 代人后,两边以 cosn 除之,再将式(6.8）的 cotn 代人，得
Rsin2e
VT
(6.16)
sin'e
V(pH)2 - R?sin'
UTSin?e
de
sin
(6.17)
将该二式代人式（6.15）,得
R* sin2e
(6.18)
ar
式中，R* 是无量纲极径，R
R/(pH),见式(6.10)。
88

第六章
遥控弹道
式（6.18）是在目标作等速直线运动并且导弹速度为常量的条件下，所得到的弹道各点上
的法向加速度公式。它除了与 R＊和 ε 有关外,还依赖于参数 VT/H。为处理问题方便,不妨引
入无量纲法向加速度
a,且
(6.19)
WUT
于是由式（6.18）知
R* sin2e
(6.20)
sin'e
/1-(R
sin?e2]
仅是导弹位置的函数。这样便可以
可见α仅是R＊和ε的函数,即在极坐标系（R＊，ε）中，α 1
仿效第五章的方法，作出等无量纲法向加速度曲线族，即α白
的等值曲线族。当给定某-个
an
值时,由式(6.20)就可作出一条相应的R*-e 曲线,给定不同的α值,则有不同的R*-e 曲线
与之相应。α
之值。图中虚
的等值曲线族示于图6.7中。各条曲线上所标注的数值表示其
an?
之值的变化趋势；沿着这条虚线越往上去，α～之值
an
线是各曲线中最低点的连线，它体现了
越大。称这条虚线为主梯度线。图6.4和图6.7都以pH为单位，作图时采用同样的比例尺，如果
欲知各条弹道上的法向加速度的变化过程，只要把图6.7与图6.4重叠起来，变成为一张图，在
这张图上既有弹道曲线族，又有法向加速度曲线族，于是沿每条弹道的法向加速度的变化规律
便一目了然。在导弹总体设计中,这是必不可少的。
4.0
3.0
0.5
2.4
1.0
2.2
.8
[*H
/2.1
2.0
1.0
0.5
曲线族
图 6.7
从图6.7中发现,在 p≥1的这个图面范围内，α之最大值为4;并且在 ε = 90°的垂直线
与p=1时的目标路线的交点处。若此点视为某一弹道曲线的命中点，则该条弹道所相应的初
始发射角εo大约等于37.5°。由此对照图6.7和图6.4可知，当导弹以初始发射角ε0<37.5°发
射时，其弹道上的法向加速度将愈来愈大，直到命中目标时达到最大值；换句话说，愈接近目标
89

火箭外弹道学
时的弹道愈弯曲。再对照图6.7和图6.4可知,当ε0>90°时,则导弹在飞行过程中的法向加速
度是单调减小的。而当37.5°<ε0<90°时,弹道介于以上二者之间,最大法向加速度大致发生
在它与主梯度线的交点处。
:1/p
应该指出,对反坦克导弹来讲,顾及其速度比 p 总有 10的数量级，且坦克沿着 H
的最大值aα max
的直线运动,由图6.7可知,在如此小的范围内 α白
2,其最大法向加速度
WUT
(6.21)
an max
显然，反坦克导弹实际可提供的最大法向加速度必须大于这个数值，而且须有一定的“储备
量”。
还得指出，以上关于反坦克导弹三点法导引的弹道特性，特别是图6.4和图6.7两组曲线
族，对地空导弹都是完全适用的，只是其攻击平面异于水平面，且p值比反坦克导弹要小。
导弹速度变化和目标机动时对
6.4
三点法导引特性的影响
在实战条件下，目标速度的大小和方向是变化的，导弹速度也是变化的，那么这对法向加
速度的影响如何？
考虑到图6.8的情形，假定目标速度矢量逆时针方向转动了
一个角度 αT,则目标的运动方程为
ET
dRT
UTCOS(ET -- OT)
(6.22)
dET
UTSin(ET - OT)
RT
an =
而导弹的运动方程仍为（6.3)。为求得导弹法向加速度
须将 n用（α→ ε）表示,根据导引关系（6.1),由方程(6.22）和(6.
EET
3）知
UTSin(ET - OT)
vsin(α - )
RT
图 6.8
国标机动时三点法导
引坐标系
(6.23)
RTsin(T - OT) = RTUsin( - )
上式两边对时间t求导数，可得
RR
(RTU + RTU)R
RVT + RUT
F(ET - OT) -
ET - RRT
RRTU
RUT
RRT
RR
RUT
RU .
2eT( 1 -
ET
OT +
RRT
RUT
RRT
再将方程（6.3）、（6.22）及导弓1关系（6.1）代人，即得
90

第六章
遥控弹道
RR
RR
tan( -- ET)!
2ver(1 -
vtan( - ET) +
VOT +
RRT
RR
(6.24)
由此可见，αn由三项组成:第一项与、U及r无关,它是在导弹速度为常数且目标等速直线运
动条件下的导弹法向加速度，对此，读者不妨利用关系式（6.2）、（6.3）、（6.4）和（6.7）代人，便
得到与式(6.18）完全相同的结果。第二项与导弹加速度有关，当 0时使αn减小,故导弹
采取主动段攻击，可减小弹道曲率。第三项取决于目标的机动情况。就现代飞机而言，其T可
达(0.03～0.10）rad/s,是比较大的;而当其装有加速器时，Ur 也是较大的，因此，目标机动时
对 αn 的影响是不可忽视的。
前置量法和半前置量法
6.5
根据前面对三点法弹道性能的分析，可以看到用三点法导引地空导弹时，由于地空导弹的
p值不像反坦克导弹那么大（如将反坦克弹用于打低空飞机,其p值可能出现接近1的情况），
因此它的弹道将会可能涉及到图6.4和图6.7的全部情况。尤其对高空飞机迎击时，导弹愈接
近目标，其弹道愈弯曲，就需要导弹提供较大的法向力。然而，空气密度是随高度而减小的，由
空气动力所提供的法向力将相应地减小，所提供的法向力将满足不了弹道弯曲所需要的数值，
导致有脱靶的危险。为了改善遥控导弹的导引特性，考虑到能使弹道（尤其末段）更平直一一些，
根据“常前置角”法可改善纯追踪法弹道性能的启示，也给予遥控导弹一个提前量。在6.1中已
说过,这个提前量是指跟踪线超前瞄准线一个角度 ε1,需要讨论这个 εI如何确定的问题。
对遥远控制的地空导弹，一般采用雷
达波束（也可用激光）制导。现取一雷达坐
YR
O-XRYRR，原点 o取制导站，OXR车
轴指向
标系
轴在铅垂平面内并垂直oαR轴，
目标 T,OyR车
轴与xR、yR成右手直角坐标系,如图6.9
BR
所示。oα1为地面上的某一参考线。雷达坐
标系在地面坐标系中的方位，可由高低角
ET 和方位角βr 完全确定。为了使讨论的问
题不致过于复杂，假定目标和导弹皆在通
图 6.9
雷达坐标系
过0点的铅垂面内运动，其运动关系如图
6.10所示。图中θ表示导弹速度矢量与水平面夹角，即弹道切线倾角。于是目标和导弹相对
地面制导站的运动学方程组为
91

火箭外弹道学
RT
r = - UTCOSMT
RTET
VTSinIT
nT
R=
(6.25)
VCOSY
RE
sin
= ET + EI
其中第五式表示导引关系。欲减小法向加速度，最理想的莫过于
直线弹道了。然而，人们经过分析表明，要实现直线弹道是难以办
到的。根据前面的分析，还是仅仅把着眼点放在弹道末段，使弹道
末段比之三点法平直一些。假设ε按下式变化
(6.26)
E(E,t)△R
前置量法
图 6. 10
式中,△R = Rr R;E(ε,t)是与 ε 和t 有关的函数。显然,式(6.
26）能保证导弹与目标相遇时的 ε1=0。此外,为使弹道末段平直一些,至少要求存在下列条件
lime = 0
(6.27)
AR-+0
由于
(6.28)
ε = ET + E(,t)△R
两边对t求导数
= ET + E(ε,t)△R + E(e,t)△R
根据式（6.27）得
ET + E(E,t)△R = 0
那么有
ET
(6.29)
E(e,t)
AR
ET
(6.30)
AR
ET -
这就是前置量法的导引关系式。根据这个导引关系，导弹在命中点的法向加速度仍受目标机动
αn =,故只要考察受目标机动影响就行了。
的影响。因为
vsin(θ－ ε）,可求出来。事实上,有
从导弹运动方程Re
vsin(- ) + v( -)cos( - )
Re + Re
将 sin( － ε）= Re/及vcos(θ － ε）= R 代人,可得
(6.31)
进一步分析表明,在弹道末段，根据式(6.31）算出的θ比用三点法导引时的要小。对命中点，根
据式（6.27),有
92

第六章
遥控弹道
(6.32)
下面求命中点时的之值。对式(6.30）求两次导数可得
E(△R)? + 2e · △R · △R = (ET · △R - ET · △R)AR + (ET · △R - ET · △R)AR
依据命中点的条件 △R = 0及 ε = 0,则上式变为
AR.
(6.33)
△RET
下面进一步考察εT与目标运动参数之间的关系。可利用方程组（6.25）第一、二两式,先对第二
式求导数
RTET + RTET =
UTSinNT + VTITCOSIT
』 nT = ε－,再将 sinn 和 cosn 用第一、二两式代人,即得
注意到
RT
RT
VT
(6.34)
OT
ET =-2
ET +
ET +
RT
RT
UT
将（6.34）式代人式6.33),再将式（6.33）代人式(6.32),并注意命中点处R=Rr，便得
RT
RT:
[(2
R :△R
(6.35)
sinnT +
JET-
RT
R:△R
由此可见，按前置量法导引时，导弹命中点的法向加速度仍然受目标机动的影响，其影响情况
可与三点法比较一下。按三点法导引时,根据式(6.24）可知
RT:
[2 1 -
Of =
tan( - εr) +
(6.36)
+ Lo
UT
比较式（6.35）与式（6.36）可知，虽然导弹在命中点的法向加速度都受到目标机动的影响，但
对同样的T和而言，它们产生的效果则是相反的;用三点法导引时若使法向加速度加大,而
前置量法则减小。如此两种相反的效果，便促使人们考虑到一种介乎二者之间的导引关系。由
于，无论对三点法或前置量法，都不外乎下列导引关系
ET
(6.37)
= T+ E1 =
ET -
AR
当 C。0时为三点法；当 C。= 1时为前置量法。需要在0与1之间寻求一个合适的 C。值,以
使,尽可能不受和UT 的影响。
从式（6.31）可看出，为求得§f,须先把和在命中点的表达式求出，为此，分别对式（6.
37)求一次和二次导数,且注意到命中点处 R = Rr(即 △R = 0),于是得
ef = (1 - Ce)e
(6.38)
AR .
[(1 - 2Ce)er + Ce
ET
AR
93

火箭外弹道学
上式代人到式（6.31）,得
△R : 1
VR
(1 - C.)eT +
Of =
FETI
考察这个表达式的各项,发现εT与目标机动参数T和UT的关系极大,这可从ET 的表达式(6.
34）-目了然。因此必须使εT所在项为零,即
1-2C = 0
那么
C.
(6.39)
ET
AR
(6.40)
ET -
AR
就是所寻求的导引关系。因为其前置量恰好是前置量法的一半，故称半前置量法。
半前置量法命中点的f为
R:AR
6f = (1 -
(6.41)
2R·△RJET
2RV
上式中仅△R受目标机动的影响，但是^R所在的这一项数值很小,故总的来看，由于选取了
C。=1/2,6,已基本上不受目标机动的影响了。因此,它是遥控地空导弹常用的一种导引方法。
采用前置量法和半前置量法导引时，可以同
时用两部雷达：一道波束跟踪目标，另道波束跟
踪导弹。为了减小地面设备，一般尽量只用一部雷
扫描角
达,既跟踪目标，又控制导弹,在这种情况下，为使
导弹不超出波束的扫描范围，就须要求前置量
EI
波束中心
不能大于波束扫描角的一半，否则就要失控，如图
6.11所示。这是要注意的一个问题。
需要指出的是，尽管半前置量法是一种较好
的导引方法，但是它的导引关系式（6.40）要求随
时测量出目标和导弹相对于制导站的角坐标、距
导弹的飞行范围
图·6.11
离及其导数，当目标进行强干扰时，制导站就无法
测出这些数据，在这种情况下，就必须用三点法来导引导弹。
94

尾翼式火箭弹摆动理论
第七章
1前
7.1
在弹道计算时曾作了六条基本假设，在这些假设前提下的弹道叫理想弹道或标准弹道。
假设中很重要的一条是攻角为零。攻角是弹体几何轴线与速度矢量 √的夹角,实际上并不为
零。在火箭飞行过程中,攻角不但存在,而且是不断变化的。由于攻角的存在而伴随着空气动力
矩，便使弹轴围绕质心运动，从而推力方向也就不可能与速度√方向一致了，它将产生垂直于
v方向的法向力，使火箭质心偏离理想弹道。之所以有攻角的出现,其影响因素是多方面的，主
要原因有以下几个方面。
1.起始扰动
在火箭后定心部脱离发射架瞬间，火箭围绕着过其质心且垂直火箭轴线的轴作横向摆动，
如以Φ表示弹轴与理想弹道切线的夹角，则飞离发射架瞬间火箭弹轴的摆动角速度以o表示
（脚注“”表示飞离发射架瞬间的数值)。这个βo是引起主动段内弹轴摆动的原因之一。称o
为起始摆动角速度。此外，火箭后定心部离轨时的质心速度被称为离轨速度或初速，以Vo表
示。弹轴的方位与此离轨瞬间的初速方向也不会一致，它们之间的夹角以表示，叫起始攻
角,如以滑轨（或叫定向器）方向为基准,则o之产生,或因弹轴偏离滑轨方向,或因 vo偏离滑
轨方向一个偏角 o。后定心部离轨时的 o、o、o 等,统称起始扰动。其产生的原因很复杂，有
定向器振动及波纹度；还有弹体质量分布不均勾，以及弹、炮间隙的存在等。所有这些，都将影
响到火箭发射过程的运动状态，在离轨时便自然而然地形成起始扰动。
2.横风
横风就是一股横向气流。对火箭来说，总的气流方向与弹轴之间的夹角，形成了附加的气
动力矩，从而使火箭弹轴离开原有的理想弹道方向。
3.推力偏心
推力作用线一般离火箭质心（不管质心是否在几何纵轴上）的距离用L表示，叫推力线偏
心。由此形成一个推力偏心矩，直接驱使弹轴摆动。而且推力作用线一般也不平行几何纵轴，其
间有一个小的角度，以βp表示，叫推力偏心角。由此可产生垂直于弹轴的推力侧向分量，它也
是引起散布的因素；但对尾翼式不旋转火箭而言，这个因素可忽略不计。
此外，还有弹体外形不对称而形成气动偏心以及质量偏心等，但同前三方面比起来，它们
是次要因素。
尾翼弹之所以装设尾翼，就是为了让空气动力中心居于质心之后，这样形成的静态力矩，
95

火箭外弹道学
将力图使弹轴向速度方向靠扰，也即有使攻角减小的作用。把这种静力矩叫稳定力矩。压力中
心在质心之后，是保证减小攻角的必要条件。在研究尾翼式火箭弹摆动运动时，这是一个必须
具备的前提。使攻角限制在一定范围之内，并保证其变化的趋势是减小的，这就是飞行稳定性
的充要条件。
目前无控火箭的散布较大，是一个突出的问题。而且由于主动段内的推力很大，即使攻角
不大，也将产生一定的推力侧分量使质心速度发生变化。就全弹道而言，尽管主动段比被动段
短得多，但就形成落点总散布来讲，主动段的散布占主导地位。而且由于主动段扰动因素作用，
使火箭速度方向发生角偏差（实际速度方向偏离理想弹道速度方向）；在主动段末的K点，实
际速度Vk的方向是与理想弹道速度方向不一致的。这就相当于门普通火炮在K点发射时射
向改变一样，将直接使落点偏离预定点。如果扰动因素是随机的，比如推力偏心、阵风及起始摆
动角速度，它们对每发火箭飞行过程作用的大小是不同的，而且是预先不能确定的，从而形成
射弹散布。从本章起，将用较大的篇幅讲授火箭形成散布的物理过程及散布计算的具体方法；
对影响散布的因素加以分析。
尾翼式火箭与涡轮式火箭弹相比，主要优点是尾翼式火箭弹的射程可以不受限制，弹体可
细长些，威力也可以足够大。而涡轮式火箭弹是靠高速旋转的陀螺效应来保证飞行稳定性，其
射程和威力都不会很大。但一般说来，尾翼式火箭比涡轮式火箭散布要大一些。由于目前尾翼
式火箭多采用低速旋转，以使一些不对称因素（如推力偏心矩等）不致总是作用在一个方位
上，从而各相反方向上的作用能尽可能抵消一部分，这就达到了减小散布的目的。不旋转的尾
翼式火箭，目前只用于特殊场合，比如有的不允许有旋转的运载火箭。然而，本章所研究的不旋
转式火箭弹摆动理论，仍有其实际和理论意义。
运动方程的建立
7.2
参考系
7.2.1
为了使问题不复杂化,暂且只研究火箭在铅垂面的运动。
就是说，假定各扰动因素均作用在同一一铅垂面内，而且假定火
箭外形是对称的，并且无风。虽然这是特殊情况，但是将从中弓[
出带有普遍规律性的知识。在有扰动因素存在下的弹道参量，
o（质心C）
自然而然地将异于理想弹道的弹道诸元。取平动坐标系作为基
准参考系，其三轴与图0.1的地面坐标系三轴平行，只是坐标
表示,如图 7.1所示。0-xyz 是一
原点取弹体质心①，仍以 o-xyz
个平行移动了的参考系。另外,引人弹轴坐标系 o-n,o 是弹
图 7.1
坐标系
暂假定质心在火箭几何纵轴上。
96

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
体几何纵轴,指向前方；on轴垂直于o轴,指向上方；o轴依右手定则指向右方。显然,弹轴的
方位由 o 轴与ox轴的夹角 βa完全确定,β。叫弹轴方位角。坐标系 o-sn亦可看作坐标系o-αyz
绕 oz轴逆时针方向旋转而得到的,旋转角度是 βa假定实际速度矢量与ox轴的夹角为6,亦
称为弹道切线倾角，向上为正。这个θ与理想弹道的切线倾角（加脚注“”，以示理想弹道诸
元）是有差别的。弹道与速度矢量的夹角用表示，叫做攻角，约定弹轴在上方时为正。
作用在弹体上的力和力矩
7.2.2
所研究的力学对象是尾翼式不旋转火箭弹，作用其上的力和力矩仍不外乎是空气动力、推
力及其力矩，再加之作用于质心的重力。
1.空气动力的诸分力及力矩
在有攻角时,空气动力合力R的作用点D位于质心C之后,如图7.2(a）所示。可在质心
加上大小相等方向相反的二力R'和R”,其大小等于R,方向与R平行。这并不改变火箭运动状
态。于是可看成火箭质心受到力R（=R）和由R"与R构成的力偶矩的作用,这个力偶矩以M,
表示，它力图使攻角减小，叫做稳定力矩。将R以速度矢量√为轴进行分解，个投影到速度
方向线上，以R表示,称为阻力；另一个投影到垂直速度方向上，以R表示,称为升力。显然，
Rx、R,和M,的共同作用,等效于R的单独作用。它们三者对火箭运动的作用是各不相同的：R,
改变速度的大小（减小），R，改变速度的方向，M，使弹轴摆动。这种作用是不能互易的。
（质心C）
（质心）
R'
Mz
(b)
(a)
图 7.2
总空气动力及其简化
上述只考虑种静态情况。当弹轴以某角速度。摆动时，便使弹体表面压力分布略有改
变;还因弹体与空气摩擦,而产生一个力矩 Md，它对弹轴的摆动起阻滞作用,称为赤道阻尼力
矩。它的矢量 Mzd总与Φ。的方向相反。还有与攻角角速度成正比的下洗延迟力矩,其作用与
Mzd 相仿，总阻滞攻角变化,但比 Mzd 要小,在近似计算时可不考虑。
归结上面所述各力和力矩的表达式如下
Rx
(7.1)
97

火箭外弹道学
Ry
(7.2)
Mx
(7.3)
Mzd
(7.4)
式中，l是全弹长，Mα 是马赫数。当ä较小时,阻力系数C（Ma，ä）可表示为
Cx = (Ma,) = Cxo(Ma)(1 + kgo2)
(7.5)
式中,Czo（Ma）为=0时的阻力系数,ka为一个系数,对各类弹形 ks值是不同的。而升力系数
C（Ma，）和稳定力矩系数m（Ma，）在为小攻角时，可用其对攻角的导数C（Ma）和
m,(Ma）表示
Cy(Ma)8
(7.6)
Cy(Ma,8)
)=(
= m(Ma))
(7.7)
mz(Ma,)
赤道阻尼力矩系数 md（Ma，）与其导数的关系为
(7.8)
mzd(Ma, 0)
mzd
a mzd
(7.9)
a(lpa/ v)
C、m²和mzd在小攻角时仅是马赫数Ma 的函数,并且在 <250 m/s时可以近似
诸导数
视为常数,其数值可参看表7.1中的实例。
表 7.1
三种火箭的部分气动系数
弹种
M-8
M - 31
M - 13
系数导数
2.3
9.4
10.9
Cy/rad -1
2.86
1.06
3.00
m./rad-1
0.868
0. 492
0.870
C、m，和mzd随Ma变化的规律，可参阅某尾翼式火箭弹的函数曲线，示于图7.3、7.4、7.5
中。在小攻角时，m²、C,和C之间有一定的简单关系。由图7.6所示,设阻力中心D到质心的距
离是ld，那么
Mz = Rylacosd + Rxlasind Ryla + Relad
将式(7.1)、(7.2)、(7.3)及(7.6)、(7.7)代人,可得
华(C, + Ck)
(7.10)
m.
比值ld/1叫做静稳定度，又称为“稳定储备量”。由式（7.10)
(7.11)
98

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
多数情况下,有 Cx< C,得近似式
PT
(7.12)
显而易见，比值ld/是马赫数的函数;超声速时,压力中心要向前移，ld将减小。现有尾翼
弹的 ld/l大致为 10% ～ 20%,也有更小者,但也有达到 30% 以上的。
+ m² /rad -1
Cy /rad -J
10
Ma
Ma
Cy--Ma 曲线
图7.4
图7.3
md -- Ma 曲线
m2d /rad -)
Ma
图7.6
Rx、R与 Ma 间的关系
mzd - Ma 曲线
图7.5
在空气动力学中,稳定力矩系数导数 m，和赤道阻尼力矩系数导数mzd 都是负值。而本章
取为正值,在建立运动方程时,须将相应二力矩带上负号。
2.推力和推力偏心矩
由于制造的公差，喷管的歪斜，燃气流的不均匀性等原因，总推力矢量 Fp的作用线是不
过火箭质心的，质心到推力作用线的距离以L表示（有些文献以Lp表示，本书省略了下角P)，
称为推力线偏心，或线推力偏心［图7.7(a)。一般认为，对单喷管火箭弹，推力作用线是通过喷
管喉部中心的，对多喷管者，则无定论。不过这个问题没有多大值得探究的价值。在六分力推力
试验台上，可以直接测出推力轴向分量Fp和侧向分量 Fp1以及推力偏心矩 Mp，见图7.7(b)。
由于
99

火箭外弹道学
(7.13)
Mp = FpL
L之值就可以反求出。至于总推力 Fp与弹轴的夹角 βp便由下式确定
F PI
(7.14)
βp -
FP
βp叫做推力偏心角，有的资料称角推力偏心。
就目前生产工艺水平来看,通过实测的FPI进行理论计算，发现推力侧分力对总散布的影
响是很小的，一般可略而不计(其计算见本章附录)。
C(质心)
(a)
Mzd Mz
PE
Mp
Mp
(b)
火筛在铅垂面内的运动
图 7.8
图 7.7
火箭推力及其简化
铅垂面内的运动方程式
7.2.3
图7.8表示尾翼式不旋转火箭弹在铅垂面内的运动状态及示力图。由理论力学可知，为建
立质心运动力学方程，可将方程
(7.15)
向弹道切线方向和法线方向投影。式(7.15）中的F是包括推力在内的切外力，因而可得
Fpcosd -- Rx -- mgsing
(7.16)
Fpsind + Ry - mgcosd
而弹体绕质心的转动方程，可依动量矩定理
(7.17)
dt
式中，K是动量矩矢量，M为包括推力矩在内的一切外力矩。对铅垂面的平面摆动而言，将式
垂直的o轴上,则得
(7.17）投影到与铅垂面
xoy =
dPa
Mp- M, - Mzd
(7.18)
dt2
100

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
式中，J，是赤道转动惯量，即弹体绕过质心垂直于纵轴之轴的转动惯量，常以A记之。
方程（7.16）、（7.18）加之质心运动学方程
dy
vsing
(7.19)
dx
便构成一般运动方程组。在这里，m、A 等弹体参量是已知的，推力 Fp（t）也是时间的已知函
数。所要求得的未知量有、、α、、、a六个函数值。而方程只有五个,还需要一个方程。事实
上，Φa、θ和之间只要知道其中两个,第三个就可知道。由图7.8可知
(7.20)
这是一个联系方程。
于是得火箭铅垂平面运动方程组
dv
Fpcosd -- Rx -- mgsind
Fpsind + Ry - mgcos
"W-"W- dW
dt2
(7.21)
dy
vsing
dx
dt
+="
在给定初始条件下，便可解出此方程组。
扰动运动方程组及其简化
7.2.4
理想弹道的运动方程组为
dvi
Fpi - Fxi - mgsind;
d:
-- mgcoso;
mvi
dt
(7.22)
dyi
V;sing:
dx:
VicosO;
dt
101

火箭外弹道学
式中脚注“i”美
表示理想弹道的参数。
显然，在考虑扰动因素作用下的运动方程组（7.21）中的诸运动参数与方程（7.22）中的运
动参数是有差别的。这个差值，就是运动参数偏差量。将方程组（7.21）中与理想弹道有关的参
数表示如下
= vi + Av,
= ;+,
(7. 23)
y = yi+ △y,
x = xi+ △xo
式中
△—— 速度值的偏差量;
山—速度方向相对于理想弹道切线方向的角偏差量,称为偏角；
β———弹轴方向相对理想弹道切线方向的角偏差量,称为摆动角；
Ax、△y-火箭质心坐标的偏差量。
而且由式（7.23）和（7.21)@便知下列关系式
(7.24)
由于理想弹道的运动参数是已知的，因此将式（7.23）代人方程组（7.21）中，（7.21）便成
为描述诸偏差量（、、、、α、）变化规律的方程组，它即为扰动运动方程组。对此方程
组的精确求解须依靠电子计算机才行。然而，为了解诸偏差量的变化规律，尤其了解各扰动因
素所引起的偏差量的变化规律及其物理本质，需对扰动方程组作必要的简化，以便求得解析
解。
在简化中，一方面把诸偏差量看成一阶小量，对角偏差量的正弦可用角度本身代替（以弧
度为单位），对角偏差的余弦可取为1。另外，诸气动系数、空气密度及结构参数均取为常量。况
且扰动弹道的速度可取理想弹道即未扰动弹道速度之值，即取△=0，与精确计算结果进行
比较表明,这样近似处理所得山和的误差一般很小。
将式(7.21)②减去式(7.22)②可得近似式为
(7.25)
Fpo + R
将 α = 6 + Φ代人式(7.21)③,得
(7.26)
Mp M, - Mzd - A;
dt2
式中小圆点“。”表示对时间t的导数。
为了书写方便，引人下列符号：
102

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
oSCx
oSC
b.
2m
2m
pSI’ md
oSImz
(7.27)
2A
2A
RA
k=
RA为赤道回转半径。关于 b、by、k、kzd的数量级，可参阅表7.2中的数值（亚声速条件下）。
表 7.2
弹种
M -8
M - 13
k/m-1
16.2 × 10-2
8.5 × 10-2
kd/m-1
0. 56 × 10-2
0.32 × 10-2
0.43 × 10-2
0.20 × 10-2
6y/m-1
0.01 × 10-2
0.02 × 10-2
bx/m-
利用式（7.27）的符号，便得下列形式的方程组
apd + byy2
d?
apL
(7.28)
k22 - kzd(+ 0.)- 0;
dt?
这个方程组中的可直接利用前面弹道计算的结果。求解该方程组，便可得到山、$和。如同
本章7.1指出的那样，主要任务是求得主动段末K点的偏角，以求落点的偏差量，然而从式(7.
28）第一方程看出,这须先求得攻角之后,才便于积分得到偏角。而且为考察飞行稳定性，
也得知道的规律。可见，求得和山是研究扰动运动的中心问题。至于△α和△的有关方程，
它与求解山和没有什么关系，就暂且不去管它。方程组（7.28）便是扰动方程组的简化形式。
尾翼式不旋转火箭弹横向摆动运动方程组
7.2.5
为了研究侧向偏差量，需要知道火箭弹在过速度矢量线并且垂直射击面之平面内的摆动
运动。假定诸扰动因素皆作用于此平面内，所指的平面就是垂直射击平面且过理想弹道切线的
平面。图7.9所示火箭运动状态,表示火箭纵轴和速度矢量√皆在过图7.1所示0z轴的平面内，
ox'是该平面与射击平面xoy的交线。约定v矢量在射击平面右侧时，它与射击平面的夹角即偏
角山为正。弹轴与射击平面的夹角仍叫摆动角，以弹轴在射面右侧为正，并且弹轴在右侧
时的攻角为正。
将式(7.15）于该平面内在v方向及垂直于方向上投影得
103

火箭外弹道学
dv
Fpcosd - Rx - mgsing;cosy
(7.29)
Fpsind + Ry + mgsind;siny
在投影时,要注意重力 mg（在图中未标出）是先投影到
交线oα'上，然后再投影到方向及的垂直方向。
将式(7.17）投影到与 xoz 平面垂直的om轴上,得
Mp - M, - Md
Mp
dt2
M2
Mzd
仿前述方法，可得简化的扰动方程组如下
火箭的横向运动
图 7. 9
apd + byv??
apL
(7.30)
- k?? - kzdv
比较方程组（7.28）和（7.30）易见，这两个方程组的齐次方程及推力偏心矩的非齐次项完全一
样，而且都是线性微分方程。线性微分方程的解具有叠加的性质。起始扰动将作为方程组的初
始条件。这样，无论是起始扰动，或是推力偏心，对铅垂平面与横向平面内的扰动运动的影响是
力作用下使速度不断向下偏转引起的，它不造成射弹散布,在散布分析中，可不管它。应该指
出，在通常情况下的扰动因素的作用方位，并非一一定在铅垂面内或垂直于射面，而是空间任意
方位。这样便可对它沿两个方向进行分解。
扰动方程组的变量变换
7.3
对上述两个平面内的摆动运动方程采用统一形式
apd + byy??
(7.31)
apL
+ k??8 + kzd
dt
dt2
初始条件为
t= to时,山= ，Φ = 9
= =0
为了使解的结果便于分析,并使方程组（7.31）形式简单，特引人无因次自变量u，以替换
自变量t，u定义为
104

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
u = ks
(7.32)
式中，s为火箭运动的弹道孤长。则
np p
(7.33)
kvo
p np
np p
(7.34)
dt
p np
o' =(k)" + k
kv
4+
dt2
至于dv/dt,可由式(7.21)①知
(7.35)
ap - bx2
- gsing
dt
(ku)?p" + k(ap - bw? -- gsing)p"
(7.36)
dt2
表示对u的导数。将式（7.33）代人式（7.31）第一式,将式（7.34）、（7.
上面各式中量右上角，”
36）代人式（7.31）第二式,可得下列联立方程组
(7.37)
ap - gsino
apL
11
- bx + kdjp' +
RA
(kv)2
这个方程组还不便求解，需要进一步变换。根据经验，引人新的函数
(7.38)
将式（7.38）对 u取导数,得
W=t
v'? + w"
(7.39)
由式(7.37)③得
"=+
将式(7.37)①和式(7.39）代人得
by
dn
dv
1 du dt
(ap - bu2 - gsing)
du
mp ip
(7.40)
gsing
式中
(7.41)
105

火箭外弹道学
据表7.2中的数量级,可知6*
是远小于1的数，可视为常量。
将式(7.40)再对 u求导-次得
W"
(7.42)
将式（7.40）、（7.42）一并代人式（7.37)②,并略去二阶以上小量,经整理得
apL
W"+ 2bW" + W :
(7.43)
RAh?y
gsing
bx + by + kzd +
式中
(7.44)
6是一个无因次的数，只有0.1的数量级,或更小些。在微分方程求解过程中，通常把它看作常
数。很明显,式(7.43）是一个标准振动型方程，b是阻尼系数,强迫项由推力矩产生。将此方程
积分便得攻角,有了攻角后,积分式(7.37)①可得偏角山
npolx
(7.45)
式(7.43）和式（7.45）便是求得角偏差量和的两个重要方程。值得注意的是，在推导方程
(7.43）过程中,对火箭质心加速度dv/dt并没有特殊要求（比如常量）。因此，该方程具有普遍
性；不但对尾翼式火箭主动段，而且对被动段也是适用的。不言而喻,对被动段应取
起始扰动所引起的攻角和偏角
7.4 元
攻角和偏角公式推导
7.4.1
要得到起始扰动引起的攻角和偏角，须先求出方程（7.43）的齐次解，以得攻角，然后代人
式（7.45）得偏角。现所论齐次方程为
(7.46)
W" +26W" + W = 0
其初始条件，可将方程组（7.31）的初始条件变为
" o
uo 时,W = Wo = vodo = vo(Po - yo); W"
(7.47)
=n
= p" - b* W,而 ' = Φ/(kv)故
W"o之值可根据式(7.40)和式(7.34)求得，由式(7.40)知，W"
(7.48)
-b*W
W'o
_ b*Wo =
(7.49)
方程(7.46）的二特征根 ri 和 r2 为
由于 b²≤1,并记虚数i= ^
106

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
ri,2 = - 6 ± i
于是方程（7.46）的通解为
W = e-b(u-uo'[ Cicos(u - uo) + C2sin(u -- uo)]
(7.50)
将初始条件(7.47）代人上式,可得
Ci = Wo = vo(Po - do)
C2 = W'o + bWo Wo =
(7.51)
将 C,和 C2代人式(7.50),便得攻角的表达式
Poe-b(u-uo'sin( u -- uo) + Po
VO
Pe-b(u-up'cos(u -- uo) --
VO
Pe-b(u-up'cos(u - uo)
(7.52)
这就是起始扰动βo、o和所引起攻角的综合表达式。在火箭外弹道学中，通常引人特征函
数概念，它表示单位扰动量所引起的偏差量。将Φo、o 和如分别为一个单位时引起的攻角，即
表示，即
-b(u-uo'sin(u - uo)
(7.53)
VO
e-b(u-uo'cos(u -- uo)
(7.54)
(7.55)
那么式（7.52）成为下式
(7.56)
yod.
+ Pod.
从式(7.56)看出，由三部分合成：第一部分由9o引起;第二部分由9o引起;第三部分由引
起。显然起始扰动引起的总,可视为由oPoo单独作用产生的攻角叠加而成。
事实上，它们分别是下列初始条件的解
(1)u
uo时,Φ :
Po,Po = 0,yo = 0
uo时,甲,=
(2)u =
(7.57)
Po,Po = 0,do = 0
uo 时, = o,Φo = O,Po = Oj
(3)u =
式（7.56）正是三种初始条件下解的叠加，这是由于齐次方程（7.46）是线性的，其解具有叠加
性。
的偏角
的特征函数
-b(u- uo'sin( u -- uo)du
(7.58)
107

火箭外弹道学
现在碰到的问题是如何积分，因为还不知道是u的什么函数。一般野战火箭弹道主动段是加
速过程，在飞离滑轨之后的相当-一段弹道上，大都可视为等加速过程，如以α表示其平均加速
度，S。表示火箭后定心部离轨时开始计量的弹道弧长，则
: + 2 asa
(7.59)
对初速不大的野战火箭弹，在离轨后一段弹道上的推力远大于阻力和重力分量，可近似取推力
加速度 αp的平均值作为aα值,对其他类型的弹,则视具体情况而定。另外,式(7.58）中的 uo 所
相应的离轨时弹道弧长 So还不知道,这个so值应该具备什么条件?首先它必须与Vo的真实值
相对应。我们不妨选取这样的 So,使
(7.60)
S Oeff
2a
显然,这个 Soeff 于
并不等于真实的滑轨长度，叫它为“有效滑轨长度”或“有效定向器长度”。将式
(7.60)代人式(7.59)，则
2 a(soeff + Sa)
(7.61)
Seff
Soeff + Sa
2 aseff
叫做弹道弧长有效值，它实际上就是另选量度弹道孤长的起点罢了（为简化书写，今后省略
Seff
脚注“eff”），则
(7.62)
as
将式（7.62）代入式（7.58）,得
2b,s
-b(u-uo'sin(u -- uo)du
(7.63)
中o
2 ak
2u u
被积函数中，（αp/a +2bys)exp［－b（u－uo)是一个变化很缓的函数,积分时,可取 uo处的值，
并不会影响结果的准确性。且令
(7.64)
2bys0
则式（7.63）为
sin(u - uo)
C3
du
(7.65)
V2 ak
2uVu
定义函数
yo sin( yo, y)dy
(7.66)
Br(yo, y)
108

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
C3
Br(uo, u)
(7.67)
kvo
现在有些外弹道书上也常使用函数 R（uo,u）,它与 B,函数的关系为
Bi(uo, u)
Rg,(uo, u)
(7.68)
2uo
那么式(7.67）也可表示为下列形式
C3N
(7.69)
.(uo, u)
的特征函数中*。为
同样方法,将式(7.54)代人式(7.45),并取山= 0,则得βo引起偏角
VO
-b(u- ug'cos( u - uo)du
(7.70)
利用式（7.62）和（7.64）得
C3
cos(u - uo)du
2uN
定义函数
Yo
cos(y - yo)dy
(7.71)
Br(yo,y)
(7.72)
C3Br( uo, u)
Br（uo，u）和 B（uo，u）均已编成了表（见附表14）,分别是函数 B（uo，u）的实部和虚部，函数
B(uo,u）为
i( u- wo)du
B(uo,u) :
(7.73)
2u
再看o所引起偏角
女中*。。将式(7.55)代人式(7.45),得(注意取如o = 1)
的特征函数
= 1 C3
cos( u - uo)du
中中o
2u
(7.74)
= 1 - C3Br(uo,u)
(7.75)
中中
攻角和偏角的性质
7.4.2
知道了各起始扰动的攻角和偏角特征函数公式，便可制作函数曲线。这些曲线示于图
7.10、7.11、7.12中,图中 α表示发射架滑轨方向（发射前的射向）；角度的单位是rad,各特征
函数的单位则不一定是rad。
109

火箭外弹道学
Xn(5)
中o 0.2
0.1
P= 0
u-- uo)
中o= 0
和崂。由
曲线
图 7. 10
Xn(5)
1.0
0.5
2π
(u-uo)
= 0
-0.5
P- 0
-1.0
曲线
图 7. 11
1.0
0.5
Po= 0
do= 0
(u -- uo)
图 7. 12
曲线
110

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
和中。
现以.
为例进行分析。由图7.10和式(7.53）知,攻角为-一衰减的正弦函数,就是
说，弹轴相对速度矢量的摆动是衰减的正弦摆动。这个摆动过程和单摆在重力作用下的摆动有
些相似,如图7.13所示。为了定性地说明摆动的物理过程，暂且不考虑速度方向的变化。当火
箭受到起始摆动角速度o作用时,在惯性作用下,弹轴将摆动而产生攻角。攻角出现后，伴随
着稳定力矩M，而使摆动减速。经过一定时间后,摆动角速度衰减为零［图7.13(c)]，此时攻角
达最大值。在稳定力矩作用下，弹轴又往回摆动，使攻角减小[图7.13(d)]，当攻角减小到零时
【图 7.13(e)],由于弹轴具有定的角速度,故在惯性作用下,将继续摆动，因而攻角将出现负
值。此时又出现新的 M，使弹轴摆动减速,并向回摆动。如此循环,往复不止。
9, -0
M2
Mz
Mz
(d)
(e)
(c)
(b)
(a)
弹轴摆动过程与单摆相似
图 7. 13
弹轴摆幅逐渐减小的原因，主要是由于主动段内速度不断增大的缘故。由于稳定力矩随速
度增大而增大，将越来越有效地克服弹轴的惯性，因而使攻角幅值越来越小。随的增大，摆动
的表达式看出，弹轴摆动一个周期内，质心所经过
的摆幅和时间周期都将逐渐减小。但从。
变化一个周期，u的变化为2元,故
的弹道弧长
△u = k = 2π
111

火箭外弹道学
2元
(7.76)
波长入是一个很重要的参量，它可通过飞行试验测出攻角曲线得到。由此便可反求出参数
k，从而得出稳定力矩系数 mz。按 u = ks,将式(7.76）代人,得
(7.77)
u =
可见u意味着相对弧长，体现着摆动的相位。
言，
(7.78)
SKP 一 So
临界段是偏角山形成的主要区域，它反映了火箭弹在弹道初始段上抗干扰能力较弱。因此要增
强抗干扰能力，以减小射弹散布，就须在临界段内采取措施。
引起偏角的根本原因是推力的法向分量，次要的力还有升力，这可从图7.8或图7.9看出。
的临界段为37m），火箭攻角较大，推力法向分
量较大；又此时火箭速度不大，动量甚小，故而速度方向易于改变。此后随着攻角幅值的减小和
火箭速度的增大，则速度方向就难以改变，偏角的变化也就不大了。
还有点也是值得注意的,就是偏角的变化趋势取决于攻角：当>0时，山增大;<0
时，出减小;=0时，出有极值。这个由图中体现出来的性质,也可以从式(7.37)①得到证明。
从物理意义上也是比较清楚的，因为推力的法向分量与弹轴（）总处于速度矢量的同侧。从
图7.8(或图7.9）易见，当为正时,推力法向分量指向上方（或右方）速度矢量向上（或向
右）偏转,即山增加;反之，为负时,推力法向分量指向下方（或左方）,则向下（或向左）偏
转，山将减小;当=0时,法向力为零,偏角也就暂时不变。
关于βo和如引起的攻角和偏角的性质,在许多方面都与上述相似,读者可自行分析，但
它们也有自已的临界段，只在刚出炮口的四分之一波长的一段弹道上。
由于存在临界段这一概念,故计算偏角时,所取参量如 A、β、m，等,都取临界段内平均值
即可，在此段内一般属亚声速，故气动系数可取为常数。这也是前面对方程组进行简化的理论
依据之一。
彩响偏角的因素
7.4.3
由9o引起的偏角为
do。 = podo.
112

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
Rg.(uo, u)
C37
po的理论计算问题目前还没有完全解决，暂时只好不管它。在此只分析一下影响特征函
数山。的因素。显然,对中。有
有直接影响的因素有 so、k、a、C3等。为最终考察落点偏差量,这里
将分析诸因素对主动段末 K点之帅（uo，uk）的影响
1.有效滑轨长度 so 对Φ（uo,uk）的影响
So 是通过 uo 来影响 Re。（uo，uk）的。Rg。随 uo 增加而减小,见图7.14和图7.15,且在 uo较
小时,变化的斜率越大。当加速度aα一定时,有效滑轨长度 so增加,意味着初速 o的增加，使稳
定力矩增加、攻角减小，因而减小了法向力；另外增加了初始动量，使抗干扰能力增强。这都对
减小偏角有利。
Rio
0.5
uo-0.05
0.3
uo -0.25
0.2
uo =0.50
0.1
(u -- uo)
10
Rp。- uo 曲线
图 7. 15
Rp。-（u,uo）曲线
图 7. 14
从图7.15可看出，当uo到定值后，Rg（uo，uk）随 uo变化就不大了，故选取so 时要考虑
这一情况。此外应考虑到若 so增大，实际上是增长滑轨【见后面式(7.79)】,那么可能使起始扰
动增加,致使总的偏角加大。
2.k 的影响
k增加是使山。
减小的，增加意味着稳定力矩M，增大，使攻角幅值减小，法向力亦减小；
减小。
同时增加使波长减小，从而临界段内飞行时间短了。这两方面都使
3.C3 的影响
apo而 2bso≤1,故可取 C3 ~
l。当初速较大时,由于考虑阻力的影响,则a< αp,使 C3>1。这是因为阻力起减速作用，自然
使偏角增加。对增程弹,还要考虑到升力的影响,则 C3将比 1大得多。
113

火箭外弹道学
4.推力加速度 αp的影响
又 αp = aα。在滑轨长度定时,推力加速度 αp增加,初速
对初速不大的野战火箭，可近似取
Vo亦将增加,不能认为它们之间没有关系。若火箭弹在滑轨段的平均加速度为αP,实际滑轨长
记为 S00,则
= 2aposoo
有效滑轨长度（脚注“eff”省略）
2 a Po s00
α PO
(7.79)
$ 00
2ap
2a
dv
可见发动机提供的加速度 αp和 apo正比例增加时,有效滑轨长度是不变的。故 ap对 Re。无影
响。但 αp增加使/元/（ka）减小,从而。诱
减小。这是因为在 o一定时,较大的 αp将使临界段
内速度加大，当然有利减小偏角。然而,对o的初步分析认为，αp增加可能使o加大,因而
ap
对总的。
的影响不大。
有明显影响。因为此时 Vo 不随 ap变
化，而ap直接影响有效滑轨长度,其影响情况见第十二章的增程理论部分。
再论有效滑轨（定向器）长度
7.51
现在所研究的问题是火箭离轨后的摆动运动，这个运动的规律性已经由运动方程组所描
述。求解运动方程组依赖于离轨条件，即初始条件以及初速o和对尔后飞行速度起决定性作
αp。显然，主动段内的运动规律与离轨前的运动，即滑轨段内的运动状态并无
用的推力加速度
依赖关系。定向器的主要作用，一是赋予射向，二是提供初速 Vo。至于滑轨实际长度，它对主动
段内的运动状态是没有影响的。如果说有影响的话，它只不过影响 o 和起始扰动的大小，但这
是间接的。在研究主动段内摆动运动时，尤其研究反映主动段内摆动运动特性时，只要考虑特
征函数就行了，这些特征函数所依赖的初始条件都是单位起始扰动。就是说，如果想像有火
箭弹，它用某一定向器发射，且在滑轨段内的加速度与离轨后的加速度完全相等，也等于真实
火箭离轨后的加速度，而且离轨时所具初速 Vo与真实火箭初速一一样。尽管这两种定向器长度
不一样,滑轨段的加速度不一样，但由于主动段起始条件一样，它们将必然具有同样的特征函
数，即相同的主动段内的摆动运动规律性。如此看来，用想像的火箭滑轨长度来代替真实滑轨
长度，不但不影响主动段内的运动规律性，而且给计算带来方便。
从上面分析知道，增加有效滑轨长度可以增强抗干扰能力并减小偏角。对野战火箭弹，为
了增加有效滑轨长度，根据式（7.79），如大幅度地加大滑轨段的推力加速度，那将是-个很有
效的办法。
ap,那么有效滑轨长度 so与真实滑轨长
如图7.16所示，在滑轨段上的推力加速度
ao>(
114

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
度 soo 之间满足下列关系
(7.80)
此式不但表明有效滑轨长度是真实滑轨长的
αpo/αp倍,而且表明有效滑轨比真实滑轨增加的
长度△so 为（αo/αp～1)so0,这个长度满足图 7.16
中两个带斜线部分面积相等的关系。由此可见，弓引
odp
人有效滑轨长度以后，计算弹道弧孤长的原点已不
是火箭弹起点o（火箭启动时的质心位置），而是
0:
将原点移动到了01的位置,它距的长度为△soo
Aso -
S00
增加滑轨段推力加速度的方法，可考虑加助推发
动机，或采用燃速不同的混合装药。
把有效滑轨长度概念应用到火箭增程弹上，
有效滑轨长度的确定（图例）
图 7.16
若发动机点火时的速度和加速度分别为UH和αp,
则有效滑轨长度为
VH
(7.81)
2ap
设VH= 2
200 m/s,αp = 400 m/s,则 so 可达 50 m之多。如再减小αp之值,则 so 可相当大。
计算散布的方法及散布与射程的关系
7.6
如果测得起始扰动o的中间误差
Bs。,那么主动段末的偏角中间误差为
B(。) =
Bp.do (uo, uk)
(7.82)
对其余两个起始扰动量βo和o可用类似公式计算。
之值，那么就直接造成落点的距离散布和方向散布。
由于在高低和方向上都有其
距离散布
7.6.1
在铅垂面内出现偏角 k时,就是K点的切线倾角k产生了偏角△k =dk，此偏差便在被
动段产生射程偏差为
Qe。（c，Uo，o）,它表示射角变化1分时所引起的射程变
地面火炮已有射程对射角的修正系数
化量，现已编成表，列于《地炮外弹道表》第二部分。对火箭，可近似引用此系数,取
CkH( yk)
Qe(ck, Uk,Ok),
CK
115

火箭外弹道学
于是
△X = Qe.Φk
(7.83)
则距离散布为
Bx =1 (
(7.84)
Qe. 1 B(yk)
式中，B（dk）以分为单位。
X2i
方向散布
7.6.2
图7.17所示k的方向偏离射击面的角偏差为
k，设被动段的水平距离为X（可近似以全射程X代
替），那么落点的侧向偏差（即方向偏差）乙满足下式
tandki kl
式中kl是在水平面上的投影值。由几何关系可
MINi
MiNi
tank1
MKcosOk
M1K
7.17
dk 与 x1 之间的几何关系
tank
MN
MKcosOk
cosOk
因和ki 均很小,故得
(7.85)
cosOk
则方向散布 Bz 与射程X的比值为
Bz
B(Φk)
(7.86)
cos+k
散布与射程的关系
7.6.3
在火箭设计中,散布指标通常是指 Bx、Bz与射程X的比值，叫做距离相对中间误差和方向
相对中间误差,记为
Bx
(7.87)
BZ
由式(7.86)知 Bz = L
B(k）X/cosk，且 B(k）一般与射程无关,故 Bz 随射程增加而增
加。至于 Bx，B(dk）与射程无关,但 8<8oxmax 时，1Qe。1随射程增加而减小,所以由偏角散
116

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
布引起的射程散布随射程增加而减小。形成 Bx的原因比Bz要复杂,射程 X，依赖于ck、Uk、Ok、
yK,故全射程
X = xk + Xb = X(ck,Vk,Ok,yk,xk)
Aux +
Acx +
xoe
若认为 △ck、△k、△8k是相互独立的随机变量，它们的中间误差是 Bck、Buk、Bek，则射程中间误
差为
aX
Be.
(7.88)
Bx
显然，只有当速度和弹道系数的变化很小时，Bx随射程增加而减小的结论才是正确的。距离散
小射程时 Bx > Bz;在最大射程附近,Bx< Bz;在某中间射程时,有 Bx = Bz由于在小射角时
IQ。|很大，为减小小射程时的距离散布，人们有时用阻力环加大阻力，使用较大的射角射击，
以减小丨Qe。Ｉ值。
散布圆示意图
图 7.18 ±
往往随射程而变,有的随射程增加而增加,这样，Bx就不
不能忽视，尤其Bc
如果 B,
和B
一定随射程增加而减小。但对多数情况而言,在最大射程时，一般 Bz>Bx。
计算某火箭弹起始扰动引起的落点散布。已知:Vo = 66.33m/s Vk = 350 m/s,
例题 7.1
1.205 74 kg/m² ; Bgo
Cx
0.31, Cy
2.86 1/rad, 0
0. 10 rad/s, B
9.4 1/rad, mz =
4.0 ×10-4 rad, Bμo
7.0 × 10-4 rad。
oSlm
0. 083 83.
k=
= 0.013 68.
2A
oSC
oSC
0.20 × 10-2
= 0.652 2 × 10-4
bx =
2m
2m
139.2,
3.00.
2a
C3
2byso 1 + 2byso = 1.02,
ksk = 11.67
kso = 0.419,
uK =
uo =
117

火箭外弹道学
由（uo，uk）查附表14得
BR = 0.353 4, B = 0.270 9
于是
C3Br(uo, uk)
1.020 x 0.270 9
49.69 × 10-3
kvo
0.083 83 x 66. 33
C3 Br(uo, uk) = 1. 020 × 0.353 4 = 0.360 5
B(yok) =
K = 49.69 × 10-4 rad
B(中k)
1.44 × 10-4 rad
起始扰动引起的总偏角中间误差为
B2(pok) + B
B2(ok) + B2(b,k)
) = 49.91 × 10-4 rad
B(Φk) =
由Ck、Uk、Ok查《地炮外弹道表》第二部分表18得
= - 0. 17 m/1
落点的距离散布为
180
Bx =I (
Qe。1 B(k) = 0.17 × 49.91 × 10-4
× 60 = 2.9 m
落点的方向相对误差为
Bz
B(Φk)
49.91 × 10-4
cosOk
142
c0s45°
推力线偏心的影响
7.7
攻角和偏角公式推导
7.7.1
本来，对微分方程（7.43）在零初始条件下求解，就可以得出推力偏心矩引起的攻角L，然
后将代人式(7.45)（取o=0),便得到偏角。但这一过程的数学运算较麻烦，下面将介绍
另一种方法，即所谓“格林函数法”。这种方法的实质是，把外界干扰的连续作用，看成是某种性
质的起始扰动对主动段各个部位的作用。这样，求解非齐次解的问题，就变成初始值的齐次解
来处理了。
如图 7.19所示,假定有一不变的推力偏心矩 Mp= FpL作用于火箭。因为 Mp对弹道每-
弧段的作用性质都是一样的，故不妨先集中力量考察个小的微分弧段dsn内的作用情况。把
118

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
Mp在dsn内作用的情况及其对尔后火箭运动的影
响弄清楚了，就可以推广到其他弧段，然后将所有
孤段的结果叠加就是了。现所取弧段dsn在s= sn
dsn
附近，火箭飞达此点的时间是 tn，速度是 n，火箭
dtn
在 dsn弧段内经历的时间为
Sn
Mp
dsn
(7.89)
dtn :
由动量矩定理,可知 Mp单独作用在dtn时间产生
的微小摆动角速度dpn满足下式
dpn
Mp
微分弧段
图 7:19
dtn
apL
(7.90)
dtn
up
在 7.4节已经推导出在 s = so处的起始扰动 βo在孤长为 s处的攻角和偏角为
Pod*,(uo, u)
dp。= poy(uo,u)
但现在的 dpn 不是作用在s = so 处,而是作用在 s = sn 处,因此引用上述公式时,特征函数中
的 uo 应改为 un = ksno这样,由微小的dpn 在弧长为s（s≥ sn）处引起的微小攻角 dé和偏角
ddl分别为
ddz = dpno(un,u)
dpu = dpndbo(un, u)
将Mp在各个弧段上的扰动所引起的在孤长为s处的微小攻角和偏角叠加起来，郎得总的攻角
和偏角【将式（7.90）代人]
o(un,u)dtn
(7.91)
R2
apL
(7.92)
po,(un, u)dtn
=
在具体积分这两个式子之前,特讲一下格林函数法的意思。在上两式中的格林函数，即被积函
数是两者之积：一是方程组（7.31）第二个方程的非齐次项；二是特征函数,该特征函数是由微
分方程的性质决定的。所论方程是线性方程,并且最高导数是（它的系数必须是1）,故所取的
特征函数,便是此降一阶初始条件βo所对应的特征函数。至于积分自变量,则和微分方程自
119

火筋外弹道学
变量一致。这个情况具有普遍性,可推广到一般。可以推断,若是式(7.31）第个方程（使山的
系数为1）有非齐次项的话,那么所选特征函数便是关于如的特征函数。
将式(7.89）、（7.53）、（7.67）一并代人式（7.91）和式(7.92)，并注意到式（7.62)，有 V=
/2as 及vn 二 ^
/2 asn，则可得
dun
(7.93)
BI(un, u)
= C3
(7.94)
dun
2un
记函数
Bi(un, u)
(7.95)
dun
Rr(uo, u)
2un
此函数已编成了以 uo 和 u为自变量的表格，见附表15。于是
C3L
Rt(uo, u)
(7.96)
其特征函数为
C3
()
Rr(uo, u)
(7.97)
kR3
实际的推力线偏心是一个随机矢量，其大小和方向都是随机的。测量表明，若取过弹轴的某一
确定方位（相对地面而言）的平面，它在该平面内的投影大致为正态分布,设其中间误差为BL，
则得角散布为
B() = B
(7.98)
由于不经常使用,所以就没有编表。若使用时,可利用现有的高等数学函数表计算。
攻角和偏角的特点
7.7.2
当=1时,得和的特征函数和，
它们关于（u－ uo）的函数曲线绘于图 7.20 中。
-（u一uo）曲线不以横轴为对称轴,而是以图中
点划线为对称位置，幅值逐渐衰减的波动曲线。曲
线的平均位置即平均攻角,称之为平衡攻角。平衡
攻角对应于总力矩为零的运动状态。正如理论力
(on-n)
--uxp-uo
学振动问题中，振动的平衡位置就是外界干扰力
与弹簧力相等的那个位置一样，现弹轴摆动的平
图 7. 20
* 和* 曲线
衡位置,对应于 Mp = Mz,即得平衡攻角 ä满足
120

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
关系式为
FpL
(曾)
apL
(7.99)
2 RAku
可见与u成反比关系，它在炮口之值最大。为减小，从而减小攻角幅值,应加大有效滑
轨长度。
的关系相似。山也有一个重要性质,即在开始一段弹
道上增加很快，当中这
达到第一个极大值后，曲线虽有起伏，并稍有增大，但变化已很小了。可
见也存在临界段,但比。
的临界段稍长。这是由于攻角曲线已对横轴不对称，从原点到攻
角曲线与横轴第一交点之间必然超过半个周期,但小于一个周期,故临界段长度在半个到1个
波长之间，大致为
(0.7 ~ 0.8))
(7.100)
SKP So = (
= O解出,显然,ukp 是uo 的函数,因而 Rt（uo，ukp）也是
实际上，Skp可由式（7.93）根据
on
的函数，在
0≥ on ≥90°0
的范围内,可将 Rt（uo，ukp）用下列简单函数表示
0. 195
Rr(uo, ukp)
(7.101)
uo + 0.322
用临界段末的偏角值代替主动段未的偏角值，不会产生明显误差。
由于
主要在临界段内形成,为减小虹，必须在临界段内采取相应措施。如反坦克火箭
利用薄肉厚火药，燃烧时间很短，以使其主动段远小于临界段，虹可有效地减小。
不旋转火箭弹的 Mp总是作用在一个方位上，产生的总偏角Φuk 就较大。为了改变这种情
况，便赋予火箭绕其几何纵轴低速旋转，以使Mp在各个方位上都有作用，从而抵消一部分偏
角，达到减小的目的。这种措施也必须保证在临界段内有足够转速才能见效。
应该指出，临界段这个概念仅对有效滑轨长度不太大的野战火箭弹才有意义。当有效滑轨
长度很大时（例如增程弹）,偏角曲线在整个主动段都是增大的，临界段显现不出来，因而需要
顾及整个主动段。
影响偏角的主要因素
7.7.3
影响偏角的因素由式（7.101）和式（7.96）看出，主要是k、So、L以及弹长。So 和k增加时，
将减小。这是因为这两个因素增加，可使平衡攻角减小法向力亦将减小，偏角当然减小。另
121

火箭外弹道学
外在加速度一定时，o增加意味着初速加大，使火箭抗干扰能力强，亦有利减小偏角。某火箭的
RL－ So 曲线及±* － k 曲线,分别绘于图7.21和图7.22中。
$t /(rad - m-1)
50
0.8
0.4
0.5
So /m
某火箭的 Ru - So 曲线
某火箭的虹* －曲线
图 7.21
图 7. 22
BL数量级，依据一些老式野战火箭的初步统计,大致如下
BL = (1 ～ 1.5) × 10-3lL
(7.102)
式中l是喷喉到火箭质心的距离。式(7.102）可作为数量级的参考，但对具体火箭弹，尤其对
新的型号，最好具体测量为宜。
弹长l对的影响可作如下粗略分析。由于 =Slmz/(2mR）而 RA α l(“α”表
表示大
kso,再
致为正比关系）,m α l,故 α 1/l。又假定 Lα l,故 L/(R）与 l近似无关。而
uo
由式(7.79）知 uo α So0/l,可见当滑轨长随弹长正比增加时,则与弹长无关。
推力加速度对山无影响。这是由于它与推力偏心矩及稳定力矩都是正比关系，αp的改变
不影响平均攻角。
某火箭参数见例题7.1,并知BL.=8.0×10-4m,求推力偏心引起的方向散布。
例题 7.2
解　由 uo = 0.419及 uk = 1
11.67查附表15 得
RL = 0.273 1
C3
1.02 x 0.273 1
B() = B B
RL = 8.0 × 10-
0.021 3
0.083 83 x 4.90
39. 20
Bz
B(dk)
0.021 3
cosOk
45°
COS
7.8风的影响
风对尾翼式火箭弹道主动段的影响比较明显，应给予足够重视。本节内容对后面要介绍的
122

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
低速旋转火箭弹也是适用的。
风的区分
7.8.1
高度 /km
符号：
春夏秋冬
风是气团的空间运动。一般大气的水平运动
15
明显地大于铅垂方向的运动，所以除了复杂地形
（如山谷）之外，可不考虑铅垂风。风速不但随地
10
点变化，而且即使同一地点它还随时间及高度变
化。图7.23是某地风速于不同季节（春、夏、秋、
冬）的平均分布。最大风速出现在对流层与平流
层交界高度以下大约一干米地方，有时可观察到
10
15
20
w/(m's -1)
急气流，其最大风速甚至可达到100m/s以上。
风速随高度的平均分布
图 7.23
考虑平行水平面的风，以射击面为准，又区分
为纵风和横风。图7.24所示坐标系
平行于地面坐
0-xyz
标系，原点o取在质心。纵风w是平行射击平面的风,沿
ox轴为正向;横风 w,是垂直射击平面的风,规定与 oz轴
方向一致为正。w又分解为平行于速度的平行风w"
与垂直于方向的风wl，显然
(7.103)
Wx cose,
Wx上
w/ =
W, sing
在主动段内,θ变化甚小,可近似取～ 800
w x
就对火箭运动影响而言，与垂直的风w,和wx都
称为垂直风。它们对火箭运动的影响在本质上都一样，
只研究其中之一就行了。
风速图
图 7. 24
对尾翼式火箭来讲，w，引起落点方向偏差，wxl引
起落点距离偏差。W"三
主要影响的大小，对方向的影响是间接的，但影响都很小，近似计算
时可略去。
垂直风对主动段影响的初步分析
7.8.2
如图 7.25 所示,当有一从左向右吹的风 w时,火箭相对空气的相对速度不是了，而是
Vr，V与的关系为
(7.104)
y=yr+wl
即火箭质心速度是火箭相对于空气的相对速度与空气速度（牵连速度）之和。火箭所感受到的
气流速度方向，正好与V相反，大小是相等的。
火箭刚一一出炮口，相对速度方向便与弹轴不一致了，也就是说，气流方向与弹轴不一致，因
而产生了一个空气动力矩Mz，这个力矩在计算方法上与稳定力矩没有本质区别。但对理想弹
123

火箭外弹道学
道来说，这是一个干扰力矩，它使弹轴偏离
相对于
预定方向，而向相对速度方向偏转。当然，
r0
火葡的气流方向
人们并不喜欢这个干扰力矩的存在。
随着弹头逆风向转动，推力作用线也
离开了原来方向，便产生了一个垂直于火
箭飞行速度√的法向力，这个推力的法向分
（质心）
w 的方向相反。这
量的方向正好与风速
（质心）
点,图7.25(b）所示的火箭处于平衡位置，
Mz
即弹轴与v，一致时，已看得十分清楚。而
且，假定弹轴是从初速 vo的方向开始摆动
(b)
(a)
的，-一般来讲，在以后的弹轴摆动过程中，
有风时火箭的两种运动状态
图 7. 25
弹轴也不会超越速度矢量线而摆到的另
（a）火箭刚出炮口时的运动状态
一一侧去。因此在全主动段内，推力的法向分
(b)火箭处于平衡状态
w反向。与此同时，气动力
量都是与风速
R也有法向分量，方向与推力法向分量相反，但大小却小得多，分析时可忽略。总的看起来，火
w士相反的推力法向分量作用下，必将逆风向偏转，因而主动段内垂直风引起
箭速度在与风速
的弹道落点偏差是“迎风偏”
wI的方向-
在被动段，推力消失，在垂直于速度方向的气动力分量作用下，由于该力与
致，故被动段表现出“顺风偏”的性质。计算表明，尽管主动段比被动段短得多，但由于主动段
有很大推力，因而风对主动段的影响是很大的，它在K点形成的偏角引起落点的侧偏要比被
动段的大，而射程偏差则因射角而异。从比较坏的情况着
眼，研究风引起的落点散布时，一般考察横风引起的落点方
向散布。
基于上述主动段内“迎风偏”的根本原因,是 Fp》R，
见图7.25(b),因而Fp的法向分量起决定性作用。那么为了
减小甚至消除这种作用，对于比较高的初速 Vo的增程弹，
人们考虑可将推力大大减小，直到与阻力相等的程度，即
Fp= R。这样，它们的法向分量便可大致对消,如此设计方
案，就是所谓“零风偏”火箭。对初速小的火箭，采用“零风
M2
偏”方案当然是行不通的，其原因不言而。
M zd
对风所引起攻角和偏角的计算方法有几种，有如上面
推导和的方法，也有用运动合成与分解的方法。这里
介绍其中的微分方程求解法。
有风时火箭的一般运动状态
图 7. 26
124

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
运动方程的建立与攻角偏角公式
7.8.3
不妨取图7.9所示的横向平面，,在横风作用下的火箭一般运动状态见图7.26,值得注意的
有w，作用下的气动力,都必然以相对速度"的大小及它与弹轴间的夹角（相对攻角）来
是，在有
计算。其中阻力Rx（以脚注",”表示有风存在下的气动力）与v,方向相反,升力 Rr垂直v,方
向。为了使问题简化，不妨假设风速w士是不变的恒定风，而且它比速度要小很多。这样，可近
似取～,并且相对速度与的夹角αw～ /
仿照图7.9的运动状态建立方程的方法，仍将式（7.15）向v方向及其垂直方向投影，可得
dv
Rxrcosaw + Ry'sinaw - mgsing;cosy
Fpcos -- R.
dt
(7.105)
Fpsind + Ryrcosαw + Rxrsinαw + mgsinf;siny
此方程组与方程组（7.29）并无原则区别，只是须将阻力和升力投影罢了。若进行简化，则
dv
2 - gsing
(7.106)
ap-br
dt
apd + by?, + bw?αw
(7.107)
再仿式（7.30），得简化式
d?
= - ?, - hzdv
dt?
于是得联立方程组如下（注意,= + w/)
+ bwwi
ap + bx
(7.108)
- kzdu p
dt2
其初始条件为零值。
仿式(7.37)①,式(7.108)①成为下式
bx + b.
aP
(7.109)
du
再仿式（7.43），可得
W" + 2bW' + W = - wi
(7.110)
初始条件为
uo 时,Wo = 0,W'o = 0
u二i
可把式（7.110）变成齐次方程形式，若令
125

火箭外弹道学
W, =
(7.111)
W',W" :
(7.112)
W',-
于是有方程
(7.113)
W", + 2bW', + W = 0
初始条件化为
uo时,Wro = wl,W'ro = 0
(7.114)
(7.113）与（7.46)两个方程在形式上安全一样，而初始条件（7.114)是（7.47)的特殊情况，即相
当于 Wo= VoPo和 W'o= 0 的情况,亦即式(7.57)的第二种初始条件。也就是说,那里的 βo相
当于现在的wl/vo，于是便得式(7.113）的解（用表示风引起的攻角）
(7.115)
(uo, u)
VO
令 wl = 1,得攻角的特征函数为
(7.116)
VO
将式(7.116）代人式（7.109）并积分，得风引起偏角w的特征函数山为
bx du
(7.117)
- np
VO
式(7.117)第一个积分为±*。/vo,即
du
32
(0
VO
对式（7.117）第二、三两项积分时，可取式（7.106）的近似式
dv
(7.118)
ap- brv
代人得
bx
d du
dv
aP
du
kv
kv3 dt
于是得
(7.119)
VO
由于
= 1-4*o
(7.120)
y(uo,u) +
126

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
和中
的性质
7.8.4
(u -- o)
21
6T
通过计算，可以知道和山者
都是负值，
说明弹轴及速度矢量偏转的方向与风向相反。
这与前面定性分析的结论是一致的。从图7.27
也存在
曲线对横轴是不对称的。
看出，0#
一个平均攻角，叫平衡攻角，满足总的静力矩
为零的条件,那么相对攻角为零,即
则知攻角的平均值为
(7.121)
①和山曲线
图 7. 27
这正是图7.25(b）所示的运动状态，此时弹轴与v，-致。可见，以w为平均位置而交变，正
说明弹轴是围绕相对速度v方向摆动着（图7.27中为w=1时的）。
由于弹轴总是停留在速度的一一侧，因而推力的法向分量的方向始终不变，偏角绝对值总是
不断增大，只不过第一个波长内增加更快一些，但尔后的增量是不可忽略的。故而对山来说，
临界段已不明显。
剖析一下式(7.119）所表示的山公式,它由两部分组成，一部分是由相对攻角引起的,另
一部分是平均攻角引起的。后-种就是图7.25(b）所示的情况，即考虑弹轴与 V,保持一致，处
w ≠ 的情形)
于平衡位置。由推力和阻力的法向分量引起的偏角满足下式(考虑
= - Fpαw + Rαw
dt
+ brwi
或变为以u为自变量时，得
+ wiku
du
kv
积分之，得
np
du +
w =1时，上式正是式(7.117）的后两项。可见（7.119）式的第二项正是火箭以平均攻角飞
行时，推力和阻力法向分量所引起的偏角，称为偏角的平均项。
而式(7.119）第一项是由弹轴相对于相对速度 V,的相对攻角,引起的,即弹轴相对 v,的
摆动引起的。对平均情况来说,这是一个附加量，即对平均项的偏差量，它是由，所相应的推
127

火箭外弹道学
于是便得该二力产生的偏角为
18
du
VO
wl = 1时,这正是式(7.117）第一项,亦即(7.119）式第一项。通常称它为偏角的相对摆动
项,或摆动项，因为它是由弹轴相对于相对速度摆动产生的。
一般来说，平均项在风偏中起主导作用，并且随初速的增加和加速度的减小，其平均项的
主导作用就越明显。对野战火箭来说，由于初速甚小，且推力加速度较大，故相对摆动项并不亚
于平均项，是不可忽视的。
影响山w的因素
7.8.5
在射击中，风是一个不利因素，应该使所设计的火箭对风的敏感最小。因此应了解各有关
因素对中的影响程度,从而尽可能地减小|1。风速是客观存在,无从减小。故只讨论对Φ
的影响因素。计算表明，丨山！随有效滑轨长度 so增大而减小。这是由于炮口速度大，炮口动
量大，使得速度方向不易改变的缘故；另外,初速大，总的攻角变小了，也使偏角减小。
推力加速度 αp增大时，l山I减小。这是因为αp大时不仅炮口速度加大,而且出炮口后
的速度加速很快，利于偏角的减小。
稳定力矩系数m,包含在k中,m²增大,k 增大;
I±！随增加而增加,如图7.28所示。这是由于m，大
意味着尾翼功效大，风所产生的气动力矩就大，使弹轴
很快离开了原来方向并达到最大攻角；相反地，如果
mz
小，则弹轴转动慢，攻角达到最大值比较晚，此时火箭飞
行速度已达较大值，故攻角和偏角都将有所减小。
弹长1增加，使赤道转动惯量增加，弹体摆动慢，其
效果与减小mz一样。
应该指出，上述因素对增程弹的影响是微不足道
的。在第十二章将指出，对增程弹来说，摆动项趋于零，
图 7.28
*「-曲线
风偏仅依赖于 vo 和 k 之值。
风引起的角散布
7.8.6
风速的变化是很大的，在同一地点，它随时间的变化规律如图7.29所示。通常气象预报的
风速都是指的平均风速。实际上，风速的随机性是很明显的，存在着所谓大气紊流度的问题。对
紊流度一般要用随机函数来描述。风速沿时间坐标或空间坐标的变化过程，都为随机过程。在
128

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
一定时间或空间范围内，还可视为平稳随
机过程，可用谱密度或相关函数加以描
w/(m's-l)
变化过程,是一个随机过程。用随机过程理
15
论来研究风的影响，目前已有一些研究成
10
果。但由于一般无控火箭主动段不长，飞行
时间也短，因而可把风速当作随机变量。也
就是说,在多发火箭射击中，对每一发火箭
15
10
1 /s
飞行过程中的风速可采取某一平均值；这
些风速是随机变量，满足正态分布率，其中
风速曲线
图 7. 29
间误差为Bw根据初步实践认为，在超低空
{36，可取如下近似式
范围内，B之值主要与多发火箭射击中的平均风速w有关
Bw ~ 0.1w
(7.122)
为 Bw，，则yw中间误差为
的中间误差为
若垂直风速
(7.123)
B(w）=
而垂直风的平均值 w士所产生的影响是系统性的,可进行弹道修正。
设纵风和横风的中间误差Bu
1.0 m/s,计算例题7.1中某火箭
例题7.3
弹引起的落点散布。
解由
由式(7.120)
= - 0.006 78
x 0.639 5
中wK
350
66. 33
VK
VO
则(取 cos0o cosOk)
B(dwk)
1 w 1 = 0.006 78
= Bw sino 1 山#k 1 = 0.004 79
B(yw) =
方向散布为（相对值）
B(pwk)
Bz
0. 006 78
cosfk
104
COs459
距离散布为
180
x 60 = 2.8 m
火箭在被动段内的摆动运动
7.9
一般来讲，主动段末K点的摆动角Pk，摆动角速度k及偏角k，都是被动段的运动起始
129

火箭外弹道学
条件。如果把K点当作普通滑膛炮弹的射出点，那么火箭在被动段内的运动，正是类似普通尾
翼式炮弹的运动。在被动段内的齐次方程仍为式（7.46），即
()" + 2b(w)" + (w) = 0
(7. 124)
初始条件为
u = 0时, = vok,()" = () ~
于是据式（7.52）得
bu
(7.125)
sinu + dkvkcosu
在求偏角时,可近似取（1/)exp（－ bu）～1/vk,再由式(7.45）得偏角为
odu = kKn(1 -- cosu) + kkukKnsinu
(7.126)
其平均值山为
y 0xKn
(7.127)
ACY
R2
RA
Kn
(7. 128)
式中
k?VK
mwxlm,
这个山对落点的影响，一般比对落点的影响要小,对不旋转的尾翼式火箭弹可忽略不计。
风对被动段的影响也是不可忽视的，这里主要指平均风（又称为弹道风）所造成的落点系
统性偏差量。
对多发弹射击中,射击时间不太长时，由于高空风较地面风稳定，被动段可不考虑风的随
机性（阵性)。
此外，关于外形不对称引起的气动偏心问题，在本章附录7.2中以M和8作为气动偏心
的指标。对被动段,它们所产生的升力为【见附录中的式（7.137）及式（7.139)】
pu?SCy(8m - On)
在整个被动段，火箭将一直在此力作用下运动,其偏角山满足方程
= - R
mw
即得
= - bxvom
t = -- boms
± =- b,om
vdt
而 dz/dt = ub,积分得落点侧偏为
130

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
= - b,ml
bxSc?0m
(7. 129)
sds
式中，Sc 是全被动段弧长，见附表 17。落点方向散布为
B(om)bxSc?
Bz
(7. 130)
式中，B（m）是M的中间误差。根据具体计算可知,当 B（M）<0.1°时,它对落点总散布的影
响是可不考虑的。但若是个别火箭 B（3m）较大,甚至具有 1°的数量级,其影响就可观了。
几个次要因素对主动段的影响
附录
附录 7. 1
推力侧分力的彩响
由推力矢量产生的侧分力 Fp 如图7.7所示,根据式(7.14),Fpl = Fpβp。考虑此力时的式
(7.31）第一式应为
apd + byv? + apβp
(7.131)
dt
角 βp所引起的偏角 β，即
(7.132)
由于dtn = dsn/vn 及vn = 2
2asn，则
aP
y(un, u)dun
将式(7.74）代人，得
aβpy
[1 -- C3Br(uo, u)Jdun
2un
定义函数
-[1 - Br(un, u)]dun
(7.133)
y(uo,u)
2.
（uo，u）已编成了函数表见附表16。
C3y(uo, u)]
(1 - C3)ln
(7. 134)
βp是正态分布的随机量,设其中间误差为 B（βp),角散布为
B(p) B(βp)
(7.135)
131

火箭外弹道学
C3h(uo, u)]
式中
(7.136)
on
rad,求例题7.1之某火箭由 Bβ，弓
1.14 × 10-3 r
例题 7. 4
引起的方向散布。
解’由 uo = 0.419及
uk = 11.67查附表 16,可得
Φ*(uo,u) = 1.47
取 ap～α,则
03
1-(
UK
p,K
+ C3y*(uo,uk)
in
on
11.67
1 - 1.02
7 = - 0.033 + 1.51 = 1.47
+ 1.02 x 1.47
in
0.419
B(βp)Φp,K
Bz
x 1.47
1.14 × 10-3
cosOk
422
cos 450
气动偏心引起的角散布
附录 7.2
尾翼式火箭弹在制造和储存运输等环节中，不可避免地造成外形不对称。通常情况下，外
形不对称并不是散布的主要来源，但若个别弹的外形损坏严重，则会带来明显的弹道偏差。对
外形不对称的描述是以空气动力的变化为依据。如图7.30所示，由于外形不对称，气动力对弹
的几何轴已不对称,故稳定力矩 Mz 应写为
Mz
也就是说,=0时的稳定力矩不为零值,而是=m时才为零。M
称为气动偏心角。与几何轴线夹角为M的轴线，称为空气动力对称
轴。在飞行过程中，火箭将以此轴为对称轴摆动。一般来讲,对升力来
说,应该另外有它的对称轴。设当=时升力为零值。那么升力
R=（1/2)pv2SC(-）。与m并不是相等的。当= m时,稳
定力矩为零，但升力并不为零。此时升力为
(7.137)
空气动力
但在多数情况下,即外形不对称主要由尾翼变形引起的话,那么，M
对称轴
和w之差就很小，可近似地把升力和稳定力矩对称轴一致起来。至于
气动偏心
图 7.30
m和n之差小到何程度,可作如下推导。假定火箭速度正好与图
7.30中的空气动力对称轴一致,即与几何轴的夹角为m［由于此时稳定力矩为零,而压力中
心又不在质心，故空气动力主矢量R必然沿弹轴指向后方（图7.31），则升力为
R = -- Rxtanom
-- ROm
(7.138)
132

第七章
尾翼式火箭弹摆动理论
式（7.138）与式（7.137）应该是相等的，即
OM
(7.139)
m - ON
由于 Cxo< C,故 m no
既然在气动偏心存在下，可以将升力与稳定力矩对称轴近似地
一致起来，那么可以不用建立方程求解的方法，而直接从物理意义的
Rx
角度上求得偏角。如果把空气动力对称轴当作新的“弹轴”,那么计算
条件，因为新“弹轴”与定向器之间有了一个起始摆动角
图 7.31
V与空气动力对称
轴一致时的火箭
力偏心角 βp = M。因而,有气动偏心存在下火箭的运动与有起始扰动 Po =－ M及推力偏心
βp =M同时存在时的运动情况完全相同。于是便知由气动偏心角引起的偏角为
Om(p,-)
Po.
其特征函数为
p - o
(7. 140)
气动偏心角是一正态分布的随机量,其中间误差为 B（m），则偏角中间误差为
B(dom) = B(0m) I m 1
(7.141)
一般火箭弹B（m）只有0.1°的数量级,对散布影响很小。但若达1°数量级时,则其影响是显著
的,在生产中须限制其公差范围。
质偏心引起的角散布
附录 7.3
若火箭的质量分布不均匀，引起质心偏离几何纵轴一个小的距离Lm，则Lm被称为质量偏
心,或习惯称为静不平衡。可对L㎡的影响作以下考虑。选一新弹轴，它过质心并且平行几何对
称轴，对“新轴”而言,将出现两种情况：一是推力对质心有力矩；二是空气动力形成力矩。前者
已在推力偏心中计及，而后者为阻力与Lm之积，即（在零攻角时）
式中负号是考虑L㎡为正向时，力矩M的作用方向是负的。此力矩相当于某一气动偏心角äm的
作用，即
133

火箭外弹道学
质心
新轴
Lm
几何轴
质量偏心
图 7.32
CL
Imz
引起的偏角为
CxLm
(7.142)
Imz
B（Lm）,则角散布为
若 Lm为正态分布的随机量,中间误差是
Cx0
(7.143)
B(Φ) = B(Lm)
Ims
根据计算，此量是很小的。
134

第八章旅
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
8.1
提到轴对称飞行器，自然会想到外形为回转体的枪弹和无翼炮弹。而尾翼弹,若有 nw片
有 nw个纵对称面,并非轴对称；如果尾翼片斜置安装，或为卷弧翼,那么这种尾翼
直翼，则只有
弹从严格的几何意义上讲既不是面对称体也不是轴对称体。但是，在外弹道学或飞行动力学
中,对尾翼弹一般仍被当作“轴对称”飞行器处理。这是因为从工程力学意义上看是合理的。
其一，任取过质心且垂直于纵轴的坐标轴，对该轴所测得的赤道转动惯量，不因该轴所取方位
不同而有明显差异;其二,任取弹体坐标系的垂直于弹纵轴的 y1轴与 z1 轴,空气动力和力矩
系数对二轴并无显著差别。若计及其差别,拟以力和力矩形式表征,将在8.6节阐述。对于轴
对称飞行器，所建立的运动方程比较简洁，尤其扰动运动方程具有某种对称性，便于解析求解。
对于不旋转火箭弹，由于不考虑火箭弹弹体绕自身几何轴线的旋转，围绕质心运动只是一
种简单的平面摆动（将正交二平面内的两摆动合成起来，可能为衰减的螺旋运动）。当考虑到
旋转引起的陀螺效应时，动量矩这个矢量就会更复杂一些，须在三维空间中应用动量矩定理分
析全弹的绕心运动。
对尾翼弹，旋转的目的是为了减小某些不对称扰动因素所引起的散布，如推力偏心、气动
偏心、质量偏心。理论和实践表明，赋予火箭以适当的自转速度，对减小这些扰动因素引起的
散布是很有效的。不过一般尾翼弹的转速并不需要很高。但某些结构（如同口径环形尾翼)的
尾翼弹,往往在跨声速阶段出现静不稳定性，为此需要高速旋转，以陀螺稳定性来弥补其不足。
然而，转速又会带来不利方面：它会引起马格努斯效应，使弹箭飞行稳定性受到不利影响；此外
由于质量分布不均匀使纵向惯性主轴与几何纵轴之间存在一定角度（所谓动不平衡角），此轴
向自(滚)转速度将导致这一动不平衡造成散布。
对无翼的涡轮式火箭弹，自转的根本目的在于提供陀螺稳定性。
总之，,旋转条件下的运动方程组,对散布分析和稳定性分析都是必要的。
从力学观点来看，无论是涡轮式，或是尾翼式火箭弹，除了某些力有所差别外，其运动方程
在形式上是一样的。完全可以对各类火箭的运动规律采取统一的运动方程组。
在建立运动方程时，考到对运动影响的大小程度，应该计及的力有：推力的轴向分量，重
力，空气阻力和升力；计及的力矩有：静力矩（对尾翼弹为稳定力矩，对涡轮式火箭弹为翻转力
矩），尾翼导转力矩，喷管导转力矩，极阻尼力矩，赤道阻尼力矩，马格努斯力矩。所计及的扰动
135

火箭外弹道学
因素，除了起始扰动外，还有下列诸项：
(1)推力线偏心；
(2)风;
(3)动不平衡。
顺便指出，还有其他一些扰动因素也能引起散布，如气动偏心、质量偏心、推力的侧分力
Fp等等。但就目前制式火箭弹的生产工艺水平来看,对正常的火箭弹（如果没有突然的明显
变形），只要赋予一定的转速，而且不是共振转速（对尾翼弹即避免每一波长自转一周的情况），
那么气动偏心和质量偏心引起的散布在总散布中的地位就会降为很次要的了。这点，在本书
参考文献[6]中已用理论计算证明过。推力侧分力Fpi对野战火箭弹所引起的散布也是很小
的，用不着计及。但有人认为它对某些尾翼式火箭增程弹的影响是不可忽视的。其实,这不过
是拿它引起的散布量同推力矩引起的散布量相比较而说的。然而，全面地考虑总的散布，理论
和实践都证明，这两个散布量都随转速增大而减小。对尾翼式火箭增程弹，只要从减小推力矩
引起的散布量为基点来选取足够转速，那么其散布量本身就在总散布中处于可忽略的地位。
这样，Fp所形成的散布也便随之与推力矩形成的散布量一样，自然而然地被忽略掉了。但为
了考以上次要因素的影响程度,还是在适当的方程组中将它们列出。
在电子计算机被普遍采用的条件下,能将实际问题变为个数学模型是很重要的。对研
究火箭运动来说，其重要性更是无可非议。
火箭外弹道学中常用的坐标系及其相互关系
8.2
坐标系及参考基
8.2.1
研究火箭的运动规律，必须有一定的参考系作为基准，以便于进行理论分析和试验观测
如果参考系选取得合适，将会使方程形式简单，便于分析问题；否则，将会使之繁琐，不便处理。
现取以下几种坐标系。
1.地面坐标系（ground axes）
与地面固连的坐标系,用 α－xyz 表示。以弹道起点作为坐标原点；以射击面（包含理想弹
道初速矢量的铅直面)与弹道起点水平面的交线为x轴，顺射向为正；轴铅直向上；z轴依右
三轴方向。
2.平动坐标系（displacement axes)
平动坐标系以αdydzd表示。其坐标原点为弹体质心①,为书写方便,仍以表示;在
弹箭飞行中,三坐标轴始终保持与地面坐标系三轴平行,故经常仍以 o－ xyz 表示。其基以 ed
在此不计质量偏心。
136

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
表示。
3.理想弹道坐标系（ideal trajectory axes）
表示。原点在质心；α；轴为理想弹道切线方向，向前为正；yi
理想弹道坐标系以－αiyizi
轴在铅直面内与 α；轴垂直,向上为正；z；轴依右手定则确定。α;轴与水平面的夹角为理想弹
αivyi轴绕 z;轴旋转,转动角
有 ;。该坐标系为非惯性系,其 z;轴保持与射击面垂直,而
道倾角
速度为;。其基以 e;表示。
4.弹道坐标系（trajectory axes）
对于轴对称的弹体，该坐标系常称为速度坐标系；但对于面对称的飞行器，“速度坐标系
将有专门定义。该系以－α22z2(或－αttzt)①
表示。原点在质心；z2轴与速度矢量
致；y2轴在铅直平面内并垂直于 x2轴,向上为正；x2轴依右手定则确定。该坐标系的基以 et
表示。
5.相对速度坐标系（relative velocity axes）
在有风的情况下，飞行器与空气之间的相对速度V不等于飞行速度，它们间的相对关
该坐标系以-r表示。轴与一致;轴在铅直平
系依赖于风速 w,且 Vr=V-W。该
面内并垂直于 x,轴,向上为正；z,轴依右手定则确定。该坐标系的基以er表示。
6.弹轴坐标系（axis system）
弹轴坐标系代表着弹轴的方位，它可以通过不同的途径加以定义。
(1)第~弹轴系
该坐标系以n 表示。它可视为由平动系经两次绕轴旋转得到:先将 αdydzd绕 zd
轴转动a角（称为弹轴高低角）,使 αd与轴转到αd和轴的位置;然后再绕n轴顺时针方
向转动@2角（侧向摆动角）,使 αd与 zd轴分别转至和轴的位置,与弹轴重合。其基以
eα表示。
(2)第二弹轴系
该坐标系以 ε''表示。它可视为由弹道坐标系经两次绕轴旋转得到:先将 0 x22z2
绕 z2轴转动1角（高低攻角）,使 x2与 y2轴转至 α²和㎡的位置;然后再绕㎡轴顺时针方向
转动2角（侧向攻角）,使 x2和 z2轴分别转至和"轴的位置，与弹轴重合。其基以 ea表
示。
这两种弹轴系的第一轴都与弹轴重合，它们各自第二轴之间的夹角与各自第三轴之间的
夹角均为αa；当速度矢量偏离理想弹道切线方向较小，及侧向攻角2较小时，αa很小,可认
为两坐标系近似重合。第一弹轴系用于建立弹道方程，第二弹轴系用于计算与攻角有关的气
动力。
－x22z2及下面弹体系－×1z1、弹轴系 -m 是我国军标规定的术语及符号。
137

火箭外弹道学
7.弹体坐标系（body axes)
弹体坐标系以 1z（或－αbbzb)表示。其三轴与弹体固联，轴与弹体纵轴一
致,其余两轴在弹体赤道平面内。－α11z系可视为第一弹轴系－m绕转动角(滚转
角或自转角)而成。该坐标系的基以eb表示。
各坐标系（及基)之间的关系
8.2.2
了解各坐标系间的关系，目的在于将一个坐标系内的物理量,转换到另一个坐标系中去。
比如推力沿弹轴方向，是在弹轴坐标系内，但建立质心运动方程是在弹道坐标系内，就须把弹
轴坐标系内的推力转换到弹道坐标系中去，这可通过坐标变换。从两坐标系间的投影关系，确
定方向余弦表，不仅可以用来变换点在空间位置的坐标，而且用来变换任何可用矢量表示的
量。变换公式的一般形式可从表8.1得到。
表8.1
方向余弦表的一般形式
矢量投影
C12
C13
C11
C21
C31
C 32
C 33
2"
记坐标变换矩阵为
C11
C 13
C 12
(8.1)
C21
C 23
C 22
- C31
C 32
C33 -
则表8.1中的坐标转换关系写成下式
z']T= C[α
(8.2)
由线性代数知，坐标变换矩阵为方向余弦矩阵，它是正交阵，其转置矩阵与逆矩阵相等。
最简单的变换矩阵,是某一基被视为由另一基绕其某一基矢量转动一个有限角度而得，它
们之间的坐标变换矩阵是最简单的方向余弦矩阵，该矩阵由所绕转轴及转动角所决定。
(1)基 e。绕eq1逆时针方向转动角α,至基 ep,则方向余弦矩阵为
(8.3)
=()
sina
cOS α
-- sina
cosα
(2)基e绕eq2逆时针方向转动角β,至基ep，则方向余弦矩阵为
- sinβ-
cosβ
(8.4)
C2(β) =
L sinβ
cosβ
138

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器·-般运动方程组
(3)基 e绕eg3逆时针方向转动角 ,至基
基ep，则方向余弦矩阵为
sino
(8.5)
C3(α) =
- sino
COSo
Ci（α）、C2(β）、C3（)是三种基本的坐标变换矩阵,其脚注表示所围绕的转轴标号,括号内的
量是逆时针方向转动的角度。借助于这三种矩阵，可确定任何两坐标系之间的转换关系。
在外弹道学中，各坐标系之间的关系
由它们相互间的转角完全确定，如图8.1所
示。
其中
1-—高低倾角，由平动系绕 oz 轴
逆时针转动而得；
1—-高低偏角,理想弹道系绕 ozi
轴逆时针转动而得，
(8.6)
= 61 - ;
2——侧向偏角，速度与平面
α;oy;的夹角,右偏为正;
P1—高低摆动角，
图 8.1
各基之间的关系
(8.7)
相对倾角;
r-——相对偏角;
其他符号已在前面述及。
以 UUy,表示在平动系中的投影,在有纵风wx、铅直风 w和横风wz时,相对速度r为
(8.8)
Vr = [(x - Wx)2+(y - wy)2+(vg w)21/2
(8.9)
(8.10)
b, = arcsin[(v, - w,)/]
, = arcsin[(vy - wy )/(vicospr)]
(8.11)
依据基本变换矩阵(8.3）～（8.5)的含义，并按照各弹道角度的定义，易于由图8.1中的关
系直接写出下列坐标变换矩阵：
(8.12)
Cid = C3(0;)
(8.13)
Ctd = C2( - 42)C3(01)
(8.14)
Cad = C2( - P2)C3(Pa)
(8.15)
Crd= C2( - Φr)C3(0)
139

火箭外弹道学
Cti = C2( - Φ2)C3(Φ1)
(8.16)
Cai = C2( - P2)C3(Φ1)
(8.17)
Ca't = C2( - 82)C3(81)
(8.18)
Caa' = Cl(αa)
(8.19)
Cba = Ci()
(8.20)
式中 Cp是基e.相对于基e，的方向余弦矩阵,即矢量坐标从基e。转换到基ep中的坐标变换
矩阵。借助这些矩阵不仅实施坐标变换，而且便于对有关的弹道角度建立函数关系式。比如
aar
三者之间的关系,可由基之间的转换关系得到函数式。实际上，由图8.1可见,基 e,转换到基
可由两种不同途径达到，一是经由基
ea'，即
ed，是经由基
erCdr
"—Caa
er-Ca'r
C(αar)Ca'r = CadCT
(8.21)
式中 Ca仿式(8.18)为
Ca'r = C2( - 2)C3(8r1)
(8.22)
将式（8.21)展开，并对等号两边有关的矩阵元素进行比较，便得
sind2 = sin@2cosyr - sindrcos2cos(Pa - 0r)
(8.23)
sindr1 = sin( Φa - 8r)cosP2/cosd2
(8.24)
(8.25)
sinα ar = sin(Pa -- )sindr/cosd2
类似的方法可得如下关系式
(8.26)
sind2 = sin@2cos2 - sinb2cosP2cos(a - )
(8.27)
sind1 = sin(Pa - 1)cosP2/cosd2
sinaa sin( a -- Sr)siny2/cosd2
(8.28)
由式(8.25）、(8.28)看出,当z2、（a-,)以及 2、2、（a=1)为小量时,αar和 αa为
二阶小量。
式(8.23）～（8.28)之类的关系式称为联系方程,其关联形式是多种多样的。不过当采用
计算机运算时，并不需要给出这些显示关系式，它们能够由矩阵运算结果直接解出，而不需要
人工求解。为加深理解和运用上述关系式，下面举例说明。
1.弹道系与平动系的关系
弹道系是表示速度矢量的方向的，相对 0－ xyz来说,可由两个角度确定(图8.2)：
高低倾角i—速度矢量在xoy(铅垂面)内的投影与水平面的夹角，向上偏为正；
侧向偏角 ±2
一矢量与 xoy面的夹角，偏向射击平面右方为正。
140

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
坐标系 0— α2222
可看作是坐标系－ xyz 经两次
旋转得到的。第一次绕水平轴 oz 旋转 61 角,转至 oα'y2
位置,转动角速度矢量 ,沿 oz轴方向。第二次继之绕
oy2 轴顺时针方向旋转 2 角,0x2轴恰与重合,旋转角
11
速度2沿 oy2轴负方向。此二坐标系的关系完全由 61
和 2确定。由图8.2知,速度在平动系o～xyz 上的
三个分量(以，，表示)为
x = vcOsΦ2cOsO1 = vx
y = vcos2sing1 = Vy
(8.29)
z = sinΦ2 = Vz
图 8.2
弹道系与平动系
这就是火箭质心移动的运动学方程式。
式(8.29)中的 cos42cos61,cos2sin61 和 sin2 正是 ox2 轴对于 o - xyz
乙三轴之间夹角的方
向余弦,它们是 ox2轴上单位矢量在－ xyz
三轴上的投影值。很明显,若是事先知道了这些
方向余弦，就可以不费力地把运动方程写出。同样，可以把 oy2轴上的单位矢量投影到α－xyz
轴上去,又得到 oy2轴对 o xyz
三轴夹角间的方向余弦为：－ sind1,coso1及 0。再以同样方
归结上述九个方向余弦，排列于表8.2中。
表 8.2
弹道系与平动系间的方向余弦
坐标轴
022
- sing1
- siny2cos01
cos d2 cosf1
ox
cos01
- sing2sing,
cos y2sind1
sin 2
COS t2
表8.2中的9个方向余弦就是弹道系向平动系的坐
标变换矩阵 Cdt，由式（8.13)
Cat = CTd = [C2( ~ 42)C3(61)JT = C,T(61)C2T( - y2)
再将式（8.4、（8.5)代人即得。
2.第二弹轴坐标系与弹道坐标系间的关系
根据 ''与222
两坐标系的定义。弹轴
与速度之间的相对位置可以用两个角度确定（图8.3)：
高低攻角 i——弹轴 o 在平面
α20y2上的投影与
0x2 的夹角,当弹轴在上方时为正;
ZZ
侧向攻角 2———弹轴 o与平面α20y2的夹角,弹轴
图 8.3
弹轴系与弹道系
在该平面的右侧为正。
141

火箭外弹道学
-'这个坐标系的方位,亦可视为～α2222
经两次旋转而得到的。试比较图8.3与
图8.2便立即发现两个图中所表示的坐标系之间的关系是类似的，此处1相当于61，2相当
于是就直接由表8.2得到 0与α22z2 间
间的关系,诸方向余弦列于表8.3中。
于中20
表 8.3
第二弹轴坐标系与弹道坐标系间的关系
坐标轴
50
COS02COs01
- sind1
- sin02c0s01
ox?
COSd1
- sind2sind1
cosd2sind1
Oy2
sin02
COsd2
Z20
3.弹体坐标系与第一弹轴坐标系间的关系
从两坐标系的定义知道，它们之间仅相差一个角度（滚转角)（图8.4）,规定绕轴逆时
针转动为正向。仿照上述方法，易知两坐标系间的方向余弦如表8.4所示。此可由式（8.20)
取转置得到
表 8.4
弹体坐标系与第一弹轴坐标系间的关系
坐标轴
OX 1
OZ 1
30
-- sin?
sin
COSY
α3
图 8.5
坐标系的转换
弹体系与弹轴系
图8.4
4.坐标变换矩阵的通用形式
根据上述几种坐标系的相互关系,可综合成下列两坐标系 α－ xyz 和α-x'y'z之间的一般
关系。0－α'y'z'可视为 0-xyz 经三次旋转而得:第一次绕 oz 轴逆时针方向转动α1角,转到
位置;第二次绕 oy轴顺时针方向转动α2 角,转到 oxz 位置;第三次绕 oα轴逆时针方向转
ary I
142

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
动α3 角,转到 oy'z'位置,如图 8.5 所示。则坐标系 0－ xyz 向o－αyz'的转换矩阵为
C = Ci(α3)C2( - α2)C3(α1)
将式(8.3）～（8.5)代人，便得
sina 2
sina 1
cosa 1
cOsα 2
sina 3
-- sinα 1
. cosaα3
cosα 1
L -'sina2
LO
- sinα3
COSα2
cosα 3
sina 2
sinα 1cosα2
cosα 1 cOsα 2
- sinα1cosα3
cosα 1 cosα 3
cosa 2 sinα 3
-- sina1sinα2sinα3
- cosα 1sinα2sinα3
- cosa1sina3
sinα 1sina3
cosα 2cosα 3
-- sinα 1sinα2cosα3
L - cosα1sinα2cosα3
综上所述,对于基 e向基e的坐标转换关系由式(8.2)为
z,JT= C[ g
Lαp
Yp
由此推出任意三个基 epvegve,之间的坐标变换矩阵关系：
(8.30)
Cp = CprCrq
还可任意递推，即
ICh,h+1
(8.31)
C p9
k=p
方向余弦矩阵是正交阵，其逆矩阵等于其转置矩阵，即
(8.32)
qp
火箭运动方程组的一般形式
8.3*
任何自由刚体的运动，都是由刚体的质心运动和围绕质心运动两种运动的合成。火箭不
同于般刚体,因为在发动机工作过程中,它是个变质量质点系。在第一章中曾指出，像火
箭这样的变质量物体，在建立弹体运动方程时，完全可以当作常质量物体来处理问题，只不过
在外力中额外加上推力罢了。当然,还有因重心相对弹体移动及弹体在空中摆动而引起的燃
气惯性力等，在一般情况下，是可以略去的。
在弹道坐标系中的火筋质心运动方程
8.3.1
火箭质心相对地面坐标系0xyz 的运动方程之矢量形式为
dy
(8.33)
dt
式中,F表示包括推力和重力在内的一切外力,此外还有柯里奥利(Coriolis)惯性力。
143

火箭外弹道学
在弹道坐标系内建立质心运动方程，而弹道坐标系
0-x2y2z2 是一个动参考系,其转动角速
度为（图8.2)
2 = 01 + 2
(8.34)
它在 0-x22z2 三轴上的投影分别是
= 01sin2
= 42
(8.35)
= 61cOs中2
如果用dv/dt 表示v相对动坐标系o－x2y2z2对时间t 的导数,称为v的相对导数,那么便有
dy
(8.36)
+ 2× v
dt
dt
而在o－α22z² 三轴上的投影为
(8.37)
=0
将式(8.36)代人式(8.33),再将式(8.35)和式(8.37)代人,并用 etl,e,e3表示 0=x2y2z2 三轴
上的单位矢量，则得
Eti
dv
- 42 1cos42
O sind2
+m
Et2 m
F、Fz,表示 F 在0-α22z2
2三轴上的分量，那么就得标量形式的质心动力学方
如果用
程组
dv
dt
(8.38)
m vcos2
dΦ2
dt
显然，这是第一章理想弹道动力学方程的扩充。
从方程组(8.38)看出，Fx，、Fy
是切向力，
三者对速度变化的作用是各不相同的。F
是铅垂面内的法向力，使速度方向在铅垂面内发生变化，它为正时，弹道向
之起减速作用。
是横向力，使速度方向偏离射击面，F，为正时，使弹道向右偏
上弯曲，为负时向下弯曲。F
144

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
转，反之向左偏转。
火箭转动运动方程式
8.3.2
为了建立火箭转动运动方程式，应用动量矩定理
(8.39)
- M
dt
式中，M包括推力矩在内的一切外力矩；K为弹体转动动量矩矢量。火箭在发动机工作期间
[2,4,5]
在弹轴坐标系 - 中来建立转
是变质点系，运用动量矩定理时必须注意刚化原理
动方程，对火箭运动而言，所得到的方程式形式简单明了。
如图8.6 所示,弹轴坐标系 0－sms 与平
动坐标系 xyz 之间的关系是由两个角度 βa
和 β2所确定的：βa是弹轴高低角,是弹轴在
射击面（铅垂面）内的投影与水平面的夹角。
β2 是侧向摆动角,是弹轴与射击面的夹角。
弹轴坐标系～ns 是由平动坐标系-
xyz 经两次旋转得到的，且相对 o－ xyz 而言，
其转动角速度の。为
(8.40)
Oa= βa+ P2
弹体坐标系～α11z1
与弹轴坐标系 0-
仅相差一个自转角，自转角速度沿
方向。全弹的转动角速度の为①
图 8.6
弹体转速诸分
(8.41)
0=+0,
另外,根据运动合成原理,类似式(8.36),dK/dt 可分解为对o－sns坐标系的相对导数d,K/dt
与因 o-ns 以角速度のa转动时牵连速度之和,即
Y'p
+ 0aX K
代人到式(8.39)得转动方程的标量形式如下
dK
"W ="y"m - sywm +
dt
dK
(8.42)
"W - y"m - y"m +
dt
dKr
+ WaKn - WanKe = My
dt
忽略地球自转角速度，因其数值同或w。比较而言是微量。
145

火箭外弹道学
其中脚注、n、表示相应诸量在该轴上的投影。のa的三个分量组成的列阵依式(8.40)和图
8.6 知①
PasinP2
Wa
[ =
(8.43)
War
P aCOs P2
至于 K在o－内的表达式,则要作一些推导。由理论力学知,对同一坐标系而言,动量矩
矩阵为转动惯量矩阵与全弹转动角速度矩阵之积，即
[K] = J[]
(8.44)
式中［の]由式(8.41)及图8.6知
+ Φasin2
Y + Wat
3(m
(8.45)
- 92
PaCOSP2
- Jen
- Jes
- Jns
J=
(8.46)、
L - Jrs
Je、JmJes表示弹体对，n，轴的转动惯量;Jen，Jes，表示惯性积。
需要具体地求出式(8.46)。考虑到质量分布不均，弹体惯量主纵轴的方向将与几何纵轴
不一致,就是说,二者存在-个夹角 β,在弹体坐标系o－ x1y1z1 内,可用两个分量表示:
中心惯量主纵轴在 x1oyi平面内的投影与 oα1轴的夹角；
βD1
βD2—-中心惯量主纵轴与
α1oyi平面内的夹角。
显然,由中心惯量主轴组成的坐标系－αiyiz可
可以通过弹体坐标系 0－ α111
经过两
次旋转得到。对 o一αiyizi 坐标系来说,惯量矩阵具有下列简单形式
Jx
J' =
(8.47)
Jy
A-
其中第二个等式基于火箭是轴对称体,它绕轴 yi和 zi 的转动惯量 J，和J，是相等的,即赤道
转动惯量 A；J是极转动惯量，近似等于绕纵轴的转动惯量，以 C记之。
可以通过坐标变换来把J转换到J，下面作此推导。事实上，弹体中心惯量主轴坐标系
就严格的数学意义而论,任一矢量与其坐标列阵是不能等同的。若将某坐标系三轴上的单位矢量以éi、é2、é3表
示,任-矢量 B的三坐标B1、B2、B3,则 B= Bie1+ B2e2 + B3e3。若写成矩阵形式,以黑体字表示坐标列阵：B=［B， B2
B,]T,é=[er e2 e
é3JT,便有 B=BTeTB。显然矢量 B 与其坐标列阵B 是有区别的,不可混为一谈！鉴于出版规定矢量与
矩阵符号都采用黑体字，为了区别，本书往后将任一矢量B仍以黑体B表示，其坐标列阵以[B]表示。
146

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
0-x1yizi,可认为是弹轴坐标系转到弹体坐标系,再转到中心惯量主轴坐标系这过程所得
到的。并考虑到 βDi和 βp2很小,可取 sinβDI～ βD1,sinβm2～βp2,CosβD1～1,CosβD2～1,并略去二
阶小量,则得 -m到-xiyiz的坐标变换矩阵为
Cba = C2( - βm2)C3(βD1)Ci() =
Bpr
- βD1
(8.48)
siny
COS Y
L - βD2
- siny
COS Y-
βDn = βD1COs - βD2sin
(8.49)
式中
βDs = βp1 sin + βD2COs
这样,弹轴坐标系内的矩阵［K]、[の]便与惯量主轴坐标系内的[K']、の']存在下列转换关系
[K'］= Cba[]
(8.50)
['] = Cba[]
由理论力学知
[K] = J[]
(8.51)
[K'] -J'[o']
(8.52)
将式(8.50)代人式(8.52)得
Cba[K] = J'Cha[]
将上式两边左乘 CbaT,并注意到 Cba是正交矩阵,存在下列关系
Cb'aTCb'a = I
1是单位矩阵。则
[K] = ChaTJ'Cba[o]
此式与(8.51)式比较，便知
J = Cb'aT J'Cb'a
(8.53)
这是一-个很重要的关系式,它给出了不同坐标系内惯量矩阵的转换关系,将式(8.47)和式（8.
48)两式代人，经矩阵运算并整理得
- (A- C)βp
-(A - C)βDm
- (A - C)βDm
(8.54)
J-
L -(A- C)βps
顺便指出，当考虑到质心偏离几何中心时，上式也是基本上正确的，因为它的影响是高阶小量。
于是动量矩列矩阵为
147

火箭外弹道学
- (A -- C)βDm
- (A- C)βps
Ke
3(m)
ud(-) -
K.
(8.55)
L -(A- C)βpr
将它代人式(8.42），并注意到式(8.43)和式(8.45)的下列关系
was =- Wgtanp2
(8.56)
Wan
War = wy
方程组（8.42)便成为下列形式(略去一些次要量）
(βDrfon + βDrvg)
dt
dwn
(8.57)
是(βpwe)
dt
这就是绕心运动动力学方程组比较具体的形式。而绕心运动的运动学方程组，由式（8.45)知
COS 02
(8.58)
二 - we - wrtanP2
火筋运动方程组
8.3.3
火箭运动的一般方程组将由式（8.29）、（8.38）、（8.57)和（8.58)组成。其中火箭质量m（t）
及转动惯量都作为已知函数。考虑有风存在下的一般情况，所求参数有 19个，即
V, 01, y2,we,Wn,Wy+a,P2,Y, x,y,z,αar Or, yr,'vr,Or,Orl,O2
其中后7个参数将包含在空气动力和力矩中。但只有 12个方程式,还需要 7个方程,这就是
联系方程，它们是式(8.9）～（8.11）、式(8.23）～（8.25），以及
coso, = cosdr1COsd2
(8.59)
这一关系式是明显的，只将弹轴上的单位矢量以两种不同途径向V（ox,轴)方向投影即得：一
是直接向 v（oα轴)投影;二是先向
oxryr平面投影,继而向 ox;轴投影。
We~ Vx/(rE + yg +
再计及地表曲率，参照方程组（1.76)的推导，取地表切面坐标系的转速
y）。在该动坐标系内建立运动方程时,需考虑由の。引起的牵连运动。
综合上述，得火箭运动方程组如下：
148

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器-一般运动方程组
dt
mw cos §2
+ m
dt
rE+yg+ y
. dt
dt
dt
dt
da
dt
COS 2
rE+yg+y
d92
=-Wr
= we - wrtanP2
(8.60)
dx
1+
re + yg
vcos2sin1
dt
dz
= vsiny2
, = [(v - w) + (y - w,)2 + (v - w)]
Vz- Wz
br = arcsin
14
Vr
Vy - Wy
O, = arc sin
15
Vrcosbr
2 = arcsin[ sinp2cosbr - sinp,cosp2cos(Pa - r)]
90
8n = arcsin[ sin(a - )cosp2/cosd2
d, = arccos(cosdrcosdr2)
18
α ar = arcsin[ sin(Pa - ,)sind,/cosd2
19
149

火箭外弹道学
诸外力和外力矩
8.4 j
重力
8.4.1
重力作用在质心上，不会对质心产生力矩。这里把重力场视作平行力场，那么其方向被认
为与地面坐标系的 oy轴反向。其表达式为
(8.61)
G = mg
质量 m是时间的已知函数,取决于全弹质量和燃气每秒流量。g的大小由式(1.20)确定。
根据表8.2,知G在0～α2y2z2上的三个分量为（构成列矩阵）
- mg sing1cos2
[G] -
- mg cos41
(8.62)
mg sindrsiny2
推力和推力矩
8.4.2
为了获得自转速度，多数火箭采取斜置喷管。
也有在燃烧室壁上开切向孔的，其出发点都是为
了产生喷气反作用力矩。以涡轮式火箭弹为例来
分析下具体情况。如图 8.7所示,设有 n 个与
弹的纵轴交叉成一定角度的斜置喷管。各管喉
FpjE
部中心位于直径为d*的圆周上，且分布的圆心角
A-A
相等,为 360°/n。过喉部中心作与该圆周相切且
平行弹轴的平面，喷管轴线便位于该平面内，与弹
轴的夹角为ε，ε叫做喷管斜置角。且每个喷管出
由每个喷管所产生的推力 Fpj
口端面面积为 Sej°日
Pir
均由动推力Fp,和静推力两部分组成（见式（1.6）
的推导)。Fp;的方向沿喷管轴线，而静推力则仍
(pe-p)
垂直于喷管出口端面。动推力Fp,可分解为火箭
轴向分量Fpi和垂直于弹轴的切向分量Fpi两部
分。故轴向总推力为
斜置喷管
图 8.7
Fp= n[ Fpi + Sej(pe - p)] =
n[Fpjcose + Se;( pe - p)]
150

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
Fp= Iml uicose + Se(pe - p)
(8.63)
Se(pe - p)
(8.64)
ueff = ui +
I m I cOSE
它是式(1.8)的推广，于是
Fp = I m I uefrcOSE
(8.65)
有Fpic合成结果构成一个与弹的几何轴线一致的力矩Mxp，且
所有
= n(Fpjsine)
=lmlui
sine
将lml由式(8.65)代换得
Mxp= Fp
(8.66)
tane
Mxp叫做喷管导转力矩。
比值 u1/uer根据式(8.64)，一般 S（pe-p)/l m1不超过
上 u1 的 10%，ε 不超过20°,故
uefr大致为0.9左右；若精确计算，可参阅火箭发动机原理方面的书籍。
对于其他型号火箭的特殊情况,其 Fp及 Mxp的表达式是不难具体推导的，这里就不多作
赘述。推力 Fp是沿弹轴方向的，它在弹道坐标系上的三个分量为(表8.3)
P*2
F pcosd 1cosd2
FPy2
F psind1cos02
(8.67)
FPz2
Fpsind2
应该指出，Fp及Mxp通常应以发动机试验测
量值为依据，而且还须测出推力线偏心L。在弹
Mpy!
体坐标系内,它有两个分量 Ly,和 Lz（图8.8)，二
Ly
推力偏心矩分量为
Fp
Mpy?
(8.68)
Mpz.
根据方程组（8.60），需要得到弹轴坐标系内
- Mpz1
的力矩分量，由表8.4得
Lz, cos + Ly, sin?
Mpn
(8.69)
图 8.8
推力线偏心
Mpr
L, siny -- Ly, cos?.
151

火箭外弹道学
空气动力
8.4.3
首先不考虑风，在攻角存在的条件下,空气动力以弹道坐标系作为参考系。
1.阻力R和升力R
阻力是总空气动力在飞行速度方向上的分力，表达式为
(8.70)
Rx =
20 SC.
升力是在由速度矢量v和弹轴所构成的阻力面内，且垂直于，表达式为
(8.71)
R, =
2 SCy
在较小时升力系数C为
(8.72)
Cy 二 Cr
C,是升力系数导数
2.稳定力矩及翻转力矩M,
能使弹的攻角增大的为翻转力矩，能使攻角减小的为稳定力矩，统称为静力矩。力矩矢量
M,方向垂直于攻角平面,其大小为
(8.73)
Mz =
巨 mz>0;对稳定力矩，mz<0,在运动
而静力矩系数 mz对ä的导数m，有正负之别,对翻转力矩
方程组中,M,采取统一的形式(8.73)。
3.赤道阻尼力矩Mzd
它是阻尼弹轴摆动的力矩，又称摆动阻尼力矩，表达式为
(8.74)
Mzd =
赤道阻尼力矩系数 mzd与其导数的关系为
(8.75)
Mzd mzd
4.尾翼导转力矩M
xu
尾翼根部翼面零升力线与弹轴的夹角E，叫尾翼斜置角。这样每个尾翼片上便产生法
向力Rm（图8.9,右图是从弹底朝前看的视图），从而构成导转力矩。其一一般表达式为
(8.76)
M.
尾翼导转力矩系数 mu与其导数 mxu,的关系为
(8.77)
Mxw = mxuE
152

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
5.极阻尼力矩Mxd
它是阻尼弹自转的力矩，又称滚动阻
力矩，表达式为
Rnw
Mxd =
ov? Slmxd
(8.78)
气流
+ Rnw
极阻尼力矩系数 mxd为
(8.79)
Amxd
图8.9·斜置尾翼
其中
(8.80)
6.马格努斯力和马格努斯力矩
对旋转弹，当有攻角时，便产生马格努斯效应。就无翼旋转弹来看，垂直弹轴方向上将出
现气流速度
vl = vsind
司时因弹体自转而带动临近空气产生弹体环流速度近似为
于是图8.10中弹体左边的合成速度为
Vl+ Vi
右边的合速度为
对右旋弹，按照伯努利效应，便产生个自右向左的力，此力即
为马格努斯力。它对质心的力矩，就是马格努斯力矩。马格努斯力
只有升力的百分之几，它对火箭运动影响甚微。但马格努斯力矩是
一个不稳定因素，在稳定性分析时是需要考虑的。较深人的研究发
现,按上述的马格努斯效应的机理不能得出准确的定量计算结果。
年提出，当弹丸旋转且存在攻角时，弹体四周的附面层
马丁在 1955 至
图 8.10
旋转体产生马格努
将发生畸变,这种畸变对攻角平面不是左右对称的。由于附面层被
斯力的机理之一
看成是紧贴于弹体侧面的个“薄壳体”，它等效地改变了弹体的气
动外形，因而改变了所产生的气动力。不对称的“壳体”必然引起左右不平衡的力。但马丁理
论只适用于全层流情况，而且不能表达马格努斯效应的非线性现象。在此基础上又出现了丰
恩理论。认为旋转弹体上的马格努斯力的主要来源有二：一是上述附面层位移厚度沿周向发
生畸变;另一个是攻角平面两侧弹体附面层中的周向速度分布不同,两侧附面层中的离心力不
同，因而径向压力梯度亦不同，必然提供侧向力。不过在大攻角时，附面层在弹体背风面要发
153

火箭外弹道学
生分离，此时由丰恩理论所算出的结果也不能令人满意。
对尾翼弹，马格努斯机理与弹体截然不
同。如图8.9所示，当攻角=0时，斜置尾翼
各翼片上的法向力将与对应翼片上的法向力
量值相等而方向相反。若有攻角（>0),则
位于弹身背风面上的翼片会处于弹身的涡迹
区内,该翼片上的法向力将会减小。这样，上、
下翼片的法向力便合成一个侧向力一一马格
努斯力，它使图8.11所示弹头向右偏转。同
时由于弹体绕轴旋转又产生当地升力（沿翼展
方向线性增加，它们形成极阻尼力矩），其方向
与上述法向力方向相反，也因弹身涡迹使翼片
当地升力减小而致上、下翼片合力构成为侧向
力。该二侧向力方向相反，一般前者大于后
者。
存在攻角时的斜置尾翼弹
图 8.11
除了弹体遮盖这个机理之外，还有因翼片
斜置且存在攻角时所引起的偏航（侧向）力矩。如图8.11所示，假定翼片1、3处于攻角平面
内,当>0时,翼4与矢量之间的夹角(等于+E)将大于翼2与之间的夹角（等于-
E）,那么翼4比2受到的法向力及阻力都要大，它们各自在弹轴方向上的合力所形成的偏航
力矩使弹头向左偏转。反之若<0,则弹头向右偏转。此偏航力矩与转速无关,甚至在零转
速下也存在这个力矩。而且对展长稍大的斜置尾翼弹来说，这个力矩在总的偏航力矩中占据
着相当重要的地位。此外，因旋转所引起的附加攻角分布,对左、右翼片来说是反对称的，有效
来流速度也是反对称的,也产生偏航力矩。当今，人们习惯将运动参数(如、Wε、a)耦合所引
起的诸偏航力矩都称为马格努斯力矩。综合上述，马格努斯力矩至少来源于四个方面：尾翼斜
置角，弹身滚转，翼面滚转，弹身干扰。其一一般表达式为
M, = 立ou2 Slmy
(8.81)
当攻角甚小时，马格努斯力矩系数m，采用下列线性式
(8.82)
my = m,o
此式常用于斜置尾翼弹，马格努斯力矩系数导数
amy
(8.83)
对于 m与转速w有关的情况,通常取二阶导数形式
= m;(d)
(8.84)
154

第八章
旋转火筋弹及轴对称飞行器一般运动方程组
? my
式中
(8.85)
Wid
约定马格努斯力矩矢量M,与矢量の=×（の=×v）一致时,m（m)取正值;反之取负值。
有风时的气动力
8.4.4
空气动力取决于火箭与空气的相对速度、
空气特性及弹体形状与飞行姿态。在有风的
wxl
情况下,相对速度 vr并不等于飞行速度 v，它
α w
(αX wI
们之间的相对关系依赖于纵风wx和横风wz，
见图8.12。图中略去了在通常情况下较小的
铅直风。由于 ² 很小,可认为 w，与 ozz轴一
致;wxl与w是w对的垂直与平行分量,并
且①
图 8.12
2v与的关系
W / = wxcos01 (8.86)
Wxi = Wxsindr
显然
(8.87)
Vr=v-w --Wxl-wz
在所规定的
」w和w，为正向的情况下，相对速度V将偏向飞行速度的左上方，向上偏离的
角度 αwl为
Wx
(8.88)
awl = arctan
V-w //
向左偏离的角度αw2为
(8.89)
αw2 = arcsin
相对速度 Vr的大小，根据式(8.87)或图8.12的几何关系可知
(8.90)
在有风条件下气动力的计算,应该以及其与弹轴间的夹角为依据。比如阻力将不在矢量v
的方向上，而与，反向，这就需要投影到弹道坐标系中。下面用矢量形式写出诸空气动力和
力矩的表达式,然后把力投影到坐标系 0－x2y2z2中,把力矩投影到 0～m 坐标系中。
在有风的情况下,阻力面是V和弹轴所确定的平面,并以表示(弹轴)的单位矢量。
为了区别有风与无风条件,在气动力诸符号下加脚注“r”，以示为有风情形。下面首先给出在
姿态角不大的情况下的较为精确的气动力表达式，以便用于解析求解绕心运动规律，这种情况
在某种特殊情况下还要计及铅直风w，届时亦仿此将w以矢量为基准分成两个分量叠加到式(8.86)中
155

火箭外弹道学
就是近似认为第一弹轴系与第二弹轴系相重合。对于二者不重合的一般情况下的气动力表达
式,亦将给出具体的推导方法，以便利用方程组（8.60)做更精确的弹道计算。
1.阻力R
R与.反向，可写为下式形式
(8.91)
由图8.12知v,在弹道坐标系 0－x2y2z2三轴上的分量构成为列矩阵
v-w/
(8.92)
Wxl
故R亦有三分量构成列矩阵为
u-w/
R.
(8.93)
Wxl
- w.
xr2
2.升力R
Ry在和v所决定的阻力平面内,垂直并与位于v的同一侧,故可表示为
(8.94)
Vr×(≤× V1)=0 -(VrE)Vr
(8.95)
由表 8.3知,在－x2y2z2三轴上的分量为
cOsd1 cOsd2
(8.96)
cosd2 sind1
sin02
VrE = ( -- w")cosdicosd2 + Wx+ cosd2sind1 - W,sind2 ~
(8.97)
- w/ + Wxo1 -- w,d2
将式(8.96)、(8.97)代人式(8.95)得 vr ×(× v)在 0 - x2y2z2
三轴上的分量为
COsd1 COsd2
-(-w /μ + wxl1 - w02)
cosd2 sin01
Wxl
sin02
- w.
w21 + w - wxl(- w)d + w,(-- w/)d27
v2o1 -(v- w)Wxl
v282 - (- w/)W,
156

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
则升力列阵为(以下取,/sinr～1)
v?-wxl(v- w)81 + w,(-ww)82
21+w
Vrx,
2o1 - (-- w/)xl
R.
(8.98)
yry2
2 0Sc,
V282 -(v- w/)z
3.静力矩M
(8.99)
对该力矩,必须在弹轴坐标系内求得三分量，V和在α－三轴上的分量分别构成列矩阵
故 ×的三分量为
- rn
由表8.3知
sin02
COS d1 COS d2
cos02sind1
VrE
- sind1
cOsd1
(8.100)
L - sind2csd1
COs82-
-- sind2sind1
将式(8.92)代人，略去高阶小量得
VrE
- (-w/)81+wxl
L -(v- wu)82- wz
于是得静力矩列阵
Mzr
- (v- w/)82 - wz
(8.101)
L(- w/)d1-wx±
Mzt?
4.赤道阻尼力矩M
Md的方向恰与弹轴摆动角速度の。相反,故
Mzde = -
(8.102)
157

火箭外弹道学
のa三分量为式(8.43),故Mzdr之矩阵形式为
M zdre
W: tanP2
M zdrn
(8.103)
M zdr?
其轴向分量很小，一般可略去。
5.尾翼导转力矩Mxwr和极阻尼力矩M
xdr
它们都只有一个轴向分量,前者与轴向角速度の=方向一致,后者方向相反。
(8.104)
xur
(8.105)
M.
2 ow, Sldmxaw:5
xdr 二
6.马格努斯力矩Myr
设马格努斯力矩M的方向与二重矢量×（×)相同
v, Sm, ×( × vi)or/singr
(8.106)
当 My与×（×)方向相反时,m,取负值。若用
月m表示，根据式（8.82）与（8.84），将式（8.
106)中的 m用m（wsd/)替代即可。由于
×(5×Vr) (5·Vr)E - Vr
又因·=,则×（×r)的三分量为
(- wμ)d1 -wxl
(v- w/)2 + Wz
故 Myr在－m 内的三分量构成列矩阵
M yre
Mym
(- w)d- Wl
oSlmyv.
L(- w")82+ W
O点处的水平面
(8.107)
柯里奥利惯性力
8.4.5
过O点处地球
经线的铅垂面
对射程较远的火箭，需计及柯里奥利
惯性力。在图8.13中，火箭所在位置在北
半球的点,地理纬度是A，ON为正北
方向，0E为正东方向。
火箭在北半球的方位
图 8.13
设射击平面（或射向0x）与正北向ON
158

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
在地面坐标系内的分量为
的夹角为α'。则地球旋转角速度2
cos A cosα
Ex
= 0
(8.108)
sinA
Ey
- -- cosAsinα'
Ez
而柯里奥利惯性力 Fc 为
(8. 109)
Fc = 2mv × 2
在弹道坐标系内表示为
Etl
(8.110)
Fc = 2m
QEy2
Ex2
根据表8.2及式(8.108)知
- -- QEcosAcosa' sind1 + QesinAcosd1
Ey2
(8.111)
- - QecosAcosa' sind2cosf1 - QesinAsind2sing1 -
E32
QecosA sinα' cosd2 - - QecosA sinα
代人式(8.110)得 Fc 的矩阵形式为
F C*2
Fcy?
(8.112)
cos A sinα
= 2mQEv
L sinAcosd1 -- cosAsina' sinf1-
诸力和力矩之综合
8.4.6
Fyz、Fz，Me、Mn、M具体地表示出来。由式（8.62）、（8.
至此,可以把式(8.60)中的
67)、(8.93)、(8.98)和(8.112)得
x1
(8.113)
Wxl(- w)01 + w,(- w")02) - mgsingicosd2
(8.114)
mg cosf1 + 2mQevcosA sina
Fz. = Fpsind2 +
(8.115)
mgsindising2 + 2mQev(sinAcosd1 -- cosA cosa' sing, )
由(8.66)、(8.69)、(8.101)、(8.103)、(8.104)、(8.105)、(8.107)诸式知
159

火箭外弹道学
M = Mxp +
pv Sldmxdv:
(8.116)
(8.117)
M = Fp( Lz, sin + L
Ly, cos ) +
(8.118)
气动力的精确表达式
8.4.7
1.阻力
阻力表达式为式(8.91），在平动系中的列阵为
Vx - Wx
[Vr,d] -
(8.119)
Vy - Wy
Vz- Wz
则在弹道系中的表达式为
[v,] = Ca[Vr,d]
(8.120)
由式(8.13）、（8.4）、（8.5)及式（8.29）、（8.119)代人，并稍加整理得
v - wxcosficosy2 - wysinf1cos 2 - w,sin2
[ Vi,t] =
Wxsinf1 - Wycosf1
(8.121)
WxcosQisinp2 + Wysind,sind2 -- W,cosb2
那么阻力在平动系和弹道系中的表达式分别为
Vx -- Wx
[Rx,d] = -
(8.122)
Vy -- Wy
Vz - Wz
V - Wxcos,cosy2 - wysinficos2 -- W,sing2
[Rx, d]
Wxsind, -- wycos1
(8.123)
wx cosfμsin2 + Wysind1sind2 - W, cos2
2.升力
由式（8.71）、（8.72)（该两式中的和均需以r、,替代）、（8.94）、（8.95)可知升力表达
式为
(eal - cosdrer1)
(8. 124)
sind
160

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
er在平动系中的列阵由式(8.119)及式(8.8）、（8.10)、(8.11)可得
cosOicosr
Vx -- Wx
[yr,d]
[er,d] --
sino,cosyr
(8.125)
W.
sing
Vz - W,
弹轴单位矢量 eal在平动系中的列阵为
cOs P acOs 2
[eai,d] Cda
-[C2( - Φ2)C3(Φa)JT
sin a cOs P2
(8.126)
sin92
将式(8.125）、（8.126)代人式(8.124)便得升力在平动系中的列阵为
sinPacos P2 -- cosdrcosfrcosdr
[Ry,d] =
sinPacosP2 - cosd,singrcosyr
(8.127)
sind
sin2 - cosdrcosdr
在弹道系中，eal的列阵式为
COSd1cOd2
[eal,t] -
sind1cosd2
(8.128)
sind2
则升力在弹道系中的列阵为
[Ry, t =
(8.129)
将式（8.121）、（8.128)代人，而得具体展开式。
3.马格努斯力
马格努斯力表示为
(8.130)
Xerl
Eal
sind.
其中标量式参见(8.164)。为便于矩阵运算,现介绍矢量叉乘的一般运算关系：若 c =a×b 且
每一一矢量各有3个坐标分量，则c之坐标列阵为
[c]=a[b]= -b[a]
(8.131)
式中带波浪号的符号表示矢量的坐标方阵或叉乘矩阵，比如
- a3
a2
(8.132)
- a1
式（8.131)可经矢量积的运算直接验证。于是马格努斯力的坐标列阵的表达式为
161

火箭外弹道学
[R
(8.133)
sind,eal[en]
将上面给出的[eal]和[er1]的表达式代人，即可得到在平动系或弹道系中的表达式。
4.静力矩
静力矩表达式由式(8.99)为
M, = sinor
(8.134)
erl × eαl
式中 M,参见式(8.73),但需取相对速度 ,和相对攻角r。现求 M在弹轴系中的坐标列阵，
为此需先知道［eal,a]及［erl,a］,易见
[eal,a] -[1
O]T
(8.135)
[erl,a] = Car[1
O7T
(8.136)
式中
Car = CaaCa'r = Ci(αar)C2( - 82)C3(r1)
(8.137)
利用矩阵式(8.3）～（8.5）,将式(8.137)代人式(8.136)得
COsd 1 COsd r2
- (sindr1 COsαar + cosdr sind 2sinα ar)
(8.138)
erl,a
sindri sinaar - cOsdr sind 2COsa ar
将式(8.135)按式(8.132)构成eal,a，再由式(8.134)及式(8.131)、（8.138)得静力矩在弹轴系中
的列阵
M.
sindr sina ar -- COsdr sind 2COsa
(- eal,a[etl,a]) =-
[Mz,a.
(8.139)
美ar
sind
sind,
L sindr1 cosα ar + cosdr1 sind 2sinα;
5.马格努斯力矩
参见式（8.81）、（8.106)等式，易知马格努斯力矩在弹轴系中的列阵
-(cosofeal,al -[erl,al)
[My,a] =
(8.140)
sind.
将式（8.135）、（8.138)代人上式，并采纳式（8.59），得
M.
sind1COsaar + cOsdr sind 2sina ar
[My,a]
(8.141)
sind
- sindr sinαar + cosdrsind2cosα
6.其他气动力矩
赤道阻尼力矩Mzd、尾翼导转力矩Mzw及极阻尼力矩Mxd均采用式（8.103）、（8.104）和式
162

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
(8.105)。
最后指出，在进行精确的弹道解算时，则需以式（8.122）、（8.129）、（8.133）、（8..139）、（8.
141)诸式取代式(8.93）～（8.107)中的诸气动力和力矩；在较大姿态角或风速较大时，这种取
代是必要的，但在二者都较小时则可不必。此外，在特殊情况下（比如尾翼弹大攻角飞行），则
应在方程组(8.60)中计及8.6节的其他次要力和力矩。
扰动运动方程组及其简化
8.5
第一章建立的理想弹道方程组(1.61)是在六条基本假设条件下得出的。由该方程组所确
定的理想弹道大致上反映了火箭质心运动规律。现在不受基本假设的约束，建立了火箭运动
的一般方程组(8.60),用这个方程组计算出来的弹道将偏离理想弹道。如果把理想弹道作为
标准弹道,那么在理想弹道方程组中所没有考虑到的其他任何因素,都将作为扰动因素。这些
扰动因素使弹道偏离理想弹道，而且诸运动参数都与理想弹道运动参数有偏差；这个偏差量就
是(8.60)与(1.61)两方程组的计算结果之差。为了便于区别,不妨将方程组(1.61)的理想弹
道参数用脚注“i"标记，即知
dv:
api--axi - gsind;
d8
g cosoi
dt
(8.142)
dyi
= vising;
dt
dxi
: U;cosQ:
dt
显然，V;、;、αi、y;都是时间t的已知函数。可将方程组(8.60)中与此有关的参数表示为
V Vi + Av
01 = 6: + 中1
(8.143)
Pa = f; + P1
y= yi+dy
x= xi+△Ax
将式(8.143)代人式（8.60)中，便可解出-切与理想弹道方程（8.142)运动参数之差值：
△u,41,42,1,2,1,2,△α,，z等。这样的方程组,就是对理想弹道的扰动运动方程组。
十分清楚，扰动运动方程组中的上述运动参数偏差量，都是以理想弹道为基准来度量的。要精
确地求解这些量，需要用电子计算机计算。为了对扰动运动的物理本质有所了解，同时为了进
行散布和稳定性分析，可对扰动方程组加以合理地简化，以寻求具有准确性不太差的解析解。
163

火箭外弹道学
首先,把这个问题建立在小扰动的基点上,认为角度 12±142、1、2都是小量。而且认
再就是在定范围内，可把气动系数的诸导数及
为风速比飞行速度要小得多，且取
VrVoJ
弹体参数如 A、㎡等取作常数。此外，还将略去次要的力和力矩,如柯里奥利力；与第七章对
方程组进行简化一样，仍取△=0。为了书写方便,将方程组(8.60)的质心运动方程和弹轴摆
动运动方程分别进行简化，并采用下列符号
asc
2m
2m
oSim
2A
(8.144)
aSI? mzd
2A
oSim
2A
式(8.60)D变为
ap- bx2 -- gsing;
(8.145)
式(8.60)②变为
= apo1 + byu2( 81 -
Wx
- bxuwx+ - gcosd; + gsingid1
由式（8.142)第二式代人得
= apo1 + b,y2( 01 -
Wx
- bawxl + gsind;y!
(8.146)
式(8.60)③变为
= apo2 + by2( 82 + +
(8. 147)
+ bxw, + gsind;Φ2
dt
将式(8.147)两端乘以虚数i,此i=~一1;再与(8.146)式相加,得
= ap+ by2(4.
(8.148)
+ bxw+ + gsind;Y
式中
=山1 +i2,为复偏角
△=+i2,为复攻角
(8.149)
wl二一wxl+iw为复垂直风
164

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
方程(8.148)即为实际速度方向偏离理想弹道切线方向的偏差量方程。如上章所述，计算诸扰
动因素所对应的角偏差量是散布分析中的重要任务。求解方程（8.148)的关键在于知道复攻
角△的函数关系，为此须依赖转动方程。下面研究一下转动方程组的简化问题
将式(8.60)④、③、③中较次要项略去，即可简化为下型
dw = Me
dwn
(8.150)
Cwgug = Mn + (A - C))
dt
由式(8.60)、@、③得简化式
(8.151)
- hm
w= Φa=Φ1 +i
代人式(8.150)得
(8.152)
Cy M:
- Ap2 + Cy1 + Ci0; = M, + (A - C)(βn + pn)
(8.153)
Ap1 + C2 + A; = Mr + (A - C)(βpr + pr)
(8.154)
角可根据式(8.152)单独求出其近似值，它就是已知函数了。式(8.154)和(8.145)是描述弹
轴运动的方程,可合并成一个复数形式的方程。将式(8.153)乘以（－i),再与式(8.154)相加，
得（省略;的脚注）
A - iC = f + iC - A +(A - C)βp(2 - i)ei
(8.155)
式中,Φ是复摆动角，f是力矩的等效力。
(8.156)
Φ = 1 + iP2
f= My-iM, = -iM
(8.157)
M = M + iMy
式(8.155)右边最后一项是利用式(8.49)代人后整理得到的,其中
(8.158)
βD = βD1 + iβD2
βD是在弹体坐标系内表示的复动不平衡角。方程(8.155)就是旋转条件下的弹轴摆动方程，
它适于解析分析之用。又由方程组(8.60)的6、D式知
P2 ~ 42 + 02
P1= Φi + di
(8.159)
Φ=+△
165

火箭外弹道学
这样式（8.148）、（8.155)和（8.159)便构成联立方程组。
在具体寻求f的表达式之前，需说明f的意义，以及如
何形象地表示各复角。
如果以单位长度为半径作一球面,那么球面上的弧
长与相应的球心角（以rad为单位)在数值上是相等的。
为了清楚起见，以火箭质心0为球心作单位球面，如图
8.14所示,图中 0－α2iy2iz2i是理想弹道的弹道坐标系，
轴是理想弹道切线方向，它与单位球面相交于点 T;。
0X 21
X2i
弹轴与单位球面相交于B点，速度矢量与单位球面相
交于 T点。显然，只要知道了 B 点和T点的位置,就等
单位球面
图 8. 14
于知道了弹轴和速度的方位。不妨在单位球面上作正
交线族（相当于地球的经纬线），于是单位球面上的弧长
实轴
1P22,便确定了 B和 T的位置。这样 B 点在单
位球面上画出的运动轨迹，就表示出弹轴在空间的运动
过程；同样，T点的运动轨迹，便表示速度¥之方向的变
化过程。这是一种形象的表示方法。
但是，单位球面用起来还显得不甚方便。地理工作
.个局部地区（比如一个国家)的地理情况，
者为了表示
便将地球仪的相应部分展开成平面图。同样，考虑到B
点到 T点只可能在T;点附近的个局部范围内变化,这
$2
92
一局部本来就接近平面，干脆就展开成平面，从球心向
复平面
图 8.15
前看,示于图8.15中。以 T;作为原点①,以 α2ioy2;平面
与球面交线为纵轴,它是度量 Φ1 和山1 的坐标轴,沿 oy2;方向为正向;横轴垂直于纵轴,沿
Oz 2i
方向为正,以此度量 Φ2和山2。把纵轴作为实轴,横轴作为虚轴,便构成为一个复平面,复数 Φ
和正是表示B点和T点的位置,复攻角 △正是二者之差。
现在的问题是，研究弹轴的运动已转化为在复平面上研究B点的运动；对速度方向变
化的研究亦转化为研究T点在复平面上的运动。用这个观点再看方程(8.155）,Φ和@正是B
点在复平面上的速度和加速度。把赤道转动惯量A视为质点B的“质量”时，则质量与加速度
之积应等于诸外力与惯性力之和。这样f就是“外力”了，它的具体含义如图8.16所示。
若在 B点有一数值等于Ms且方向与on轴一致的力fn，另一与 f大小相等方向相反的
-f,作用于α点,则此二力构成一个力偶,显然,该力偶等效于 M的作用。同样,若在 α点加
数值等于Mn且方向与o一致的力fs,另-与f大小相等方向相反的力-f作用于B点,该
往后，原点仍以0表示。
166

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
力偶亦等效于 M,的作用,这样在 B点就有二力f，和-
f 作用,写成复数形式为
.Mn
f = fn + iff = Mg - iMn
这正是式(8.157)所定义的。可见等效力f是作用于B
点，等效于对弹轴摆动起作用的力矩M，和Ms之力。其
方向可理解为：当弹轴静止时,若有力矩M作用其上，
作用瞬间弹轴摆动时 B 点的运动方向。
-fn
引人等效力的概念之后，方程（8.155)所描述的弹
轴摆动运动，便从形式上描述成质点B的平面运动了。
式中 iC A 是与重力有关的项,是由弹道弯曲引起
等效力
图 8.16
的,其中iCy 被称为重力陀螺项。最后一项是动不平
衡惯性力矩的等效力。利用式(8.144)的符号,将(8.117)和(8.118)两式进行简化得
Akunp2 + Aky2( 01 -
Wxl
(8. 160)
Wx.
将式(8.160)代人式(8.157)得
f = - FpLei + Aku2(
- Akzdv Φ --
Akad 0 - iAkyv2( -
(8. 161)
(8.162)
L = Ly,
式中
将式(8.161)代人式(8.155)并与式(8.148)联立得
= ap+ by2(-
+ bxuw+ + gsinb
-(k - iky)(
-i-
+ kzdu Φ =
(8.163)
(1-4)
- - kzdv 8
βp(2 - i)ei +i
初始条件(t = to 时)为
Φ Φo,Φ=Φo,= o
167

火箭外弹道学
方程组（8.163)就是扰动运动方程组的简化形式，在以后进行散布和稳定性分析时，用该方程
组可求出解析解。
含有其他次要力和力矩以及
8.6
扰动因素的扰动运动方程组
有时为了更全面地分析弹箭的飞行稳定性和散布，需要考虑到某些次要力和力矩，以及曾
提及过的一一些次要性的扰动因素。若将它们并人到式(8.163)中，便得到全力组全力矩作用下
的并含有各种扰动因素的扰动运动方程组。
力和力矩
8.6.1
1.马格努斯力
马格努斯力的表达式为
(8.164)
马格努斯力系数Cm常取线性式
(8. 165)
马格努斯力系数二次导数
32 Czm
(8.166)
pm
与矢量(× v)一致时,Cm取正值，,反之取负值。Rm垂直于攻角平面，且滞后复
约定矢量R，
zm
攻角△为90°,则用复数表示为
(8.167)
zm - -- imbzmv g △
zm.
oSd
式中
(8.168)
6.
2m
2.周期性诱导力和力矩
尾翼弹由于攻角的存在，特别当攻角较大时，弹身背风面所拖出的旋涡将会影响处于涡迹
区内之翼片的受力状态。在对马格努斯效应的机理进行分析时，已计及弹体遮盖所引起的侧
向力及力矩。而这里还将计及的，是在翼片随弹体自转的过程中所引起的周期性侧向力一
通常称之为诱导侧向力，以及该力所形成的诱导侧向力矩和轴向诱导滚转力矩。
将某翼片与攻角平面的夹角以 r表示,带有 nw片相同尾翼的旋转对称弹箭，当它对攻角
平面处于镜面对称时,其r=0或π／nw，如图8.17所示。此时弹体尾部横截面上的旋涡分布
是左右对称的,旋涡所引起的左右两边压力相等。若r= π/(2nw)时,那么左右两边就不对称
168

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
了，右边翼片受涡迹遮盖较左边多，
便产生了向右的侧向力，而且此时的
侧向力最大。此力对质心形成侧向
力矩,对弹轴形成滚转力矩。不难看
出，这三个量都是周期为2元/nw的
奇函数，可以用傅里叶正弦级数来表
示。在最简单的情况下,拟取下述表
达式。
(a)
(b)
诱导侧向力为
(8.169)
尾翼弹对攻角平面处于镜面对称状态
图 8.17
式中，Cs 是诱导侧向力系数导数。
(b)r=
(a)r=0,
oSCs
(8.170)
bs
sinnw!
2m
则用复数表示为
(8.171)
Rs = imbsv?△
诱导侧向力矩为
ou? Slm'so sin nur
(8.172)
Ms =
式中，ms 是诱导侧向力矩系数导数。记
oSlms
(8.173)
sinnwr
ks =
2A
则该力矩的等效力为
(8.174)
fs = - iAksv?△
周期性诱导滚转力矩为
Mrc :
(8.175)
式中，mrc（)是周期性诱导滚转力矩系数。
3.非周期性诱导滚转力矩
本章曾介绍马格努斯效应的机理时，提及弹身遮盖所引起的马格努斯力，该力对质心的侧
向力矩属马格努斯力矩的一部分;况且它还将形成滚转力矩。此外，目前一些火箭弹采用了卷
弧翼，即使在零攻角、零斜置角的情况下，弧翼上也能产生自诱导滚转力矩[53,55],其大小和方
向取决于弧翼厚度与中弧线曲率半径之比,翼剖面前缘形状，翼区弹身直径的阶跃变化，来流
马赫数等。由上述两方面所形成的非周期性诱导滚转力矩表示为
169

火箭外弹道学
(8.176)
式中，mr（)是非周期性诱导滚转力矩系数。
4.由横向转速引起的马格努斯力矩
当旋转弹(不管是否有尾翼)具有横向转速时，便由诱导横向气流速度加之弹体的滚转，而
产生马格努斯效应；遂至就有附加的空气动力和相应的力矩。通常将前者忽略不计，而对很细
长的尾翼式火箭,后者则是值得考虑的。因为该力矩与轴向转速w及弹轴摆动角速度w。成
正比，这与陀螺力矩类似（但有本质不同），故在空气动力学中称为空气陀螺力矩，表达式为
(8.177)
约定当矢量 Mc的方向超前のa为90°时,空气陀螺力矩系数导数 mc取正值，反之取负值。在
复平面上，该力矩的等效力可简化为下式
(8.178)
fc = iAkcy
oSdi?
(8.179)
式中
kc
2A
5.下洗延迟力矩
此是阻滞攻角角速度变化的力矩，其作用与赤道阻尼力矩类似，表达式为
(8. 180)
pv? Slmz o
Mz =
下洗延迟力矩系数 m与其导数的关系为
(8.181)
S? mz?
(8.182)
2A
则该力矩的等效力为
(8. 183)
f = - Akzv
该力矩与赤道阻尼力矩之和,称为横向阻尼力矩。
6.燃气惯性力矩
将产生横向力矩，依据变质点系刚化原理，此力矩是当作
在式(1.87)中的燃气惯性力 F
gas
外力矩看待的，它对绕心运动的影响很小，一般可不予计及。
某些扰动因素
8.6.2
1.质量偏心Lm
在弹体坐标系内，质量偏心用复数Lm表示，它在弹轴坐标系内表示为Lmei；从表8.3看
由于全弹质心绕全弹几何中心旋转，将要产生一法向加速度
出,在弹道系内亦近似为 Lmei。由
170

第八章
旋转火箭弹及轴对称飞行器一般运动方程组
[ Lme'"] = -- Lm(? - i)ei?
相应的法向惯性力为
FL, = mlm(2 - i)eiy
(8.184)
2.角推力偏心βp
角推力偏心βp与弹体固连，它随弹体一道旋转，它在弹道系内所引起的法向力为
Fp, = Fpβpei?
(8.185)
式中βp是在弹体坐标系内测得角推力偏心二分量在复平面上表示的复数。
3.气动偏心OM和2N
m是静力矩为零时的攻角，是升力为零时的攻角。将静力矩及升力中的分别以
()和()替代即可。
全力组扰动运动方程
8.6.3
把上述诸法向力和横向力矩的等效力加人到式(8.163)中，并稍加整理便得
) +i( bs -
v- gsing
fi(t)ei?+(bx + by)wl
(8. 186)
fa(t)ei+(k - iky) wi -+i
o - kzdu 6
Φ--A=0
当t=to时,Φ=Φo,Φ=Φo,=o
βp+( - i)Lm - byun
式中
fi(t)-
(8.187)
L+
(8.188)
f2(t) = -
若考虑气动系数的非线性，只需把bx、by、k²、ky、等表示成非线性展开式即可。
为了确定自转角的变化规律，可由式（8.152）、（8.116)以及式（8.175）、（8.176)得方程
C = MxP +
(8. 189)
171

尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
第九章
9.1 前
现代的尾翼式火箭弹，大都绕其纵轴旋转。旋转的主要目的，在于减小某些不对称的干扰
因素所引起的散布，诸如推力偏心、气动偏心之类。由于影响不旋转火箭散布的主要因素是推
力偏心，因而人们赋予转速的出发点，首先便放在减小推力偏心引起的散布上面。至于被动
段，人们也赋予一定的转速，比如可用斜置尾翼的方法，以消除气动偏心及质量偏心的影响。
实践和理论都证明，只要赋予较低的转速（即使是每波长内半转），就能在被动段内造成良好的
效果。至于主动段,影响散布的主要因素仍然是起始扰动、推力偏心和风。随着转速的增加，
动不平衡的影响将会明显起来,这也是一个影响散布的因素。关于气动偏心、质量偏心、推力
偏心角，它们对一般不旋转尾翼弹的散布影响很小，对旋转火箭的影响亦将很小,这里从略。
与第七章一样,将在飞行稳定性得到保障的前提下研究绕心运动，从而讨论散布问题。对
稳定性的研究将放在第十三章。研究问题的方法与第七章相似，即求攻角和偏角，以考察绕心
运动的规律,并进行散布分析。
应该指出，当转速在一定条件下，低速旋转火箭弹的散布计算和分析可以用比较简单的公
式，起始扰动和风的散布公式，可直接应用第七章的结果。
运动微分方程的变量变换
9.2
m²< 0,而设 m>0)
弓引方程组（8.163）如下（注意尾翼弹
= ap + by2(
+ bxuw! + gsindy
i@+(h? +i ky)(
+ kzd Φ=
6- - kano
当t to时,Φ= ,Φ = Φ, = 亚o
其中重力加速度分量gsin对散布影响小,可不考虑。马格努斯力矩对稳定性有影响，在稳定
172

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
性分析中要考虑;但对散布分析来说,因为1ky丨比 2要小得多,在保证飞行稳定条件下,它对
散布影响很小，是可略去的。为简化书写，不妨记第二个方程等式右边的和式为
JE，即
(1-
(9.1)
Le
于是采用如下方程组
= ap + by2( 2
+ bxww!
$- i++ h22(
+ k= E
(9.2)
Φ=+△
当t = to时,重= ,Φ= Φo,亚 = 亚。
仿式（7.32），仍取
u = ks
(9.3)
kv*
dt
(9.4)
dt
dv
(k)?@" + k
dt
dt2
对 d/dt 可取式(7.35）,则
(ku)2q" + k(ap - bxu2 - gsin)@"
(9.5)
dt2
将式(9.4)和式(9.5)代人式(9.2)②,得
ap -gsing
(9.6)
Φ+△=
- bx + kzd -- i
(kv )2
(9.7)
厂叫转速比，多数情况下可取为常量。
类似式(7.38）,取
(9.8)
W=
W = △ + "
W"
(9.9)
(9.10)
' = "+ △"
将(9.3)式代人(9.2)D 知
173

火箭外弹道学
bx + b
bx14
(9.11)
将(9.9)和(9.11）式代人(9.10)式,得
bx + b
bx + b~l
1 dy
(ap -- b2
2 - gsinの)
du
bx + b
(wI
(9.12)
+6*
定义见式(7.41)。
6*
对式(9.12）再求导一次,仿式(7.42),有
bx + br
()(")
W"
(9.13)
将式(9.12）和式(9.13）代人式(9.6)，略去二阶小量经整理得
W" +2(b - i Sg)W + W = - wl
(9.14)
式中 b定义见式(7.44)；S。是一个综合参数,来源于陀螺力矩，叫做陀螺稳定因子
(9.15)
2nk
(9.16)
n为转动惯量之比
n.
由常系数二阶微分方程(9.14）解出攻角△后,再代人式(9.11）,便可得偏角亚,式(9.14)
和(9.11）是两个很重要的角运动方程式。
起始扰动所引起的攻角和偏角
9.3
攻角和偏角公式
9.3.1
求解起始扰动引起的攻角，需要解式（9.14）的齐次方程，即
(9.17)
W"+ 2(b -i Sg)W" + W = 0
初始条件(u =
uo时）为
Wo, W = Wo = Vodo = Vo(@o -- Yo)
(9.18)
W。可由式(9.12）及式(9.4)知
174

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
Wo =
(9.19)
这里假定『为常数,即转速与飞行速度是正比关系,那么S，也视为常量。
方程（9.17）的二特征根为
±(b iSg)2-1
2=-b+ivS.
(9.20)
r1,2
要比b 大,因而可近似取(b － i~S.)2
一般火箭的Sg1
α一 Sg,则
Sg + i)
ri,2 = - b + i(V Sg ± v
hi=
+1)+
(9.21)
1h2= 个
则方程(9.17）有如下形式的解
(9.22)
W-e
将初始条件(9.18）代人式(9.22),可决定出参数C和C2
h2
Ci =-i
2k/Sg +1
C² = i
2kSg +1
2 ~
+1
则由式（9.22）得攻角为
[eih,(u-uo)
b(u-o) - i
((on-n)
2/ Sg + 1v
(Qo - Yo)vo[ heih,(u-u"o) + hie-ih,(u-uo"]i
(9.23)
这就是起始扰动Φo、Φ。和。所引起攻角的综合表达式。仍引人特征函数概念，它表示单位外
界扰动所引起的偏差量,将Φo、Φ。和亚。分别取为1时,得攻角特征函数表达式如下
-b( u- uo)[eih,(u- p)
ih,(u- wo)
(9.24)
-e-
2ku /Sg + 1
VO
(9.25)
Sg +1
(9.26)
△ = o。+ Φo*, +
(9.27)
该式与式（7.56）在形式上是一致的，只不过如今是复数罢了。由此可见，△亦是由三部分叠加
175

火箭外弹道学
起来的，这也就是式（7.57）的三种初始条件解的叠加，只不过当今之起始扰动量是复数而已。
下面来求偏角。将式(9.24）代人式(9.11）,积分便得Φ。引起偏角
的特征函数亚
As.du
h!
ap + b,w
-ihz(u- uo)Idu
b(u-- wo)
(9.28)
kv2
Sg+
精确积分上式是困难的，但可仿第七章7.4的近似处理方法，仍利用有效滑轨长度概念，并且
由式(7.62)之 v² 二 2as 代人上式,然后近似取
b(u-uo
2bys
2byso = C3
(9.29)
则得
C3
-ih,(u- uo) Idu
(9.30)
2/Sg+1
2 ak
在第七章已定义下列函数
Yo ei y- yo' dy
B(yo, y)
(9.31)
其实部为
Yo
cos(y - yo)dy
Br(yo,y)
2y
其虚部为
sin(y - yo)dy
Yo
Br(yo, y)
2y
BR 和B,列于附表 14 中。
那么对函数
ih(u-wo' du
2u
的计算可利用B（yo，y）这个函数解决。事实上
uo ih( u- wo) du
hu
2huN
2uN
B(huo, hu) Br(huo, hu) + iBr(huo, hu)
式中
(9.32)
于是用uo 乘式(9.30）分子和分母之后,便得
iC3
[B(hiuo,hiu) -. B(hzuo,hzu)]
(9.33)
2kvo S.
176

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
式中 B 是B 的共轭复数,为
-i(y-yo'dy
Yo
B(yo,y)
(9.34)
2y
的特征函数亚（或亚。）。可将式(9.25）改
下面求起始摆动角Φo（或△o）引起偏角
写下形式
-b(u-uo)[eih,(u-ug)
- ih kvo!
2hv /S, +1]
VO
-b(u-uo) × eih,(u-ug)
- ihi kvods.
代人式(9.11）积分便得
(9.35)
C3B(hiuo, hiu)
= -- ihi kvo Y
再求亚，由于
代人式(9.11）积分（注意初始条件亚。的存在）,得
(9.36)
攻角和偏角的特性
9.3.2
为例来研究攻角和偏角的特性。图9.1绘出了△。
以 △。
和亚
的复平面示意图，图中自
变量 1 = s/1,1 = ^/
+1，入1是章动角变化周期内火箭飞行的弹道弧长，即波长，见
式(9.39)。图 9.2 是亚。
的复平面示意图。箭头表示曲线的变化方向。
由图9.1及式(9.24)看出,攻角已不局限于一个平面内变化,并且弹轴绕速度 v作空间运
看出合成运动的性质，不妨将式(9.24）变换一下，应用欧拉公式，可得
/S +i(u-ug) *
2kv Sg + 1
-b(u-uo'eis,(u-uo'sin S,
(9.37)
+ 1(u - uo)
ku Sg + 1
177

火箭外弹道学
8*/s
0.2
0.10
0.5
(y-Y10)
1.5
0.10
0.4
1.0
0.05
0.2
0.5
(yr-yio)
1.0
1.2
0.05
0.05
82 /s
0.6
0.05
曲线
，曲线
9.1
图 9.2
攻角平面不仅沿弹体旋转方向回转，而且在攻角平面内，弹
轴又作衰减的正弦摆动。旋转体绕对称轴自转将产生惯性力矩，
也就是陀螺力矩，由式（8.145）看出，其等效力为iCΦ；再由式
(8.153）第二式看出，单由陀螺力矩产生的弹轴上B点（图8.14)
加速度Φ,是与 B 点的速度Φ垂直的,且比Φ超前90度,如图 9.
3所示。因此在攻角平面内一有摆动角速度产生，便由陀螺力矩产
生弹轴垂直于攻角平面的运动。在外弹道学中，通常把弹轴在攻
角平面内的摆动做章动，把攻角平面绕速度矢量的回转叫进
92
动。显然，弹轴相对于速度的运动，就是章动和进动的合成。由
式(9.37）知道,相对于自变量u来讲,进动的角速度为S（必须
重与的关系
图9.3
注意，这里指的角速度是以 u为自变量的，如以时间t为自变量
时，进动角速度则是变量），这从图9.1也可看得出来。由此可知，攻角平面偏离起始扰动作用
面的速度,是由陀螺稳定因子 S。所决定。S。越大,攻角平面进动得越快;反之亦然。若 S。= 0,
即不旋转情况，则无进动运动产生，这时的攻角表达式变成式（7.53）。
下面再看看章动情况。不妨把在攻角平面内观测到的章动角之特征函数用*表示，则自
式(9.37)有
-b(u-uo'sin Sg + i(u - uo)
(9.38)
ku/Sg + 1
比较上式与式（7.53），可知旋转条件下的章动与不旋转条件下的平面摆动，其攻角变化规律并
无原则上的不同。特别对野战火箭弹，S，很小,这种差异就更小。但有两点差异也值得注意。其
178

第九章
尾翼式旋转火筋弹的扰动运动
一是章动的辐值减小为不旋转时的1/／／S。+1倍。其二是章动一周期质心移动的弹道弧长，
即波长有些变化，由
Sg + 1(Au) =
+ 1k1 = 2元
2元
(9.39)
入1 =
Sg + 1
VSg + 1
可见波长也是不旋转情况时的1//Sg+1倍。
有三点值得注意。一是其变化趋向取决于攻角，就是从原点到攻角曲线上
关于偏角
某一点的连接（割线），平行于偏角曲线上相应自变量处的切线方向，偏角曲线两尖点之间的范
围对应半个波长。二是刚出炮口后的前半个波长内偏角幅值增加很快，以后变化就不多了，最
后趋于一个极限位置点。三是该极限位置点偏离实轴的程度取决于 Sg，S。越大，偏离越大，反
之亦然;而且偏角幅值随 S，增加而减小。
对第一点可从受力情况来解释。因攻角割线在攻角平面内，且垂直速度矢量V；而推力法
向分量及升力正好又是这个方向，这两个法向力必然使速度矢量沿此方向偏转，亦即偏角沿攻
角割线方向变化。从数学关系式
b%14
来看，也是目了然的。因攻角割线每半个波长改变一次正反方向,故偏角曲线相应出现尖点。
关于第二点,在第七章 7.4.2已经说明理由,这里就不重复。要明确的一一点是,这里也存在
临界段。
关于第三点,因为 S。体现陀螺效应的强弱，S。大时,陀螺效应就强,攻角在前半个波长内
偏离初始扰动平面就明显，偏角相应地便沿攻角平面方向偏离实轴越大。因为攻角幅值随S
增大而减小,故而偏角幅值也减小。
总之，与不旋转情况比起来,影响攻角和偏角的因素多了个体现陀螺效应强弱的稳定因
子 Sg，它使攻角平面回转，使攻角和偏角幅值减小，使波长减小，并使偏角在垂直于扰动作用
方向上也产生了分量，这些都是与不旋转情况的主要区别。
起始扰动引起的散布
9.3.3
设Φ。的两个分量为Φ10和Φ20，1o就是射击面内的起始摆动角速度Φ20是横向摆动角速
也有两个分量,即。和 2。，则
度。而偏角特征函数
( +)! +- = (+)( + )
由于β1o和Φ20被看作两个相互独立的随机变量，且服从正态分布律，其中间误差分别为
B（10）和B（10）,则得高低和方向上的角散布（中间误差）分别为
179

火箭外弹道学
[B(p10)i,)2
+ [B(p20)42 J2
B(中鱼。)
(9.40)
/ [B(Φ10) 420 )2
+ [B(Φ20)ie, ?
B(中20。)
(9.41)
在很多情况下,可近似取 B（1o）= B（Φ2o）= B
B(o）,则可得统一的计算公式
B() = B(o) I 。[
(9.42)
关于 B（o）的数量级,现有野战火箭大致为(0.01 ～0.10）rad/s。一般来讲增加炮口转速（增
加）,使 B（o）可能加大。
若例题7.1 所述火箭旋转,已知 o = 55 rad/s,℃ = 0.117 6 kg·m²,其他数据
例题 9.1
不变，求起始扰动引起的落点方向散布。
Yo
55
0.829
66. 33
VO
0. 829
9.89
0.083 83
4.90
41.7
0. 117 6
0.0141
hi =
= 1.007 + 0.119 = 1.126
+1+v
h2 = ^
888 '0 =
Sg+1-
hiuK
hi uo = 0.472
13. 1
h2uk
h2uo = 0.372
10.4
查表：
B(hiuo, h1 uk) = 0.335 6 + 0.262 6i
B(hzuo, h2 uk) = 0.382 5 - 0.279 9i
B(hiuo, hi uk) -- B(h2uo, h2uk)
) = - 0.046 9 + 0.542 5i
代人式(9.33)
iC3
[B(hi uo, h ux) - B(hzuo, hzuk)]
2kvo S.
+1
i1. 02
再代人式(9.35)
= - ihi kvooK +
T,K
C B(hi uo, hi uk)
- i1. 126 × 0. 083 83 × 66. 33 × (0.049 4 + 0. 004 27i) +
180

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
1.02 × (0.335 6 + 0.262 6i) = 0.369 - 0.041 4i
代人式(9.36)
@,k = 0.631 + 0.0414i
主动段末的角散布分别为
B(bo,x) Bp
g I = 0. 10 / 0.049 42 + 0.004 272 rad = 49.6 × 10-4 rad
B(,k) = B
B() =
三者合起来的角散布为
B2(,x) + B2(do) + B
B?(yy,k)
B(k) =
) = 49.8 × 10-4 rad
于是
Bz
B(dk)
49.8 × 10-4
cosOk
142
cOs45°
从此例题计算结果与例题7.1之结果比较可见,对此种 Sg≤1的火箭,考虑陀螺效应与
否,对散布计算的结果影响很小。
推力线偏心的影响
9.4
攻角和偏角公式
9.4.1
对推力线偏心引起的攻角，可通过解微分方程式（9.14）的特解得到。然后将攻角代人（9.
11）式，便可求得偏角。然而,这一数学运算过程是亢长而繁琐的，这里仍然采用第七章7.7中
指出的格林函数法。省略推导过程，可直接写出表达式［须注意式（9.1）第-项有负号］，仿式
(7.91）和式(7.92）如下
apLeiy
A =
△o(un,u)dtn
(9.43)
RA
apLeiy,
Ys(un,u)dtn
(9.44)
R3
的表达式(9.24）及亚。
将 △,
中的 uo改为
的表达式（9.33）分别代人，,并注意将
参数
un，Vo改为Vn,那么（9.43）和(9.44）两式是可能积分的。但不大可能利用现有的已知函数
求得最后精确结果，因而只好寻求近似积分的途径。
另外,还须知道是u的什么函数。当假定火箭等加速自转时，和都与时间t成正比,那
181

火箭外弹道学
么和之比值［见式(9.7)I是常数。这样,对式(9.7）积分得
= I(s so)
(9.45)
也就是说，从离轨时算起的自转角与离轨时算起的弹道弧长成正比。或将式（9.45）写成下式
(9.46)
na(u - uo)
式中n由式（7.76）及式（9.39）可表示为
(9.47)
+ 1
由于=I
I>／(2元）,该式分子相应于不旋转火箭一个波长内的自转角（以rad为单位），以2元
的数值大致为 5 ～8,
除之，即表示一个波长内的自转周数。现代小初速野战尾翼式火箭弹，n的
但反坦克增程弹只有2左右。n1则表示尾翼式旋转弹章动一周期内的转数。具体型号火箭应
具体选取最佳值，不可千篇一律。
因为直接从式(9.44)求亚的近似式比较困难,于是先由较简单一些的式(9.43)求△,的
近似式,然后代人式(9.11）积分得虹L。
将式(9.24）代人式(9.43),得 △L的特征函数(取 L = 1)
exp[ - b(u - un)Jexp[ina(un - uo)Jlexp[ihi(u - un)] --
△L
2kvVSg +
h,R?
dun
exp[ - ih2(u - un)］}
-exp[ - b(u - un)liexp(ihiu)expli(n -- hi)un -
h,R?
(9.48)
exp(-- ih2u)exp[i(na + h2) un Jf exp(- inauo)dun
在被积函数中，中括号内的函数exp［（inä－hi）un」和expli（nä＋h²）un」是频率较高的圆周期
函数,相对此函数来讲，（1/n）是单调减小的函数，变化得远不及那么快,因此在积分时，可近
似取某一平均值。考虑到偏角在刚出炮口一段形成的特性,故可取为炮口值，即
(9.49)
Vn ～ O
这样，对式（9.48）就可积分得
i(hi + h2)
△L
kR3
(u-un)
略去上式分母中的b，并从式（9.21）知
h1 + h2 = 2
+1
182

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
ih,(u-uo)
h2
2kv S,+
n - hi
kR2
n+
2Sg+1
(9.50)
-b(u- uo)
- uo
上式表明，周期性的推力偏心矩所引起的攻角是三个圆运动的合成：其中两个圆运动的圆
频率（以u为自变量）即是绕心运动的固有圆频率（h1，h2），它们构成的合运动称为自由运动；
第三个圆运动的圆频率即是周期性干扰力矩的圆频率（n），此为受迫运动。总的运动是自由运
动和受迫运动的合成。不失一般性，归结为下列三圆合成运动类型
△ = Ajei*+ + A2ei* + Aeing
(9.51)
A; = Ajoexp[ d;(s so)],j = 1,2,3(d; 是阻尼指数,其中 d3 = 0)
式中
（是幅角Φ;对弹道孤长s的导数)
; = (s - So)
在靶道测量中，常用到此三圆运动模式。更般的情况，再加上一个非周期项。在复平面
上，式(9.50）的△可表示成三个旋转矢量（A1A2,A3）之和。
再回到式(9.50),当na》hi（随之na》h2)时，受迫运动项的幅值便远小于自由运动项的
幅值，在近似计算中，可将前者略去。于是得近似式为
iap
- e-ih,(u-ug)le-b(u-uo)
[ eih,(u-uo)
△L
2kv /Sg
knavo R?
将式(9.24)代人,并注意到 knao = Ivo = o,则
iap
(9.52)
As,(uo, u)
RAY0
apL
(9.53)
Ds,(uo, u)
△ -i
可在上面所述条件下，推力偏心矩的作用相当于某一起始摆动角速度为
(9.54)
Φ - iL
R3Y0
的作用效果，Φ，被称为线推力偏心的等效起始扰动。这样，由L所引起的攻角和偏角分别为
AL = LAL
(9.55)
(9.56)
= L =
的特性
9.4.2
上述结论与受迫振动理论是一致的。下面不妨回顾一种简单的受迫振动方程
x+ w'x fsinpt
183

火箭外弹道学
当≠p时的通解为
asin(wt + ε) -
2 sinpt
x=(
式中α 及ε 由初始条件决定。在零初始条件下，上式变为
(Psinwt - sinpt)
（*）
可见在干扰力作用下，此系统不仅会被激起一个圆频率等于干扰力圆频率p的受迫振动分量，
而且还被激起一个圆频率等于系统固有圆频率的自由振动分量。这两个振动分量的振幅都与
干扰力的幅值成正比。当P》时，受迫振动分量可以近似略去，自由振动起决定性作用。此时
干扰力引起的振动，与齐次方程
x+ux
在初始条件(起始扰动):t = 0时,α = αo = 0,α
下的解
X0
sinwt
具有大致相同的变化规律。若令上式中的 αo为
fp
X0
（＊＊）式即为（＊）式的自由振动。也就是说，当
*/(rad - m-1)
于扰力圆频率远大于固有圆频率时，周期性干扰
力的作用相当于一等效起始扰动的作用。火箭在
周期性推力偏心矩作用下的绕心运动，不过是上
[32]
述等效起始扰动的一般概念的具体应用而已
既然式（9.55）、（9.66）表明，推力偏心矩的作
用,等效于某一起始摆动角速度Φ。的作用,那么
8*/(rad m-l)
-2
和亚。
相同。当
攻角和偏角的变化规律便与
然，这是近似的说法，其差别还是有的，尤其临近
炮口一段。但从全局来看，前面的说法是对的，不
图 9.4
△图
能因为临炮口一段的差异而不承认总的变化趋
曲线是解方程求得的计算结果。这两幅曲线图，正好与虚
势。图9.4和图9.5所示的△和亚由
轴负方向上作用一起始摆动角速度的曲线相似，可以将图9.1和图9.2逆时针方向转90°后，再
与图9.4和图9.5进行比较，便可清楚地看出来。同样也说明了推力偏心矩与等效起始扰动（摆
动角速度）的作用方向是虚轴负方向,式(9.54）中L乘上－i,正表明ΦL比L的位相滞后90°。
也就是说，沿实轴正向的推力线偏心（即推力线在弹体质心的上方），所相应的等效起始扰动是
184

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
指向虚轴负方向的。从其运动过程也可理解这一点。
/(rad - m-1)
0.5 +
/(rad - m-1)
图 9.5
亚图
设刚出炮口时推力线在质心上方，推力矩便使弹轴向上偏转，由于弹轴摆动周期比自转周
期要长得多，以致在铅垂面内还来不及形成摆动角速度，推力偏心矩便就很快随弹体自转而改
可推力线转向质心的右方（从后朝前看）。在右方停留自转半周的时间，推力矩将使
变方向
弹轴向左摆动。由于这段时间内的转速低，陀螺力矩甚小，弹轴可全然向左摆动，从而形成了
个向左的摆动角速度。在此摆动角速度的驱动下，弹轴将进行进动和章动。此后的推力偏心矩
仍然在起作用，但由于自转速度的加快，其作用便基本上在正负方向上趋于对消了。可见炮口
附近的摆动角速度将起决定性作用。
再看看L的性质。其幅值为
apL
mapL
(9.57)
RAY0
mRA70
Yo
式（9.57)说明|1与炮口的转速o成反比，故常将式(9.57）叫反比公式。此外，还说明
了等效起始摆动角速度，正好等于由推力偏心矩单独作用，在时间1/o内产生的弹轴摆动角
速度。可见等效起始扰动与炮口转速o及赤道转动惯量 A成反比，与推力偏心矩Mp成正比。
影响散布的因素
9.4.3
假定 L的二分量正态分布,其中间误差为 BL，则角散布为
B() = BL
(9.58)
R370
=0时的值,即为式(7.67）的。，于是
可取 S,
在低速旋转范围内，亚
B(r) = B
(9.59)
185

火箭外弹道学
计算表明，只要赋予适当的转速，便可把不旋转火箭的推力偏心引起的散布，减小到原有的数
分之一到十几分之,甚至在总散布中降为次要地位。
影响 B（）的因素,有、So、o、αp以及弹长等。与及so的关系类似图7.21和图7.22的
规律,是随及so增加而衰减的。B（）与 o是反比关系。o大到一定值后,再增大 o的作用
就不明显了，故没有必要求过高的转速（图9.6)。转速增加使角偏差减小的根本原因，是使推
力偏心矩的作用更趋于对称，从而更好地对消其影响之故。推力加速度的影响问题，一方面等
效起始扰动随αp增加而增加,当与Vo成正比变化,而 vo满足式(7.79)的关系时;再考虑到
式(9.33）的I亚。1与Vo成反比,则B（）与αp无关。这与不旋转火箭的结论是一致的。若是
初速和炮口转速都与推力加速度无关，对这种特殊情况，当然B（）随αp增加而增加。此外，
B（）与弹长l的关系不明显。
B(中)
转速规律对 B（）的影响
9.4.4
现有尾翼弹的导转方式很多。有斜置喷管式、燃烧
室切向孔式、斜置尾翼式、螺旋滑轨式等。这样就使自转
速度的变化规律各不相同。对纯斜置喷管式或切向孔
式,可以认为与为正比关系,这种方法采用甚多，上
面公式推导时也是假定此类情况。如单是螺旋滑轨式或
由其他手段赋予火箭以一定转速，则在刚出炮口一段可
视为等转速运动，但由于起决定性作用的是临界段内的
转速，故对等速情况，还是可以取等加速情况下的公式
B(dr)- 曲线
图 9.6
计算散布,此时取『 = o/Vo。计算表明,这样的计算结
果只比转速为常量时的准确值略小百分之几，对散布分析来说是允许的。
至于其他转速规律，仍应以炮口转速和初速之比为据进行估算，预料不会带来明显误差。
若初始弹道段的转速变化剧烈，则需另作处置。
计算例题9.1所述火箭的落点方向散布。数据由例题7.1、7.2、9.1给出。
例题 9.2
解日
由公式(9.58)
440
B(Φuk) = BL
× 49.6 × 10~3
4.90
x 55
39. 20
2.54 × 10-3
Bz
B(duk)
2.34 × 10-3
cosOk
278
c0s450
由此例可见，只要给予尾翼式火箭弹以足够的自转速度，推力偏心引起的散布就可以降到次要
186

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
的地位。
低速旋转范围内推力线偏心引起偏角的另一散布公式
9.5
上节的反比公式适用于n》1.的情况,随着 n的减小，则准确性就会变差。尤其对某类小
转速的火箭弹,其 n甚至不到2,反比公式的误差就会更大。本节将推导一种适用于低速旋转
范围的线推力偏心引起的散布公式。
在低速旋转范围，可取
C3A
则式（9.44）为下式（去掉积分号前的负号，以与式（7.92）一致）
dun
apL
C3
explina(un - uo)]Rp。(un, u)
C3 L
exp[ina(un - uo)J
(9.60)
(un, u)dun
R:
2u.
kR3
根据函数 Rs。（un，u）的特性,它是随
n单调递减的函数（见图7.15）,再乘上元/2un），更是
的减函数，可用一衰减的指数型函数作为／元/(2un）Rs（un，u）的逼近函数，即取
Un.
(9.61)
Rp.(un,u) Ce-α(u,"uo)
2u
exp[(ina - α)(un - uo)]dun
exp[in(un - uo)],
p.(un, u)dun -
R:
2un
exp[(ina -_ α)(un -- uo))
inα
由于偏角主要在刚出炮口后一段弹道内形成，在主动段末段弹道内变化甚微，故对K点处偏
可取足够大。这样，对上述积分结果可取为
角，UK
α - in
那么K点偏角为
C3 L
()a
(9.62)
α - ina
kR3
取其绝对值为
C3 1 L
(9.63)
+ na
187

火箭外弹道学
到此,还不知道参数C和α的具体值。为此,特考虑以下两点:
（1）为使逼近函数与真实函数在临界段内相差小,应使之在炮口之值相等,由式(9.61），当
取 un 二
uo 时
R. (uo, uk)
(9.64)
2uo
(2）当火箭不旋转时,即n> =0的特殊情况下,式(9.63）与式(7.96)相等,即得
Rr( uo, uk)
于是
(9.65)
2uo: RL
将 α和C值代人式(9.63),并整理之,可得角散布公式为(取 α ～ αp)
C3
B(Φuk) = BL
(9.66)
kyRr(uo, uk)
kR3
1 -1/2
RL
2uo
RL
21 -1/2
(9.67)
1+
2nuo
式中
R:
比较一下（9.66）和（7.98）两式，可清楚地
看出，它们的不同点就是旋转情况下多了
-个系数 k（不妨叫旋转影响系数）。它表
明了由旋转而使 B（虹）减小的程度。转速
对 B（）的影响,只要作出 k－ n
曲线就
-一目了然，见图9.7。据此曲线，便不难选取
适当的 n>值。其他因素对B()的影响,仍
如上节所述。
例题 9.3
试用式（9.66）对例题9.2
10
进行计算。
图 9.7
ky- n 曲线
解日
由式(9.67)知
RL
21 -1/2
2nuo
ky =
从例题 7.1,B = 0.270 9,从例题 7.2,RL = 0.273 1。
0. 273. 11
21 -1/2
2 × 9.89 × 0. 419
[1+
8.41
0. 270 9/
这表明由于旋转使推力偏心引起的散布为不旋转情况的1/8.41，从例题7.2知，不旋转弹的BL
引起的散布为1/33,故旋转情况下的散布为1/278。
188

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
9.6风的影响
公式推导
△和偏角亚
垂直风引起的攻角
9.6.1
要推导出△和亚，公式,可从微分方程(9.14)解出与非齐次项－wI本
相应的特解，以得到
△w，然后代人式(9.11）积分得w。这一过程将与求解式（7.110）到式（7.120）的过程相似。为
使读者掌握更多的方法,这里采用格林函数法（在下一章还将介绍相对运动法）。
第七章7.7指出了格林函数构成的一般方法。由方程组(9.2)有关w1的非齐次项(各方程
最高导数的系数项为1）（b+by）w和－kzuwl，以及起始偏角亚o和起始摆动角速度Φ。的特
征函数，可知
k?unwi△(un, u)dtn +
(bx + by)wiAy,(un,u)dtn
(9.68)
k?vnw+Y$(un, u)dtn +
(bx + by)wl Y+(un, u)dtn
(9.69)
计算表明,式（9.68）第二项比第一项要小得多,近似计算时可略去，将式（9.24）代人得
exp[- b(u - un)Jiexp[ihi(u - n)] -- exp[- ih2(u - un)]tdun
2 Sg + 1
exp[(ihi -- b)(u -- un)]+
+1
ih2 + b
由于 b<h1,b≤h2,则
2/ Sg+
h2
分子分母同乘以 hih²,并注意 hih² = 1,则得
exp[- b(u - uo)](h2exp[ihi(u- uo)] +
VO 2 1
+ 1
hiexp[- ih2(u - uo)l↓ -
再将式(9.25）代人，得
(9.70)
189

火箭外弹道学
其特征函数为
(9.71)
比较上式与式(7.116)，可知它们在形式上完全一致，只不过现在是复数而已。
下面求偏角亚w。直接积分式（9.69）比较麻烦，仍采取一贯的方法，将攻角代人式（9.11）
积分得偏角。于是将式(9.71）代人，得特征函数
bx du
1sdu -
+ np
VO
此式亦和式(7.117)形式一样,第一项积分为(1/vo)亚。,第二、三项为
du dy
ap - bxv2
dv
du -
kv3 dt
故得
(9.72)
VO
此式在形式上与式(7.119)完全一致。亦可写为下式
(9.73)
VO
的特点
△”和亚
9.6.2
图9.8的攻角曲线，是根据式（9.71）绘出的。式(9.71）说明攻角仍是两部分组成，一是相
对攻角，一是相对速度与飞行速度间的夹角，即平均攻角。可见弹轴仍是绕相对速度摆动着，并
且弹轴的平均位置是相对速度方向。由于相对速度矢量总是偏向逆风向一边，故推力法向分量
的指向与风向相反，因而速度朝逆风向偏转，图9.9绘出了偏角曲线，亦清楚地表明了这点。与
不旋转情况不同的地方在于陀螺效应的影响，使攻角和偏角都产生了垂直干扰动平面的分量，
并且随 S。增加而增加。
将式（9.72）写成实部和虚部两部分，即
(9.74)
Φ1w + ip2w
垂直风wi由（8.106）式为
(9.75)
= - wxsing + iwz
:Tm
(- wxsing + iwz)(piw + id2w)
="
其二分量分别为
= - wxsing · diw - wp2w
(9.76)
(9.77)
wyiw - wxsinop2w
190

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
式中,θ可近似取为600
可见纵风不仅引起切线倾角角偏差，也产生侧向偏角；横风不仅产生侧向偏角，也产生切
线倾角角偏差。但对野战尾翼式火箭弹来说，多数稳定因子S。都很小，42远小于山1w，故角偏
差主要在垂直风所在平面内，即纵风主要引起切线倾角偏差，横风主要产生侧偏。
3* /(rad-$-m-1)
d*/(rad · s-m-I)
/(rad · s·m-l)
0.001
- 0.001
00.001 $*/(rad ·s· m-l)
-0.001
1.0
(y-y1o)
0.5
-0.005
- 0.005
0.5
1.0
1.5
(V,-yio)
亚图
图 9.9
△”图
图 9.8
风引起的角散布
9.6.3
假定纵风w或横风wz都服从正态分布律,并且中间误差都是Bw，则据(9.76）和(9.77）两
式，得角散布公式
B(41w)= Bu(y1wsingo)? +（y2w)2
(9.78)
B(y2w） = Bw(y1w)2 -
+ (y2wsinGo)2
(9.79)
对低速旋转情况,当 Sg≤1时,则取
又 42w = 0,41w由式(7.120)确定。
计算例题7.1所述火箭在o = 55 rad/s的转速条件下，由风引起的方向散布。
例题 9.4
(0.631 + 0.041 4i) +
wK
350
66. 33
UK
- 0.006 66 - 0.000 62i
代人式(9.79)
(y1wk)2 + (2wksing0)2
B(y2wk) = Bu
1.0 ~/ (6.66)2 + (0.62 × sin45°)2 × 10-3
6.67 × 10-3
191

火箭外弹道学
Bz
B(Φ2uk)
6.67 × 10-3
cosOK
106
cos 45°
此结果与例题 7.3基本上一致。
动不平衡的影响
9.7
由动不平衡所引起的主动段内攻角和偏角公式，其推导步骤仍是先解微分方程（9.14）的
非齐次解，以求得攻角，然后代人式(9.11）求偏角。原则说来,纯粹是一般的数学推演过程。此
处不作详细推导，只介绍有关的结论。
动不平衡是由质量分布不均匀而引起
的，其指标是以纵向动力平衡轴与几何轴
dm(xi- y1,z))
的夹角 β 来表征的。在弹体坐标系 α
x1y1z1内,其复数表达式由式(8.158)构成。
它所产生的惯性力矩等效力在弹轴坐标系
内为β(A-C)(i)ei,此值可
(a)
参见式(9.1)。为了加深对其物理本质的认
识，下面作一概略的推导。如图9.10(a）所
示,在弹体坐标系内，任意点（α1，1,z）处
dm
的微分质量dm绕弹轴α1以角速度旋转
时,所产生的离心惯性力在 1轴上的投影
是 1dm,它对 z轴的力矩为
(b)
dM2.
Z1,Zi
x1y1y?dm
动不平衡性
图 9.10
将所有微质量产生的离心惯性力矩积分得
x1y1i2d m = i
同样可得对 y1轴的离心惯性力矩为
My.
在弹体坐标系内离心惯性力矩的等效力为
y2( Jx*+ +
M, - iMyi =
+i Jxz
fi = fy + if, =
弹轴坐标系内总的等效力为
192

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
和 Jx,"
的表达式。设质心仍在几何轴
线上,并且为使推导不致过于复杂，首先研究βD1≠0而 βp2=0的情况。此即图9.10(b）所示，
中心惯性主纵轴xi在α1oy1平面内。易见,惯性主轴坐标系－xiyizi与弹体坐标系α11z1
坐标之间存在如下关系
x1 = xicosβD1 - yisinβD1 - xi - yiβD1
y1 = yicosβDi + xisinβi ~ yi + xiβDi
由此可得
(xi - yipDi)(yi + xiβpi)dm
x1yidm =
(xiyi + x?βD1 - y?βpi - xiyiβi)dm
(x - y?)dm = βo[JJ
(yi? + 22)dm]
BD1
βdi(Jyiyi - Jxizi) = βpi(A - C)
同样方法可求得 βD1 = 0 而 βD2≠ 0 时的惯性积为
βp2(A - C)
Jx131
βp2(A - C)(2 - i)eiy
对火箭绕心运动的影响而言，同推力偏心矩的作用有些相似。推力偏心矩相当于一等效起始扰
动的作用，因而动不平衡的惯性力矩同样也将相应于某等效起始扰动作用。比较一下式(9.1)
与βp（1-R℃/R）（²_i）相当,其中 Rc表示绕几何轴的转动惯性半
前两项,可知 Lap/RA
径。将式(9.54）中的－Lap/R 用βp（1－R/R）（－i）置换时,便得动不平衡的等效起始
扰动为
RC
-11-
(%- i)βp
(9.80)
R3
式(9.80）中（%－io）之所以取炮口值，是由于根据对@的分析,等效起始扰动是旋转
力矩在炮口附近一段弹道形成的摆动角速度,故力矩取炮口值。由于一般尾翼式火箭很细长，
(Rc/RA)<1,又多数火箭<,故
可取更简单式
ioβD
(9.81)
则 β引起的攻角和偏角为
(9.82)
193

火箭外弹道学
(9.83)
相应特征函数为
(9.84)
iY
(9.85)
在图9.11和图9.12中绘出了△，利
的准确曲线。很明显，这相当于△。禾
和亚
曲线顺时
针方向旋转90°，然后增减一定倍数得到的。这充分表明尾翼式旋转火箭弹的自由运动起主导
作用。动不平衡角 βp的二分量βp1 和 βp2 近似为正态随机变量,并且中间误差为 Bβ，则角散布
8*
曲线
图 9.12
图 9.11
B()
Bp,1
(9.86)
I Bp,Yo I Yo
影响 B(（p,）的因素,除了与%成正比外,其余与
B, (uo,u)
亚。1完全相同，下面作具体介绍。
为使问题清楚起见，将|亚。1用式(7.67）代
替并考虑到式(9.47）得
0.2
B()~
Bp,C3naB,( uo, u)
2元s0R
Bp,C3F
(9.87)
(uo, u)
式中第二个等号利用了式(7.68)。
So/m
(1)so
So 依赖于实际滑轨长度，它仅影响函
Bi(uo, u) -- So 曲线
图 9.13
数B（uo，u）,其大致变化规律如图9.13所示。So
194

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
增加，使等效起始扰动
增大，但也使稳定力矩和动量增加。这两方面综合的结果，便使
B（uo，u）－ So 曲线出现极大值。故合适的 so 或是甚大,或是甚小。
(2)k
它加大时使Φ
(3)(或 n）
变大，使散布增加。
(4)ap
它对 β引起的散布没有什么影响。
(5)l由
由于 αl,故l增加会增加散布。
= 0.30 × 10-3 rad。
例题9.5
解E
由式(9.86)
0.813 × 10-3
Bz
0.818 × 10-3
864
cos 45°
散布计算与分析小结
9.8
若各扰动因素是相互独立的随机量。则总的偏角散布为各扰动因素偏角散布的平方和的
平方根，即
ZB?(d;)
B()=
(9.88)
式中,B(）包括 B(。）、B()、B(）、B(p）等。
根据上面各节例题，可知各散布量为
B(do,x) = 4.96 × 10-3 rad
3 rad
B(Φlk) = 2.54 × 10-3
B(yuk) = 6.67 × 10-3 rad
由此便知它们各自在各散布中所占的地位。
对影响散布的各因素分析,将直接在火箭总体设计中考虑。低速旋转尾翼弹是用得比较广
泛的,其范围判定将在下一节论述。
对B（do）和B（w）的影响因素在第七章已分析，尾翼式低速旋转火箭与不旋转火箭无
多大区别。对 B（）和 B（,k）的影响因素在本章中已分析。兹归结如表9.1。
从表中看出，对每一参量都存在最佳值，可由式(9.98）作出具体确定。
195

火箭外弹道学
表9.1
散布
变化
B(p)
B(dw)
B()
参量
产生侧分量对
幅值影响小
大 So 率
So（或定向器长）
小 So +
(或 1 m,1)
ap
表示增加；★表示下降；一表示无关；表示略有增加；表示略有下降。
符号说明：奉茅
野战尾翼式火箭弹低速旋转范围的判据
9.9
概述
9.9.1
已经在考虑陀螺效应条件下，推导出了各扰动因素引起偏角的特征函数公式，现归结如
下。
(1）对起始摆动角速度
iC3
(9.89)
[ B(hiuo,hiu) -- B(h2uo,h2u)]
2 kvo V Sg
ih( u- g) du
(9.90)
B(huo,hu) =
式中
on
2u Nu
-ih(u-uo du
(9.91)
B(huo,hu) =
2u Ju
hl =
+1+
(9.92)
+i-Vsg
h² =
(2）对推力偏心
iap里
*.0
(9.93)
R3Y0
（3）对垂直风
(9.94)
VO
196

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
式中
C3B(hiuo, hiu)
(9.94 * )
- - ihi kvoY
+(
（4）对动不平衡
(9.95)
陀螺效应对偏角影响的强弱,取决于陀螺稳定因子 Sg。这里提出一个问题,就是在什么样
宜[42]。也就是说,当 S。值在什么范围
内，可以近似取其数值为零。这将给总体设计、研制和靶场试验进行散布分析带来方便。若能确
= O 的公式计算。Sg
定 S。的上限,就等于确定了低速旋转范围。在此范围内,就可以用 S
的特征函数公式将是比较简单的，归结如下（散布计算中都用其绝对值）：
(1)
Re.(uo, u)
(9.96)
C3
Br(uo, u)
(9.96 * )
kvo
(2)
Yod。,此式须 na 》1
(9.97)
C3
hyRL
(9.97 *)
kR
(3)
(9.98)
VO
(4)
(9.99)
由（9.89）～（9.95）诸式看出,推力偏心和动不平衡所相应的特征函数,都是由
乘上一个
系数。因此只要弄清了 Sg对亚。
的影响规律,就等于一举两得了。至于亚，与S。的关系,看起
来似乎复杂一些,将另行考虑。当然，Sg又
对特征函数的影响程度是对相应简单公式(9.96)
(9.99）进行比较而言的。
特殊情况分析
9.9.2
为了得出明确的结论,同时也基于野战火箭弹的 uo 很小，而 uk
相对 uo 来说是相当之大
的。这样,不妨先考虑 uo 接近于零而
iuk充分大的情况。
由式（9.89),并考虑式(9.90）和式（9.91）,得K点处偏角
iC3
on
{exp[ihi(u - uo)］ - expl- ih2(u - uo)lidu
2k√Sg + 1
2u vu
而积分
197

火箭外弹道学
当 uo →O, uk -→
α 时,第一大项之值为零;剩下仅有第二项，并且考虑到 exp－ ihiuo）和
exp(－ ih2 uo）当 uo→0时的值为1,则
(hieih,u + hze-ih,")du
lim I = i
[(hi +h2) + i(hi - h2)]
于是
on
[(hi +h2) +i(hi-h2)]
C3
(9.100)
lin y
12
2kSg + 1
将式(9.100)与 Sg= 0(即不考虑陀螺效应）的情况进行比较。由于 Sg=0时,由式(9.100)或
式(9.96*）可得
C3N
(9. 101)
kvo
那么在此特殊情况下,得幅值之比值Ks为
Y(hi +Vh)?
(Vhi-Vha)?
Ks
中o
+1
将式(9.92)代人得
Ks = (Sg + 1)-1/4
(9.102)
这说明,因陀螺效应影响而使幅值丨亚。与不旋转情况相比,它是随 S。增加而减小的,不过
减小的速度甚缓。不妨命 Ks为幅值衰减系数,其曲线示于图9.14 中。
在计算散布时，对起始扰动、推力偏心和动不平衡，所用到的特征函数都是其幅值。但对风
的表达式。由式（9.94）和式（9.94*）知
而言，则需知其实部和虚部。下面就特殊情况研究
C3
(9.103)
lim
lim
- ihikY
VO
C3
lim
VO
198

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
Ks
1.0
0.9
0.8
0.6
0.2
0.4
Sg
0.8
图 9. 14
Ks － Sg 曲线
C3 uo
lim
Cs V uo.
2u vu
VO
ih, n
C3 ~ 1
on
+ ihi
du -
lim
VO
coshi uo
sinhi uo
C3 uo
ihi
lim
du
C3 uo
Nu
VO
on
on
当近似取 C3 = 1时,显然第一大项为零,则得
C3 uo ?
C3
(1 + i)
lim
(9.104)
将（9.100）和（9.104）两式代人式（9.103）得
C3
[ihi(hi +h2) - hi(hi - h2) +
lim Y
2VS,+iV
VO
(1 - i)hi(hi + h2))
C3
[(/hi +√h2)+i(hi -h2)]
(9.105)
/ Sg + 1
VO
试比较(9.105)和(9.100)两式，可知亚，与。
对 S。的函数关系是一样的,也就是说,它们的
幅值衰减系数都是 Ks。又亚
之虚部与实部的比值KR为
hi - h2
h1 - h2
KR
(/hi +Vh2)?
/ hi + h2
KR =
(9.106)
+1+1
199

火箭外弹道学
Kk－ Sg曲线示于图9.15 中。
依据上述定义的系数，得
的实部
与虚部有下列关系式
20
KR
0.4 F
KsIw !
0.2
(9.107)
若将 iw写成下式
0.6
0.2
0.8
0.4
Sg
(9.108)
ylw :
KR是iw与的比值,可由式(9.107)
KR－ S。曲线
图 9. 15
解出
Ks
g+1+1
KR =
(9.109)
2(Sg + 1)
1 +(KR)2
其实，KR的表达式也可从式(9.105）得到。于是
KRKRY
(9.110)
P2w
式(9.108）和（6.110）使41和42w直接与不旋转火箭的发
发生关系。
R = 0.187,KRKR = 0
0.178。这样的 S。对
若取 Sg
0.15,则 Ks = 0.966,Kr = 0.95,Kk
B（d。）、B（）、B（p）来说,仍属低速旋转范围,因其误差还不到 4%。用
月山代替实部，误差
也只有5%，所带来的不到20%山的虚部，固然是一个可观的数值，但从（9.78）和(9.79）两式
来看,它似乎可以弥补简单公式的误差。比如常对 6= 45°射击时，sin6o= 1//2,则(9.78）和
(9.79）两式为
B(y1w) = Bwsin45°Vyu
* 2
* 2
B(Φ2w) =
p2w
中12 + 2422
*2
= 0.95 × 1 + 2 × 0.1872
2 = 0.985
KRA
= 0.95 ×^
0. 960
x 0. 1872
200

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
可见，用w1
代替根式，其误差在5%以内,这是允许的。
uk-的特殊情况而言,低速旋转范围可取判据 Sg<0.15,带来的误
总之，就
uo-→0及
差在4% 以内。
一般情况
9.9.3
上述特殊情况的结果,对 uo≠0及 uk为有限值的一般情况是否具有一致性?为此,用电子
计算机进行了计算。兹选取一组典型值进行比较,所取uo值分别为0.05、0.20、0.80,即是按四
取27.5,其1重。1与。之
之比值仍以 Ks表示,示于图 9.16。
倍的等比增加；而
由图 9.16看出 Ks Sg曲线的变化规律与特殊情况下的是一致的。随着 uo 的增加,Ks随
之减小;并且减小的速率随 uo 增加而降低。对现有野战火箭所取参数而言,其 uo 值不会超过
步选取uo 和 uk进行组合计算表明，Ks值还随uk之值有所变化;并在 uo较大时，由于偏角曲线
围绕其极限中心的幅度增大,那么Ks随uk之值的变化会加大。因此有必要对低速旋转范围加
之值以满足大于临界段的条
上一个对 uo 值的限制条件。我们建议,可考虑取
uk
uo < 0.6。而
件,即（uk－uo）>5为宜。考虑到Ks随（uo，uk）之组合值的“跳动”,为保证不超过5%的误差
值限制得更严一些,建议 Sg的上限取0.10为宜。
起见，就有必要对S
Kst
1.0
uo=, u- o
0.9
uo=0.05
0.8
uo-0.20
uk =27.5
uo-0.80
0.8
0.6
0.4
0.2
Sg
图 9.16
Ks -Sg曲线族
在实际散布计算中,如用简单公式算出。，对于 Sg>0.10的情况,可以用 Ks作为一个Sg
的影响系数加以修正，即
Yo.I~ Kso.
这样甚至可以把Sg的范围扩大到0.30。
201

火箭外弹道学
对风,用电子计算机算了（亚
－1)/vo =－巫。/αo 随 Sg变化的规律,并得出了其实部与
中。/vo的比值KR，曲线KR～ Sg绘于图9.17的上方。其中
uo = O和 uk
K= 8 时的曲线是由
式(9.109)算出的；其他曲线选取
27.5。可看出当
uo不大时，各实际曲线与特殊情况下的
ux --
理论曲线很接近。图9.17下方是（亚。
。 1)/vo之虚部与实部的比值,仍用 Kk表示。在 uo不大
时，KR－S。曲线也很靠近由式(9.106)所确定的曲线,这就为简化风偏计算提供了依据。显然，
在上述所论低速旋转范围内，即使考虑到（uo，uk）的组合计算的“跳动”，这个范围之内的误差
还是可以在5%以下。
1.0
KR
to=0.80
0.8
uo-0.20
u -27.5
uo-0.05
0.6
uo- 0
u = 0o
uo-0.05
0.4
uo-0.20
ut=27.5
uo-0.80
KR
0.2
Sg
0.8
0.2
0.6
0.4
KR - S.与KR - S.曲线
图 9. 17
如若扩大S。的范围，则亚”
的实部与虚部分别为
(9.111)
piw
VK
(9.112)
中iw
92w
而「」用下式计算
(9.113)
结论
9.9.4
根据对特殊情况推导的结果，与用电子计算机计算的一一般情况进行比较分析可知，特殊情
寸 uo <0.6并且（uk uo）>５的野战火箭
况下的稳定因子S。对角偏差的影响具有普遍性。对
202

第九章
尾翼式旋转火箭弹的扰动运动
弹，可认为低速旋转范围判据为 Sg<0.10。这实际上包括了绝大多数野战尾翼式火箭弹。忽略
陀螺效应的简单式(9.96）～（9.99）的适用范围是比较大的，使野战火箭的设计、研制和试验
中进行密集度分析时,对选用公式有了个大致的判据。对 Sg>0.10的情形,还可以利用 Ks、
KR、KR
等系数来适当地扩大简单公式的使用范围。
不言而喻，当S，实际上比0.10还小得多时，则可以放心地使用简单公式，而对uo和uk的
限制条件则可大大放宽。
203

第十章氵
涡轮式火箭弹的扰动运动
10.1
涡轮式火箭弹无尾翼，压心在质心前，翻转力矩将驱使弹轴离开速度方向。为了使弹轴的
运动稳定在速度方向上，必须使火箭弹绕纵轴高速旋转，以产生陀螺力矩来抗衡翻转力矩，维
持弹轴的稳定性。造成高速自转的动力是喷气导转力矩，可参看图8.7,其大小如式（8.66）所
Mxp =
FP
tane
u eff
式中，u1 是相对喷气速度，u'efr 由式(8.64）确定，ε是喷管斜置角。自转规律近似由如下方程确
定(略去极阻尼力矩）
MxP
md
2C
dt
md
(10.1)
式中
tane
2C
将 Iap看成常量,则
(10.2)
= apt
涡轮式火箭弹初速一般较小，只有30 m/s左右，刚出炮口一段以至全主动段的推力加速度都
远大于阻力和重力，这里可取
(10.3)
= αpt
由此知
(10.4)
= y
从而
(10.5)
= f(s so)
涡轮式火箭弹没有尾翼，优点在于运动、储存、发射方便，并且散布比尾翼式火箭弹小；主
要缺点是由于稳定条件的限制，弹体不能太细长，因而射程受限制，一般仅在15 km以下。
影响散布的主要扰动因素仍是起始扰动（主要是Φ）、推力偏心、阵风和动不平衡。本章亦
主要研究这些因素引起的扰动运动，并从减小角散布的观点出发，找出选取某些重要参量的方
法。
204

第十章
涡轮式火箭弹的扰动运动
第八章中已建立了各类弹丸的统一运动方程组。尽管涡轮式火箭弹与尾翼式火箭稳定方
式不同，但诸扰动因素引起的攻角和偏角公式,在形式上都具有一致性。由于这两类火箭的运
动方程组，除了其静力矩的符号有正负之别，其他各项都是完全相同。采用的运动方程可引自
式(9.14)，且改原稳定力矩项的“+”号为"_”号,为
W" +2(b - iSg)W" - W - wl +
(10.6)
h2
以此积分得攻角，代人下式(9.11)
by /4
(10.7)
求得偏角。式（10.6）中的 E为
RC
R.
Bp(2 - i)exp(i) + i
Lexp(iy)
1.
Rc 是绕纵轴的惯性半径,R℃
C/mo
起始扰动所引起的攻角和偏角
10.2
攻角和偏角公式
10.2.1
求解起始扰动引起的攻角和偏角，需要解微分方程（10.6）在初始条件下的齐次解。齐次
方程及初始条件如下
W"+2(b - i S.)W" - W = 0
(10.8)
W"o = Φo/k,W = Wo= Vo△o = Vo(Φo－ o),方程(10.8)的二特征根为
1=n宗
uo时,W
±(b-is)²+1
=-b+iv
r1,2
对涡轮式火箭弹,陀螺稳定因子 S，要比b大得多,则
(Sg- 1)
r1,2 ～- b +i(g ±
Hi =
Sg.
S.-1
(10.9)
H2 =
Sg - 1
则方程（10.8）有如下形式的解
W = exp[-- b(u - uo)]i Ciexp[iH(u - uo)l + Cμexp[iH2(u - uo)]!
(10. 10)
将初始条件代人,可决定参数 CI和 CⅡ
(-- b + iHi)CI +(-- b + iH2)Cl
CI + C
Vo(Φo - Yo)
205

火箭外弹道学
由于 b<Hi,b<H2,可解得
H2vo(Φo - Yo)l
代人（10.10）式，得攻角为
exp[ - b(u uo)]iexp[iHi(u uo)1 - exp[iH2(u - uo)]) -
2ku Sg - 1
exp[- b(u - uo)}IHzexp[iHi(u - uo)] --
(Φo - Yo)
/Sg-1
HiexpliH2(u - uo)]!
(10.11)
从上面△的表达式看出，只有当S。>1时,H,和H2才为实数,从而才能有幅值不增的攻角,因
式（10.11）亦是下述三种初始条件下解的叠加
第一种初始条件:t = to 时,Φ = Φo,Φo 0,o= 0;
第二种初始条件:t = to 时,Φo = O,Φ = Φo,o= O;
第三种初始条件:t = to时,Φo = 0,Φo = O,亚 = 亚oo
他们所对应的特征函数如下
,exp[- b(u - uo)}iexp[iHi(u - uo)] - exp[iH2(u -- uo)])
2kv Sg - 1
(10.12)
exp[ - b(u - uo)]i Hzexp[iHi(u -- uo)} - Hjexp[iH2(u -- uo)1↓
2/ Sg - 1
(10.13)
(10.14)
△ = ΦoA$
(10. 15)
. + oA
将攻角特征函数表达式（10.12）、（10.13）和（10.14）分别代人式（10.7）积分，便得相应偏
角的特征函数，其运算方法与上章9.3相仿，为避免过度重复，兹仅写出结果如下
iC3
[B(Hiuo, Hiu) - B(H2uo, H2u)]
(10. 16)
2kvo Sg - 1
= -- iHi kvo Y$
(10.17)
C3B(H, uo, H u)
(10.18)
试比较式（10.16）与式（9.33），式（10.17）与式（9.35），式（10.18）与式（9.39），便知他们在形式
206

第十章
涡轮式火箭弹的扰动运动
上是很相似的。
攻角和偏角的特性
10.2.2
因为在起始扰动中,Φ。是主要的,这里将重点讨论△。和亚。
的特性。由式（10.12)看出，
是两个圆运动的合成（图10.1）。把圆频率为H,的运动称为快圆运动；把圆频率为H2的运
动称为慢圆运动。这两个圆运动都沿着顺时针方向。由于这两个圆的半径都是不断减小的，其
合成结果，必然为一半径不断减小的外摆线，该外摆线由第一、二象限逐渐转到第三、四象限
（注意,约定幅角顺时针方向为正,故象限亦按顺时针编号）。
为了说明慢圆运动产生的原因，不妨考察慢圆运动频率为零的情形，就是说，慢圆运动已
才行。根据式(9.15)，Sg
不存在。使 H2
0，根据式（10.9）的定义，务必使
F²/(2nk)²,须 h = 0,就是真空情形。此时式（10.12）中用『/(2n/Sg）替代,且 b（u－uo）
0,得真空情况下的攻角特征函数为
[1 - exp[iE(s - o)]
(10.19)
8=S
显然，此函数曲线只局限在第-、二象限内变化，如图10.2所示。这说明，在无翻转力矩的情况
下，弹轴相对于速度矢量只有快圆运动。攻角曲线只在第一、二象限内变化，并且半径仍是不断
衰减的；运动的圆中心不断向原点移动。这说明了绕轴高速旋转的火箭弹，仅在陀螺力矩作用
下，由产生的弹轴相对于速度矢量的运动，一定是快圆运动。而且可以认为，这个圆运动的
中心就是弹体总动量矩的方向。
8*/s
0.05
(Y2 - V20)
0.05
1.0
B"
0.2
8/s
0.05.
0.5
0.10
8*/s
0.05
0.10
0.4
真空情况下的△*。曲线
曲线图
图 10.2
图 10.1
在有空气存在下，由于有翻转力矩作用，便出现了慢圆运动。根据理论力学，总动量矩矢
量的矢端速度必与翻转力矩矢量-一致；而总动量矩矢量正好与弹轴平均位置B”一致（见图10.
1中 B'）,故B"将沿翻转力矩（亦是与平均攻角相应的平均值）方向，绕原点顺时针转动,这就
207

火箭外弹道学
是慢圆运动产生的根本原因。
为进一步了解弹轴运动绕速度矢量的运动规律，如式（9.37）样，也可以应用欧拉公式，
将式（10.12）化为
exp[ - b(u - uo)Jexp[i Sg(u- uo)]sin Sg - i(u - uo)
(10. 20)
ku Se -1
这个以极坐标形式表示的攻角表达式，能清楚地看出攻角的幅值及幅角的变化规律。显然，在
攻角平面内，弹轴仍是作衰减的正弦摆动（章动），同时攻角平面又沿弹体旋转方向（顺时针方
向）回转，与尾翼式旋转火箭弹很相似。所不同的是回转的快慢及在攻角平面内章动的频率不
同。采取尾翼旋转弹相同的处理方法,亦把章动一周期内火箭飞行的弹道弧长,称为波长。为区
别前述波长，这里的波长用入2表示。根据式（10.20），有
Sg - 1(2) = 2π
2元
4n
(10.21)
入2 =
k/Sg-1
一般涡轮式火箭弹的入2也有数十米至一百多米的数量级。
曲线两次穿过原点0。若
将自变量改为以波长入2为“尺度”的自变量，即
(10.22)
于是
Sg - i(u - uo) = 2π(y2 - y20)
(10.23)
则当
y - y20 = 0,0.5,1.0,1.5,2.0,...
等一系列等差数值时,△。
曲线正好到达原点,如图10.1所示。这又与表9.1所示的尾翼弹△
曲线相似。
至于攻角平面的回转角速度即进动角速度，由式（10.20）知，对自变量u而言，其值为
S。，与尾翼弹也一样。只不过涡轮式火箭弹的值要大得多，进动角速度比尾翼弹要快十几倍
到数十倍。
曲线;图 10.4绘出了稳定因子 S。= 2时的
图10.3绘出了某一火箭在真空条件下的亚。
曲线。分别取了不同的 yo值,以显出 yo的影响。偏角曲线有如下特点：
（1）偏角曲线任意点的切线平行于相应攻角曲线的割线。这是由于亚与△由关系
208

第十章
涡轮式火箭弹的扰动运动
所决定的。其物理解释与尾翼旋转弹情况一样，不作重复。由于火箭弹每飞行半个波长，攻角归
零一次，归零时的割线方向发生突变，即改变元角。这样，偏角曲线的切线也在这些点突变
角，于是出现了尖点。既然每飞行半个波长攻角归零一次，那么尖点间的飞行弧长也是半个波
长。
d*/s
中*/st
V20= 0.015
Y20 -- 0.015
0.04
0.04
0.5 1.01.5
J20= 0.030 (Y2 -20)
Y20 = 0.030
0.5
0.5 1.0 1.5
1.0
0.02
0.02
(Y2 - Y20)
0.5
51.0
0.06/s
0.04
0.02
0.02
0.06
0.04
Sg= 2 时的 △$。曲线
曲线(Sg = αo)
图 10.4
真空中的
图 10.3
(2）偏角曲线在前半个波长内增加很快，此后变化甚缓，因此存在着临界段，其长度即是
半个波长。偏角曲线在临界段内迅速形成的原因，仍是此间攻角大，法向力大而动量小之故。以
上两点与尾翼旋转弹比起来，又非常相似。
(3）在有空气存在的实际情况下,偏角曲线末段向里卷曲。这一点实际上是第1条的特征
表现。因为有慢圆运动，攻角曲线中心要绕原点顺时针方向回转，当攻角曲线进人第三象限之
后,偏角切线还将向左下方及左上方变化,必然造成曲线的卷曲。而且随S，越小，卷曲得更加
明显，这是由于慢圆运动加快之故。
影响角散布的因素
10.2.3
与式(9.42）类似,Φ。引起的角散布为
B(。）=
(10.24)
由式(10.16)知，1亚。1与 uo、k、Vo、Sg有关,而
/2aso;又从式(9.15)知,k = I/(2n
Vo =
/Sg）。故丨亚。I的影响因素主要是:、n、Sova 和 Sg。
1.赤道转动惯量与极转动惯量之比n
由式(10.16)可知，当n增加时，1亚。I增加。其原因是n增加意味着弹体细长,使陀螺效
应减弱（在的变化规律一定的情况下），因而攻角和偏角都要增大。但 n过小时，对射程和威
力都是不利的。如果 n太大，则为保证陀螺稳定性，要求转速较高，这不仅消耗能量较多，而且
209

火箭外弹道学
火药强度也成问题,故 n不能太大，一般所取弹长与弹径之比在8以下。
2.自转角速度与飞行速度的比值『
I。！随增加而减小。因
母 B。增加,致使总的 B（）略增,故不宜于选较大的『。
3.有效滑轨长度
so增加时，1亚$。1是减小的。因为「一定时,这将使炮口转速增加,陀螺效应增强；同时炮
增加,致使总的偏角散布加大。
4.推力加速度
αp,在『和滑轨长一定时，αp增大,使炮口转速和速度
般野战涡轮式火箭弹,可取 a
增大,总的来讲，αp对 B（）的影响不大。
都提高,使！亚。！减小。但较大的 αp可能使
B:
响很小。这是因为在I和n一定时,改变 S。就意味着翻转力矩系数改变。而翻转力矩对前半个
波长内的偏角影响不大。主要改变末段曲线的卷曲程度，而末段对总偏角的幅值影响是小的。
关于 Bg。，目前的水平是(0.05～0.08）rad/s,新设计的型号，应不大于此值才是。
例题 10.1
已知某涡轮式火箭弹参数如下：
d = 0.14 m, RA
= 0.0025 m²
= 0.082 m², R2
39. 10 kg, l = 1.00 m,mz= = (
0. 780 1/rad
2.0 1/rad, p = 1.20574 kg/m3,I = 7.06 rad/m
ap = 557 m/s?, Vo = 34.0 m/s, Vk
= 390 m/s
Yo = 240 rad/s,0o 0k
0.050 rad/s
= 0.60 × 10-3 rad
试求起始扰动引起的落点方向散布。
π × 0. 142
1.20574 x
x 1.00 x 0.780
oSIm'
= 0.047 5
2 x 39. 10 x 0.082
2mR3
7.06
(2.27)2
= 5.15
0.082
Ｎ×
2nk
x 0.047
0.002 5
由式(10.9)
Sg - 1 = 2.27 + ~4.15
+"s
5 = 4.31
H1 = ^
H2 =
210

第十章
涡轮式火箭弹的扰动运动
34. 02
1.04
(2 × 557)
2a
2ap
3902
VK
136.5
SK
2ap
2 × 557
uo = kso = 0.049 4
ksk = 6.48
ux 二
Hiuo = 0.213, H, uk
27.8
H2uo 0.011 5, H2uk
K = 1.50
查表
B(Hi uo, Hi uk) = 0. 499 4 + 0.267 0i
B(H2 uo, H2 uk) = 0.884 4 + 0.099 2i
× 0.142 × 2.0
1.205 74 x
oSC"
= 0.475 × 10-3
2m
2 x 39. 10
C3 = 1 + 2byso = 1.001 ~ 1
代人式（10.16)
iC3
[B(H, uo, Hi uk) - B(H2 uo, H2uk)]
2kvo Sg - 1
[0. 499 4 + 0.267 0i - (0.884 4 + 0.099 2i)]
2 × 0. 047 5 × 34.0 × ~ 4. 15
0.025 5 + 0.058 5i
再由式（10.17)
= - iH,kvoW$k +
C3 B(Hi uo, Hi uk)
- i4.31 × 0.0475 × 34.0 × (0.025 5 + 0. 058 5i) + 0. 499 4 +. 0. 267 0i
0.906 6 + 0.089 5i
由式（10.18)
0.093 4 - 0.089 5i
主动段末的角散布为
sx 1 = 0. 050 × ~0. 025 52 + 0. 058 52 rad = 3. 19 × 10-3 rad
B(yk) Ba
3 × 0.906 62 + 0.089 52 rad = 0.27 × 10-3 rad
B(,) =
r,k I = 0.30 × 10-3
B(ywek) = Bok I
211

火箭外弹道学
三者合起来的角散布为
B2(yok) + B2(po,k) + Ba(ppok)
B(Φk) =
V 3.192 + 0.272 + 0.782 × 10-3 rad = 3.20 × 10-3 rad
落点方向散布为
Bz
B(Φk)
3.20 × 10-3
cosOk
221
cos 45°
推力偏心的影响
10.3
推力偏心包括推力线偏心和推力偏心角，由于推力偏心角引起的推力侧分力对野战火箭
弹道的影响可忽略，故推力偏心仅指推力线偏心而言。与尾翼弹比起来，涡轮式火箭转速更高
（十倍以上），使推力偏心矩的作用趋于对消。然而，因涡轮式火箭散布比尾翼式火箭要小,故相
对说来，推力偏心引起的散布在涡轮式火箭总散布中的地位还是不容忽视的。推力偏心引起的
攻角和偏角，仍可对方程（10.6）和（10.7）求解得到。为避免数学运算过程的亢长，采用格林函
数法。如式（9.43），先得攻角
AL = +
(uns u)dtn
R2
式中，由式(10.5)确定;△
由式(10.12）确定,不过须将 uo 改为参数 uno而 dtn = dsn/un，则
apL
exp[ -- b(u -- un)](exp[iHi(u -- un)
kR3
exp[iH2(u -- un)]texp[ina(un - uo)]dun
(10.25)
式中，n = I/k,n 也有一定物理意义,将式(10.21）代人,可得
2元．
(10.26)
(10.27)
式中
表示在一个波长^2内的自转周数；na 是n，的Sg-1倍。现有涡轮式火箭 na，达80～100
的数量级,而 Sg为 2 ～ 5,故 n 之值在 80 ～ 200 的范围内。
在式（10.25）中，被积函数可写为
exp(iH2u)exp[i(nx - H2) un]j exp(-- inauo)
212

第章
涡轮式火箭弹的扰动运动
-H2）un］是高频函数。在它们变化一个周期内,其波动化比之速度n的变化量来说，Un的变量
量就显得很小了，因此可把取作某一常值。在近似求积分值的运算中,把变化相对缓慢的函
数值取为常值，是带有普遍性的方法。考虑到偏角在刚出炮口一段形成的特性,故取炮口值为
Vn O
这样,式（10.25）积分得（略有近似）
apL
expliHi(u -- uo)l -
△L =
(10.28)
H2
上式表明，△由自由运动和强迫运动组成，强迫运动仍保持高频率，并且其幅值远小于自由运
na Hi,na H2,故取 na - H n,n - H2 n 及(n- Hi)(na - H2) n。
动幅值。因
那么强迫项的幅值只有自由运动项幅值的2/Sg－1/n，将式(10.26）代人得
2V Sg.- 1
na
前面已指出，na，
= 80 ～ 100,则其幅值比为
40
50
可见，对涡轮式火箭弹，其强迫运动项可以忽略不计。这是因为火箭的自由摆动频率（固有频
率）远低于外界推力偏心矩的干扰频率（自转频率）。由于火箭摆动的惯性，干扰力矩只容易激
发其自由摆动运动，而对高频的强迫运动不甚敏感。由此，只需保留推力偏心矩所引起的自由
运动项就足够准确了。于是将式（10.12）代人式（10.28）可得
iapL
(10.29)
kvo RAna
相应的偏角为
iapL
(10.30)
kvo RAna
kvo k
Fvo = o,则
由于 kvona
apL
(10.31)
△L =- i
RAY0
apL
(10.32)
=-i
RA0
由此可见，推力偏心对主动段的影响，与某一起始摆动角速度的影响相当，其值为
213

火箭外弹道学
apL
Φi
(10.33)
RAY0
称Φ，为推力偏心的等效起始扰动。
推力偏心等效作用的性质，与上一章关于尾翼式旋转火箭运动的分析相同。
根据（10.31）和（10.32）两式，为得到△~和亚曲线，只须将△。和亚。日
曲线逆时针方向
曲线是由电
子计算机算出的精确结果。
+ * /(rad - m-1)
d* I(rad - m-1)
-2
$* /(rad - m-1)
S′ /(rad - m-1)
△~ 曲线
亚曲线
图 10.5
10.6
推力偏心引起的角散布为
B() = BL
(10.34)
影响散布的参量仍是『、So、ap及n。不能孤立起来看问题，比如当实际滑轨长度-一定时，Vo和
便由推力加速度决定。有的资料把αp与Vo及o看作互不相干的量，显然要得出错误的结
论。如果是火炮助推火箭，情况才会大不一一样，其推力加速度便自然与发动机点火处的速度及
转速无关。
F增加，使丨亚。I及等效起始扰动都减小。这是由于自转速度提高,推力矩更快地改
(1)F
变方向，从而使等效起始扰动减小;而「亚。丨随增大而减小的原因，正是陀螺效应增强之故。
(2）有效滑轨长度so
如式(7.79）指出，野战火箭的有效滑轨长度取决于实际滑轨长度。实
际滑轨增长时，o 增加，和o 都增加,使等效起始扰动和！亚。1都减小,其道理是很明显的。
I 亚。！中的 B函数与αp无关,因其系数与 Vo 成反比,又等效起始扰
（3）推力加速度
ap
动与 o成反比,故 B（）将与 αp无关。这是由于陀螺力矩与推力偏心矩都与αp成正比增加，
处于势均力敌的状态之故。
214

第十章
涡轮式火箭弹的扰动运动
nn反映长细比,弹长增加时，丨亚。
(4）转动惯量之比 n
是增加的，上节已讨论。又式
(10.34)BL/R大致与弹长1成反比,说明弹长增加是有利的。这主要是由于弹体惯性增强，摆
动不易，使等效起始扰动减小之故。总的来讲，弹长增加会使B（虹）有所增加。
（5）参量 k主要体现翻转力矩系数m'z，增加，使I亚。I略减,故稍有利于 B（）的
减小。
页10.2之火箭由推力偏心引起的落点方向散布。已知BL =0.75×
例题 10.2
计算例题
10-3
由式(10.34)
B(ux) = B
R30
557
V0.025 52 + 0.058 52 rad = 1.35 × 10-3 rad
0.75 × 10-3
0.082 x 240
Bz
B(puk)
1.35 × 10-3
cosOk
524
COs45°
4风的影响
10.4
引言
10.4.1
在第九章中已对尾翼式火箭弹主动段风的影响进行过讨论，其实质是风产生的附加气动
力矩，使弹轴围绕相对速度方向运动，相应的法向力将使速度方向偏转，造成角偏差。涡轮式火
箭弹也大致如此。
本节将根据运动的合成原理来推导垂直风wI所引起的攻角△，和偏角亚u。如果取个动
坐标系与空气一起以wI的牵连速度运动,则在动坐标系内观察火箭的运动时便不再有风；因
wl为常量，此动坐标系乃为惯性参考系。这样，以前在无风条件下所推导出的公式
假定风速
在此坐标系内完全适用，不过起始条件得适应动坐标系内的情况。既然火箭弹在动坐标系内的
运动是可以解出的，那么，若知道了动坐标系与地面坐标系内运动参量之间的关系，则立即可
以求得火箭在地面坐标系内的运动状况。分三个步骤来计算△和亚u：①求两个坐标系内运动
参量（亚、Φ、△）之间的关系;②求动坐标系内攻角和偏角的公式;③求地面坐标系内的攻角
和偏角。
垂直风引起的攻角和偏角
10.4.2
1.两坐标系内运动参量间的关系
设V，是相对于动坐标系的飞行速度，动坐标系的速度（即牵连速度）就是垂直风速
w+，则
215

火箭外弹道学
绝对速度为两者之和,即
(10.35)
将该式向理想弹道切线和法线方向投影（法线方向的分量用复数表示）
l + wl
(10.36)
Vrll
式中有脚注“」”者表示垂直于理想弹道方向的分量；脚注“/”表示平等于理想弹道切线方
向。
由此在动坐标系内的偏角为
w1
(10.37)
Vrll
式中，亚是地面坐标系内的偏角。
因动坐标系仅有平移而无转动，两坐标系内的摆动角相等，即（脚注“r”均表示动坐标系
(10.38)
更r =Φ
内的量）
则得
△r=Φrr=Φ-+
(10.39)
（10.37）、（10.38）、（10.39）三式就是动坐标系内亚r、Φr、△,与地面坐标系内亚、Φ、△之间的关
系。
2.动坐标系内的偏差量
本节只考虑垂直风这一个扰动因素。在动坐标系内的初始条件，由式（10.37）和式（10.38）
VO
(10.40)
Φo=Φo=0
这相当于第三类初始条件，于是得
(10.41)
△r = Yo△.
VO
(10.42)
VO
3.地面坐标系内的攻角和偏角公式
由式（10.37）和式（10.39）得
216

第十章
涡轮式火箭弹的扰动运动
+=
将（10.41）和（10.42）两式代人，得垂直风引起的攻角和偏角
(10.43)
(10.44)
特征函数△和亚为
(10.45)
(10.46)
和亚
的特点
10.4.3
图10.7和图10.8分别给出了△和亚1
曲线示意图。它们是在垂直于速度方向且向上的
垂直风作用下的攻角和偏角变化曲线。此时相对速度将在弹轴的下方，翻转力矩的矢量方向指
向右方。在翻转力矩作用下弹头不仅向上偏转,而且由于陀螺效应,并将很快向右偏转,由此便
形成了条类似拉长的螺线的攻角曲线。尽管攻角曲线不像尾翼弹那样明显地绕相对速度方
向变化，但其大致的状态还是围绕其相对速度方向的。如果主动段较长且有效滑轨长度甚小
时，就会看得明显了（见图10.9）。
* /(rad·s m-l)
* /(rad· s:m-l)
(Y2 -Y20)
0.002
0.002
S*/(rad- s m-1)
0.50
0.5
- 0.002
(V2 - Y20)
1.0
- 0.004
0.002
b* /(rad·s·m-1)
亚”曲线
△*曲线
图 10.7
图 10.8
217

火箭外弹道学
偏角曲线开始向右上方变化，此后朝右下方变化，最后有所扭曲。其变化趋势由式（10.7)
确定，但其切线方向不完全与相应点攻角割线平行。由于有垂直风时，空气阻力和升力作用在
相对速度"与弹轴构成的平面内,而不是攻角平面内;阻力的垂直分量平行于风速方向,升力
的一部分也平行于风速方向，它们都不在攻角△所在平面内,这就是式（10.7）的第二项。因此
总的法向力不完全在攻角平面内，故速度√就不完全沿攻角平面偏转。但对野战火箭弹道而
言,式（10.7）第二项比第一项小得多,故而仍可大致认为攻角割线方向平行于偏角切线方向。
变化的快慢问题，从图10.10易见，在出炮口后第一波长内变化较快,第二波长内仍
关于亚
继续变化,第三波长内的变化就较小了，此后将更小。总的来讲，临界段已失去意义，主动段末
的偏角大小与主动段长度有关。
8* /(rad - s·m-l)
+* /(rad· s·m-l)
0.35 (2 - J20)
0.35
0.001
20 -0.032
20
$* /(rad - s·m-l)
-0.003
/(rad · s*m-l)
0.0051
10.80
0.002
0.003
0.001
0.80
2.0
- 0.002
-0.001
0.50
Sg=4
1.5
(2 - Y20
1.5
- 0.002
1.0
Sg=2
曲线(S。= 2)
曲线(当 y20 0)
图 10.10
图 10.9
与尾翼弹明显的不同点是，这里已不一定“逆风偏”。沿风方向上的偏角可正可负，取决于
弹道参数。在其他参数一定时，主动段长度起决定作用。若设计中进行参数调整，可以使沿风向
的偏角为零,剩下的只是在风向超前90°的垂直方向上产生偏角。这样，对恒定风进行落点偏
差修正是有利的,因为可少个修正量。
影响偏角的因素
10.4.4
对涡轮式火箭弹的风偏计算，仍为式(9.76)和式(9.77），即
- Wxsino4iw - w2w
(10.47)
(10.48)
Wziw -- Wxsinfod2w
Φ2w =
式中，山1w和2w是式（10.46）的实部和虚部。
角散布公式仍形如(9.78）和(9.79）两式。由于高低和方向散布公式有所区别，按理得分
幅值的影响，与对其二分量的影响大致是
别讨论各因素对其影响。但粗略地说,各因素对亚
相同的,故而讨论一下对「亚1的影响因素就行了。这些因素主要是、So、k、αp及弹长1等。
218'

第十章
涡轮式火箭弹的扰动运动
(1)F
增大可使转速提高，增强弹轴定向性，于是风对弹轴运动的干扰作用就减弱了。
其变化情况示于图10.11中,纵坐标表示的是K点的数值
Iy*! /(rad-s-m-I)
I甲*I/(rad-s-m-1)
0.002
0.002
0.001
0.001
10
So
I亚*1-曲线
！重1－ So 曲线
图 10. 12
图 10.11
(2) s0
在其他参量不变时，增加有效滑轨长
I*i/(rad-s-m-l)
度，就意味着加长滑轨。这可使初速和离轨转速都
提高。弹轴的定向性和抗干扰能力增强，动量也
0.004
大，有利于减小偏角。但速度大时风的干扰力矩也
大。总的来说，！亚丨随 So增大而减小得不很明
显（图10.12),从图10.10的两不同y20值的偏角
0.002
也可看出。
(3)h
增加翻转力矩系数，使k加大，稳定因
子变小,风的干扰力矩加大,从而丨亚*1加大。
0.10
0.05
加大 αp也可以提高炮
（4）推力加速度
ap
10. 13
口转速和炮口速度,使偏角减小。
关于弹长,计算表明,它对「亚1的影响不大。
计算例题10.1之火箭主动段由阵风引起的落点方向散布。已知 Bu =
例题 10.3
1.0
mso
由公式（10.46)
( 0. 183 + 2. 63i) × 10-3
(0.093 4 - 0. 089 5i)
390
34.0
VO
UK
代人公式(9.79)
B(y2uk) = Bw V(yiuk)2 +(y2uksingo)2
2 rad = 1.87 × 10-3 rad
1.0 × 10-3 (0.1832 + 2.63 × sin45°)2
219

火箭外弹道学
Bz
B(2wk)
1.87 × 10-3
cosOk
378
cos 450
5动不平衡的影响
10.5
在10.3节中已讨论过关于推力偏心的等效作用问题，就是当干扰力矩的频率远大于火箭
固有摆动频率的条件下，于扰力矩引起的扰动运动基本上表现为自由运动，而强迫运动是可以
忽略的。因此高频干扰力矩的作用，就可以看成是某一起始摆动角速度的作用。当干扰力的圆
周频率接近自由振动频率时，将会发生共振，而对涡轮式火箭弹来说，这是不大可能的。但当干
扰力的圆周频率大于自振频率时，强迫振动的幅值，便随二频率差值的增大而迅速减小，直至
远小于自由振动幅值。无论是推力偏心矩或是动不平衡惯性力矩，它们都随火箭一道高速旋
转，其圆周频率远大于火箭自由摆动的固有频率，因而高频的强迫运动也是很弱的。
至于动不平衡引起的攻角和偏角，在第九章的9.7中没有进行具体推导，这里弥补一下：
因为对涡轮式火箭而言，在处理问题的方法上与尾翼式旋转火箭弹是类似的。
采用如10.3的格林函数法，知动不平衡引起的攻角为
Rc
dun
βp(n - i)exp(iyn)s,(un,u)
(10.49)
kUn
将式（10.12）代人，注意改
文 uo为 un,得
( - i)
exp[ina(un - uo)] ×
1BD(
R2
exp[- b(u - un)]iexp[iHi(u - un)] - exp[iH2(u - un)]Idun
被积函数中，（－i）/n比之被积分的高频函数来,其变化就显得很缓慢，因此可取其炮口
值（对总的积分结果影响不大)。于是得
(%-i)
i 1-
expliHi(u-
2hv S. - 1
kVo
uo)J-
(%- i)
il 1 .
knvo
考虑到 knvo = Ivo o,》,以及 n》Hi,则
Aβ, ~ i(1 -
(10.50)
βDA.
R3
则得偏角为
220

第十章
涡轮式火箭弹的扰动运动
Yp, ~ iol 1 -
(10.51)
作用,其值为
βD
io( 1 .
(10.52)
R2
关于等效起始扰动的概念，已说过多次，这里就不重复了。很明显，动不平衡引起的攻角和
偏角的变化规律,与Φ。引起的攻角和偏角相比，只是简单的旋转与增缩关系。将
和亚，。图10.14和图10.15是精确计算结果，与图10.1和图10.4相比，证明了上述结论的正确
性。
10
10
-5
-10
- 10
曲线
曲线
10.14
图 10.15
βp 引起的角散布为
RC
B(,) :
(10.53)
影响 B(p，）的因素有、n、sovαp、kz。为了清楚起见，将式（10.16）代人式（10.53)，得（注意
Yo = vo)
C3f
B(）=
Bp
I B(Hiuo,Hiu) - B(Hzuo, H2u) 1
1.
(10.54)
R3
2k /Sg - 1
式中，|B（Hiuo,Hiu）－B（H²uo,H²u）I与uo 的关系,大致如图
日10.16所示。另外，如曾介绍
的式(7.79),认为推力加速度的增减对有效滑轨长无影响,而且稳定因子 S。对亚。
影响很小，
由此有如下结论：
221

火箭外弹道学
F 增大,B（）加大;
(1)F
B(HI uo, Hiu)
- B(H2 uo,H2u)
B（p）随n 增加而加大；
(2)n
B(p）随增加而减小。因/Φβ，！与
(3)h
k无关,而丨亚。丨是的减函数；
so取决于定向器长度,B（p,）与 so
(4) s0
的关系曲线如图10.16的曲线型；
(5)αp
αp对 B(p）无什么影响。
例题 10. 4
计算例题
贞10.1之火箭由动不平
0.30 × 10-3 rado
衡引起的方向散布。已知
图 10.16
特殊曲线
由公式（10.53)
RC
B(pk) = Bpp
R2
0.0025
× 240 × ~40.7 × 10-2 rad =
(1-
0.30 × 10-3
0.082
4.45 × 10-3 rad
B(dp,)
Bz
4.45 × 10-3
cosOk
159
cOs450
可见对涡轮式火箭弹的动不平衡，要引起足够重视。
散布小结
10.6
根据本章例题，计算结果如下：
B(,x) = 3. 19 × 10-3 rad
B(Φuk) = 1.35 × 10-3 rad
B(ywuk) = 1.87 × 10-3 rad
B(p,k) = 4. 45 × 10-3 rad
由此可知它们在总散布中各自所处的地位。
各有关参量对几个散布量的影响列于表10.1。读者可将表10.1与表9.1作一比较,并找出
异同点，分析各自变化趋势的原因。
关于各参数的最佳值，可根据式（9,88）作曲线确定。
222

第十章
涡轮式火箭弹的扰动运动
表10.1
各参量对散布的影响趋势
变化
散布
B(。)
B(,)
B()
B(dw)
参量
(n或l/d)
影响小
so（或定向器长）
小 So
大 so★
k(或 m)
dn
符号说明：丰表示增加；→表示下降；－表示无关；至表示略有增加；±表示略有下降。
223

第十一章
一起始扰动计算
发射过程
1前
11.1
在绪论中曾指出，火箭在后定心部脱离炮口前，按照其受力状况不同，已经经历了两个阶
段，即约束期和半约束期。起始扰动是自由期运动的初始条件，它对散布计算，以及修正理论中
的偏流计算都是很重要的。在引起散布的各主要扰动因素中，推力偏心、动不平衡是属于弹体
和发动机性能测量问题，风是气象测量问题；但起始扰动则是火箭运动状态及定向器性能所决
定，因此外弹道学也要研究这个问题。起始扰动又分为随机的和非随机的两部分。前者形成的
因素很多，主要有滑轨振动、质量分布不均引起的动、静不平衡。此外，还有滑轨波纹度、弹炮间
隙、推力偏心等等。非随机的起始扰动主要由重力矩引起，这是理想弹道计算中没有考虑的，它
会形成落点的系统性偏差。起始扰动主要在半约束期形成，在约束期结束时的运动参数，将作
为半约束期运动的初始条件。
鉴于起始扰动对散布有重要影响，因而对它的研究工作就显得非常重要。只有弄清了各扰
动因素及与弹、炮结构有关的因素对起始扰动的影响规律，在设计中才能合理地选取最佳方
[2,4,29],本章仅介绍一些初步知识。
案。目前对这个问题的研究已卓有成效
在半约束期内旋转火箭弹的扰动方程
11.2
在半约束期内，定向器（滑轨）将有约束力FR作用于后定心部上，这个力FR的大小和方
向都很难确定。为了在运动方程中不出现这一约束力，最好将后定心部中心R作为原点来研
究弹轴运动。如此把平动坐标系的原点选在R点上，FR对以R为基点的转动来说，其力矩为
零。
按第八章方法，可导出类似式（8.112）的弹轴转动方程为
A - iCΦ = f + (A - C)βp(2 - i)exp(i) +(2 - ii)mlRLmexp(i)
(11.1)
Lm1 + iLm2
(11.2)
式中
为质量偏心矢量（或静不平衡矢量）,Lm1和Lm2是其在弹体坐标系内的二分量。它所在的项就
是它引起离心惯性力矩和切向惯性力矩的等效力，式中，lR是R到质心距离，见图11.1（图中对
定心部高度及摆动角Φ作了夸大）。
方程（11.1）与式（8.112）比起来，有两个不同点：（1）由于坐标系原点选在后定心部中心
224

第十一章
发射过程
起始扰动计算
R,因而赤道转动惯量 AR 是对通过R 点的横轴来
计量的，并根据平行轴定理有
(11.3)
(2）由于所取平动坐标系不是惯性参考系（因火
箭在加速运动）,在此坐标系内研究火箭运动时应
该在质心加上由于坐标系的加速平动而产生的惯
ma Rn
性力,这一惯性力对原点R的力矩必须加以考虑
Fp
（自由期原点在质心，此力矩为零）,故而在f中应
包括此力矩的等效力。
图 11.1
火筛在半约束期内的运动
应该指出，在建立方程（11.1）时,并没有考虑
R点相对滑轨的横向运动，也就是没有弹、炮间隙。有间隙存在下的更一般性扰动运动方程，本
章再作一些介绍。
火箭所受外力矩的等效力f中,应该包含重力和R点的纵向加速度i与横向加速度αRn引
起的惯性力矩所相应的等效力。从图11.1看出,纵向惯性力矩的等效力为 mu@,若再考虑质
量偏心，则为
mv[lr@ + Lmexp(iy)]
= map[lr@ + Lmexp(iy)]
横向惯性力矩的等效力为
- mIRaRn
重力矩的等效力为
- mglrcosQo
于是式（11.1）为
A - iC - mapln@ = (? - i)[(A - C)βp + mlrLmlexp(i) +
mapLmexp(i) - marnlr -- mglrcosfo
(11.4)
式中，mapLmexp(i）和iC两项的数值远小于其他各项，maplrΦ一项也比较小,在计算散
布时可将其忽略不计，这样带来的误差约在5%以内。因而在散布计算中可写为下列方程
AR = (2 - i)[(A - C)βp + mlrLmJexp(i) - marnlr - mglRcosGo
(11.5)
质量分布不均衡引起的起始扰动
11.3
方程（11.5）是线性的。等号右边两项可以分别单独进行研究。当只计及质量分布不均衡
时,有
Ar = (2 - i)[(A -- C)βp + mlrLmJexp(i)
(11.6)
225

火箭外弹道学
将和以表示之,并将上式两端各除以AR,则
RA- Re
exp(i)
=(t- i)
(11.7)
R= R +
其中
(11.8)
对式（11.7）积分一次得火箭后定心部离轨时的摆动角速度
(22 - i)exp(i)d
Φo = ΦF +
(11.9)
式中，tF 是前定心部脱离定向器时的时间,ΦF 为t 瞬时的Φ值，上式中的积分
exp(i)dt]
[texp(i)
exp()。
- i
i[ rexp(i) - toexp(i)]
i[t - toexp[i(- )] exp(i)
(11.10)
在半约束期结束,即火箭后定心部离轨时（t = to）火箭移动的距离 soo = αp/2,而前定心
sF = αpts/2,注意到 so－SF = lB（前后定心部之间的距离）,于是有
部离轨时火箭移动的距离
IB
SF
to
S 00
S 00
(11.11)
则积分式（11.10）之值为
= iol
F- exp(irl)exp(i)
- exp(iflb) exp(i)
$ 00
由于不考虑滑轨振动和弹炮间瞬时,其ΦF = 0,故式(11.9)得
RA- Rc
- exp(ifla) iexp(i) = @op, + oL.
IB
Φo = ol
$ 00
(11.12)
RA - RC
iexp(i)
Cop, = βp%o(
(11.13)
其中
- exp(iflp)Ji
S 00
IB
- exp(ib) iexp()
LmYoR
重OL
(11.14)
S 00
将（11.13）和（11.14）两式取绝对值,并设|βp丨和|Lm|是瑞利分布（在圆周上均匀分布）,则
226

第十一章
发射过程一一起始扰动计算
其投影为正态分布,并且中间误差为B（βp）和 B（Lm），于是得βp和Lm引起的起始扰动中间误
差为
RA - R?
1/2
[( -
IB
B(op,) = B
B(βp)0
(11.15)
cosFlB + 1
S 00
IR
B(ΦoL) = B(Lm)
(11.16)
RA - R
B(βp)
至于起始偏角亚,可由下式计算
Qolr + Lmexp(iyo)iyo)
o =
(11.17)
VO
为了求出 Φo，只需将重再积分一次便得。由于Φo、亚。引起的落点散布甚小,故这里不详
细推导了。
例题
Be..设
计算涡轮式火箭I由于质量分布不均衡性所引起的起始扰动
11.1
m?, R?
0.10 × 10-3 m,lr =
B(βp) =0.30 × 10-3 r
rad, B(Lm)
0.082
0.246 m², Rc = 0.002 5 m², lB = 0.434 m, $o0 = 1
1.04 m, I = 7.06 rad/m, Yo = 240 rad/so
FlB = 7.06 × 0.434 = 3.07
cosIlB = - 0.990
0. 434
1 -
0.764
1.04
S00
由式(11.15)
R - R?
IB
1(1
B(op,) = B(βD)o
cosFlB + 1
1-
S 00
S 00
0.082 -- 0.002 5
0. 30 × 10-3 × 240 ×
(0. 7642 + 2 × 0. 764 × 0. 990 + 1)1/2
0. 246
0.041 rad/s
由式(11.16)
0.041
0. 406
B(oL) = 0. 10 × 10-3
3 = 0.069 rad/s
0. 082 -- 0. 002 5
0.30 × 10-3
B（op）与 B(oL）合起来得
B2(gop,) + E
/0.0412 + 0.0692 = 0.080 rad/s
B2(POL)
可见这个数值是不小的。质量偏心对主动段内的运动影响可忽略，但是它对起始扰动的影
响则是不能忽略的!本节内容将为限制B（βp）和 B（Lm）提供了数量上的依据。
227

火箭外弹道学
定向器振动所引起的起始扰动
11.4
这里首先仅考虑垂直于射击平面的横向振动，由式（11.5）知
= - mlRaRn
ARP
式中,省略了 Φ和αRn
的脚注“2”。上式可写为
(11.18)
aRn
式中,aRn
是定心部中心R点的横向加速度。
将式(11.18)积分一次得
(11.19)
Po =
式中
一前定心部离轨时，R点的横向速度；
URnF
一后定心部离轨时，R点的横向速度;
VRnO
βF——前定心部离轨时,弹轴的摆动角速度。
定向器的振动规律，目前有待进步
研究，还没有个通用公式可循。这里将以
试验测定为基础进行研究。如图11.2所示，
ox'与射向平行，x'oz 为一固定坐标系，表示
未发射火箭前，过定向器轴线并且与射击
ZM
面垂直的平面，只考虑定向器在该平面内
的横向振动。在任意时刻t，定向器位置如
图中所示。M点为定向器端面中心，N点为
选定一确定点，它到 M 点的距离MN大致等
于前后定心部距离 lB。在 t 时刻，火箭后定
心部在R点位置，M、N、R的横向位移分别
为 zMZN、ZR，而 zM 和 zN 是可用仪器测出
的。定向器轴线与基准轴 α'的夹角为β,且
Ro
ZM - ZN
(11.20)
MN
于是
图 11. 2
定向骼的模向运动
ZR zZM - (soo - s)sinβ ZM -(so - s)β
式中，Soo 是后定心部从起点 Ro到脱离炮口的全行程,亦为实际滑轨长度。
由上式
228

第十一章
发射过程一一起始扰动计算
ds + d(s - 0s) - Wz = z
(11.21)
将此式代人式（11.19），便得横向起始扰动
IR
[(zMF -(s00 - sF)βr + Vrβ -(zMo + Voβo)] + PF
由于不考虑间隙,则 F =
βr;又 β =（MF －z)/MN),故上式成为下列形式
ZMF.-- ZNF
VO
-IB
MN
MN
MN
IR
(11.22)
由上式可知，只要测出了定向器上 M、N点在tF和to瞬时的绝对振动速度和位移,便可算
出相应的 o;求出每发弹的 o 以后,立即可得一组弹的 βo的中间偏差。
不言而喻，与此同时，应测出铅垂平面内的横向振动，以求得铅垂面内的起始振动量。
只考虑重力矩时运动方程的解
11.5
研究重力矩对半约束期运动的影响，不但为计算其系统性的炮口扰动量，而且由于重力矩
比其他各力矩大得多，在校核炮口碰撞时可只考虑重力矩的作用。
当只考虑重力矩时,方程（11.4）为
AR@ - iC@ - maplR
= - mglRcoso
可略去陀螺力矩项，因为半约束期内火箭转速甚低，其影响不大。那么重力矩弓引起的扰动量只
有铅垂面内的分量,则(省略1的脚注“1")
aplR
cos0o
(11.23)
在零初始条件下，上式的解为
[ch2i(t -- tF) - 1]
(11.24)
于是
g cos0o
QishQi(t - tF)
(11.25)
aplR
(11.26)
式中
当火箭离轨时(半约束期结束),t = t,便有
(11.27)
9o =
229

火箭外弹道学
gcos0o
Qish2i(to - tr)
(11.28)
其中（to－tf）可由下式计算
(11.29)
tol 1 -
1 -
偏角如由下式确定
IRO
(11.30)
bo =
VO
557 m/s?, to
例题
求涡轮式火箭I由重力矩所引起的起始扰动量。已知
11.2
0.061 s,o = 45°,其他数据见例题
11.10
解日
由式(11.26)
aplR
557 x 0. 406
01 -
30.3
0. 246
= 0.061 ×. (1 - 0.764) = 0.014 4
1
to - tF = tol 1
S 00
21(to - tr) = 30.3 × 0.014 4 = 0.436
9.80c0s45°
x 30.3 × sh(0.436)
= - 0.170 rad/s
557
αP
9. 80cos45°
[ch(0.436) - 1]
↓ = - 0.0012 rad
o =
557
0. 406
× (- 0.170)
=
= -- 0.002 03 rad
557 x 0.061
显然，由重力矩形成的o将使 Vx向左下方向偏转。
对于某些炮口速度小，定心部之间距离较大的火箭弹，因半约束期内运动时间较长，弹轴
摆动角较大，弹体就有可能与炮口发生碰撞。这是不允许的，必须避免，为此须对Φ角进行校
核。
设某一时刻,后定心部到炮口端面的距离为l'，此时弹轴的摆动角为β，定心部高度为hB，
则由图11.3可知，此时不发生炮口碰撞的条件为
(11.31)
为保证在整个半约束期内不发生碰撞，必须在此期间内时刻都满足不等式（11.31）。在设
计火箭弹时,应根据式(11.24）算出各时刻的值,并依下式算出″值
ap(t? -. t)
然后作出"II－"曲线,找出的最大值以便保证所设计的定心部高度大于此最大
230

第十一章
发射过程
一起始扰动计算
值。"1β1-"曲线大体上如图11.4所示，由图知最容易发生碰撞的地方在前后定心部中间稍
靠近后定心部的地方。
图 11.4
弹体与定向器不发生碰撞的条件
图 11.3
弹炮间隙存在下的运动方程
11.6
在约束期和半约束期，弹炮间隙存在下的火箭运动方程是不同的。文[271所提出的运动
方程，至今仍有其理论价值。这里只介绍半约束期内的运动方程。
设定心部与炮管的配合间隙为2e1,在半约束期,后定心部中心R将在半径为e1的圆周上
运动。将 R点用复数表示为
eTexp(iaR)
(11.32)
式中,入R是后定心部与膛壁接触点P的方位角,如
Nr
弹体后定心部
图11.5所示。图中0为炮管轴线与后定心部中心
R所在的弹体横断面的交点。由于弹轴摆动角很
小,可近似认为0点所在炮管横断面与上述横断
炮管
面是两个重合的圆。在不计摩擦的情况下，炮管作
用于弹的反力NR将通过P点和R点。方程（11.1)
仍可用来描述弹轴的运动方程，只不过考虑到R
点的运动,要在f中加-惯性力矩为（ mlrR）。
这样,就增加了个未知参数入R，还得建立个
炮膛内的火箭后定心部
图 11.5
方程，这可考虑火箭质心的横向运动。在复平面
上，质心可用复数pc表示
Oc = OR + l@ + Lmexp(i) + On
(11.33)
231

火箭外弹道学
式中，Pn是炮膛轴线上0点的横向位移复矢量，体现炮管（定向器）的振动。于是得下列方程组
R = - mglrcoso - mlran + (j2 - i)[(A - C)βD + mlrLmJexp(i)
AR + mIRPR
d?
mlpr + l + Ln
= - mgcosSo - NRexp(iaR)
(11.34)
些次要项，当然也略去了推力偏心矩。式(11.34)实际上是四个标量方程的联立方程组,待求函
数有四个,即入RP1P2、NR，可见能求得确定解。
为了得到关于入R的一元微分方程,可作如下代换。由
[式(11.34)②实部]sin^R -[式(11.34)②虚部]cos入R
[式(11.34)①实部]sin^R -[式(11.34)①虚部]cos^R
得出的两式消去（1sin－2cosr）,便得
eiR = gcosdosinaR +
[[o(1 - )In - Lml - [ pm(1 - )Ir - Lml oo(ar - ) +
(11.35)
aniSinAR - an2COsAR
或写成下式
eiAR = gcosgosinaR + R[2sin(^R - -- Λo) + cos(ΛR - - ^o)]
+ anlsinR - an2cos^R
(11.36)
anl + ian2
[o(1 - )n - Lm]
[ Bo2(1 -)r - Lm] ]
1/2
R 二
(11.37)
式中
Bo(1-)IR - Lm2
o = arctan
βo(1- )Ir - Lm1
由式(11.36)求出入R后,代人式(11.34)①中的pR,则@的规律便可确定。当 ²》时,可近
似略去所在项;若不计 αn2时,则式(11.36）变为
eiAR = (gcosGo + ani)sinAR + R2sin(^R - - Ao)
(11.38)
该方程往往存在下列两种情况
(1)当1 gcoso + anl 1》 Ry2时,有
e1AR ,= (gcosfo + ani)sinR
(11.39)
这是一个物理摆方程,利用椭圆函数便可解出。
232

发射过程一一-起始扰动计算
第十一章
(2)当 1 gcosdo + an1 l< Rj2时,有
erR = R2sin(ΛR - - Ao)
若引人变量
= ^－o,并取弧长为自变量,则
1 dx
(11.40)
2s
2s ds
ds
由以上方程可知，考虑弹炮间隙存在条件下，研究弹轴运动规律时，可计及诸扰动因素把
方程（11.36）中的入R求解出来，从而确定出方程（11.34)①的量mlRpR。它不仅包含间隙本身这
个因素,而且也包含了其他诸扰动因素的影响。与无间隙的方程比较而言,有无 mlrβR 这一项
是其主要差别。
剩下的问题是：on（从而αn）如何确定？这需要建立定向器的振动方程。显然，振动规律又
与弹的运动状态有关,定向器将受到弹的作用力一一NR 的影响。为了解决起始振动计算问
还有种可能情况,就是定心部脱离膛壁，随后又返回与膛壁碰撞。碰撞前后的运动状态
变化,可依据力学中的碰撞理论解决[2]。依据 Nr 的正负号，可判断定心部与膛壁是否接触。一
旦接触受到破坏，则采用无约束的动力学方程。
233

第十二章
火箭增程弹的扰动运动
12.1
研究火箭增程弹扰动运动的自的在于，探讨其在扰动因素作用下的运动规律，以解决散布
计算及散布分析问题，为总体设计提供理论依据。
如图2.2所示，增程弹比一般火箭弹要多个起始段0H，炮口速度是火炮赋予的，点火处
H的速度VH可
可由弹道计算求出，对低伸弹道则由式（3.42）换算。无论起始段或被动段的绕心
运动，都和火炮弹道相同。这里主要研究增速段内的运动。增程弹远远不局限于反坦克武器，而
月不仅尾翼弹，也有涡轮式的旋转弹。从弹道观点来看，这类火箭的共同点是：发动机点火时
（H点）的速度与推力加速度无关。这点对散布分析是很重要的。由此可以通过改变推力加速
度的大小去改变有效滑轨长度，从而达到减小散布的目的。另一方面，是火箭的最大速度k可
看成点火时的速度WH
与增速段增加的速度VKH 之和。当武器的最大射程给定后(这是战术技术
指标之一）,Uk之值便可相应确定;在既定的 k值下，比值 VH/KH也将对散布有明显的影响,这
也是设计中所关心的一一个问题。
一般说来,增程弹增速段内的角散布在落点散布中占有主导地位，而且从原则上来讲，上
面几章所推导的散布公式都适用于增程弹（当然应在各有关公式所适用的条件下）。因为增程
弹的运动方程仍不外乎第八章所建立的方程。但是，针对增程弹弹道特点，对野战火箭增程弹
在散布分析时,除了以前所考虑到的影响因素（如 k、F等等）外,还要突出速度比 UH/UkH，以及
[14, 16, 17]
最佳推力加速度所依赖的关系
本章首先一一般性地讨论野战尾翼式火箭增程弹的散布问题，然后重点研究所谓“高初速条
件”下的散布问题。此外，起始段长度对起始扰动引起的散布影响很大，需要研究其合理值。对
旋转稳定的无翼增程弹就不介绍了，因为其研究问题的方法是类似的。
野战尾翼式增程弹的散布分析
12.2
现研究下一类火箭弹：
（1）陀螺稳定因子 S。很小,甚至远小于0.10;
(2）每波长内的自转数 n不太小（大致在2以上）;
234

火箭增程弹的扰动运动
第十二章
（3）点火时的速度
VH与推力加速度无关。
这不仅属于炮兵陆战火箭弹，而且航空火箭也包括在内。在这种情况下，周期性干扰因素
产生的强迫运动可以忽略，完全可以利用简单公式(9.96）～（9.99）来研究散布，而VH（=
kvh/2a）基本上不受限制。
为了在给定 Vk的条件下考虑各因素对特征函数的影响,不妨将式(9.96)同时乘以和除以
uk,则得(注意扰动发生在 H 点）
C32元
/ ukRg.(uH, uk)
(12.1)
kUK
对动不平衡,由式(9.99)有
(12.2)
式中，班是发动机在H处点火时的火箭自转速度。
从式(12.1)和式(12.2)可知，函数及|
长H与加速度无关的火箭来讲,最紧要的问题是加速度大
以首先要对此函数加以分析。对此类
小的选取,以及速度比 VH/UKH 对弹道性能的影响。因为这两个因素是伴随着增程弹出现的新
问题，,而对其他影响因素的分析方法已经叙述过。不妨引人一个新的参数 s’，定义为
U KH
(12.3)
2a
UH=O,s'就是火箭增速段的实际长度。若从飞机上向前发
对s’的物理意义可以这样理解：若
射初速为零的火箭，VH
即是飞机的速度，s’便是飞行员在飞机上所观测到的增速段长度。总
之，s'是在以VH速度运动的平动参考系内所观测到的火箭增速段（或主动段）长度，称为增速
段相对长度,而 sH 和 sk的有效值为
VH
(12.4)
SH
2a
(VH + VKH)
VK
(12.5)
SK
2a
2a
以上各式中的加速度可近似取下列值
ap -- bvh - gsinoH
(12.6)
式中,αp是推力加速度 αp的平均值。
a = vkH/s',代人式(12.4)和式(12.5),则
由式（12.3）知2a
VH
(12.7)
SH
VH
(12.8)
SK
UKH
235

火箭外弹道学
的表达式为
这表明，SH 和 Sk 完全是由两个新变量UH/UkH 和s'所确定的。uH 和uk 白
(12.9)
ksH
uH =
KH
(12.10)
uk = ksk
UKH
(12.11)
= ks'
式中
函数√u,Rg（uH，uk）仅是比值UH/kH 和变量u'的二元函数。U/VH 叫做炮、箭速度比，它
是一个影响特征函数的重要参量；u是增速段相对长度参量，也是一个重要参量。这两个参量
的特性，合理地选取这两个量，乃是散布分析的重要任务。
便决定了特征函数
在图12.1和图12.2中，分别绘制了√uxR（uH，uk）u'曲线和/ukRo（uH，uk）－VH/KH
曲线。这两组曲线不是针对具体型号的增程弹绘制的，而是具有通用性的曲线。从这些曲线可
直VH/U和u'对√uxRo。（uH，k）之值有很明显的影响。就/uxR。（uH，u）－u'来看，
看出，比值
当u'很小时，所有曲线都上升很快。就图12.1给出的vH/vkH几个数值而言，当u达某一值之
越小，下降得越缓慢。计
后，曲线都开始不断下降。而且比值 VH/VKH 越大，下降得越快；UH/UKH 走
算表明，当比值 UH/KH 很小,以至接近零时,曲线将会是一直上升的。改变 u'大小的有效办法
是改变推力加速度αp,从而改变α,遂至 u'。要得到小的u',就得有大的 αp;反之,要有大的 u'，
就得有小的ap。当 VH/VHK不太小时（比如1/4以上）,想要减小散布，或者是使u'很大，或是很
小（≤1)。一般来讲,要使 u'很小,使推力加速度 αp非常之大,这在实际上是难以办到的。可行
uk Rp. (uH,uk)
的途径，倒是用小推力方案，以得到大的u'，使
UH/VKH - 1/8
VH/UKH 很
较小。但值得注意的是，当比值
VH/VKH
小时，曲线一直随 u’增加而上升;或者
0.8
虽不太小（比如1/8），但曲线的下降过程比较
0.7
缓慢。在这两种情况下（实际上可归结为
0.6
UH/UKH较小的一类情况），人们只好尽可能用
0.5
VH/VKH --1/4
0.4
综合上述,对 αp 的选取,要视 VH/UKH 的具
0.3
UH/UKH 这个量
体数值而定。而且，必须从比值
0.2
VH/UKH -- 1/2
来处理和分析问题，而不要单从 VH本身的数
0.1
UH/VKH -1
值来看问题，否则，便很难引出上述带有普遍
10
u=2s/
意义的结论。
的影
图 12.1
响。可以看出，当 u'（相应s'/)）越大时，曲线
236

第十二章
火箭增程弹的扰动运动
下降较快；u'越小时，曲线下降较缓。并且当H/vKH 在0.2左右时，曲线在此相互相交，此后共
同向横轴趋近。这就进一步说明了在小速度比（vH/VKH<0.15)时,应该取小的u'值,即取大推
力加速度;在 VH/VKH 为0.2左右时，
与ap关系不大;当 VH/VkH较大（>0.25）时,以取小推
力加速度为宜。
2t VJux Re,(uh,uk)
SA= 2
s%A= 1
s/A= 1/2
0.8
0.7
0.5
0.6
0.3
0.4
VH/UKH
0.1
0.2
ukReo
图 12. 2
一 VH/VKH 曲线
表达式中，C3也是与 uH
有关的,C3 = ap/a +2(by/k)uHo
为 uH，C3将明显大于1,若将 C3乘
可近似取 αp/a 1,而 b/k具有 1/40 ～1/30的量级。对大的
到函数／uxRg。（uH，uk）中去,则图12.1的曲线末段将抬高一些，但不改变曲线变化的总趋势。
因此为说明主要特性,作图时没有考虑 C3。
以上结论,仅对
1而言。要得到最后
kyRi
的结论,还必须了解山和」亚丨的情况，下面先看
0.4
看|亚|。由式(9.97*）(该公式使用范围较大)
na=3
C3
kyRr(uH, uk)
(12.12)
0.3
KR3
(12.13)
式中
VH/VKH - 1/8
0.2
显然RL仅是H/vkH和u'的二元函数；k在确定的
0.1
VH/VXH -1/4
下,也是 H/H 和u'的二元函数。丨亚丨的特
VH/UKH -1/2
很大时，才显出
性,取决于函数 kR（只有当
UH
20
10
u= 2sA
C3 的影响,C3 不致改变丨丨的总变化趋势）。
图 12.3
kyR - u' 曲线
图12.3和图12.4分别作出了kyRL－u曲线和
237

火箭外弹道学
kyRL－VH/UHk曲线。从图12.3看出，kyRL－u'曲线开始亦有一个急增过程,很快达到极大值，然
后随 u'增加而衰减。有趣的是，不管 UH/VKH 之值如何，各曲线总的变化趋势是相似的。类似
的某种情况,要想以极大的推力加速度使「亚丨很小是困难的,甚至办不到。可行的途径
倒是以小推力加速度来减小散布。
为什么u'很小时丨亚丨较小,又u'很
kyR1.
大时丨丨也较小?这是因为当 s'很小时
0.8
推力偏心矩还来不及起作用。正如反坦克
n,-2
0.6
火箭弹（如40火箭筒之类）一样，它把主动
段长度大大减小到远小于临界段长度，致
0.4
使B（虹）很小。反之，当主动段较长（大于
$/A 1/4
临界段），那么推力偏心矩已起到了充分作
0.2
S%A 1
用，这就要看稳定力矩与它相比谁占优势
了。对一般野战火箭弹，两者都与推力加速
0.6 VH/VKH
0.3
0.5
0.2
0.4
0.1
度成正比地增加（或减小），故推力加速度
图 12. 4
kyRL- UH/UKH 曲线
不对B（）有什么影响。而增程弹，点火时
以至点火后的一段时间内，稳定力矩（主要取决于速度 VH）则与推力加速度无多大关系；但
ap
值越小，作为扰动因素的推力偏心矩Mp就越小，这样，既定的较大的稳定力矩就可强有力地
克服 Mp的扰动作用，从而使其偏角减小。
图12.4表明,对较大的 s'/^（即较大的 u，u'= 2元s'/α）来说，丨里I随 H/vkH 增加而
衰减很快，与图12.3 中关于 u'较大值要求一致起来了。这样，取 u较大的值，既减小了
I亚,对 VH/UKH 取值又不要求较大。对设计来说,是可行的途径。
关于风，K点处特征函数为
(12. 14)
中w
(uH,uk)
VK
UKH
11 -
*,(uH, uk)
(12.15)
VK
速度 VK是由射程所决定的,没有多少机动余地,就不管它了。中括号内的量用山表示，且取
C3 ～1时,有
UKH
[1 -- Br(uH, uk)]
(12.16)
Φw=1
VH
和u'的二元函数,便可作出具有通用性的曲线。图12.5是一Φw-
显然，山仅是速度比VH/VKH 禾
u曲线，图12.6是－w－VH/k曲线。从图12.5看出，－Φw曲线开始有增加过程，u'较大时，
238

第十二章
火箭增程弹的扰动运动
很快就不变了；VH/UKH 越小时，增加的过程越长，反之亦然,无论 VH/UKH之值多少，
-Φw曲线都没有衰减过程。至于－Φw随vH/VkH 的变化规律，图12.6 的曲线足以说明,除了
s'/>较小的情况下，～Φw－VH/VKH 曲线有一个增加过程外,其余都是
的减函数。
VH/VKH
VH/UKH -- 1 /8
VH/VKH =1/4
VH/UKH-1/2
VH/VKH=1
10
20
u2s
图 12.5
-yw－ u曲线
由上述情况可知，在炮、箭速度比不大时，采一
取较大的推力加速度有利减小风偏。但当速度比
值较大时，通过提高加速度的途径来减小风偏是
困难的,因为－山w曲线随u'增加而上升的过程较
S/A 1
短，必须要求 αp有相当大的数值,在这种情况下，
s%= 1/2
还是以小推力加速度为好。
当 u'达到一定值时，一山w值就不再随u’而
变化，这个u满足什么条件？从一w的表达式看，
函数 BR 有一个特性，uH(函数表上是
是uo）达到足
UH/UKH
0.2
0.1
0.3
0.4
0.5
0.7
0.6
够大的值时，比如
1 uH>π时,可取 BR～0,于是式
- yw - VH/VKH 曲线
图 12.6
(12.16）变为下式
UKH
(12.17)
的极限值，仅由速度比来决定。从图12.5也看得很清楚，当VH/VKH=1/2时，－山的极限值
1/4时，－y的极限值为4,等等。
为 2;当
白 VH/VKH
> π 的条件相当于sH/入>1/2;就是说，点火时的有效滑
因为
ksH = 2元SH/入,则
UH =
轨长大于半个波长时,在给定 Vk下,风偏仅决定于速度比H/UKHo这种情况下的风偏与火箭其
他参数无关，更与加速度大小无关，这是一种很重要的情况。对此称火箭满足了“高初速条件”
239

火箭外弹道学
高初速条件”为
(12.18)
SH
在此条件下，欲改变风偏大小，惟一的途径只有改变炮、箭速度比，另无其他办法。
vi/(2a）,那么式(12.18）也可写为下列条件
由于 SH =
(12.19)
D^< Ha
VH的绝对数值说的，而
这是高初速条件的另一种形式。值得注意的是，所谓“高初速”，不是指
是相对乘积 α来说的,是-个相对的概念。
将式（12.18）代人式（12.9),可得
VKH
(12.20)
这也是高初速条件的-种表达式。以此条件去看图12.3,可发现～在高初速条件下是随u增
加而递减的。就是说，在高初速条件下，减小推力加速度，对减小推力偏心引起的散布总是有利
的。再看图12.1,在条件（12.20）下的／uxRg。（uH，uk）曲线,除了UH/UkH之值很小外，也是随u"
增加而减小的。总之，就绝大多数情况看，在高初速条件下的角散布 B（）、B（p，）、B（）都
随推力加速度减小而减小，而B（山w）与它无关。这是高初速条件下的显著特点。
至于其他参数对散布的影响，分析起来并不困难。转速n（或na）仅影响 B（p）和
B（虹），一个随H增加，一个随之减小，可作总散布曲线适当确定。但必须避开共振点，即
不能在1附近，同时要满足稳定条件，此问题将在下一章介绍。
关于，亦可由作曲线确定。
通过上面分析看到，由于引进了两个重要参量 VH/VKH 和u',除了转速以外，它们便综合体
现了影响增程弹扰动运动特性的主要参数。正确决定这两个参数，是增程弹设计中的重要任务
之一。在具备高初速条件的情况下，通过减小推力加速度，有可能使散布 B（）、B（p）和
B（）减小到相当的程度,但风偏的减小则依赖于 UH/VkH 的提高。在高初速条件下,某些其他
扰动因素（譬如邮）将会不改变其值而直接传到主动段末,是需要注意的。在高初速条件下,增
程弹的诸扰动因素所引起的散布量都比较小（也许对风要除外）。相对地说，推力也小，升力的
影响会增强，甚至比推力法向分量还大，就有必要寻求适于此条件下的更准确的特征函数公
式。
起始扰动引起偏角的极限值
12.3
公式推导
12.3.1
在推导特征函数时，总把推力作为占绝对优势的量，但在高初速条件下，它对速度的方向
240

第十二章
火箭增程弹的扰动运动
改变的影响甚至不及升力。因此原有特征函数用于此种情况，可能会带来比较大的相对误差。
于是针对此种特点需重新推导其散布公式。
考虑有转速的情况,并且= ／可为变量。为方便计，下面将以弹道弧长s为自变量,并
表示变量对s的导数（为了避免引人更多符号），则
且仍以“，”三
p p
(- )
(12.21)
ds
sp p
式(8.153）第二方程的齐次方程为
$-(i
ka)+ 22 0
(12.22)
亦可写为
- ka) + h2() = 0
(12.23)
又式(8.153）第方程的齐次方程为
- ap - b? = 0
(12.24)
将重二Φ△代人,有
(12.25)
- b() = 0
ap
gsing
gsing
( bx
() = ()" +
()
(12.26)
将上式代人式（12.25），得
Φ -()"- b() = 0
(12.27)
gsing
(12.28)
式中
bn = bx + by +
于是得以 s为自变量的联立方程组
kd) + h2(v) = 0
(12.29)
Φ-() b() 0
初始条件为
时,Φ= H, H, = AH
S = SH
下面将通过某种特殊办法求得偏角的极限值。
假设火箭的运动是稳定的,就是说，当 s足够大时，即 s-→ 8 时，△ →0。由于
= Φ- ΦH + H - △
lim( - Y) = lim(- ΦH + H)
(12. 30)
241

火箭外弹道学
Φ - ΦH
ds
(12.31)
ds + △H
lim(Y -- YH) - lim
(12.32)
(Φ/)ds的极限。而Φ须从方程组(12.29)去求。为此需将
可见，欲求亚的极限，关键在于求
式(12.29）化为以Φ为函数的元微分方程。将式(12.29)①对s求导一次,再将式(12.29)②
的（）表达式代人，得
-(i
再将式（12.29)①中的 k2(△）表达式代人,得
+ [ 2 - (iF
- ka)6n -iF = 0
+ Φ
+ 神
忽略kzdbn项,便得如下方程
-- kzd - bnj@' +
Φ=0
(12.33)
再将式（12.29)D重写如下
-(i
- kd) + k2() = 0
(12.34)
显然，方程（12.33）是利用方程（12.34）得到的，它们两者之间存在着某种内在联系，令P表示
线性算子，并且
- kd - bn)D + (
P D2 -
(12.35)
式中,D为微分算子,D
- kad - bn)D +
(12.36)
作组合式
[P(@)f(s) Q(f)Φl
它是函数
的导函数，于是
- kad - bn)]
[P(Φ)f(s) - Q(f)Φ]ds =
(12.37)
242

第十二章
火箭增程弹的扰动运动
显然，当取
Q(f)
(12.38)
时,式（12.37）左边为
ds
而右边的Φ’由式（12.34）代人，则得
[(bnf - f')Φ - k2()f]
= sp
(12.39)
将上式代人式（12.32)，便得
lim( - u) = lim[(bnf - f')Φ - k2(v)f)
AH
(12.40)
因此，现在的问题是要解方程式（12.38），以求出f。将算子Q的表达式（12.36）代人式（12.
38），得
7(-
(12.41)
- kd - bn)D +
D2
n.
可将算子分式展开成下列级数
-1
- kad - bn)D +
D2
- kzd - bN
- kzd - bN
D2
1
1-
- kzd - bn)D +
D2
(12.42)
将式(12.42）代人式(12.41),并注意到
D()
最(当)
dv
2 ds
3 v2
D(↓)
d2
()
则得（取级数前三项）
()
素[(1
1+i
(12.43)
nh?
243

火箭外弹道学
对上式求导数
TbN
I"bN
()
1+i
nh?
nh?
于是(略去1/7项)
(ba + b%)
bnf -f'
+i-
2()-
nh2(
由于 b（kzd + bn)/k²≤1,故上式可简化为下式
2()-
素[(
(b +)*+
1-i
bn + -
bnf -f
+i
nh?
()
3(kzd + 2bn)
(12.44)
将上式代人式（12.40)，并注意到s足够大时，Φ/和△都趋于零，因此便得
2(%)1-
TH
1-i
+ Nq
bn +
+1
2H
nh?
-(
+ Nq
bn + k
(12.45)
上式中，
g sindH
VH
aP
(ap - bh - gsino) = by +
bx + by +
bN +
VH
VH
另外,注意到△H= ΦH－亚H,从而由式(12.45)知ΦH、Φ和亚所对应的特征函数①分别如下
TH
ap
1 - i
(sH, 8) =
bx
+i
k? vH
nh?
VH
(12.46)
鼠(%)
TH
aP
Y*(sH, co)
(12.47)
)=i
(SH,)=1-T
*(SH, 80) 1
(12.48)
值得注意的是,若直接由给出的初始值Φ、A和亚计算偏角,那么由式（12.45）知所对应的一组特征函数应为：
T(SH, );*(SH 0) = T(SH, );Y+(SH, 0) = 1
244

火箭增程弹的扰动运动
第十二章
式（12.47）中的 b 见式(7.44)。
简要分析
12.3.2
对式（12.46）作数量级比较，多数情况下可以将其简化为下式
(12.49)
u(SH, c0) 5
K? VH
这个式子表明,陀螺效应对亚
的影响可以忽略，仅剩下实部。这是一个准确性较好而又简明
的公式，它明显地表明了法向力（升力和推力法向分量）对速度偏角的影响。事实上式（12.49）
可变为下式
mbvh + mapd
R + Fpd
(12.50)
中(SH, 0)-
mUH
mVH
为初始动量；Mz为稳定力矩。可见，单位起始摆动
式中,R为升力；Fpä 为推力法向分量;muH
角速度引起的偏角与法向力成正比，与初始动量及稳定力矩对赤道转动惯量的比值成反比。这
一情况是易于从物理意义上理解的。
式（12.49）表明,减小推力加速度,增加初速,增加稳定性参量k,都有利于减小H引起的
偏角,这与上一节的-一般分析是吻合的。为便于清楚地看出各参量的影响,将式(7.27）的b，和
k代人式（12.49）,并注意到式（7.10）和式（7.12）
2 mapRA
(12.51)
式（12.51）第-项是普通尾翼弹起始扰动引起的平均偏角，可参阅式（7.126），现在就是多了一
个推力法向分量引起的第二项。在高初速条件下，往往第二项比第一项小。可见，为减小偏角从
而减小角散布，最有效的办法之一，是加大尾翼到质心间的距离（如加尾管），以便使压力中心
到质心距离la加长；因为
与la是反比关系！这比用增加翼展以使C'加大的办法要好得多，
因为 C"仅影响第二项,并且它是较次要的项。
的表达式（12.47）来看，它是由虚部和实部组成，在未对具体型号的数据进行计算
以前，很难断定这两部分谁是主要项；在转速较低时，可只保留实部。减小偏角的办法与中，是
类似的。
就式（12.48）来看，亚H这个起始偏角将不会发生改变地传到主动段末端。对增程弹，特别
对反坦克增程弹的立靶散布,将会是个很重要的根源。
245

火箭外弹道学
周期性扰动因素引起的散布
12.4
推力线偏心、推力偏心角、动不平衡、气动偏心等扰动因素都随火箭一道绕纵轴旋转。在
个波长内,如果自转周数n至少不小于2,那么其强迫运动的幅值比自由运动要小得多，可以
只计自由运动而将这些周期性扰动因素当作某一等效起始扰动处理。以线推力偏心L来讲，它
在 K点所引起的角散布为式(9.59),即
B(Φk) = B
(12.52)
中eu(SH, 00)
在高初速条件下,式中，中（sH，）按（12.49）式计算。
n = 1.5时,其准确
计算表明,公式(12.52）对 ni小于2,甚至对反坦克火箭增程弹，小到
性还是令人满意的。现今火箭设计中，一般 n不可能小于1.5,因为小于1.5时,其共振效应将
带来严重后果一攻角急剧加大，火箭强度受影响等等。
应该指出，当n小到1.5这样数值时,推力偏心引起的攻角及偏角曲线,都将明显地表现
出强迫运动的特性。其变化规律如图12.7和图12.8所示[6]
* /(rad - m-1)
$*/(rad - m-l)
0.
*/(rad - m-1)
-0.1
/(rad -m-)
-0.1
亚曲线
图 12.8
△曲线
图 12.7
图12.7的△曲线,可以用解析方法推导出来。由微分方程(9.14)知（由于所研究的火箭
转速很低,取 Sg～0)
apL
(12.53)
exp[ina (u -- uh)]
W" + 2bW"
k2 R30
其中表达式引自式(9.46)。方程(12.53）的初始条件（u=uH
时）为
=()"= 0
(12.54)
W=()=0
246

火箭增程弹的扰动运动
第一二章
设式（12.53）的特解为
W - A3(u)exp[ina(u - uH))
(12.55)
代人式（12.53）,得
apl
(1)
A3+ 2(b + ina)A'3 + (1 - n + i2bn)A3 = -
k? R3
引人微分算子D = d/du，上式变为
apL
[D2 + 2(b + in)D + (1 - nä + i2bna)]A3
1? R3
ap
A3 =
将算子分式按D的升幂展开成级数，则
2(b + in)
apL
- 1
11.
A3 :
k? RaU
1 - nä + i2bnx
1 - nz + i2bna
考虑在高初速条件下，有
VH
这样,随着 D的幂次升高,对 1/来讲,它在方括号内的系数,从第二项起就已远远小于1了，
便可忽略不计。只取第一项，便得
nz - 1 + i2bna
apL
(12.56)
A3 -
(1 - na)2 + (2bn, (R)
nz - 1 + i2bna
(12.57)
AL =
(1 - n)2 + (2bna)2( ?R
ALL
(12.58)
A3 -
求得了特解，便可求方程（12.53）的通解。因其齐次方程的特征根为
b±²_１b±i
故通解形式为
W = exp[ - b(u - uy)]iAjexp[i(u- u)] + A²[ - i(u - un)]t
Agexp[ina(u - un)]
(12.59)
将初始条件（12.54）代人，可确定常数 A1和 A2
247

火箭外弹道学
AL
(ni + 1 - ib)
A1 :
VH
(12.60)
AL
(na - 1 - ib)
A2 =
VH
于是将（12.58）、（12.60）两式代人式（12.59），得推力偏心矩引起的攻角为
△L :
2WH
AL
exp[ina(u- u)]
exp[- b(u - uH)l
(12.61)
很明显，在弹道坐标系内，弹轴运动是由自由运动和强迫运动合成的。当n与1的差值不大时，
曲线便逐渐变
912.7的△*日
比一般野战火箭的要大），到后来将由强迫运动起决定性作用，故图
成了以原点为焦点的螺线，其体现的半径不断变小的圆圈运动，正是式（12.61）的强迫运动项。
由攻角与偏角的几何关系（切线与割线关系），从图12.7就可以理解图12.8的偏角变化规
律。这里不准备从攻角表达式（12.61）去仔细地推导偏角。有了式（12.52），偏角的散布计算问
题便已基本上得到了解决。尽管式（12.52)中的山仅是偏角曲线亚
的焦点到原点的距离（图
12.8），但对大于两、三个波长的主动段终点偏角来说，它足以体现出亚的实际大小。
关于动不平衡引起的攻角和偏角，在高初速条件下，且n>与1相差不大时,强迫运动亦占
这里仅写出结果(特征函数）
↑(na + 1 - ib)exp[i(u - uh)] -(na - 1 - ib)expl -- i(u - u)l1 ·
Ap.n
exp[ - b(u - un)] - Ap,niexplina (u- un)]
(12.62)
n3 - 1 + i2bna
(12.63)
式中
nä - 1 - i2bna
(n - 1)2 + (2bna)2
图12.9的△，
曲线是对某型号增程弹用电子计算机算得的，与式（12.62）是一致的。在曲
线的开始一段系由自由项和强迫项合成的，随着弹道的增长，自由项逐渐衰减掉了，基本上只
剩下强迫项。式（12.62）中的强迫项是个圆，故攻角曲线的后段体现出弹轴的圆锥进动。
△，，将它代人式(9.11）积分，便得偏角
有了攻角
by)AP,
3, (uH, u)du
VH
; t(n + 1 - ib)exp[i(u - u)] -
JAp,n?
248

火箭增程弹的扰动运动
第二章
)]texp[- b(u- un)]du -
(na - 1 -- ib)exp[ -- i(u -- uH)
by JAp,niexplina (u - uh)Jdu
(12.64)
精确积分上式是困难的，因此需要一一定简化，以求
得近似解。考虑到高初速条件，αp/²很小（不大于
by）,且变化甚缓;UH/相对周期函数来说，也是
变化很缓慢的。在求积分的近似运算中，,如对积分
[f（)f2()dα求其原函数,其中fi（）是变化很
缓慢的函数,f2（α）是变化很快的函数,f2（α）的原
函数为 F2（x）,那么就可以把fi（x）F2（α）近似地
作为fi（α)f2（α）的原函数。因为
dfi(x)
[fi(x) F2(α)]
F2(x) +
dx
dx
dF2(x)
曲线
图 12.9
fi(α)
fi(x)f2(x)
dx
现在,对式(12.64）的积分来讲,f² 相当于expl（i－b）（u－u）］、exp[-（i b）（u－u）以及
exp[ina（u－u)]，它们的原函数分别为
n exp[ina (u - uh)]
于是式（12.64）成为下式
n - 1 - ib
na + 1- ib
exp[(i - b)(u - uh)}
i+b
2kv
i- b
I - Ap, Tk
expl - (i + b)(u -- un))
将上下限代人，并利用表达式（12.49）和式（12.63）,经整理得
b,)["
VH
na - l.- ib
n + 1 i6
exp[ - i(u - uH
expli(u - uh)
2k
i+b
i-b
H)] + ib(sH, o) + ii Ap,p(s, o)explina(u - uh)]
exp[- b(u - uH)
(12.65)
式中
249

火箭外弹道学
(12.66)
ypu(s, c0)
0.1
式（12.65）表明,偏角由自由项、强迫项和常值项（平均
项）组成，与图12.10的电子计算结果是一致的。自由项
在开始一段起重要作用，经几个波长后，便就基本上衰
0.1
曲线成了一个中心（或曲线焦点）在虚
减掉了，最后
轴正方向上的螺线（很接近圆）。
这样,略去式（12.65）的自由项，便得主动段末的偏
- 0.1
角为
Pk ~ ihb(SH, 0) + ikAp,(Sk, 0) ×
曲线
图 12. 10
(12.67)
式中,Aβ,
可表示为
I Aβ, I exp(ie)
2 bna
式中
arctan
n - 1
则βp引起偏角幅值的平方为
中( sk, 00 )J2
2Hk I Ap, I Φ(SH, 0)4(sk, o0)cos ni(uk - uH) + e ]!
均勾分布，则依“两独立随机变量乘积的数学期望等于其数学期望乘积”的运算法则，得
E[1 βp 12([b(sH, 0)2 + [k 1 Ap, I 4(s, 00)]2]
12] = E
将式(12.63）的 Ap，代人,得丨β，1在一定方向投影的中间误差为
B() =
(12.68)
若将此式与式(9.86)对比，其差别在于此处计及了以焦点为中心的螺线半径。在高初速条件
(12.68 *)
ky(sk, 00)
周期性扰动因素，除了上述线推力偏心和动不平衡外，还有角推力偏心引起的推力侧分力
Fp 以及气动偏心、质量偏心等。在高初速条件下及na与1相差不大时，强迫运动亦将显出其
250

第十二章
火箭增程弹的扰动运动
重要影响;攻角和偏角的图象，与上述讨论过的两因素有很多相似之处。在现有工艺水平上，它
们造成角散布的数量级，和线推力偏心造成的散布差不多。全面的散布计算表明，在 n>>/2
时，推力偏心（L、βp）与气动偏心所引起的散布将随转速增加而减小；而动静不平衡（βD、Lm）
所引起的散布随转速增加而变大。在高初速条件下,前者在
三 n = 1 ～ 2的区间内减小得很快,
在增程弹总体设计时,往往取 n值为1.5～2。当然,这里指的是尾翼弹。这仅仅是从减小散布
的角度来考虑的，它必须以满足全弹道内的飞行稳定性条件为前提。
合理点火条件的选择
12.5
有一类增程弹，由火炮发射出去后，飞达一定距离，发动机才开始点火。点火位置H到炮
口O的实际弹道弧长SH应如何确定呢?本节将从减小散布的要求出发来讨论这个问题
[14 ~ 16]
在起始段内的运动
12.5.1
在低速旋转范围内，起始扰动所引起的尾翼式火箭的扰动运动，可简化为平面摆动。当H
点有扰动量H、o和作用于同一平面时,便在主动段末的 K点产生偏角k,其表达式为
bk = Phh
(12.69)
+ 中H
而 =+，可见依赖于H点的和,该二量则取决于起始段内的运动。为了求得
H和亚H，需要了解火箭在起始段OH内的运动规律。当忽略陀螺效应时，在炮口扰动量和
作用下的攻角表达式可由公式（7.125）得
VO
exp(- bu)sinu + o
exp(- bu)cosu
(12.70)
kv
由于起始段很短（暨如对反坦克增程弹，一般都在 50 m以下）,故衰减可不考虑,取
式（12.70）可认为是射击面内的表达式，也适用于横向。代人式（7.45），得偏角为
y = oKn(1 -- cosu) + dokvoKnsinu + do
(12.71)
R2
6.
Kn
式中
(12.72)
k? V0
Idvo
以上是一种理想的情况。其实，根据试验测定，攻角变化曲线在靠近炮口一段弹道内（大约
以及尾翼（折叠式）张开过程的影响。若将攻角曲线变化规则的部分循其规律向坐标原点方向
延伸（图中虚线表示）,并且与横坐标轴相交于点0*,那么在0*点的攻角值为零,但攻角角速
度不等于零。这个攻角角速度是虚拟的，不是测量值，为了避免引人更多的符号，约定仍用
251

火箭外弹道学
这个符号表示。还可把0*看成是一个虚拟的炮口,把称为虚拟炮口扰动。这样,整个攻角曲
线便是由在0*
处作用的结果。于是，式（12.70）便用下列简单的攻角表达式替代
80
sin( u -- u
(12.73)
kvo
之距离 s*
式中，u*
与 k 之积。
是 00＊
-s曲线
图 12.11
通常o是由试验测得的攻角曲线反求的，由攻角最大值mx
和波长入，便从式（12.73）知
0o = kvod,
(12.74)
Vod
max
max
而偏角的表达式相应地成为下式
μ = ioKn[1 - cos(u- u*)］ + yo
(12.75)
根据目前对反坦克增程弹实测数据来看，虚拟炮口扰动%的数值的中间误差大致为
(0.4 ～1.3）rad/s;其横向平均值基本上为零，但高低上的平均值却有不为零的（有的数值还
不算小)。这不是一种好的情况，对使用并不利,设计中应该尽量消除这一系统性的平均值。
最佳点火位置
12.5.2
所谓最佳点火位置，就是由虚拟炮口扰动。引起的主动段终点角散布为最小的点火位
置。为了弄清问题的实质，不致被复杂的数学式子影响我们的思路，不妨研究横向偏角散布为
最小的问题，而且假定虚拟炮口扰动的平均值为零。
将（12.73）和（12.75）两式代人式（12.69）可得
dk = b0[(40
*】+如
) + Kn +(byvodoh
sin( uH - u
- Kn)cos(uH - u*
+$)
kvo
或写成如下简单形式
252

第十二章
火箭增程弹的扰动运动
dk = io[ Kn + Kacos(uH - u
- α)］ + o
(12.76)
1/2
(byopoh
K.
- Kn)2
式中
(12.77)
byo中
Lkvo( 中H
arctan
- Kn)
从式（12.76）看出，如果不考虑点火距离 sH和虚拟炮口位置到实际炮口距离s＊这
这两个量
K.cos(uH - u
(12.78)
- αH)J2
第一项是引起的散布，与点火距离sH密切相关;第二项为炮口偏角引起的散布，此与点火位
置无关。因此在研究最佳点火位置时，仅考虑。引起的散布。为使 B（k）最小，须使［K+
-α)J²最小,为此考虑：
K,cos( uH -- u
(1)当 Kn ≥ Ka时,使 cos(uH － u
～1,那么
- αH)
(2n + 1)π
(n = 0,1,2,...)
(12.79)
- αH
Uh - u
或写成下式
αH
(n = 0,1,2,"..)
(12.80)
SH - S
2元
(2)当 Kn ≤ Ka时,使 cos(uH u
= － Kn/Ku,那么
- αH)
Kn
(n 0,1,2,...)
= 2n ± arccos
(12.81)
UH- U
αH
K.
或写成下式
Kn
aH
(n - 0,1,2,...)
(12.82)
n±
SH - S
arccos
2元
K.
式（12.80）和（12.82）就是当（sH～s*）的散布很小的最佳点火位置。事实上，这两个公式也可
用对式（12.78）求极值的办法得到。
也有散布，那么上述的最佳点火位置还是否可靠？一般来说，波长入的散布并不大，下面将推导
具有散布情况下的的散布量，进而重新寻求最佳点火位置。
SH 及s*具
首先看看（sH－s＊）的散布。把起始段近似看作等速运动过程,那么 SH便近似是初速Vo与
点火时间之积,即
p sH～ VotH,其中 tH 是由点火具控制的。若初速平均值为vo,平均点火时间
为 tH，则 SH之增量的线性表达式为
△sH = U
VoAtH + tHAVo
则 SH的均方差为
253

火箭外弹道学
(12.83)
那么（u－ u＊）的均方差为
(12.84)
的均方差，一般远小于のs，记
式中,＊是虚拟炮口距离s＊白
UH - u
认定 u满足正态分布,其平均值为u，则其微分分布函数为
u-u
(12.85)
f(u)
expl -
22
2元0
下面就是考虑到式（12.76）中的（u－αH）也是随机量的情况下,求出k的散布量。用概率
论中的方差作为散布指标,则由式(12.76)有(注意o= 0)
Dyk] = Diio[Kn + Kacos(u - αH)ll + D[o]
D[o]E[ Kn + Kacos( u -- αH)]? + D[yo]
利用关系式
cos 2x
cos 2x
COs' x
sin x
上式成为下式
E[cos(u -- αH)]+
D[?o] K?
D[k]］ 1
K.
D[ do]
(12.86)
根据概率论,若某随机变量 u的微分分布函数为f（u）,则随机变量函数 n（u）的数学期望
E[(u)]
n(u)f(u)du
于是得
(uu
exp[ -
cos 2(u - αH)du
E[cos 2(u - αH)]
202
/21o
exp(- 2o?)cos 2(u -- αH)
(u-u
cos(u - αH)du
expl -
E[cos(u - αH)]
cos(u -- αH)
exp(-号)
代人式（12.86）经整理得方差
254

第十二章
火箭增程弹的扰动运动
Dk] = D[o]KJ(,u) + D[o]
(12.87)
式中
(K
exp( -
exp(- 2o2)cos2(u - αH)
cos(u - αH)
I(o,u)
(12.88)
式（12.87）就是综合考虑到04o及点火位置具有散布情况下的偏角k的散布公式。
下面寻求D[yk」为最小值的条件也就是寻求J（，u）取极小值的条件。由于
+ exp[ -(号)o]cos(iu - an))
d J(,u)
Ho n)p
当 d J(,u)/d(u-α）= O时,必须
sin(u - αH) = O
(12.89)
Kn
2)cos(u - α) = 0
expl -
(12.90)
解方程（12.89），得极值点
(n = 0,1,2,"..)
(12.91)
u - αH
解方程（12.90），得极值点
2πn ± arccos(- Ei)
(n = 0,1,2,..)
(12.92)
Ho -- n
Kn
exp(号)
Er =
(12.93)
显然式（12.92）只有E1≤1时才成立。
为了找出极小值点,需求出Jα，u）的二阶导数
d? J(o,u)
cos(u -- αH) - 2exp(- 2o2)cos2(u - αH)
exp(-号)
(12.94)
d(u -- αH)
K.
将式（12.91）代进式（12.94），满足
d? J(o,u)
d(u - αH)
时，须满足下列条件，也就是J（α，u）取极小值的条件为
(12.95)
(n - 0,1,2,...)
(2n + 1)π元
u- αH
将式(12.92）代人式(12.94),除了 E1 = 1以外，全满足
d? J(o,u)
故得J（α，u）取极小值的另一条件是
255

火箭外弹道学
Ei<1
(12.96)
2n ± arccos(- Ei)
(n = 0,1,2,...)
u - αH
至于 E1= 1虽是一个过渡条件,但实际上可得 J的极小值,故可归并到上两类中。若比较
（12.95）与（12.79）两式，发现它们是完全致的；比较式（12.96）与式（12.81），发现它们也是
完全一致的。只不过从数量上说来，以（Kn／Ka)exp[（3/2)。²］替代 Kn／K。罢了。这就是是否考
虑点火距离及虚拟炮口距离散布的差别。
>1的曲线,图12.13是 E1< 1的曲线。
(g,u)
Kn
-+1)
K.
0=0
Kn
K.
5 TT
(u-aH)
Ei > 1时的 J(α,u）－（u－ αH）曲线
图 12. 12
q,u)
0=0
Kn--1)
K.
5
4 I
(Hp-n)
3 π
2π
E,<1时的J(α,u）-（u－αH)曲线
图 12.13
的影响
12.5.3
为表征散布量α对角散布的影响，特引人下列几个量：
2n元上，
Ji(）—— Ji(α,u）的极大值,无论 E值多大,其极大值点都在 u－α=2
256

火箭增程弹的扰动运动
第十二章
此处 n = 0,1,2,;
H-n()T
(2n + 1)π时的J(α,u),
此处n = 0,1,2,,若 Ei≥ 1时为 J(α,u）的极小值;
-当 E< 1时之J(α,u）的极小值。
J3(α)
由上述J（α）、J2（α）、J3（α）的定义，便根据式（12.88）得它们的表达式如下：
K.
[1 - exp(- 2)j?
Ji(c)
(12.97)
K.
[1 - exp(- ²)]?
(12.98)
J2(α)
K.
[1 - exp(- 2α2)］ -
(expo² - 1)
J3(c)
(12.99)
根据前面的讨论，J3(α）只有在 E1< 1时才有意义；当 Ei >1时，它就不存在了,而由
J2（）代替其作用。由 Ei的定义便知 J3（α）定义域的上界α1由下式确定
exp(号)
K.
K.
(12. 100)
in
01
都由式（12.95）确定。
对于 Kn/Ka>1,Kn/Ka=1及 Kn/Ka< 1的三种条件下的 Ji（α）、J2（α）和 J3（α）随α的
变化曲线,分别绘制于图12.14,图12.15,图12.16。其中 J3（）只有当 Kn／Ka<1且 <α1时
才存在。
Jr(0)
Ji(q)
Kn K
Kn> Ka
J(q)
Joo
1.5
J2(0)
J2(0)
J2(0)
Jr(o)、Jz(a)- g 曲线
图 12. 15
Ji(g)、Jz()- α 曲线
图 12. 14
257

火箭外弹道学
当α = 0 时,由（12.97)、（12.98)、（12.99）诸
式知
Kn<K.
Ji(0)
Ji(0)
Ji(o)
(12. 101)
-1
J2(0)
K.
L J3(0) = 0
J2(0)
J2(0)
而当 α→8 时，Ji（α）和 J2（）趋于常值
- J3(0)
(12. 102)
Ji(α)、J2(α)、J3(α) - α 曲线
图 12. 16
1.5,
1时,J。
12.14 来说，Kn/Ka
对图
Ji(0）=4,J2(0）=0。Ji（α）随α增加而递减；J2（）随增加而递增。当α较小时,选取点火条
件（12.95）不仅能有效地减小。引起的散布，而且必须选取这样的点火条件。
就图12.14来看，最大散布量与最小散布量之比值为
+1
JI(0)
(12. 103)
K.
J2(0)
K.
当 Kn与K相差较大时,则J1(0)/J2(0）～1,那么，无论大小如何，点火位置的选择便失去了
意义。只有在K,与K两值相差不大时,选取较小的α并在（12.95)条件下点火才是必要而有效
的。
就 Kn/K< 1的图 12.16而论,当 < 1时,点火位置由式(12.96)确定;当 > 1 而又
大得不太多时，点火条件由式（12.95）确定。显然这样的点火位置对减小角散布是必要而有效
的。
通观全局，当足够大时,选择点火位置便失去了意义。α对角散布的影响是明显的，只有
在较小且K，和K。相差甚小时,实现最佳点火位置才有意义。当然总的前提是由引起的散
布在火箭总散布中具有不可忽视的地位，否则，本节所讨论的全部问题都是多余的。
至于足够大时，角散布量趋于一个常值的原因，是不难理解的。因为各发火箭弹的点火
位置可以在很大范围内出现，那就等于对点火位置不加控制，因而角散布量将与平均点火位置
无关。也就是说,平均点火位置失去了意义。由（12.83）式看出，为使。较小,平均点火位置距炮
口不宜太远（即减小tH）,对点火具时间散布及初速散布都加以限制。
问题的另一方面是，当越小时，就愈要按最佳点火位置点火，否则把点火位置弄到不适
当部位，则不但不能达到减小散布，反而散布比对点火位置不加控制（α一→8）的还要大。这从
图 12.12 ～12.16中可很明显地看出。
258

第十章
火箭增程弹的扰动运动
结束语
12.5.4
本节就炮口扰动。引起的方向散布，讨论了最佳点火位置。当散布量不大时，宜取最佳
点火位置如下：
(1)当 E = （Kn/Ka)exp(
<1时
αH
(n = 0,1,2,..)
arccos(- Ei)
(12.104)
n±
SH- S
(2)当E1 ≥1时
QH
(n = 0,1,2,...)
(12.105)
SH- S
与后效期长度和尾翼打开距离有关，可通过攻角试验测量确定。
式中,s*
当点火位置由式（12.104）确定时,引起的角散布可由下式计算①
B(ds,x) ~ Bi, Ka V Js(o)
(12. 106)
当点火位置由式（12.105）确定时，引起的角散布可由下式计算
B(y8k) ~ Be, Ka V J2(c)
(12.107)
对高低散布，当。的平均值为零，或者甚小时，上述确定的最佳点火条件是近似适用的。
依据类似处理问题方法，对。平均值不为零的情况，也可计算出它引起角散布的指标来。但一
般说来，当Kn/Kα≥1时，由式（12.105）确定的点火位置，总可使引起的角散布较小。
对野战火箭增程弹,增程的目的主要是增加射程（反坦克增程弹，增程目的也是为了增加
直射距离，但点火位置对射程影响不像野战火箭那样明显）。点火位置的选择，将以达到射程的
极大值为出发点。因此这类弹的最佳点火位置的确定，将是一个弹道计算问题。至于在既要使
射程较大而又使散布较小的综合要求下，如何确定最佳点火条件的问题,有待进一步研究。
反坦克增程弹的立靶密集度
12.6
影响立靶散布（即密集度）的因素很多，从外弹道方面来看，影响高低散布的主要因素有：
起始扰动、最大速度V的散布B、推力偏心及动不平衡等。
影响方向散布的主要因素有：起始扰动、横风（阵风）、推力偏心及动不平衡等。
无论对高低或是方向，下列因素引起的立靶散布量都是用同样公式计算。
只有当甚小时，。才近似正态分布，故式（12.106)、（12.107）是近似的。
259

火箭外弹道学
（1）对起始偏角 yo,立靶中间误差为 B。X（X为立靶到炮口距离）。
（2）虚拟炮口扰动o、推力线偏心L、动不平衡角βp，它们在主动段末的偏角中间误差为
B(dok）、B(dx）、B(pk),则立靶中间误差为
B2(bux) + B2(p,x)(X - xk)
B2(ysx) + B
（3）主动段末K点扰动量和k，主要是引起的偏角中间误差,其平均值可由式（12.
75）得 B()Kn，则立靶中间误差为 B()Kn（X－αk）。
是在主动段内形成的,在主动段内,起始扰动和横风引起的攻角都逐渐衰减掉了,剩下
来的只有周期性扰动因素如推力线偏心、动不平衡角等引起的攻角，而且其自由项也已被衰减
掉，只有高频的强迫项。由式（12.61）及式（12.62）知
explina(u - uH)
△L
(12.108)
~- βpniAp,exp[in (u - uH)
由此得
△L iL
(12. 109)
ifp
曾认定L及βp的二分量是正态随机量,并且各自的二分量具有相同的中间误差BL和Bβ，则L
和β 造成的攻角角速度二分量在K点的中间误差为
B ALI
(Bp,n / Ap, 1)2
Bok
(12.110)
VK
以上三方面因素对高低和方向散布是共同性的；还有 Vk 和w，造成的立靶散布是单方面
的。
引起的高低散布
的散布量B
1. VK
如果弹道计算算出vk每变化1m/s时引起的立靶高低偏差量为ayc/k，则立靶高低中间
误差为
ayc
引起的立靶方向散布
2.横风散布
横风对立靶偏差量及散布影响极大，而且由于反坦克弹的被动段长度比之主动段来也不
是很长，为精确计算,得将风对弹道各段的影响一并考虑。
（1）起始段内风引起的H点侧偏Z
由火炮外弹道学可知，横风引起的侧偏公式为
260

火箭增程弹的扰动运动
第十二章
T -
Z=wz
(12.111)
Vocosto
由此知
XH
XH
(12.112)
ZHw
Vocoso
（2）横风引起K点偏角造成的立靶侧偏Zw主
中中心
Zw主
(X - α)
(12. 113)
dux(X - xk)
（3）横风在主动段内形成的K点侧向位移
Z Ku
中中心
ds = wz
+ sp
Jwds
Z Kw
(12. 114)
扁Zw被
（4）被动段侧偏
由式（12.113）知
X - αK
X- xK
Zw被
(12.115)
T-tK-
T- tk-
VKcosk
于是得横风引起的立靶总侧偏 Z为
Zw被
Zw
Zw主 + ZKw +
ZHu +
将上面式（12.112）～（12.115）代人,经整理得
XH
XH
VH
没Vo～VH/，则
因为-般
T-
(12. 116)
Zw
w.
这是计算横风引起立靶侧偏的一个简单而准确的公式。由于T为射程X与全弹道平均速度之
商,而一般>Vo,故 T<X/Vo,那么将在立靶上形成“逆风偏”。如要作到“零风偏”,则必须使
= Vo 才行。
由式（12.116）知横风散布引起立靶中间误差为
(12. 117)
Bzw
T -
和Bz如下
Bx
基于上述，便得立靶高低和方向中间误差
BL AL
261

火箭外弹道学
1/2
(Bp,n 1 Ap, 1)2](K,Iv)(X -- x)2 .
(12.118)
BL1 ALI
+,X)2 + [B2(0x) + B2(ux) + B2(p)](X - k)2 + [(
Bz =
(Bu
1/2
(Bp,nz 1
3, 1)2](Knvk)2(X - x)2,
(12. 119)
Ap.
显然，只要将有关的弹体参数和弹道参数给出，用上面两式计算立靶密集度是很方便的。
262

第十三章
无控火箭的运动稳定性
1引
13.1
研究一个系统的某个运动是否稳定，需要考察受干扰作用后的运动，与未受干扰作用时的
运动之间的偏差大小。沿用李雅普诺夫在1892年提出的稳定性定义，设微分方程组
dyi
fi(t,y1,y2,***,yn)
j = l,2,..,n
满足初始条件 yi（to）二 yio(j = l,2，,n）的解是yi（t),今考察别的解 yi（t）与 y（t）的偏差，
即扰动运动
x;(t) = yj(t) - yj(t)
如果任意给定ε>0,总存在相应的正数=（to,ε）,使得只要初始值 αjo 满足不等式
的扰动运动 x（t）对所有 t>to 都满足
l x;(t)I< ε
则称未被扰动的运动y（t）是稳定的；否则就是不稳定的。
如果 y（t）不仅稳定,而且还有
limx;(t) 0
则称此运动是渐近稳定的。
然而,实际工作中有经验的人会发现,李雅普诺夫的定义并不是对一切系统都适合，其中
包括当 t→α时系统的渐近性能。比如火箭的飞行时间是不长的，t趋于无穷大的定义就不完
全符合实际情况。于是有人就从工程实际需要出发,对稳定性定义做了一点修改[60]。若初始扰
动满足限制条件
jo<
在系统的工作时间间隔t内的任何t 都有
I x;(t) I< E
则说系统对给定的一对数值和ε在t时间内稳定。这就是有限时间运动稳定性问题。
对火箭主动段的扰动运动而言，这里所说的初始扰动，不仅仅指起始扰动，也包括其他扰
动因素，如线推力偏心L、动不平衡角βp等等。从火箭扰动运动方程看出，如果攻角足够小时，
263 .

火箭外弹道学
那么偏角和摆动角也是足够小的。只要攻角满足稳定性条件，火箭的运动就是稳定的。为保证
火箭全弹道的飞行稳定性，必须具备下列条件：
（1）火箭的自由运动是稳定的;
(2）不产生共振效应；
(3）在重力形成的弹道弯曲过程中，弹轴追随弹道切线方向变化，其攻角限制在允许数值
之内。
本书将用微分方程特征根求取动稳定条件，这一传统方法虽推导较繁，但物理意义清晰；
用李雅普诺夫直接法也可导出同样的动稳定条件,可参阅参考文献[2］、[5]。
扰动运动方程的简化与变换
13.2
在推导火箭自由运动稳定条件之前，首先要对运动方程做一些数学处理。方程组（8.186)
取为
- ibamr!
么 F
.2
(13.1)
Φ--△=0
式中，Fi和 F2是方程组(8.186)的非齐次项。在该方程组中,已略去了次要项（－亚gsino/）以
及周期性诱导侧向力和诱导侧向力矩。后者只有在大攻角情况下，特别当尾翼弹发生共振运动
时才显出较大的影响，通常情况下不用考虑。
依照方程(9.14）的推导过程,可以将方程组（13.1）变成单-一的因变量方程。仍取因变量
为 W = 么，但自变量不再用 u,而采用弹道弧长 s。这是因为稳定性理论计算要与弹道测量结
合起来；在弹道测量中，以s为自变量比较方便。为便于书写，本章约定用“”表示对s的导数，
上标“。”仍表示对时间t的导数。由式(13.1)①知
F1
[(P
- ibml
(13.2)
W".=
W' + v'A
W"
(13.3)
将式(13.1)③求导-一次,并将式(13.2)、（13.3）代人得
F1
(kb* - ibzml)
(13.4)
264

第十三章
无控火箭的运动稳定性
见式(7.41)。
式中,6*
中的²是变化的）可得
对式(13.4)求导(考虑到 b*
2gsin0
W"
- [h( 6*
kb
(13.5)
ibzmf/3
(13.6)
= Φ'? + Φ'i
(13.7)
将式（13.4）、（13.5）代人式（13.6)、（13.7）中,再代人式（13.1)②中,经整理得
(13.8)
W"+(H-iP)W"-(M+iPT)W= F
F2
ke)rlFi - F"i
(13.9)
式中
gsing
H = bx+ by+
+ kzd + kzi
+ kc + bm)r
(13.10)
gsing
gsing
bx + by
kc ]6m/?
k + 2
M = kz
)(
gsing
kcF + kabam -- ky]
bx + by
在弹道学中,式(13.8)是线性二阶复数微分方程的标准形式,其系数中的H、P、M、T已成了人
们当今惯用的通用符号。一般说来,这些系数是变化的,但在一定的弹道区间内可视为常数。用
数学观点来看，即为冻结系数法。在稳定性分析中,冻结系数法甚至对相当多的变系数系统都
是行之有效的，但在某些情况下则不能应用。那么在什么条件下才能应用？目前理论界还没有
作出答案[60]。不过,经验表明,如果微分方程系数变化甚缓，应用冻结系数法-→般没有问题。
当系数变化很快时，应用冻结系数法就得小心。幸好，由式（13.10）可见，在火箭飞行过程中，
H、P、M、T的确是一些慢变参数；在定的弹道区间内，可以取为常数,这样就可得出方程
（13.8）的分析解。
动态稳定条件的推导
13.3
现在研究火箭自由运动的稳定性，并建立保证飞行稳定性的充要条件。方程（13.8）的齐
次方程为
(13.11)
W"+(H-iP)W"-(M+iPT)W= O
其通解为二圆模式[10]
265

火箭外弹道学
W = A1oexp[(di + id'i)(s - so)] + A20exp[(d2 + i§'2)(s - so)]
(13.12)
式中，A10、A20 为常量，d1、d2为阻尼指数,Φ1、Φ2 是以s为自变量的圆运动角速度,即圆频率。
这些量由下列特征方程确定
(d1,2 + id'1,2)2 + (H - iP)(d1,2 + id'1,2) - (M + iPT) = 0
根据代数学中关于二次方程的韦达定理知
(di + ig'i) + (d² + id'2)
=-(HiP)
(13.13)
l(di + is'i)(d2 + id'2) = - (M + iPT)
由此得参数 H、P、M、T与频率和阻尼指数间的重要关系式
P=$+Φ2
(13.14)
H = - (di + d2)
(13.15)
M = $'1$'2 - did2
(13. 16)
PT - (di§'2 + d2§'i)
(13.17)
它们使空气动力系数与火箭运动参数直接联系起来了。由上面特征方程得
d1,2 + ig'1,2
2 + 4M + i2P(2T - H)J
(13.18)
为简化书写，记
2T-H
(13.19)
()
(13. 20)
式中
(13.21)
4M
S。称为陀螺稳定因子,其简化式的绝对值即式(9.15)；S，称为动稳定因子。于是式（13.8）变
成下列形式
2H
d1,2 + id'1,2
(13.22)
前H/P是正数，那么开方出来的虚部正
上式中,根号下的复数开方结果，与其虚部正负有关。而
负号取决于 Sduo
2H
2H
S.
2H
S.
dw
当 Sdu
<0时
2H
2H
2H
dw
266

第十三章
无控火箭的运动稳定性
将以上开方结果代人式（13.22）中，则得出各实部和虚部的表达式。
当 Sau > 0时
2H
di -
-H+P
2H
p1 =
(13.23)
2H
S do
d2 :
-H-P
2H
当 Sau<0时
2H
S duw
-H-P
2H
(13.24)
2H
S duw
d2 -
d+H-
2H
$2 =
从式（13.23）、（13.24）看出，无论Sa之值是正是负，快圆的圆频率Φ1是相同的，慢圆的圆频
率 Φ2也是相同的;但阻尼指数有所不同。当 Sdu>0时,慢圆的阻尼指数 d2 是负值,慢圆运动
是稳定的;而快圆的阻尼指数d 则不一定是负的。当 Sau<0时,情况刚好相反,快圆的阻尼指
数 di 是负值,快圆运动是稳定的；而慢圆的阻尼指数 d²则不一定是负的。总之,当 Sdu>0时，
如果，发生不稳定，必然是快圆运动不稳定；当 Sdu<0时,如果发生不稳定，必然是慢圆运动不
稳定。为使快、慢圆运动都是稳定的,必须 Sdu>0 时的 d 或 Sau < 0 时的 d² 为负值,即
267

火箭外弹道学
2H
(13. 25)
d < 0
-H+p
将上式移项并两边平方得
(芸)
2H
S du
再移项并两边平方得
2H
[2()
- Qj
(夢)
把Q的表达式(13.20）代人,得
(13. 26)
这是关于 W（= ）的动（态）稳定条件。然而所关心的是攻角△的稳定性，由式（13.12）知
A10
A20
exp[(di + id';)(s - so)]
exp[(d2 + id'2)(s - so)]
为使攻角圆运动幅值是衰减的，只需 exp（dis)/是递减函数就行了。考虑到
P)=[(spdx]
exp( ds )
dj -
那么攻角幅值衰减的条件应为
dj - 2
(13.27)
将式(13.25）之d;代人上式,并移项得
H+2
.2
2H
02
或写成
H+2
2(
H+2
Q +
(13.28)
2T- H
Sd
式中
(13.29)
H+
Sd是表征攻角动态特性的动稳定因子，后面将要论及这个重要参量。将式（13.28）平方并移
项，再平方可得
268

第十三章
无控火箭的运动稳定性
H+2
将式（13.20）代人上式，则
4-
1 - S
H+
P2
[1-
1 - Sa
H +
～10-2;在火箭弹道主动段,加速度的量级为5×102
对一般火箭而言,H和M的量级为10-3
故在飞行速度 < 200 m/s的炮口附近（< 40 m）才计及上式左边第二项，且简化为下式
(13.30)
除了炮口附近一小段弹道之外,在其余主动段和被动段范围内,都可将（/²)2/M忽略不计。
在通常情况下取
[1-()
(13.31)
该式在形式上与式（13.26）完全相同，仅动稳定因子Sd的定义稍有差别而已。式（13.31）是适
[23]
用于各类弹箭的动态稳定性判据
稳定性区域
13.4
由式(13.31）或式(13.26)看出①,既然 S>0,那么必有 1/Sg<1。这意味着或者 Sg<0,
或者 Sg>1。前者是静力矩系数导数m'<0的情况,它表示空气动力合力作用点在质心之后，
静力矩是稳定力矩。如第七章7.2指出的那样，当给予火箭小的攻角时，就将产生稳定力矩，
使攻角很快恢复到零。这种保持弹轴与气流方向平行的特性,就是静稳定性。反之,如果 m'>
0,则有翻转力矩出现，使弹轴偏离气流方向，这时弹箭是静不稳定的。为使弹轴保持原有的方
能使攻角不致发散；这是翻转力矩作用下，弹箭飞行稳定性的一个必要条件，称为陀螺稳定条
件。
在以 1/S，为纵轴,以 Sa为横轴的坐标平面内,按静稳定性和陀螺稳定性分区，可分成三
个区域（图 13.1)：
1/Sg > 1,为不稳定区;
无论对W（二泌）或是△，其动（态）稳定条件的形式是相同的。下面讨论时以式（13.31）为主。
269

火箭外弹道学
0 < 1/S
g<1,为陀螺稳定区;
1/Sg< 0,为静稳定区。
慢圆运动
快圆运动
陀螺不稳定
不稳定
不稳定
陀螺稳定区
静不稳定区
翻转力矩作用
下的动稳定区
St
静稳定区
=1 - S3
稳定力矩作用
下的动稳定区
图 13. 1
稳定性区域
再作一条抛物线
1 - sa
其顶点坐标为(0,1），与横轴的交点为 Sd 二±1。抛物线以外的区域都不满足不等式（13.31）,是
动不稳定区；抛物线以内的区域都满足不等式（13.31），是动稳定区。由上节可知，在动不稳定
区域内，又可分为快圆运动不稳定区和慢圆运动不稳定区。前者相应于 Sd>0,后者相应于 Sa
<0。在动稳定区域内，又可分为翻转力矩作用下的动稳定区和稳定力矩作用下的动稳定区。
前者的 Sd区间为（－ 1,1）,后者的 Sa 区间为（－，）。可见,要保证静不稳定弹的动态稳定
性,必须满足！Sα1<1这个条件。对静稳定弹,当1/Sg→0时，Sα的取值范围缩小为（-1,1),
αo 时，Sd 的取值范围相应扩大
到（－ α，α）,这相当于静稳定性很强或转速很低的情形。由此可知，不旋转的尾翼弹，若具有
静稳定性，那么也具有动稳定性。
基于上述，依靠陀螺效应稳定的旋转弹的动稳定区，仅属陀螺稳定区的一部分；同样，依靠
尾翼稳定的尾翼弹的动稳定区，也仅属静稳定区的一部分。清楚地表明了静稳定、陀螺稳定和
动稳定三个不同概念的区别与联系，不能将它们混为一谈！
270

无控火箭的运动稳定性
第十三章
几个主要参量对动态稳定性的影响
13.5
影响动稳定性的参量包含在 S，和Sd中。工程计算中,式(13.10）中的P和M可取简化式
(13.32)
oSlm'
(13.33)
M kz
2A
(C)2
P2
(13.34)
4AM
4M
可见S。依赖于陀螺效应的强弱和静力矩的大小。
除了陀螺力矩和静力矩这两个主要力矩之外，其他力和力矩的影响体现在 Sd之中。将式
（13.10）中的H和T的简化式
gsino
T bx+ b+
(13.35)
- gsing
- bx
以及
.2
代人式(13.29）得
2Aky
gsing
by - kzd - kzi
b~
CF
Sd =
2ap - gsino
by + kzd + kz +
再将参量bx、by、kzd、·的定义式（8.101）、（8.139）、（8.147）代人，并注意到式（8.61）和（8.63)
所确定的关系式 m'y：
m"Td,经整理可得:
2id
(R)
2mg sing
(m'zd + m) -
Sov?
(13.36)
Sd =
2m
(R)
(2ap - gsing) - Cx
(m'd + m'zs)
αp≠ 0)。
不言而，式（13.34）、（13.36）适用于各类火箭和炮弹弹道（仅火箭主动段
动稳定条件式（13.31）相当于如下两个不等式：
Sd > 0时
(13.37)
Sd<0时
271

火箭外弹道学
(13.38)
Sa >:
1 .
根据13.3节对式（13.23）和（13.24）的分析知，式（13.37）是快圆运动的稳定条件，式（13.38）
是慢圆运动的稳定条件。将式（13.36）代人式（13.37）和式（13.38），并略去量级较小的阻力和
重力项，得快圆运动的稳定条件为
4Fp
2id
(R)
IC'+
(mzd + m'as)
Sg
Sov?
(13.39)
慢圆运动的稳定条件为
4FP
2ld
)(k)
)c' -(
(m'zd + m') -
1 -
1 -
1.
Sov
(13.40)
由上面二式可得到如下结论：
（1）陀螺稳定因子Sg：对静稳定弹 Sg<0，ISgI越小,越有利于不等式（13.39）和（13.40)
成立，即有利于动稳定性；对静不稳定弹 Sg>1,Sg走
越大，越有利于动稳定性。前者意味着尽量
减小转速，加大稳定力矩；后者意味着尽量提高转速以加强陀螺效应，减小翻转力矩。
(2）推力Fp是火箭主动段内的稳定因素。
（3）升力系数导数C'：对静稳定弹总是稳定因素；对静不稳定弹的慢圆运动起稳定作用，
对快圆运动起不稳定作用。
（4）横向阻尼力矩系数导数（m²zd +m²）：对静稳定弹总起稳定作用；对静不稳定弹的快
圆运动起稳定作用，对慢圆运动起不稳定作用。
（5）马格努斯力矩系数导数m：当m为正，即马格努斯力矩使攻角平面绕速度矢量v逆
时针旋转时（从弹后往前看），该力矩过大，会使慢圆运动不稳定；当㎡”为负，即该力矩使攻角
平面顺时针旋转时，该力矩过大，会使快圆运动不稳定。
马格努斯力矩总是一个不稳定因素,这可以从力学意义上加以解释。图13.2(a）表示攻角
于横坐标轴上）。由于偏角一般比攻角小一个数量级，在定性分析时，可近似认为摆动角Φ与
攻角△相等,相应的角速度Φ与△近似相等。在图中圆的上半部和下半部任选两点B 和B2，
并画出这两点上马格努斯力矩的等效力fi和f2，它们分别与圆的割线（弦）TB1和TB2垂直。设
马格努斯力矩为正，则fi和f2的方向应使TB1和 TB2逆时针旋转。再将fi和f2沿圆的切线和
法线方向投影，并分别研究切向分量和法向分量所起的作用。
由于圆运动是顺时针方向，图中fi和f2的切向分量皆与运动方向相反，故而作用的结果，
会使速率1△丨逐渐减小。在法向力定的情况下，丨△减小便使快圆运动的半径减小,因而
在马格努斯力矩为正值情况下，它对快圆运动起稳定作用。反之，该力矩为负值时，f1和f2的
272

第十三章
无控火箭的运动稳定性
切向分量使丨△「增大，对快圆运动起不稳定作用。
02
02
B2
(b)
(a)
图 13. 2
马格努斯力矩对攻角的影响
再看f 和f2的法向分量对运动的影响。fi的法向分量起离心作用；f2的法向分量起向心
作用。那么上半圆的曲率半径增大，下半圆的曲率半径减小。综合起来，使B点轨迹向右远离
原点T，如图13.2(b）所示，这样慢圆运动半径增大，即对慢圆运动起不稳定作用。反之，若马格
努斯力矩为负，则其等效力的法向分量对慢圆运动起稳定作用。
由以上分析可知，马格努斯力矩等效力的切向分量影响快圆运动稳定，法向分量影响慢圆
运动稳定性。该力矩为正时，使快圆运动稳定，使慢圆运动不稳定；反之，该力矩为负时，使快圆
运动不稳定，使慢圆运动稳定。
此外，由于表达式(13.36）令ISaI>1,就可得到下列条件（略去较小的阻力和重力分量）
2Fp
id
(13.41)
Sov2
2FP
id
(R)
(mzi + m)
(13.42)
这表明，当丨㎡”|之值大到一定程度，满足上面条件时，静不稳定的涡轮式火箭弹及其他枪
弹、炮弹，无论如何都不能稳定。
至于其他几个因素对稳定性影响的物理解释,这里不予一一赘述,请读者思考。
还有一个人们关心的问题，就是尾翼弹的气动压力中心到质心的距离ld如何确定。它与
稳定性有什么关系?能不能用它来代替稳定性判据式(13.31)？可以说，它是影响稳定性的参量
之,而且也是影响散布的参量之,但不能以它的大小范围代替稳定性判据。在结论 1中提
及综合参量 S的影响,若将式(7.12）代人 S的表达式中,则
(Cr)2
2AoSC,'ld
可见 ls越大，则1S。I越小,有利于尾翼弹的动稳定性。如同其他影响动稳定性的参量一一样,就
273

火箭外弹道学
同一参量而言，各不同型号弹箭的差别比较大，不能千篇一律，对ld也是如此。所需要的是满
足式（13.31）的ld，有的弹所要求的la或许大些，有的或许小些，不能说la较大的弹比la较小的
弹更稳定。所以,单从ld的大小是无法对尾翼弹的稳定性做出评价的。
以上仅从动稳定条件分析各参量的影响，就飞行性能而言，是不够的。合理地选取弹箭的
参量，必须顾及到下面将要介绍的飞行稳定性的其他方面，并进一步考虑到前几章所述的减小
散布和增大射程。值得注意的是，稳定性和散布不是一个概念。况且各参量（包括各气动参数）
是相互影响的，当改变某一参量的量值时,就会使其他有关参量的量值发生变化。在弹箭总体
设计中，务必进行全面考虑，以确定出满足上述诸要求的气动外形和结构布局。
5共振效应
13.6
火箭在周期性干扰因素作用下,将产生受迫运动。与一般工程中的受迫振动一样，对火箭
的受迫运动（对火箭的绕心运动不习惯于称振动”）的幅值，直接依赖于火箭固有频率与干扰
频率之差值；当两者接近时，幅值将变得很大，即是通常所说的发生了共振。火箭弹在飞行中，
亦务必避免共振发生。
作用于火箭的周期性干扰因素，前几章曾多次论及，如推力偏心、动不平衡之类。它们的频
率乃以每一波长内火箭的自转周数为标志;这是很有趣的，因为干扰频率是人为确定的，只要
人们能科学地进行设计，避免共振的可能性是很大的。当然，也有一些干扰因素无法控制，比如
气流扰动(阵风）,如果偶尔其频率与固有频率一致，也可能发生共振。这需要进一步对环境中
的干扰因素加以考察，以避免发生意外。但一般来讲，与固有频率相近的扰动作用时间是短暂
的,不致造成严重影响。
哪种类型的火箭弹发生共振的可能性大?对涡轮式火箭,在第十章10.3曾指出，以u为自
变量的推力偏心圆周频率 n 达 80 ～ 200之多,而自振圆周频率 H1 = 2.4 ～ 4.2,H2 = 0.2 ~
0.4,差距很大。事实上，从较大的Hi 和 n之比
2 ×
2n
na
单 n = A/C 达 30 以上，Hi 和 na 相关太大,是不可能发生共振的。
来看，现今涡轮弹
对转速不甚高的尾翼弹，发生共振的可能性是存在的，下面将进一步研究尾翼弹的受迫运
动。现假定方程（13.8）的强迫项为周期性干扰力矩所形成，可写成下列形式：
F = Afvexp[ir(s - so)]
(13.43)
比如式（8.188）中的气动偏心角△M或动不平衡角βp存在时就是如此。方程（13.8）的通解为三
圆模式
W = Aioexp[(di + idi)(s - so) + A20exp[(d2 + i§2)(s - so)] + A3exp[if(s - so)]
(13.44)
274

第十三章
无控火箭的运动稳定性
式中，di、Φi、d2、啦由式（13.23）、（13.24)确定。在保证动稳定条件下,前两项自由运动将随弹道
弧长 s增加而逐渐衰减掉。第三项是受迫项，幅值不会衰减掉，将该项代人式（13.8）中可得
(13.45)
由于 P /n<,PT< HT,且尾翼弹的 M ～－ k²,故该方程可简化为
可变为以 u（= ks）为自变量的方程
d? A?
dA3
2(b + ina)
i2bna JA3
du
du?
式中,b = H/2k,是阻尼系数，与式(7.44）的定义相同，只不过式（7.44）中忽略了 k;na
r/k,见式(9.47)。
引人微分算子 D = d/du，则
[ D2 + 2(b + ina) D +
那么
()
(13.46)
A3 =
D2 + 2(b + ina)D +
+ i2bna
1- n
将算子分式按升幂展成级数，并对作微分运算,得
2(b + ina)
(岛)
A3 =
1 -
1 - n
1- n
i2 bnx
i2bnal
于是知攻角的受迫项为
2(b + ina)
()
texp[if(s -- so)]
1-
1 - n
+ i2bna
1- n
+ i2bnaL
(13.47)
当 n>=0,即转速为零时的攻角，常称为静攻角。为考察转速对受迫运动的影响,通常以强迫力
（矩）引起的攻角幅值丨△3|对静攻角幅值丨△301之比值作为指标，此称为幅值放大系数，由上
式知
2(b + inx)
1 -
A 30
1 - n
+ i2bnx
)2 + (2bna)2
(1 - n
在多数情况下，上式可取近似式
275

火箭外弹道学
(13.48)
4 30
)2 + (2bna)2
(1 - n
i△3/△30「除了与阻尼系数 b有关外,主要取决于 n的大小，它随 na 的变化规律如图13.3所
示。
利用求函数极值方法，可知当
△ 30
10F
1 .
b =0.05
(13.49)
时，Ｉ△3/△30 Ｉ取极大值;特别当 1/n≤1
b =0.10
时,则
1-262
(13.50)
代人式（13.48）得幅值放大系数最大值
43
图 13.3
I △3/△30 | n 曲线
(13.51)
2b
△30 / max
也就是说，每波长内自转一周时，受迫运动攻角幅值将为静攻角幅值的数倍到数十倍，这就是
n ～~2时,
直 n从1增大的过程中，Ｉ△3/△30丨很快减小；当
共振,是必须避免的。而随
1△3/△30|～ 1。这样,只要保证 n >2,就可以避免共振,在尾翼弹设计中,这个数值可作为
选取转速下限的参考。
以上所述共振效应，无论对主动段或被动段都是必须引起注意的问题。实践表明，一且共
振发生，由于攻角较大，从而产生较大的诱导滚转力矩和诱导侧向力矩，致使式（8.189）等号右
边为零,那么滚转角加速度为零,转速将为常值。若翼片方位角 r某一值r* 满足上述条件，且
为稳态值,那么转速就会保持常量，即发生转速闭锁（spin lock-in），这时弹体的滚转速率与进
动速率相等，而弹体某一条母线总处于进动圆锥的外侧。如果进一-步计及式（8.169）的诱导侧
向力和式（8.172）的诱导侧向力矩，即在方程组（13.1）中计及方程组（8.186）中的bs或ks时，
那么推导出的共振放大系数将会可能比式（13.51）更大。由此可见，共振及转速闭锁是必须避
免的。
无控火箭的追随稳定性
13.7
因为重力作用，速度矢量V的方向不断向下偏转，那么弹轴是否也跟随矢量√一起向下偏
转昵？这就是所谓“追随稳定性”问题。对尾翼弹，如果不计陀螺效应，由于以θ的角速度向下
276

第十二章
无控火筋的运动稳定性
偏转,若弹轴亦以的角速度向下偏转时,必受到赤道阻尼力矩 Mzd = AkzduI1 的作用。与此
同时,必产生一相应的攻角 1p,以形成稳定力矩 M，= Ah²²1P,使力矩平衡,于是由
Mzd = M,
得弹轴滞后于速度矢量的夹角
Kd
101 =
(13.52)
h2y2gcos6
这个平均攻角，就是尾翼弹的动力平衡角。计算表明，在大射角和小射程时，弹道顶点的1P最
大值为 1°～3°,它是一个系统量,不引起散布。故尾翼弹的追随稳定性一般不成问题。
由上面分析可知，动力平衡角产生的根本原因在于重力产生了速度量√的转动角速度
，对涡轮式火箭弹来说，也是产生动力平衡角的根源。不过由于陀螺效应，涡轮式火箭动力平
衡角的公式与式(13.52）不相同。在主动段内,弹轴亦将滞后于 v-个角度，与此同时，由于翻
转力矩作用，弹轴还将有围绕速度矢量的进动。计算表明，主动段内的这种纯由重力产生的动
力平衡角的幅值，比被动段内的动力平衡角的最大值小，因此主要考察被动段内的追随稳定性
就行了。
如果准确求得其值，只要保留方程（8.186）中的非齐次项
R℃
R3
涡轮式火箭弹与尾翼弹动力平衡角的根源，都是速度矢量因重力作用向下偏转，如果说这
是一个外因,那么它们各自的内因是不同的。尾翼弹由稳定力矩和赤道阻尼力矩动力平衡而产
生动力平衡角；而涡轮式火箭弹，则是由翻转力矩与陀螺力矩动力平衡的结果。
若不考虑其他扰动因素，视动量矩矢量和弹轴一致。对飞行稳定性良好的弹箭，动量矩矢
量 K = C将随弹道切线以1θ1的角速度向下偏转,如图13.4所示。
根据动量矩定理，动量矩矢端速度必与翻转力矩矢
量相等。这个翻转力矩乃由偏向右方的动力平衡角ä2P
产生，于是
K1 él = Ah??2p
101
8 2P
(13.53)
nh?y2 1 01
与此2p相应的升力指向右方，使质心向右偏移,这就是
旋转弹所谓“偏流”产生的根本原因。
K的矢端速度
图 13.4
需要补充说明的是，对尾翼式旋转弹，仿照式（13.
277

火箭外弹道学
53）的推导，则由于稳定力矩和陀螺力矩的
共同作用，使尾翼式旋转弹动力平衡角侧
向分量向左，其“偏流”也是向左偏。
依据动量矩定理，当82p有角速度2p
弹道项点
时，则在射击面内必有一动力平衡角
有ip产
相等，即
图 13.5
△p曲线
81P
(13.54)
一般ip比2p小很多,图13.5是△p=1p+i22p曲线图。对追随稳定性,应以弹道顶点附近动
力平衡角最大值
[op]
(13.55)
I△p Imax ～I△p is ～ 2Ps <
得到满足为准。其中[p］是给定的允许值,根据经验，［p」= 2°～4°。动力平衡角超过此值,将
使散布加大,其原因有待进一步研究。
考虑到极阻尼力矩Mxd 的作用,转速是不断下降的，由下列方程确定
= - Mxo
oSidm'rd
(13. 56)
2C
- kxd vy
dt
-- kxdds
(13.57)
= kexp(- hxds)
对 kxd 中的可由近似值=（y ＋)/2查取。
在以前的外弹道学中，常用极阻尼力矩表达式
103 H() Kr
M xd
(13.58)
此式与式（8.78）比较，可进行系数换算
= 2.15 × 10°Kr
(13.59)
278

第十三章
无控火箭的运动稳定性
一般炮弹的 Kr 之数量级为1.5 × 10-5,可作为参考。
下面看看动力平衡角与弹箭有关参量间的关系。将k2的表达式代人式（13.53），并考虑到
lm～laC,以及仅有高空顺风作用下的不利情况,则
2 CY kg cos6
82P
(13.60)
可见ä2p随极转动惯量C增加而加大,随压力中心到质心距离ld增大而减小。对射程较大的弹
箭,宜加上稍长的风帽,可使 la明显增大,而又不致增加,对减小2p有利。另外,为限制2p
之值,务必限制转速 K，这说明,转速存在着上限。
尾翼式火箭弹的转速范围
13.8
第九章进行散布分析时，曾指出转速对野战尾翼式旋转火箭弹散布的影响：转速的增加，
对减小B（）是有利的,而 B（p）将增加,B（。）也略有增加。由此需作出转速对总散布的
关系曲线，以择取其适当值。但是，这个值应该在允许范围之内。这个“允许范围”是指什么？其
下限应从避免共振出发,如13.6节指出的,应取 n最小值为
(13.61)
其上限应以保证动态稳定性为准。
从动稳定条件式(13.31）看出,当I Sα 「< 1时是稳定的;当丨Sd |> 1时,则
<- (Sa- 1)
由于S
<0,于是
- Sg— <
Sa - 1
将IS
I 二（na/n)2/4代人,得
2n
(13.62)
/s - 1
因此以的上限取为
2n
(13.63)
na max
/ sa -- 1
总之，由散布分析所取的转速指标 n应满足下式
2n
2 < na
(13.64)
sa- 1
值得注意的是，以上仅从外弹道学方面考虑转速范围。实际上，火箭弹是一个弹性体系，它
279

火箭外弹道学
具有一定的振动频率；而且尾翼片也有一定的振动频率。火箭弹的实际转速，必须使其自转频
率避开上述结构自振频率。否则,将可能导致结构的破坏。
涡轮式火箭弹的转速范围
喷管倾斜角的确定
13.9
涡轮式火箭弹一般不存在共振现象，但要保证其动态稳定性和追随稳定性。对涡轮式火箭
弹来说,动稳定条件中的 Sa<1,故式(13.31）为
(13.65)
而S.为
Sg
2nkv
wxcosの）飞行时，翻转力矩比无风时要大，翻转
值得注意的是，当火箭逆风（平行风速为
力矩中的要用相对速度=+w替代,因而此时的实际稳定因子 Sgu将减小。在飞行过程
中,应该使 Sgw满足式(13.65),即
(1
(13.66)
1 - s2
直 w″／在炮口最大，S，也在炮口较大,后者原因在于炮口 m’较小。此后
在主动段内，比值
随速度增加而变大，Sg有所减小,但不及（1+ w"/)² 减小的快。因此一般对主动段不太高的
火箭，只要保证炮口满足式（13.66）就可以了。在被动段内，火箭向顶点上升时，I= ／是增
加的;过顶点一段弹道后的降弧段，不断增加，继续减小,=／将减小,尤其大射角弹
道落点附近的厂更小。因此被动段内的动稳定性，必须要求大射角时的弹道落点满足式（13.
66) 。
2nk
1+
(13.67)
1 -- S?
至于喷管倾斜角的最小值εmin，如以炮口为准,将式（10.1）的「表达式代人式（13.67），便
4kR3
Ueff
(13.68a)
tane min
VO
/1 - S2
如以落点为准，则落点时有
280

第十三章
无控火箭的运动稳定性
Ic =
exp(- kxdSc) = Ii
exp( - kxdSc)
VC
VC
式中，Sc为全被动段弹道孤长，可查表17。
将式(10.1）代人上式Ik,再将Fc代人式(13.67),得
4kR3
ueff
(13.68b)
tane min
V1-sa
VK
VC
喷管实际的倾斜角应大于（13.68a）与（13.68b）中较大的εmino
为保证追随稳定性，依据条件(13.55）式来确定转速比的上限Tmaxo式（13.55）还应该在最
大射角 60 max
时得到满足;将(13.60）代人,并注意 k = Ikuk及 coss = 1,可得
[op]]E
exp( kxdss )
F<F
(13.69)
2 CgVK
max
MAX
将式（10.1）代入,得与 Fmax
相应的喷管最大倾斜角
JEmax
nax
pslaCy'vs( vs ---
02
[op](-
exp( kxdss)
(13.70)
tane max
mgd? k
0 max
式中，K点到顶点S的弹道孤长ss可近似计算
(vk + vs)(ts -- tk)
Us 和ts之值,当 k > 700 m/s时,可由高炮弹道表近似查取;当 k< 700 m/s时,可利用西亚切
解法求出。另外，当
百 vk < 700 m/s时，Us 也可由下式估算
X -- XK
vS
T - tK
综上所述,在散布分析中（第十章）择取的适当转速比应该在Imin 和ma
的范围之内，实
max
际的喷管倾斜角 ε 便就相应地确定在εmin 和 εmax 自
的范围之内。
问题的另一方面，在选取转速时，如果以为只要满足上述稳定性要求就行，而不考虑对减
小散布是否有利，也是不对的。减小散布是主要目的之一，满足稳定条件（转速不超过其上下
限）仅是减小散布的一个必要条件，并不是充分条件；充分条件所要求的转速，则是如前几章
对散布分析中所得出的最佳转速。
281

第十四章
有控弹一一般运动方程组
14. 1
与无控弹道的主要不同点，在于有控弹道研究的对象是可操纵的运动物体，其典型代表就
是导弹。除了无控火箭所受到的力和力矩作用之外，还受到控制力和力矩的作用，而且这些控
制力和力矩依赖于导弹的运动状态。
制系统被假定为严格保证导引关系，然而，有控理想弹道计及了某些角度（如攻角）对力的影
响。本章和下一章将以导弹为对象,建立有控弹的一般运动方程并进行飞行稳定性分析。
在建立导弹一般运动方程组时，除了考虑质心运动和绕质心运动外，还必须加进控制系统
工作过程的控制方程。对这样方程组求解出来的弹道，称为控制弹道。控制弹道并没有计及诸
扰动因素（起始扰动、阵风、推力偏心等等）。就是说，实际弹道与控制弹道是不同的。
对导弹运动稳定性及散布分析的方法，不是像无控火箭那样，考虑全部力和力矩的作用，
以求解扰动方程解析解进行计算与分析；对导弹来讲，这种方法很难对-一般问题得到解析结
果。因此在飞行稳定理论研究中，不是直接研究扰动因素的作用，而是采用迄今稳定理论中常
见的小扰动法。对散布，则需要用随机过程理论进行分析。因此，建立导弹运动方程组时，可不
计及扰动因素。
从研究导弹运动的发展史来看，在很多方面（如气动力、坐标系等方面），与飞机飞行力学
具有共同点。而且为了照顾传统的习惯，本书对无控和有控弹道，在分析和处理问题方面的差
别采取承认的态度。但对于轴对称体的导弹，研究其运动状态也可以采用第八章的坐标系及参
考基,这对于既有无控段又有控制段的现代火箭弹道就能采用统-一的模型和处理问题的方法。
导弹飞行力学中的惯用坐标系及其相互关系
14.2
坐标系及其基
14.2.1
1.地面坐标系与平动坐标系
此与 8.2节相同。
2.弹道坐标系
该坐标系定义亦与8.2节定义相同。又称之为弹道固连坐标系，或半速度坐标系，仍以
282

有控弹-一般运动方程组
第十四章
0 x22z2 表示。
3.速度坐标系
该坐标系以－αy,表示（导弹飞行力学中常以－αec表示）。原点取弹体质心，oα，与
0α2轴一致，0y，取在弹体纵对称平面内并与ox,轴垂直，向上为正，oz，依右手定则确定。该坐标
系的基以 e，表示。
4.相对速度坐标系
该坐标系以－rz表示。原点取弹体质心，oα,轴与相对速度一致（由于考虑风速或
水中的涌浪速度,Vr与弹箭质心速度是有差别的);oyr轴在弹体纵对称平面内并与oα,轴垂
直，向上为正；oz,轴依右手定则确定。该坐标系的基仍以e,表示。它是气动力或水动力计算与
测量的基准。
5.弹体坐标系
该坐标系以α－α11z1表示。原点在弹体几何中心，0α1轴沿纵轴并指向前方（有的型号如
飞航式导弹之 ox1可取翼弦方向);oy1轴在导弹纵对称平面内,垂直 oα1轴,指向上方为正;oz1
轴依右手定则确定。该坐标系的基以eb表示。
6.弹轴坐标系
又称为半弹体坐标系,以－n表示。原点取弹体几何中心;将坐标系－α1z 绕 oα1
轴逆时针方向转动至oy1轴处于铅直平面内即得。该坐标系的基以ea表示，
角度关系
14.2.2
各坐标系即基之间的关系由它们相互间的转
α,B
角完全确定，如图14.1所示。
br,er, y
图中a——偏航角,水平轴 oα 与弹轴 oα1 在水平面
上的投影之间的夹角,弹轴左偏为正；
—俯仰角，0x1 与水平面
oz 的夹角,向
9-
图 14.1
各基之间的关系
上为正;
滚转角，自转角,导弹纵对称面与过 0x1的铅直面之夹角,右旋为正;
山,———弹道偏角,速度在水平面上的投影与 oα 轴之夹角，左偏为正;
一一弹道倾角，V与水平面之夹角;
轴顺时针方向转动至oy，oy与oy2之夹角；
——速度倾斜角,0y2 轴绕 oα2
——相对速度偏角，在水平面的投影与oα轴之夹角,V,左偏为正;
—相对速度倾角,V与水平面之夹角;
———相对速度倾斜角，αroy平面与过铅直面之间的夹角，oyr轴绕 o,轴右旋为正；
侧滑角，速度与导弹纵对称面之夹角，以速度系绕 oy，逆时针转动为正向；
由 oα1与 v在纵对称面α10y1上的投影之夹角,以弹体系统 oz1轴逆
冲角，导弹纵轴
283

火箭外弹道学
时针转动为正向；
β——相对侧滑角,相对速度与导弹纵对称面之夹角,以e绕oyr逆时针转动为正向;
而α1oy1上的投影之夹角，以e绕oz轴
一相对攻角，导弹纵轴
日 ox1与 r在纵对称面
逆时针转动为正向。
坐标变换
14.2.3
利用基本变换矩阵式（8.3）～（8.5），便可得所需要的坐标变换矩阵。从图14.1看出下列
几种坐标变换矩阵：
Ctd
(14.1)
C3(0)C2(,)
Cwt
(14.2)
Ci(,)
(14.3)
C3(α)C2(β)
Cba =
(14.4)
Ci()
Cad
(14.5)
C3()C2(ya)
(14.6)
Crd
Ci(.)C3(01)C2(4r)
Cbr = （
(14.7)
C3(αr)C2(β)
主要坐标系间的关系详解
14.2.4
1.弹道坐标系与平动坐标系的关系
如图14.2所示。坐标系 0×22z2可
可看作是坐标系
经两次定轴旋转得到的。第-一次绕铅直轴 oy旋
0 - xyz
x2
转山，角,转至 ox2z2 位置,转动角速度矢量，与oy轴
致。第二次继之绕 oz2轴旋转角，0x2转至 ox22位置
（oα2与重合）,旋转角速度沿 oz2轴方向,得到弹道
坐标系 0 α2y2z2。由以上旋转过程知,在飞行力学中的
Z2
旋转，一律以逆时针转动为正向。因此自射出点向前看
弹道坐标系与平动坐标系
、图 14.2
（沿 oα轴方向）,弹道偏角山偏离xoy平面左边为正,即
v在xoy平面左边时为正，在xoy平面右边时,为负，这与第八章侧向偏角的正负号规定比
起来恰好相反。
0－ xyz与－22z2 两坐标系间的关系,由和山，两个角度确定。速度 v（沿 oα2轴）在
xy三轴上的投影以表示为
vcosocosb
(14.8)
vsing
- vcososinbu
284

第十四章
有控弹一般运动方程组
即导弹质心移动的运动学方程式。
方程组（14.8)中的 coscos山,sin和- cos6sin，正
是 oα2轴对于 0 － xyz 三
三轴夹角的方向余弦，它们是
0x2
轴上单位矢量在－ xyz三轴上的投影值。显然,若事先
X2
已知这些方向余弦，就可不费力气地把运动方程写出。
同样,可以把 oy2 轴上的单位矢量投影到－ xyz 三轴
上，又得到 oy2轴对 oα、oy 和oz 三轴间的方向余弦为
sinocoscos 及 sinsindoz2 轴上的单位矢量在 o一
xyz三轴上的投影为sind、0及 cosd。归结九个方向余
弦,列于表14.1中,这可由式（14.1）直接得出。可见，两
种方法能得同一结果；一是坐标投影法，另一一是按公式
弹道坐标系与速度坐标系
14.3
（14.1）计算。前考是经典方法，比较原始；后者则较直
接，不易出错。
2.速度坐标系和弹道坐标系间的关系
从两坐标系的定义知道，它们之间仅相差一个角度，，叫做速度倾斜角（图14.3）,它是
导弹纵向对称面与铅垂面间的夹角，规定绕0α2（或 0α。）逆时针转动为正向。仿照上述方法，便
得两坐标系间的方向余弦表14.2,这由式（14.2）得出。
表 14. 1
弹道坐标系与平动坐标系各轴夹角的方向余弦
坐标轴
OZ2
oy2
0X2
sind
- sinfcos,
coscos
sing
cos9
singsing,
- cososiny
cOS y
表 14.2
弹道坐标系与速度坐标系的方向余兹
坐标轴
0X2
- siny,
COSY
sin+
0Z2
3.弹体坐标系与速度坐标系之间的关系
比较图14.4与图14.2，其坐标系间的方向余弦类同（表14.3），此由式（14.3）确定。
表 14.3
弹体坐标系与速度坐标系间的方向余弦
坐标轴
021
sinp
- sinacosβ
cosa cosβ
sina
cosa
cosβ
sinα sing
cosa sinp
285

火箭外弹道学
4.弹体系与平动系间的关系
导弹弹体在空中的姿态,是用弹体坐标系与平动坐标系之间的三个角度9、山a、确定的
(图14.5)。乃由坐标系经三次转动体现它们之间的关系:第-一次转 d。角,第二次转 9角,第三
次转角，则弹体系至平协系的坐标变换矩阵为
Cha = (（
Cab
[Ci()C3(9)C2(a)7T
(CbaCad )T
(14.9)
弹体坐标系与平动坐标系
图 14.5
图 14.4
弹体坐标系与速度坐标系
具体结果列于表14.4中。
表 14.4
弹体坐标系与平动坐标系间的方向余弦
坐标轴
1z0
OX1
cosgcosya
sincosyasiny + sind.cosy
- singcosbacosy + sindasiny
ox
sint
- costsiny
cOScOSY
- cosgsinga
- sintsinyasiny + cosyacosy
sinsindacosy + cosbasiny
20
导弹转动角速度以表示，为
'+"+=の
(14. 10)
其各角速度$、。、在弹体坐标系各轴上的投影列于表14.5中。
表 14.5
弹体角速度分量
矢量
asin?
Ssin?
y.costcosy
140
+ cos?
- acostcosy
Oz1
有时需要知道弹体坐标系－ α1121
与弹道坐标系 0－ α2y2z2之间的关系,用矩阵变换不
难得到它们之间夹角的方向余弦，列于表14.6。
286

第十四章
有控弹一般运动方程组
表 14. 6
弹体系与弹道系间的方向余弦
坐标轴
OX1
oy1
sing
sina cosp
cosa cosp
0x2
- cosβsiny,
sinacosY + sinYcosasinp
cosacosY, - siny,sinasinβ
oy2
sina sinY, - cos,cosasinβ
cosBcos Y.
cosαsinY, + cosY,sinaα sinp
022
3运动方程
14.3
在速度坐标系中的导弹质心运动方程
14.3. 1
取速度坐标系为参考系，在此建立以e，为基的质心运动动力学方程。e，的转动角速度（见
图14.6）为
++$,+,
( + ,sing)e1 + (8 sin, + y,cosfcos,)eu2 +
( cos, - y,cosfsin,)ew3
(14.11)
Ev2
Evl
(14. 12)
= Vevl
由相对动参考系的动量定理
dy
(14. 13)
+ ×
dt
dt
便得
速度系及其角速度
14.6
v( cos, -- ,costsin)
-- v( sin + ,costcos))
(14.14)
式中，Fx、F，、F，为总外力(其中包括干扰力）的三分量。在有风的情况下,空气动力是在相对
速度坐标系中度量的,需要转换到速度坐标系中来。
若将诸力转换到弹道系，且取，=0,则式(14.14)就变成弹道系内的方程,可见方程(14.
14）更具有普遍性。
导弹转动运动方程
14.3.2
对导弹及有控水下运动体，常采用弹体系建立绕心运动方程。由式（8.39），并取动点为质
心，动量矩矢量K对时间的导数分解为对弹体系的相对导数与因转速の转动产生的牵连速度
之和。弹体的转动角速度依照式（14.10）的关系直接写出
287

火箭外弹道学
( + jasing)eb1 + (sin + yacoscos)eb2 + (9cos - bacossin)eb3
(14.15)
于是得矩阵形式的转动方程
dr
(J[]) + 0J[o] = [M]
(14. 16)
对导弹的转动惯量矩阵J一般取简单形式
Jyt
(14.17)
J3
里[2,4,5]。将式（14.16）展开，
三轴的转动惯量。对变质点系,注意dt 内不计J的变化，即刚化原理
便得转动运动方程的一般形式为
dwxy
(Jz, - Jy,)wy,Wz
dt
dwy
(14.18)
(Jx, - J2,)wx
My
Jy"dt
dwzy
(Jy, - Js,)w%)
Jz,dt
运动学方程由式（14.15）知
+ yasiny
sin + yacoscosy
Lcos- yacossiny
经变换易得
= wy,siny + Wz, cosy
(14.19)
4联系方程
14.4
描述导弹质心运动方位和弹体姿态的八个角度是、、、αβ,它们之间并不
是完全独立的关系，还存在三个联系方程。就是说，只要知道了其中5个角,其余3个角便可随
之确定。利用坐标变换矩阵不难建立这种关系式。不妨考虑基 ed至e，的转换关系：
288

第十四章
有控弹一般运动方程组
Cud = (
C,Ctd
(14. 20)
文可写成
Cud = （
CCbaCad
(14.21)
将式（14.1）、（14.2）代人（14.20,再将式(8.3）～（8.5）代人得
sing
- cososind
coscosb
sinY,cosd, + cosY,sinsiny,
Cud =
sin,sindy - cosY,sinfcosyy
cos Y, cosO
L cos,sing, + sin,singcosyy
cosY,cosy, - sinY,sinosinyu-
-- siny,cosg
(14. 22)
将式(14.3）～（14.5）代人式(14.21）,再将式(8.3）～（8.5）代人得
- cosa cosβcost sinda
cosa cosβcos cos ta
cosα cosβsin9
- (sinacosβcosy + sinβsin)sinsind.
+ (sina cospcosy + sinsin)singcosta
- (sina cosβcos
-- (sinacosβsiny - sinβcos)cosya
- (sina cosβsin - sinβcos)singa
+ sinBsin)cos
- sina cos sinda
sina cos cosda
sina sing
+ cosa cosysint sinda
-- (cosα cosysing cosba
+ cosa cosYcos]
+ cosa sinycosba
+ cosa sinysinga
cosa sinpcosd sinda
-- cosa sinpcosgcost.
- cosasinβsing
+ (sinα sinβcos - cosβsin)sinsinda
- (sinα sinβcos -- cossin)singcosda
+ (sina sinβcosy
+ (sina sinβsiny - cosβcosy)cosda
-- cosβsin)cos
+ (sina sinβsin + cosβcos)sinda
(14. 23)
试比较式（14.22）和（14.23）对应的九个矩阵元素式，便得到九个等式，即九个联系方程。但是，
只需要择取其中三个表达式较为简单的关系式就行了。当然,这三个方程中要显含θ、山，和
三个角。据此,可选行列号讠为12、13、22的元素，于是得：
(14. 24)
9 = cosαcosβsin - (sinαcosβcos + sinβsin)cos
sing
cosgsiny, = cosacosβcossinga + (sinacosβcos + sinβsin)singsinga +
(14. 25)
(sinαcosβsin - sinβcos)cosa
(14.26)
cosfcosY = sinαsin + cosacoscos
现今一般导弹飞行力学著作中均未计及风速对气动力的影响。实际上，由于风速的存在，
气动力和力矩表达式中的速度则应取相对速度r式(8.9)，在平动坐标系中的方位角山和
,由V,在该坐标系中的三分量的表达式确定,参照式(8.8）和式(14.8),写成列阵形式
cosdrcosd
sing.
(14.27)
Vy -
L -- cosorsinyr-
Vz- W
则得
289

火箭外弹道学
Vr -. Wy
(14. 28)
Vz -
(14.29)
Φr - arcsin
VrcosOr
气动力和力矩在有风存在条件下，其攻角和侧滑角亦应以相对攻角α，和相对侧滑角替
代；α,和β,所依赖的关系式比较复杂，但仍可采用推导式（14.24）～（14.26）的方法解决。利用
图14.1各基间的转换关系，可知
Car =
CadCdr =
CaCbr
将式(14.5）、（14.6）及（14.4)、（14.7）代人上式得
CT()C3(αr)C2(β)
C3(9)C2(a)[Ci()C3(01)C2(pr) JT
(14. 30)
再将式（8.3）～（8.5）代人，由矩阵相同行列元素相等便得所需要的角度关系式。此过程可以
由计算机替代人工推导。
诸力和力矩
14.5
作用在导弹上的力有重力、发动机推力、气动力和控制力；力矩有气动力矩和控制力矩。对
重力不再重述。对推力，只考虑其轴向分量Fp，不计推力偏心。推力在弹道坐标系上的分量，由
表14.6的方向余弦适知
FP*?
F pcosα cosβ
Fpy?
Fp(sinαcos, + cosαsinβsin,)
(14.31)
F P22
Fp(sinasin - cosasinβcos,)
空气动力阻力、升力、侧力，它们沿速度坐标系三轴方向分布，其一般表达式为
Rx
2 p2 SC.
Ry
(14.32)
总空气动力为
R = R + R + R
则总空气动力在弹道坐标系各轴上的投影（表14.2）为
=- R
R,cosY, - R,sin
(14.33)
R,sinYc + Rxcos
290

有控弹--般运动方程组
第十四章
总空气动力矩对弹体坐标系有三个分量Mx，、M,和Mz。M
表示滚转力矩，使弹绕纵轴旋
转；My
表示偏航力矩，使弹绕立轴oy1旋转；Mz,表示俯仰力矩，使弹绕oz1轴转动。气动力和力
矩的具体计算，须由空气动力学专门解决。
导弹飞行方向和飞行速度大小的改变，是依靠操纵机构提供控制力和控制力矩来实现的，
其主要形式有如下儿种。
1.空气动力操纵面
依靠空气和操纵面（方向舵、升降舵、副翼等）的相对运动，在操纵面上产生气动力来对导
弹的飞行进行操纵。
空气舵是常用的一种操纵机构，如图14.7所示。前面不能活动部分称为安定面，在安定面
后面可绕 D轴旋转的部分即为空气舵。当舵绕 D转动产生一个与导弹纵轴的夹角。时,作用
的空气舵叫升降舵，以控制导弹上下（纵向）运动；装在导弹立翼上的空气舵叫方向舵，以控制
导弹侧向运动。空气舵所装部位及其形式是各种各样的。
旋转轴
安定面
方向舵
导弹质心
升降能
副翼
导弹的空气能
图 14.7
装在机翼末端，,并在相反方向上偏转的成对空气舵称为副翼，又叫滚动舵。副翼将提供滚
转力矩，使导弹倾斜,故此力矩又叫倾斜力矩，以M，表示。
2.燃气舵
燃气舵如图14.8所示，安装在发动机后部，利用燃气流相对于舵面的运动产生气动力和
力矩。
3.旋转发动机
将导弹的发动机，安装在万向支架上，如图14.9所示。当发动机轴相对导弹纵轴转动形成
夹角，时，发动机产生推力分量Fpsinp，构成对质心的力矩，改变导弹运动。如只转动喷管方
向,其效果将是一样的。若喷喉到质心距离为lL,则控制力矩为
(14.34)
Mpc - Fpliop
今以空气舵为操纵机构，写出空气动力和空气动力矩的一般表达式。设升降舵偏转角为，方
291

火箭外弹道学
向舵集团角为。,和,通常规定为绕y1z轴正向右旋即为正值。副翼的偏角总是一上下
成对出现，例如图14.7中的平置翼，规定右副翼向下偏为正（相应地左翼向上为正），副翼偏转
角以表示。正的产生负的操纵力矩。兹将诸气动力系数和气动力矩系数表示如下。
8.
图 14.9
旋转发动机
燃气能
图 14.8
(1)阻力系数 Cx
(14.35)
Cxo( Ma, Re) + Cxa(Ma,α) + Cxp(Ma, β)
-零升阻力系数,是马赫数 Ma 和雷诺数 Re 的函数;
式中
Cx0
一对冲角（迎角）α 和侧滑角β的诱导阻力系数,见图14.10。
Cxa 、Cx
（2）升力系数Cy
升力系数取决于导弹外形,迎角 α,升降舵偏转角 äz，Mα 数,Re 数,绕流特性等。图 14.11
表示 C,与α及，的函数关系。在弹道计算时，C,可取如下表达式
Cy(Ma,a,o.) = Cyo(Ma) + Cya(Ma,a) + Cys(Ma,o,)
(14.36)
迎角 α和升降舵偏角，为零时的升力系数,对轴对称导弹其值为零;
式中
一升力系数与迎角 α有关部分;
升力系数与升降偏角有关部分。
Cye
Cy
Cxα
8zl
022
824
不同的，下的 C－α曲线
诱导阻力系数 Cm －α 曲线(小α)
图 14.11
图 14. 10
当α≤10°且１≤20° 时,C可用如下近似式
292

第十四章
有控弹般运动方程组
Cyo(Ma) + Cy(Ma)α + Cy(Ma)oz
(14.37)
aCy
式中
在空气动力学中,通常将函数右上角加角注，以表示对该角注参量的导数。
（3）侧力系数 Cz
在小角度下，可取C，的近似式如下
Ce(Ma)β + Coy
(14.38)
式中,C、Cy
总是负的。
（4）滚转力矩系数
取决于导弹外形、Mα、αβ,操纵面偏转角
滚转力矩又叫倾斜力矩，滚转力矩系数
等。即
8,角速度
Wx,~t
mx, (Ma,α, β, Ox,dy, Oz, Wx,w)
(14.39)
m.
当 αβ、y,Wz
较小时，可近似取为
(14.40)
式中,Wx
Lr/，为无量纲滚转角速度，L,是参考长度。
（5）俯仰力矩系数
mz
在弹体坐标系中，㎡z
可表示为
mz,(Ma, Re,α,α,oz,oz,wz,*..)
(14.41)
m.
或近似表示为
(14.42)
+ 0'zu
m?
α+
m.
α、zα和,等于零时的俯仰力矩系数；
式中
,无量纲角速度,α= αL,= L/;
一即 wz, Li/Vo
式（14.42）的最后三项描述了摆动和旋转所造成的空气阻尼力矩。
（6）偏航力矩系数
my+
对 my
可取如下表达式
gp+ me,oy
mf,β+ mgoy +
(14.43)
m.
需要明确点的是，在第八章考虑俯仰力矩时，是把其中各力矩分开进行计算的，对滚转
力矩也是把极阻尼力矩单独分出来计算，这与本章计算的方法并不矛盾。以上所列气动力和力
矩系数的表达式，仅是般性的。对于具体型号导弹，则需要进行具体气动分析，并通过计算或
吹风试验，以求得适当的具体函数形式。
293

火箭外弹道学
5控制方程
14.6
导弹在飞行中，各运动参量要受到导引关系的约束。不同的导引方法，其运动规律是不同
的。控制系统的输人是运动参数,输出是舵偏角，它们之间的关系是由导引规律决定的。控制方
程将描述控制系统输人量与输出量之间的关系，即陀偏角与运动参数之间的关系。
若导弹以空气舵为操纵机构并产生控制力,在轴对称导弹上，控制力F。的形成,是通过方
向舵和升降舵产生偏转角与z，以改变侧滑角β和攻角α，使气动力发生变化，同时推力的法
向分量也发生变化，从而达到控制导弹飞行的目的。在面对称导弹上，升力远大于侧力，只需使
导弹倾斜，则升力便在水平方向上产生分量；而控制纵向运动，则仍由升降舵实施。总之，为改
变速度方向，只需操纵导弹绕弹体坐标系的两根轴转动就行了。那么在操纵两根轴的同时，为
避免操纵飞行复杂化，便要求导弹对第三根轴保持稳定。此外，为改变飞行速度的大小，一般是通
过控制发动机的节气阀偏角äp来调节推力的大小，也可采用改变阻力的措施来改变速度值。
不同导弹采用不同形式的控制系统，控制方程的具体形式将依具体型号导弹而定。只要确
定了控制系统的方块图，并给出各方块的传递函数（有的环节为非线性函数关系）,那么就不难
写出相应的一系列控制方程。鉴于控制方程因型号而别，没有通用的其体方程，为了使导弹运
动方程完整化，现对控制方程仅写出象征性的-一般形式：
= x(v,O, y,x,y,.",wx,wy,..)
y(v,O, y,,x,y,",wx,wy,..)
(14.44)
lop = op(v,,bu,x,y,..,wx,wy,..)
控制导弹飞行的目的，是使导弹实际飞行速度方向和大小符合理想弹道的要求，即
(t) - (t) = 0
(t) - i(t) = 0
E2
(14.45)
= (t)- i(t) 0
E3
v(t) - vi(t) = 0
E4
式中，脚注i表示理想弹道参数值。若式（14.45）不满足，即实际值与理想值不等，那么控制系
统就要对舵面进行操纵，力图使二者相等。式（14.45）没有考虑控制系统及弹体绕质心转动的
惯性，称为理想操纵关系式。
导弹运动方程组
14.7
导弹弹道方程组
14.7.1
综合（14.8)、（14.14）、（14.18）、（14.19）、（14.24）～（14.26)、（14.44）诸式，其中质心运动
294

第十四章
有控弹一般运动方程组
动力学方程式（14.14）取弹道系，可得导弹运动方程组：
Fpcosαcosβ -- Rx - mgsing
dt
Fp(sinacos, + cosasinβsiny,) + Rycos, - R,sin -- mgcosf
mv
Fp(sinasin, - cosasinβcos,) + Rysin, + R,cos,
- mvcosg
dwr
M++
(Jz, - Jy,)wy,Wz
dwy
(Jx, - J2,)wx)
Jydt
M.
dwzy
(Jy, - Jx,)wx,yi
J. dt
Wy, siny + Wz, cosy
dya
dt
(14.46)
dx
10
vcosocos y
dt
dy
vsing
dz
= - vcosfsindy
m(t) = mo -)
q(t)dt
sing singcosacosβ - cosg(cosysinacosβ + sinysinβ)
14
, = cosacosβcostsinya + sinacosp(singsinacos + cosdasin) -
cosesiny,
sinp(cosacos - sinsindasin)
16
= sinαsin + cosαcosycos
cosOcos Yv
18
(op = op = (v,o,b,,x,y,...,wx,...)
295

火箭外弹道学
方程组中的方程是质量方程，表示质量随时间 t的变化关系，其中g（t）是气体秒流量，
q(t) = Im l。
以上20个方程中,未知数亦是 20 个:V,6,山，α,,α,,中a,,,x,，W,
y,,Wz,+α,β,m,
，，z，p。在给定初始条件下，求解方程组（14.46），就可以把这些参数求出。方程组（14.46)
对解各种问题都是适用的。对各种具体问题，可将其相应地简化。不言而喻，在这个方程组中，
已经把重力加速度的大小和方向视为不变，并忽略了柯里奥利加速度，也没有考虑地球表面的
曲率情况。对远程导弹，则必须计及这些，具体方法见方程组（8.60）的推导；有风条件下气动
力的精确表达式亦参见8.4.6节。
理想弹道方程组
14.7.2
对无控火箭弹道，第一章中作了六条基本假设，确定了理想弹道方程组（1.61）。这样就能
比较方便地研究火箭质心运动规律，进而作为研究绕心运动的基础。对有控弹道也有类似的研
究方法。在一定假设下，也可以单独研究导弹的质心运动。在第五、六两章中正是把导弹当作
个可操纵质点的运动学问题。首先假定控制系统能理想地工作；当导弹运动参数的实际值和理
想值有偏差时，也能够保证无延滞地消除这一偏差。这样,控制方程应遵循（14.45）式。第二，假
定作用在导弹上的力矩为零，即
M?
(14.47)
由于力矩是由空气动力矩和控制力矩组成的，这个假设意味着在这两种力矩作用下，导弹处于
平衡状态。由式（14.47）所确定的冲角、侧滑角和倾斜角，称为平衡角。导弹将以这样的平衡角
沿弹道运动，此运动称为平衡状态下的运动。显然，平衡角是不断变化的量，不过沿弹道变化比
较缓慢。另外，如前述控制弹道一样，仍忽略柯里奥利加速度的影响，并在标准气象条件下进行
弹道计算，于是得理想弹道方程组如下：
296

第四章
有控弹一一般运动方程组
dy
Fpcosαcosβ - Rx -- mgsing
Fp(sinαcos + cosαsinβsin,) + RycosY, - R,sinY, -- mgcosd
mv
Fp(sinasiny, - cosasinβcos,) + Rysin, + R,cosy
mvcoso
dx
wcosecosb
dt
dy
vsind
dt
dz
= - vcossindr
(14.48)
d m
dt
M,(v,y,β,ox) = 0
My(v,y,β,oy) = 0
M,(v,y,α,o,) = 0
10
El
12
E2
2=0
3㎡0
E3
EA
机动性与过载
14.8
通常把导弹的机动性，理解为迅速改变飞行速度的大小和方向的能力。显然，需要改变作
用于导弹上的力。并不是所有的力都可以人为地改变，比如重力就不能够改变。能够改变的力
叫可操纵力。这样，操纵力就只有推力和气动力，用N表示，即
N =·Fp+R
对各种飞行器，常引人所谓“过载”的概念。过载定义为可操纵力与飞行器重力G之比值，即
(14.49)
过载 n是矢量,与可操纵力方向一致,大小为重力的倍数。显然，n在弹道坐标系0－α2y2z2上
的投影为
297

火箭外弹道学
(Fpcosacosβ - Rx)
(14. 50)
为切向过载，nyz
式中，nx
为法向过载。
将式（14.48）前三个质心运动方程用式（14.50）的过载表示，得
1 du
-- sing
dt
(14.51)
.- cosO
dt
或改写成下列形式
1 d
+ sino
(14.52)
+ cos8
很明显，过载表征着改变飞行速度大小和方向的能力。
导弹按一定弹道飞行，沿给定弹道飞行所需的过载，称为需用过载，其值由式（14.52）确
定。当操纵机构偏转到最大值时，飞行器所能产生的最大过载叫做可用过载。为了保证导弹正
常飞行，其需用过载必须小于可用过载，而且还必须有一定裕量。由式（14.52）看出，法向过载
与法向加速度具有等价性。
298

第十五章
有控弹飞行稳定性和操纵性
15.1
在第十三章中讨论了无控火箭弹的运动稳定性，自由运动的动态稳定性和强迫运动特性，
以及涡轮式火箭弹的追随稳定性。对一般有控弹来讲，也存在动态稳定性，即自由扰动运动特
性。此外，还存在着强迫运动。由于有控弹靠自动控制系统操纵飞行，当操纵舵偏转某一角度
时，必将引起弹道参量一系列的变化，这个舵偏转角是一种特定的强迫性干扰作用，它引起的
运动也是强迫运动。这一运动的特性，即所谓有控弹的操纵性。从操纵性角度来看，弹体对舵偏
转的反应越快越好，以利迅速消除其他干扰所引起的弹道偏差。显然，有控弹的稳定性与操纵
性是有矛盾的，设计中必须兼顾协调解决。与无控弹相比，尽管所研究的都是强迫运动，但后者
是外界干扰因素引起的弹道偏差；而有控弹由控制力和力矩引起的强迫运动则是为了消除随
机弹道偏差。这是二者的本质区别。
研究有控弹实际飞行状态，就是要研究它相对于理想弹道的扰动运动。其研究方法有解析
法，数值积分法和小扰动法。鉴于有控弹运动方程组比较复杂，解析法难以解决般性问题，而
较少采用；数值积分法将借助电子计算机计算出不同条件下的结果，准确性很高，但其缺点是
不容易看出一般性规律；用小扰动法分析有控弹动力特性比较方便，是一种惯用的方法，其缺
点是精确度差些，但可与数值计算结合起来。本章先介绍传统的小扰动法，然后论述具有滚转
速率的轴对称有控火箭的飞行稳定性，以给出研究弹箭飞行稳定性的一种新的通用方
法[2,4,5]
扰动运动方程组
15.2
设在扰动因素作用下,有控弹的实际弹道参量为、、α、β、在同时间内的理想弹道
参量用
月i、ivαivβi:表示,则
299

火箭外弹道学
v = Vi + △y
= 6; + △0
(15.1)
α = αi α
式中，Av、△、△α、表示运动参量的偏差量。根据小扰动理论，只要扰动因素是微小的，那么
偏差量也是微小的量，并且是随时间变化的函数。若将式（15.1）代入方程组（14.46）中，可得到
扰动运动方程组。为了使问题不致过于复杂，暂且先只研究有控非滚转弹本身作为一个环节的
稳定性。因此在建立扰动运动方程时，对控制方程先不予考虑。
上述所得到的扰动运动方程组，只有用电子计算机才能算出各偏差量的变化规律。为了便
理想弹道参量为基准，展开成线性函数。利用泰勒级数展开式，仅取到其一阶导数项，就可得到
线性化方程。在进行线性化时，只考虑具有双通道控制系统的轴对称弹。这类弹在俯仰和偏航
运动方向上各有一个独立的控制通道，其俯仰和偏航运动及其控制过程可以认为是相互独立
的。与第七章的无控尾翼弹类似，对有控弹可分解为铅直面内的运动和垂直于铅直面内的运动
两部分。前者称为纵向运动，运动参数为、、α、9、Wα、；后者称为侧向运动，运动参数为
a山、、、yβ、z。一般侧向运动对纵向运动的影响可以忽略。在线性化过程中,可将某
些小量之积看成是二阶小量予以略去。同时只研究某些特性点附近一小段时间内的动态特性，
可不考虑弹体结构参量（如m、J、J、）和大气状态（如β、）的变化对未扰动运动的影响。
下面以方程（14.46)为例进行线性化。该方程为
dy
Fpcosαcosβ - Rx - mgsin = f(v,α,β,θ)
上式f中忽略了高度对R和Fp的影响。以“△”表示函数的增量,则
()
(af)
(m）
(15.2)
+
△u +
),β +
av)
(Fpcosαcosβ - Rx)～ Fp -- R
(15.3)
式中，Fp、R的上角注,表示对的偏导数,以下符号类同。
aRx
af
(Fpα + R)
(15.4)
= - Fpsinαcosβ -
aRr
af
- (Fpβ + R)
(15.5)
= - Fpcosαsinβ -
de
300

第十五章
有控弹飞行稳定性和操纵性
(15.6)
: - mgcos6
将式（15.3）～（15.6）代人式（15.2），并考虑到理想弹道侧向偏导数af/aβ很小，可不考
虑，于是得
(Fp - R)△v - (Fpα + Ra)△α -- (mgcoso)Ag
在这个方程中，为了简化书写,省略了诸偏差量前的系数下标"i"。
用类似方法,将式（14.46）其他方程亦可线性化，每一个方程线性化的具体步骤在此不作
述，仅写出最后结果
:(Fp- R)△u -(Fpα + R)Aα -(mgcos)△g
dt
(Fp α + Ry)△v + (Fp + R)△α + (mgsin)Ae + RA
dt
(- Fp+ R)β +(Fpα + Ry)△ + Roy
mvcos
dt
dawx,
MeAox + MyAdy
Meaβ + M
dt
Awy, + My,Ap + MyAoy
Me.Aβ + Mt
Jy+
Awx,+
(15.7)
MAα + Mdd,
M'Av + Mea + MAwz
dt
dt
VP
Ae = A - Aα
10
Ad = ya +
cOs0
=
α、y、z的偏差量不影响上列各方程，故没有必要写出它们的偏差量方程。式(15.7)
因为
是以理想弹道参数为系数的诸偏差量·△v、△、△α、的线性方程组。在稳定性研究中,通常取
弹道上不同部位进行分析，在该部位一段弹道上，当弹道参数的变化量在5%以内时，则可取
301

火箭外弹道学
弹道参数为常数，于是可在这段弹道上，将式（15.7）作为常系数线性方程组求解。
仔细看一下方程组（15.7），发现方程组中的诸方程式，可以根据其联解性分成两部分。其
中一部分是关于纵向运动的偏差量方程，另一部分是关于侧向运动的方程。纵向运动方程组为
avp
(Fp - R)△v - (Fpα + R)△α -- (mgcos)△
ovp
(Fp α + Ry)Au + (Fp + R)△α + (mgsino)△e + Ry△dz
mw
dt
(15.8)
MA + Ma + Mw
+ Mα +
dt
9 = △ - △α
侧向运动方程组为
(-- Fp+ R)△β +(Fpα + R)△, + Ray
mvcosa
dt
Me,Aβ + Ma4
MAwy!
Awx
Ix.
ddwy
+ Me,Ap + Myaoy
Me.Aβ + M
Awx
dt
(15.9)
dt
dt
Dd = Ada +
cos0
因此，对扰动运动，可将纵向扰动运动与侧向扰动运动分别进行研究。
纵向运动的动态稳定性
15.3
同第十三章研究无控火箭动态稳定性一样，首先研究有控弹自由运动的动态特性。为了书
写方便，不妨将方程组（15.8）的诸偏差量系数以下列符号记之
302

第十五章
有控弹飞行稳定性和操纵性
=
l2 = gcosf
(Fpα + Rα） =
Fpα +
=
-= op
-=In
a1:
(15.10)
a3
Fp +
20u2 SCg)
mw
gsind
04
上述各系数叫动力系数，都由理想弹道参数决定。
将式(15.8）的第三个方程中的△wz,
用d△/dt 代替（第四个方程），则得如下形式方程组
+ li△v + l2△9 + l3Aα
+ 2α + 3 = 0
αoAv +
+
dt
dt?
(15.11)
ovp
+ α"4 - a4△α - αs, = 0
α'4△ +
- - Aα = 0
为求得该方程组之齐次方程的特征根,需要建立其特征多项式。由稳定理论知道，只要保
证所有特征根具有负的实数部分，那么未扰动运动就是稳定的。对比较复杂的方程组，利用拉
普拉斯（Laplace）交换，可比较方便地求出特征多项式。
303

火箭外弹道学
回顾一下数学中关于拉普拉斯变换的定义。如果f(t）是一个时间变量 t的函数,它的定义
域是 t >O,那么f(t）的拉普拉斯变换 F（p）定义为
F(p)
(15.12)
exp(- pt)f(t)dt
式中，p是一个具有正实数部分的复变数，一般称 F(p）是f(t）的象函数。
如果 F（p）是已知的,那么拉普拉斯变换 F（p）的原函数（即原来的函数)f(t）可以由下面
反转公式计算出来
c+i0
exp(pt ) F(p)dp
f(t) =
(15.13)
2ij
c-ic
其中，c 是比所有 F（p）的奇点之实数部分都大的任意一个实数。f(t）称为 F（p）的象原函数。
同积分表一样,对 f（t）和 F（p）也可编成表，便于查用。兹引自高等数学用表中的部分拉普拉
斯变换表如表 15.1。
拉普拉斯变换法则公式（节录）
表 15.1
F(p)
f(t)
. exp(- pt)f(t)dt
f(t)
pF(p) - f(0)
f(t)
f(n-1)(0)1
fin)(t)
p"F(p) - [p"-1f(0) + pn-2f'(0) + ..: +
LF(p)
2p(2)f
F(p)
f(α)dadt
p2
J,fi(t - t)f2(t)dt = ff2
F(p)F2(p)
- F'(p)
f(t)
(d)(u)du(/ -)
tf(t)
F(p- α)
exp( at )f(t )
exp( at )
p-a
"(n = 1,2,3,...)
sin kt
p? + k2
cos kt
p? + 3
sh kt
p² - 2
ch kt
exp(- at)sin kt
(p + α)2 + k?
pta
exp( -- at )cos kt
(p + a)2 + k?
304

第十五章
有控弹飞行稳定性和操纵性
将△、△、△α、的拉普拉斯变换象函数以p）、9（p）、a(p）、·表示,则式（15.11）可
变为下式
) = △v(0)
[(p + l1)v(p) + 12(p) + l3α(p)
aov(p) + p(p + ai)9(p) +(a'ip + a2)α(p)
- a3(p) + A9(0) + (p + α1)△(0) + a'i△α(0)
(15. 14)
a'4v(p) + (p + a"4)0(p) - a4α(p)
) = asdz(p) + △(0)
((p) - 8(p) - a(p) = 0
式中,(0)、△9(0)、△α(0)△0(0)是△、△、△α△的初始值。方程组（15.11)是以t为自变
量的微分方程组,方程组（15.14）则是以p为自变量的代数方程组。方程组的行列式为
12
13
p+l1
p(p+ αi)
a2 + a'1p
ao
(15.15)
M(p) =
p + a"4
a'4
α4
-1
-1
展开后，得特征多项式
= - p4 -- P3p3 - P2p² - Pip - Po
(15. 16)
M(p)
式中
P3
= a1 + a4 + a'1 + li + a"4
P2 = (li + ai)(a4 + a"4) + α2 + ail + a'i(li + a"4) + a'4(l3 - l2)
aili(a4 + a4') + a4[ai(l3 -- l2) - a4l2l + a2(li +
P1
(15. 17)
a') + aa4'l - aol3
Po = a"4(a2l1 - aol3) - l2(aoa4 + a2a'4)
令特征多项式为零，则得特征方程式为
+ P3p3 + P2p? + Pip + Po = 0
(15.18)
根据古尔维茨判据，为使上述四阶代数方程的根具有负实根的充要条件是
Po > 0
P1>0
P2 > 0
P3 > 0
(15.19)
P3
P1
P2
Po
>0
P3
P1
这就是判断弹体自由运动动态稳定性的必要而充分的条件。有时为了进一步考察自由运动的
305

火箭外弹道学
具体过程,需要将方程（15.18）的特征根具体求出。当然，对此-般性的四阶代数方程进行精确
求解是比较困难的。然而，针对型号的具体情况，各动力系数的大小差别很大，Po、P1、P2、P3
之值的差别也很大，例如某飞行器在高空以250m/s的速度水平飞行，动力系数为下列值（单位
省略）。
2.98
a1 = 0.49
a4 = 0.577
ao = 0
a2 2
l1 = 0.013 4
a'1 = 0.22
a'4 = - 0.000 7
a"4 = 0,
l2 = 9.80
l3 = 9.35
将这些值代人式（15.17）算得
P3 = 1.300
P2 = 3.280
Po = 0.020 4
P1 = 0.045 4
考虑到
PoP3
Po
P2
P2
PoP3
P1P3
PoP3
+ Pip + Po
P2
P2
P2
P2
根据上面 Po、P1、P2、P3 的典型值,（Pi/P2 PoP3/P2）只是 P3的0.9%，（Po/ P2 + PrP3/ P2 -
PoP3/P2）只是P2的0.6%，故可略去，因此式（15.18）可用近似式
Po
PoP3
(p2 + P3p + P2)[ p
P2
P2
P2
替代。于是将解四次方程问题，变成了下列两个二次方程求解的问题
(15. 20)
+ P3p + P2 = 0
PoP3
(15.21)
P2P
P1 -
p+Po =0
P2
依据系数间的数量关系,对 P²和 P3可近似取为下式
(15.22)
P3 α1 + aα4 + a'1
对上述典型数值而言,由方程式(15.20)
p² + 1.300p + 3.280 = 0
解得
P1,2 = -- 0.650 ± 1.690i
由方程式（15.21）
3.280p² + 0.037 3p + 0.020 4 = 0
解得
p3,4 = -- 0. 005 7 ± 0. 078 6i
特征根的虚部体现着周期解的角频率。角频率越大，则周期越短，反之亦然。可见，方程
306

第十五章
有控弹飞行稳定性和操纵性
（15.20）的特征根对应着自由运动的短周期运动；方程（15.21）的特征根对应着自由运动的长
周期运动。当扰动一旦作用于有控弹，短周期运动将起主要作用。因此一般主要考虑短周期运
动。将（15.22）、（15.20）及（15.10）诸式联系起来看，便发现有控弹的自由运动与第七章的无控
火箭摆动运动本质上一样。因此，关于无控火箭动态稳定性的分析，可以适用于有控弹自由运
动。尤其对某类单通道有控弹,其自转角速度是不低的，务必考虑其陀螺效应和马格努斯力矩
的影响,对其自由运动动态稳定性的分析，亦可采取第十三章13.3、13.4的方法。但目前飞行
力学中对动稳定性的分析，总以时间为自变量建立扰动方程处理问题。这是因为有控弹自身
的运动，与控制系统的工作过程紧密地联系在一起；而控制系统工作过程的数学描述，都是以
t为自变量，它们需要一致起来。
在这里，应该更进一步明确有控弹的自由运动，是指有控弹体的自由运动，没有顾及控制
系统的作用。这样的自由运动，与无控火箭的自由运动是一样的。
有控弹的操纵性
15.4
在15.3中已考察了方程组（15.11）之通解的性质，建立了保证动态稳定的条件（15.19)。下
面将研究其受迫运动，也就是方程组（15.11）之特解的性质。可以仍然不考虑控制系统的工作
过程，仅考虑弹体本身特定的受迫运动。这个受迫运动具体体现为：当舵面偏转一个角度z
时,有控弹各运动参数（α、、）将引起怎样的变化。舵面转动后，弹体改变飞行状态的能力，
以及快慢速度，就是通常所说的操纵性。
有控弹体的运动过程，仅是把弹体（包括弹上控制系统部件）作为一一个总的自动控制系统
中的个环节。为了对总的复杂运动过程便于分析,无论哪一个环节,都采用传递函数这一数
学工具。
传递函数是利用拉普拉斯变换求解常微分方程的主要手段之一。如果常系数线性微分方
Kl-up + ()(u)
(15.23)
描述某一运动过程,这一运动机构被称为一个系统；函数 α（t）称为输入变量，函数 y（t）称为
输出变量。为了得到输出与输人之间的关系，需要在零初始条件下，对方程（15.23）进行拉普拉
斯变换，得
M(p)Y(p) = N(p)X(p)
(15. 24)
M(p) = (
m- 1
on +
+ am-1p
(15.25)
式中
LN(p) = bnp"
+ bn-ip"
且n≤mo
于是
307

火箭外弹道学
N(p)
X(p)
Y(p)
(15.26)
M(p)
定义
N(p)
W(p)
(15.27)
M(p)
W（p）叫做系统的传递函数。那么
Y(p) = W(p)X(p)
(15.28)
可以把这个方程看作是一个算子方程：X(p）受到运算子 W(p）的作用之后,就变成了 Y(p);
就是说，W(p）把X(p）变成了 Y(p)。Wp）体现了-种转换关系。α（t）及其拉普拉斯变换
X（p）都称为系统的输人；（t）及其拉普拉斯变换 Y(p）都称为系统的输出。此处的输出是指
零初始条件下的输出。在工程中,经常将这种输人与输出的关系用一方块图表示,如图15.1。
当系统在常数输人情况下,输出的稳态值与
输人的比值，称为系统的放大系数或增益。放大系
X(p)
Y(p)
w(p)
x(t)
y(r)
数K为
K = W(0)
(15.29)
当给予输人以周期函数时，例如
传递函数方块图
图 15.1
x(t) = Afcoswt
则输出变量是具有同样的角频率的周期函数，但位相越前（），幅值是 A的 A（α）倍。
A(w）和Φ(w）满足下式
W(iw) = A(w)exp[ip(w))
(15.30)
式中，W(i）为 p= iα 时的传递函数,称为系统的频率特性。称 A（）为幅频特性，（）为相
频特性。频率特性也是传递函数 W（p）的一种表示方法。下面利用以上的数学工具研究导弹的
强迫运动。
现在,建立短周期运动的传递函数。此间，近似取△=0,因而式（15.14）的第一个方程可
去掉,其余方程中的 (p）项也去掉;另外将影响很小的系数α'和a4 所在的项略去，仅考虑零
初始条件，于是方程组（15.14）变为下型
(p(p + a1)9(p) + a2α(p)
=- a3d(p)
p(p) - a4α(p)
(15.31)
= asd,(p)
9(p) - 8(p) - α(p) = 0
对此代数方程组，可利用克莱姆定理求解
9(p)
(15. 32)
(p)
α(p)
308

第十五章
有控弹飞行稳定性和操纵性
式中,为主行列式，。、△、。为子行列式,各表示为
p(p + ai)
=- p[p² + (α1 + a4)p +(a2 + a1α4)]
(15.33)
04
-1
-- a3d,(p)
= [a3p + (a3a4 -- a2as)]8,(p)
asd,(p)
(15.34)
- α4
- 1
p(p+ ai)
- a3d,(p)
a2
= - [asp? + aiasp + (a2as - a3a4)]o,(p)
asd,(p)
(15.35)
p(p+ ar)
- a3d,(p)
p[asp + (a3 + a1as)Jo,(p)
(15. 36)
asd,(p)
1
于是便得各传递函数为
9(p)
- a3p + (a2as - a3a4)
W's.
(15.37)
p[p? + (ai + a4)p + (a2 + aia4))
8(p)
asp? + aiasp + (a2as - a3a4)
(p)
(15.38)
plp? + (al + a4)p + (a2 + a1a4))
(p)
α(p)
- asp - (a3 + aias)
(15. 39)
8(p)
p? + (a1 + a4)p + (a2 + aia4)
从以上传递函数的表达式来看，它们都有相应于振荡环节传递函数的因子，即
W(p)
(15. 40)
Tp? + 2T.$p + 1
+ (a + a4)p + (a2 + aias)
式中
(15.41)
(al + a4)T。
T。是时间常数，S是弹体的相对阻尼系数。
由式（15.40）的频率特性
W(iw)
1 - T? + i2Tsu
知其幅频特性为
A(w)
(15.42)
V(1,- Tw2)2 + (2TSw)2
309

火箭外弹道学
将上式与式（13.48）对比便知，对有控弹而言，同样存在共振效应。若令
(15.43)
Wa
T.
Wa是导弹的固有频率,则当
/1 232
(15.44)
Wa
时，将发生共振现象。特别是阻尼系数很小的有控弹，当外界干扰或舵面偏转频率接近固有
频率时,共振将表现得非常强烈。
为了描述强迫运动的性质，如同对其他任何自动调整系统一样，通常给予系统以单位阶跃
函数
[f(t) = 0,
0>1
f(t) = 1,
t≥0
作为输人，其输出被称为过渡函数，以此过渡函数的性质作为系统的品质指标。将此过渡函数
一般用 h（t）表示。
因单位阶跃函数的拉普拉斯变换为 1/p，则过渡函数的拉普拉斯变换为（1/p）W(p）经拉
普拉斯反变换，便可得到 h（t）。--般用频率特性来表示 h（t）,其表达式为
P(w)
2 sinwt d
h(t)
(15.45)
主 W(i）的实部。该式的推导过程，可在某些有关自动调整原理的书中
式中,P(w）是频率特性
找到。根据式（15.45）具体求出h（t），往往计算比较麻烦。对有控弹过渡函数往往不用式（15.
45），而直接求解微分方程的特解,现简介如下。以求△α（t）为例,由式(15.39)近似取αs～0的
情形，则
[p² + (ai + a4)p + (a2 + aia4)]α(p)
= - α3d,(p)
利用式（15.41）的符号，并将上式逆变换得（取，=.1)
dα(t)
dAα(t)
2T$
(15.46)
) - α3T
Aα(t)
dt
dt?
在零初始条件下，对此方程易于求解，具体过程这里不作书写，仅写出最后结果。
当<1时
(15.47)
Aα(t) = h(t)
V1-52
式中，
E1 = arcsin V1 - $2
lexp(-)
shl V
+ chl
(15.48)
310

有控弹飞行稳定性和操纵性
第十五章
图 15.2 中给出了 h(t)/(a3 T）－ t/ T。曲线。
h(t)
1.5
1.0F-
±=0.2
0.5 b
=1.5
1IT
10
- h(t)/(aT) t/T。曲线
图 15.2
从图中可见,过渡过程随相对阻尼系数不同而异。当≥1时,过渡过程呈非振荡形式；
当 <1时,则呈振荡形式。对多数战术导弹而言，一般其ε都比1小得多,故过渡过程是振荡
形式的。常以某些品质指标作为对过渡过程的评价：
h(α)—一 h(t）的稳态值,即当 t/T→ αo 时的 h(t）值;
一一调整时间(过渡过程时间）,为输出变量与其稳态值之差不超过某一约定的小量（一
般为稳态值的5%）所经过的时间；
一过渡过程中 h（t）偏离稳态值的最大偏差，叫最大偏离;
Ah.
max
α——超调度,为[△hmx/h()］× 100%。
还有其他一些指标，依具体需要而定。
考察式（15.47）可以知道，当～0.7时，过渡过程时间最短。而且超调度 α也不大（～
4%），在过渡过程时间内的振荡次数也很少。但-一般导弹的只有0.1的量级，且随飞行高度的
增加而减小。为了加大三值，以改善过渡过程品质，多数导弹借助自动驾驶仪的作用来弥补弹
体阻尼的不足。
以上是关于有控弹在铅直面内的动态特性的简单介绍。对侧向运动的动态特性的分析方
法是类似的，这里不再介绍了。
有控滚转火箭的飞行稳定性
15.5
无论有控滚转火箭或是滚转导弹一般为轴对称体，研究其飞行稳定性亦需建立角运动方
程；考虑到其纵向与侧向运动的对称性，采用第八章的坐标系所得出的方程式形式比较简洁，
下面按无控轴对称火箭处理问题的方法对滚转有控弹的稳定性做分析论述。实际上，目前远程
311

火箭外弹道学
无控火箭大多数都采用了部分弹道段的制导措施，有控与无控在弹道性能研究工作中，寻求统
一的方法不仅是必要的，而且是可能的。
运动方程
15.5.1
为了对包括控制系统在内的有控弹全系统的动态性能进行分析，需建立弹体及控制系统
的传递函数。由于后者一般以时间t为自变量建立动态模型，因而对弹体亦采用为自变量的
运动方程。为使质心动力学方程由攻角加以描述，对质心运动方程在弹轴系内建立。而且还因
为根据经验，在弹轴系内建立弹箭角运动方程是比较方便的，所得到的方程形式简洁，便于计
算分析有关的弹道性能。弹轴系的转动角速度の。列阵［のa］由式(8.43）表示，由该式看出，当
近似略去较小的滚转分量时，则弹轴系可视为非滚转坐标系，且
(15.49)
- 92
Pa cos P2-
弹箭质心的动力学方程为
+a×v
或写成标量形式
dve
+ wry - wgn
dt
(15.50)
+ wrve
dt
dvr
WrWe
dt
围绕质心的转动方程由式（8.57）可得
M.
dwe
dt
tmp
(15.51)
Wwr
M?
dwr
1 -
(βDewe)
研究扰动运动，特别是弹箭飞行稳定性问题，最关心的是攻角变化规律。图15.3描述了攻角的
几何关系。速度矢量在弹轴系中的三分量与攻角二分量有关，即
vcOsd1cOsd2
(15.52)
- vsind
= -- vcosdisind2
312

第十五章
有控弹飞行稳定性和操纵性
定义复数
（一）+（-号）
sind1 + icosdisind2
(15.53)
称为广义复攻角。当和2较小时,则
@～ 1 +id2 =
02
可见复攻角是的特殊情况。由图15.3知，
I①丨= sinä,ä是总攻角。
81
实轴事
若从图15.3的速度矢量v上取距原点
0为单位长度上的一点T,过 T作平行于om
轴的直线为实轴,其正向与on一致;再作平
虚轴
行于轴的直线为虚轴,其正向与
致,则构成一平面。弹轴与该平面的交点为
图 15.3
攻角的儿何描述
B,矢量 T的大小和方向,即是的大小
和方向。于是由式（15.50）二、三两式及式（15.53）可得导弹质心横向运动复数式
Fi+F
ca
@ + inwa
(15.54)
一法向控制力,若它在弹体系内的复数式为 Fcb,则 Fcc
式中
Fcexp(iy) ;
ca
ca
其他外力的法向分量（复数式）。
同样由式（15.51）二、三两式得
M+Mp+M
ca
(15.55)
Wa
Wa- i
弹轴复摆动角速度，a
式中
+ iwr;
Wa
Mca—控制力矩(复数式),Mc。= ilcFca，lc 是控制力作用点(在质心前为正,之后为
负）至质心距离；
(r)] ;
(BDfve) + i
MD
M其他外力矩(复数式)。
气动力的复数表达式
15.5.2
在弹轴系内气动力复数式，可由第八章的气动力矢量式的二、三分量构成复数，并以①和
表示,可得(详细推导可见文献[5］第四章附录)
C',8/sind
mbyw?@cosd, by
(15. 56)
升力
Ry-
2m
oSd
C"mo/sind
(15.57)
马格努斯力
= - mbzmw(i@)，
2m
313

火箭外弹道学
M， = Ak?(i@)，kz =
静力矩
(15.58)
m'd/sind
2A
OS12
Mzd = -- Akzdvwa -
赤道阻尼力矩
(15. 59)
2A
WE
My = Aky?@, ky
马格努斯力矩
(15.60)
m"d/sind,
2A
有些文献还计及非定常阻尼力矩，本书拟隐含其作用于赤道阻尼力矩之中。此外，垂直于弹轴
的法向力还需计及空气阻力的法向分量，易知法向力为
Rn = RyI + R@
mbnu?@, bv = nby + b,
Rn = n
(15.61)
os
(15.62)
n = coso
2m
弹体传递函数
15.5.3
将诸力及力矩式（15.56）～（15.62）代入式（15.54）、（15.55），则得
ca
@ +(bm +
- ibmwg)@ + in wa
(15.63)
Mea + MD
bdv -- i*
Wa -(ky +i kz)v?@
(15.64)
Wa +
式（15.63）、（15.64）是变系数常微分方程，求其瞬态传递函数时，只好利用系数冻结法进
行拉普拉斯变换，以求出控制力 Fc（输人）对广义复攻角③与弹轴摆动角速度。的传递函
数。经运算整理得
+A
+i
nm
(15.65)
2+(H, -iP,)p - (M, +iP,T,)
式中
bN + kzd +
H, -
(15.66)
3m( urq
Pt =
(15.67)
M,=[kz -
+ Nq
(15.68)
bzm Jv2
Tt =
(15.69)
nbzmkzd Ju
bn.+
bmr) 10
+ik
,2
+dl
(15.70)
+(Ht - iP,)p -(M, + iP,T)
314

第十五章
有控弹飞行稳定性和操纵性
又因为弹轴对理想弹道的摆动角速度Φ与。存在下列关系：
Wa = i(a +iΦ2) i(Φ + i)
(15.71)
敌而得到传递函数关系
= - iWF
(15.72)
从而知
Fca对摆动角Φ 的传递函数为
号)+(盐
+ Nq
+dy
(15.73)
pEp² + (H, - iP,)p - (M, + iPT))
在小攻角飞行条件下,控制力Fc对复偏角亚的传递函数为
(15.74)
式中
应该指出，弹体运动的传递函数还不仅以上几种，比如自动导引或遥控飞行的运动学亦可
建立传递函数。其方法仍是根据运动学方程，对运动学参数偏量建立扰动运动方程，从而由拉
普拉斯变换求得。
有控弹道系统稳定性分析
15.6
弹体飞行动稳定条件
15.6.1
r² +(Ht - iP)r --(Mt + iP,T,) 0
(15.75)
这与规范化的扰动方程式（13.8）的特征方程形式是一样的，只是系数的具体表达式有所不
同；不同的原因是扰动方程自变量有别。由式（15.75）仍可近似地导出形式上如式（13.31）的动
稳定条件，但其动稳定因子的具体表达式将与式（13.36)稍有差别。这是由于式（15.75）系数的
时变性,采用系数冻结法求解方程的根必然带来一定的误差。
全系统稳定性分析
15.6.2
全系统包括控制系统和作为受控对象的弹体。在有控飞行中，可以区分为两种飞行状态，
即稳定系统作用下的自动稳定飞行和制导系统作用下的导引飞行。稳定系统典型的简略方块
图如图15.4所示。图中Wm是弹体传递函数，W。是控制系统传递函数。而制导系统则由导引装
置和姿态稳定系统组成，前者又有主动式和被动式等多种形式，它同时接收运动目标和弹体自
身的运动参数信息。
图15.4所示系统的开路传递函数为
315

火箭外弹道学
W(p) = W.(p) · Wm(p)
(15.76)
运动参数
WM
W.
而闭路传递函数为
W(p)
(15.77)
W,(p)
1 + w(p)
全弹稳定系统
图 15.4
一般传递函数为 p 的多项式分式，判断系统
稳定性就是判定分母多项式的零点是否均位于实部为负的半个复平面内，即在本书采用的复
平面的下半部。这个问题已由路斯－胡尔维茨（Routh-Hurwitz）解决，但对高阶系统，此法应用
起来不够方便。下面介绍两种稳定性准则
1.米哈依诺夫准则
M(p)
(15.78)
W(p)
D(p)
置p = iα,w
是频率，且
(15.79)
D(iw) = Dr(w) + iDi(w)
当 Dr（）为偶函数，Di（）为奇函数时,曲线 D(iw）对称实轴。米哈依诺夫稳定性准则表述如
下：一个控制系统稳定的充要条件,是其特性曲线 D(i）当由零变化到 + 时,它从正实轴
上一点开始,连续绕过n个象限(不管曲线形状和位置如何）,此 n为多项式D(p）的最高阶次。
2.乃奎斯特（Nyquist）准则
乃氏准则是借助开路系统的频率特性来判断闭路系统稳定性的方法。鉴于开路系统频率
特性较易于由实验得到，因此该法实用意义甚大。
设式（15.77）分子分母为多项式，且
M(p)
M(p)
(15.80)
W,(p) =
D(p) + M(p)
D(p)
于是有
D,(iw)
(15.81)
1 + W(iw)
D(iw)
该式等号右边D（iw)/D(iw）之幅角为 D,（i）与 D(iw）幅角的差值,当 M（p）的阶次不大于
D(p）阶次时,若开路及闭路系统均稳定,那么当由零增加到 + α 时,曲线[1＋ W(iα)]之幅
角便由零增加到一定值而又再回到零。或者说，一个开路系统稳定的控制系统，本身稳定的充
要条件是开路系统的频率特性曲线 W(iw）不把点（－1,i0)包含在内,如图15.5所示。（－1,i0)
被称为临界点。
当开路系统含有不稳定环节时，比如 D(i）中含有 m个特征根处于复平面上半平面内
（注意本书复平面的实轴与虚轴的方向），且
D(iw) = dm(iw) · dn-m(iw)
316

第十五章
有控弹飞行稳定性和操纵性
若系统稳定,D（iw）当由 O→+ α 时,幅角由 0)
而 D(iw）特征根位于下半平面的
dn-m(i）的幅角由0→（n - m)π/2,dm(iα）幅角由0→- mπ/2,于是[1 + W(iw)］幅角当 w
由0-→ α 时,其值由 0变为 nπ/2 - ［- mπ/2 +（n - m)π/2]
m元。由此可见,具有 m个正实
根的不稳定开路系统,若在闭路状态下稳定，其充要条件是开路频率特性曲线 W(i）沿幅角
增加的方向绕点（－1，i0)转动
mπ。例如图 15.6所示的 W(i）曲线，当 m = 2时,闭路系统是
稳定的。
Ret
ReI
w-0
0=m
W(iw)
W(iw)
= 00
Im
w- 00
01
Im
(-1,10)
(-1,10)
乃氏曲线示意图
图 15.5
开路系统含有不稳定环
图 15. 6
节的乃氏曲线示意图
以上结论是对式（15.79）的实部为偶函数、虚部为奇函数的条件下得出的，就一般情况而
= 0而终止于 =＋，这样在判别稳定性时,则以
言,需要令从
=－ 8开始，经过
W(iw）曲线沿幅角增加的方向对点（一1,i0）包围的次数为据。归结起来，应用乃氏稳定性判据
检查线性控制系统稳定性时，可能发生三种情况：
（1）不包围点（一1,i0)。若W(p）在上半复平面上没有极点,则说明系统是稳定的,否则是
不稳定的。
(2）按幅角增加方向（本书为顺时针）包围点（－1,i0)。包围次数等于W（p）在上半复平面
上的极点数，则系统是稳定的，否则是不稳定的。
(3）反时针包围点（－1,i0），系统是不稳定的。
317

第十六章　父
外弹道优化理论
16.1
寻求最有利的运动条件，是外弹道学最重要的任务之一。在研究火箭质心运动的几章里，
已经讲过当椭圆弹道起点速度A给定时，只要按式（4.25）确定射角，射程就可达到极大值。就
CK、Uk、k、yk 决定。而影响 ck 的有弹形、弹径及与弹径有
火箭被动段而言，被动段水平距离由
关的弹重;影响 Vk的因素主要是火箭装药量的相对值μk及比冲量I1等。因而存在一个问题,即
在给定最大射程条件下,如何确定-一组最有利的参数值，也就是寻求最优的弹道设计。在导弹
运动学分析中，拿比例导引来说，比例系数如何选取，也是最优化问题。研究火箭和导弹的扰动
运动，寻求飞行稳定的条件，尤其对无控火箭弹的散布问题进行分析，寻求满足散布最小的有
关参量，也是最优化问题。
在火箭设计中，为了满足战术技术指标的要求，常给予各有关参数以一一定的范围，然后综
合确定较合理的设计方案。为了得到某一指标（如射程、密集度等）的极大值或极小值，可以借
助高效率的数字计算机，采用数学中的最优化方法（如数学规划）求出最优解。
在飞行力学中，随着快速电子计算机的发展，最优过程理论目前也已被广泛应用，诸如最
优弹道设计、最优轨道转换、更优拦截方案、最优控制系统设计等各个方面。最优过程理论为求
解非常广泛的一类最优设计和控制问题,提供了-种统一的方法。这些方法主要有变分法、庞
JI.C.）的最小值原理（或称最小原则）和贝尔曼（Bellman R.）的动态规
特里亚金（IIoHTprHH
划。变分法是微积分学的分支之一，它所研究的对象，远比初等的极值问题广泛得多；它所研究
的未知数不是一些间断的点，而是无穷点集的序列或集合，根据问题的不同性质，它们将是曲
线、曲面或超越曲面。
利用最小值原理对柯西型的外弹道学方程组求解极值函数比较方便，尤其对含有不等式
约束的问题是一种极好的方法。
动态规划是解多级决策问题的一般方法，若某一控制仅完全由所研究瞬时系统的状态确
定，而与该瞬时之前的运动状态无关,采用动态规划方法是比较适合的。
本章将以变分法和最小值原理为基础，举例说明它们在外弹道学中的应用。
变分法简介
16.2
变分计算就是求某种特殊形式的定积分极值（最大值和最小值）的问题，它推广了微分计
318

第十六章
外弹道优化理论
算中求极值的方法。先考虑一个简单情况，如有积分
f(t、x,i)dt
(16. 1)
其中,被积函数含有自变量t、函数α及其导数。若α α（t)的函数关系事先并未确定，显然，
若给予不同的函数α（t）代人积分,则得到的J值是不同的。每一新的函数
α = α（t),都对应着
J一个确定值。可以说，J是函数的函数,称J为泛函。
如果在通过两点（to，αo）和（tf，αf）的所有 = α
α（t）曲线中，能找到一条曲线,其方程为
x=x（t）,将它代人到式(16.1）中得到J的极值，则该曲线被称为极值曲线。为了求得极值曲
线,可以做如下考虑,取-～条与 = α（t）充分接近的曲线
x(t,a)
(16.2)
Q +
x= α(t）－(t),当t = to及 t = ty时,α= O;α 是与t无关的参数。
式中,8x
因此,这一函数式仅取决于 α,那么积分J的值也由α决定。就是说,泛函J变成了α 的函
x（t）的极值条件，即积分J的极值条件为
数。那么借助微分求极值的办法，可以写出
(16.3)
与普通微分相对应,特将（t）的增量α = α（）－（t）,叫做 α（t）的变分，由α引起的泛函
J的改变量叫做泛函的变分，以J记之。显然，式（16.3）等价于如下定理：如果具有变分的泛
α = （t）上达到极值,则在
α = α(t)上有
函J[α（t）」在曲线
J=0
将式（16.2）代人式（16.1）,得
flt,x(t,a),x(t,a)dt
J(a)
于是
af ax
laf ax
dt
xe
pe
ax aa
ax
[x(t) + aox] = 8x
[(t)+a］ = x
aa
fox] dt
Taf
ax
分部积分得
af
Je l
ax
等式右边第-部分为零;为使aJ/aα = 0,则必须
319

火箭外弹道学
af-
(16.4)
ax
这就是极值函数的欧拉－拉格郎日（Euler-Lagrange）方程。其积分中的两个待定常数由边界条
件确定，即
x(to)
) = α0,x(tf)
如果仅给出 to时的边界条件α（to）= αo，对 tp时边界条件未给定,也就是说，点（t，α）是
可动点，那么可经变分运算，得极值函数满足的条件为
af
(器
当t= t时,
(16.5)
af
af
f-x
(x(to)
= 0
二个条件为
[f+(-x)
(16.6)
它建立了边界点处和二斜率之间的依从关系，把这
个关系叫做贯截条件。显然，若（t，αo）是动点，亦有类
似式（16.6）的贯截条件。
如果极值函数曲线是有转折点的（图16.1中的 C1
点），则该转折点称为角点。根据变分运算，在角点处应
Cr(tI,x)
满足下列条件
(16.7)
af
af1
If -x
f-x
角点
图 16. 1
现在将上面的简单情况推广到具有一般性的问题。考虑-类函数
(k = 1,2,..,n)
(t)
写成状态变量形式，即为
xn JT E Xn
(16.8)
x[x1
x被称为n度空间X的状态变量，它满足如下运动方程（约束方程）
F(t,x,x) = 0
(j = 1,2,,m < n)
(16.9)
式中,x是x对自变量t的导数，即
320

第十六章
外弹道优化理论
dx
[x
IT
(16. 10)
x=
X2
假定函数x满足边界条件
w,(to,x(to),tf,x(ty)) = 0
(r = 1,2,..,0)
(16.11)
等求使泛函
'f(t,x,x)dt
J = G(to,xo,tf,xf) -
(16. 12)
取极小值的极值函数。
引人拉格朗日乘子=［入1入2
入m］T,且构成所谓“增广函数”如下式
F-f+
(16.13)
则极值函数不仅必须满足方程组（16.9），而且必须满足欧拉拉格朗日方程组
(%)
aF
(k = 1,2,..,n)
(16.14)
X1
，，αn，及㎡个拉格朗日乘子。一般说来，只有在特殊情况下才可能得到解析解，多数问题
X2
须用近似积分法求解，或用电子计算机计算。
对欧拉拉格朗日方程可写成
aF.
对于不显含自变量t的增广函数而言，可得到初积分
aF:
(16.15)
=C
xe
k二 1
式中,C是积分常数。
对边界条件,除了方程(16.11)的β个条件外,其余则由“贯截条件”给出。贯截条件将是式
(16.5)②的推广，即
aF
F-
dxk
dG
+ ip
(16. 16)
xe
k- 1
当增广函数不显含自变量 t时,将式(16.15）代人，得
aF
dxk
(16. 17)
+ -p
k= 1
有许多变分问题将出现不连续解，即有个或更多个导数在有限个点上出现跳跃，这
些点被叫做角点。变分问题的全部解称为极值弧，每一分段称为子弧。角点的数学判据为式
（16.7）之推广，即
321

火箭外弹道学
(k = 1,2,..,n)
(16.18)
aF.
aF.
F-
F-
h= 1
k= 1
式中，正负号表示紧邻角点前、后的条件。对增广函数不显含自变量t的特殊情况，由式
(16.15）代人式(16.18)之第二式,有
(C)_=(C)+
(16.19)
此式表明，对构成极值弧的所有子弧而言，积分常数具有相同的数值。
还存在一个问题，就是当确定了极值弧以后，到底J是极大值还是极小值？解决这个问题
是复杂的。在多数情况下，可借助勒让德克莱布奇（Legendre-Clebsch）条件作为判据，即当
(16.20)
=1 j=l
时，对所研究的问题得出相对极小值。而且对不含导数的任何变分问题，可用函数本身的变分
代替导数的变分。
变分法的应用举例
16.3
弹道中的最优化问题是各种各样的，而且对每一具体问题都将涉及到较复杂的运算过程。
这里不能详细地论及各个问题的细节，而是通过例子引导读者如何在外弹道领域中应用变分
理论。
首先考察一个简单的情况，假定火箭垂直向上飞行，而且不计空气阻力。试求使飞行高度
达极大值的最优推力程序①（即发动机的推力的变化规律）。运动方程（16.9）将具有下列形式
(16.21)
F3=m+q=0
uef及重力加速度g是常量，质量流量g满足下面不等式约束
假定有效排气速度
(16.22)
xubb0
此式等价于下式
(16.23)
F4 = q(qmax - q) - α
式中α为实变数。此式把双边不等式约束化为等式约束，以适用于变分运算所需要的方程形
参见MieleA.的著作《飞行力学中的变分法》。载于《飞行力学论文集》，中国科学技术情报研究所重庆分所，1964
322

第十六章
外弹道优化理论
式。所要求的函数有五个：y、、㎡、q、α,方程只有四个,因而具有一个自由度,所以可以引进推
力程序g（t）的某一最优要求。其边界条件是
t = to = 0时,
Vo,m - mo
y = yo,v =
(16.24)
t时,
mf
Uf, m
问题是在满足方程（16.21）、（16.23）及边界条件（16.24）的条件下，寻求一组函数y（t）、（t）、
m(t)、q(t)、a(t),使差值 △G = Gf - Go(此处 G =～ y)取极小值。
依式（16.13）作增广函数
+ ^3(m + q) + ^4[q(qmax - q) - α²]
(16.25)
m.
代入欧拉一拉格朗日方程组（16.14）得
1 0
2 = 1
入3 = 入2ueff
(16. 26)
K = ^4(qmax - 2q)
4a = 0
式中定义
eff
K = ^2
入3
(16.27)
可见入,是常数。由于增广函数不显含时间t,故可由式（16.15）得初积分
1 - ^2g + Kq = C
(16.28)
式中,C为常数。
再由式（16.17）写出贯截条件
[- Cdt + (a1 - 1)dy + ^2du + ^3d m]
(16.29)
由于在f 处 dt 和dy的任意性,便知
及入1 1
0=0
(16. 30)
有了以上一些方程，再加之角点条件,完全可以把极值函数求出来。
对式（16.27）求导,得
2 u eff9
K = ^2
- 入3
将式（16.26）中的入2和入3代人，再将式（16.30）代人，得
323

火箭外弹道学
(16.31)
此关系式沿极值弧处处成立。
另由式（16.26)之式知
α=0或4=0
(16.32)
(1)a = 0
根据式（16.23），此必使质量流量取常数
或q=9
(16.33)
9=0
A max
(2)入4 = 0
由式(16.26)的④式知,必有
K=0及K=0
(16.34)
因为此结果是与式(16.31）相矛盾的,故不存在入4=0的子孤，即没有以变推力飞行的子孤。于
是，全部极值孤中仅含有两类子弧：以惯性飞行的子弧和以发动机最大输出功率飞行的子孤。
因此，子孤之间的点即角点处的质量流量是不连续的。而据式（16.19）这个角点条件来看，各子
弧的积分常数具有同一数值C,那么在角点处乘子入1，入2，^3均是连续的。从式（16.28）看出，9
之不连续点只有产生在(K)_=（K)= O处。
那么子孤的顺序是怎样的？即惯性飞行子孤和以最大推力飞行子弧的前后次序如何确定？
此问题可由勒让德－克莱布奇条件解决，当取极小值时
0≤ z(*x)
由式(16.25)
2 F
= - 2入4
= - 24
(8x)2
2 = - 2^4[(8a)2 + (8g)2]
将式(16.26)④代人，得
2K
-[(8a)2 + (8q)2} ≥ 0
(16.35)
bb
max
K≥0时
q=
qmax
(16.36)
LK≤O时
9-0
因此，K相当于一个开关，它被称为转换函数（switching function）。积分式（16.31）,可得K函数，
积分的边界条件为（K)_=（K)+= O。
324

第十六章
外弹道优化理论
dm
4 max
dt
则由式（16.31)
dm
Ueff
Ueff
dK--
A max
积分得
K=
(16.37)
A max
式中,mc.
是角点处的火箭质量。
(2)当9 = 0时
Ueff
K=-
Weff
(16.38)
相应的子孤位于角点之前；而式（16.38）中的时间t≥
时,K≥0,故 qmax 木
显然,当 m≥
m.
应的极值弧包括两段子弧，它们的顺序（图16.2）为
(16.39)
A max
q=0
将式（16.36）代人式（16.21）积分可得
mg
时)
const
q max
U eff
u eff max
最大推力
(当q= 0时)
m = const
(16.40)
这样,可在和m构成的直角坐标系内,确定从一
日16.3）和到达-定终
定起点出发的极值弧族（图
点的极值孤族（图16.4)。
最大推力1，
性飞行
至于火箭在空气中飞行的一般情况，将比上
述要复杂，但所用的数学工具及分析方法是类似
惯性飞行
的；当考到推力方向与速度方向之间有夹角时，
则不仅有一个最优推力程序（还将出现变推力子
弧），而且还有一个最优推力方向程序。这在导弹
图 16. 2
K及q与t的关系
设计中,将是一个很实际的问题。
325

火箭外弹道学
xewb-b
0=b
max
Cl
q=0
到达给定终点f的极值弧族
图 16.4
从给定起点0出发的极值弧族
图 16.3
4最小值原理简介
16.4
考虑一个工作于固定时间间隔tE「to，tf］的非线性微分系统,由柯西型的一阶常微分方
程组所描述，即
dx
(16.41)
x = f(t,x,u)
nT E
n维状态变量,x =［α1
X" :
式中
X2
nJTE
m维控制变量,u=［u1
Um :
f-，广义力的 n维状态变量,f ［fif2
假定已知 t = to 时
) = xo
x(to)
终点时间 tf 是给定的。
取指标函数
fo(t,x,u)dt
(16.42)
J = Φ(t,x)
试求使J取极小值的控制变量u（t)。
用拉格朗日（Lagrange）乘子将系统的微分等式约束式（16.41）与指标函数联系起来，即作
哈密尔顿（Hamilton）函数如下
(16. 43)
H(t,x,u,a) = fo(t,x,u) + aT(t)f(t,x,u)
式中拉格朗日乘子（共轭矢量或协态变量）
入2
A IT
则式（16.42）变为
[H(t,x,u,a) - aTx]dt
(16.44)
J = Φ(t,x)
326

第十六章
外弹道优化理论
对上式被积函数最后一项分部积分，得
p(x? + H),
J=[Q(t,x)_aTx]
(16.45)
对J相对于最佳控制变量u 和最佳状态变量x取一次变分,得
- a)1
n?
(16.46)
使J取极小值的必要条件是J=0;对任意变分x及u而言，由式（16.46）便得
aH
= -
ax
(16.47)
ne
aΦ
(当 t = to,tf)
-) =
由于系统的初始状态是给定的，终点状态是未给定的，故第③个条件变为
x(to)
(16.48)
a@[tf,x(t)]
A(ty)
ax(tf)
由于aH/aa = f,故可将式(16.41）与式(16.47)①两方程联立起来为
aH
dx
dt
(16.49)
ax
此式被称为正则微分方程组，其中后者是前者的共轭方程。
值得注意的是,式(16.47)②的aH/au = 0,是在 u（t）不受约束的条件下成立的关系式;
出：为使指标函数取极小值，对于在容许控制组合中，最佳控制变量相应的哈密尔顿函数，必须
小于容许组合中其他任何控制变量相应的哈密尔顿函数。
下面加以推广，考虑柯西型一阶微分方程组
dx
f(t,x,u,c)
(16.50)
dt
式中,c 为r维设计参数,c =［c1
c,JTE Cr;其他符号已经说明。
方程组（16.50）运动的初相（to，xo）和终相（tf，xf）所满足的边界条件为
(j = 1,2,.°,l < 2n + 2+ r)
g;(to, tf,Xo,Xf,c) = 0
(16.51)
指标函数
J(u(t),c) = @(to,tf,xo,Xf,c) -
fo(t,x,u,c)dt
(16.52)
327

火箭外弹道学
作哈密尔顿函数和拉格朗日函数
H = a'f + fo
(16.53)
@+&n-T
(16.54)
g【gig
=[μl
μtJT为常值参量。则相应于Jmin 的最优控
gtJT, μ
式中,g
g2
u2
制弹道的解，需满足下列微分方程组
He
dx
(16.55)
ax
arg minH(t,x*,u,a,c*)
式中，带＊”号的符号表示最优值。为了积分前两个方程，需要初始条件x（to）和（to）以及
参数c,但对最优解而言,这些值事先均未必可知。还有 to，f，x（f），a（t）及μ均属未必可知。
它们一共有（4n + r ＋ 1+ 2）个未知数。可由下列相同数目的关系式确定。
（1)1个边界条件式（16.51）。
(2)贯截条件,共(2n +r +2)个
-H+
0 = 049
(16.56)
ato
H+
tf 0
(16.57)
at
xi(to) = 0, i = 1,2,,n
i +
(16.58)
axi
-i +
8x(ty) = 0, i = 1,2,,n
(16.59)
aH
(16. 60)
ac
不言而喻,若某一边界值α;（to）、x;（tf)或参数 c;固定,则相应的变分z= O[z= to,tf，α（to）,
α;（tf），c;］。若它们是自由的，则z的系数等于零。应该指出，条件（16.56）～（16.60）是广义贯
截条件的展开式
入;0x;)
Ocjdt = 0
+ T8 +
(16.61)
- 10H
aci
i=l
（3）由正则方程解出2n个关系式为
x(tf)
) = Pi(to,tf,ao,xo)
(16.62)
[a(tf) = P2(to, tf,Ao,xo)
以上就是用最小值原理解最优控制问题所用到的基本方程式。
328

第十六章
外弹道优化理论
最小值原理的应用举例
16.5
现以最优比例导引为例，对最小值原理在飞行理论中的应用进行了解。现求使攻击目标时
脱靶量最小的比例导引系数K。由式（5.24）知
do
dq
(16.63)
dt
如图16.5所示，CB为目标路线的基准线；0B为导弹攻击路线的基准线。目标的飞行速度为
VT，导弹的飞行速度为V,T为目标在任意时刻t 的位置，M为导弹在t时的位置。MT是导弹与
目标的连线,谓视线或瞄准线；OC作为起点时的视线,定为 Oy轴，与 Oy轴垂直的另一轴为Ox
轴，组成平面直角坐标系。MT与OC之间的夹角被称为视线角。假定导弹速度矢量在t时的方
向与基准方向0B的夹角为,则比例导引关系（16.63）,可转换为与的关系。由图16.5的几
何关系易见
nro
no
图 16. 5
比例导引坐标图
(16.64)
故代人式（16.63）得
=-Ky
(16.65)
目的是在攻击终结时间时,使脱靶量
I e(t) It=ty
最小，试求合适的比例系数K应为多少？
由图16.5知，视线角为
329

火箭外弹道学
X - XT
tany
YT - y
对比例导弓引而言，一般值甚小,可取近似式
X - XT
(16.66)
Yy--y
现建立导弹运动方程。导弹与目标的相对速度在轴和α轴上的投影为
VCOs(no + g) + VTCOs( nTO + Sr) = VR
(16.67)
vsin(no +·g) - UTsin(n + Sr)
XXT
式中 UR 为接近速度，一般假设它为常量,于是
20 = (0) - (0) = fa
(16.68)
由式（16.67）第-式积分得
- T = (O) yr(O) + VRt
(16.69)
VR(tf - t)
XT= e
则将上两式代人式（16.66）得
VR(tf - t)
e + e(tt- t)
于是
(16.70)
VR(tf - t)2
取控制变量
(16.71)
u=
则式（16.65）成为
e+ e(tf -t)
(16.72)
u=
VR(tf - t)2
现取指标函数J。一方面考虑到‘的绝对值应尽量小；另一方面攻击终结时间t的偏差量
e 的绝对值亦尽量小，故取
J = nee?(tf) +
(16.73)
式中 ne为一系数。
取状态变量
(16.74)
xl=e,
x2 = e
设和UT 为常量，目标直线飞行（Sr = 0),则由式（16.67）第二式（注意
－）求导得
nobsooa ( + ou)sooa =
于是便得状态方程组
X2
(16.75)
vcos Yo u
x2 :
330

第十六章
外弹道优化理论
引人拉格朗日乘子入1和入2,作 H函数
2 + ^1x2 + ^2vcosou
(16.76)
对无约束的u来说，最优控制须满足条件
便得u的最优值
入2 vcos n0
(16.77)
式中的入2 只好由正则方程求解。根据方程组（16.55）第二式,有
ri(t) = 0
(16.78)
(i2(t)
)1
边界条件由贯截条件（16.58）和（16.59）两式确定。对条件（16.58）而言，当to=0时的x；是固
ty时的α（tf）≠0,故须
定的,x;（to）= 0已满足。对 t =
i= 1,2
(16.79)
入i =
axi
而今L由式（16.54）为
L = nexi(ty)
代人式（16.79）得
Xi(tf) = 2nexi(tf)
(16.80)
[入2(tf) = 0
以此为边界条件解方程组（16.78）,实际上是由终值条件解方程（16.78)。对任一时刻t，令新自
变量
(16.81)
tf-t
则对新自变量而言，方程（16.78）变为
1A
(16.82)
d入2
积分之得
^+ = 2nexi(ty)
(16.83)
A2 = 2nexi(tf)r
还不能得到最后表达式，因为还不知道 αi（tf)。为求 α（ty）,将状态
现在式（16.77）的 u*
方程（16.75）亦化为以为自变量的形式
331

火箭外弹道学
dx1
2p
(16.84)
dx2
?cos? no^2
= - vcosnou
其中,第二个方程第二个等号，是将式（16.77）的最优化条件代人而得。
将式（16.83）的入2表达式代人式（16.84）第二式得
dx2
ne?cos? noxi( tf) t
2p
积分得(注意 = O时相当 t = t)
x2(t) = x2(ty) +
Nev?cos? nox(ty)t?
(16.85)
再代人式（16.84）第一个方程并积分得
xi(t) = xi(tf) - x2(tf)t -
neu'cos? noxi(ty) t3
(16.86)
将式（16.85）和式（16.86）写成联立方程组形式
nevcos not2xi(tf) + x2(ty) = x2(t)
(1-
xi(ty) - Tx2(tf)
nv'cos no??)
= αi(t)
解得
xi(t) + tx2(t)
Xi(tf)
(16.87)
nev?cos? no t3
1 +
由式(16.70)
xi(t) + tx2(t)
(16.88)
URT
代人上式得
URt?,
(16.89)
xi(ty)
nev'cos? not3
1+
代人式（16.83）得
2nevRt3;.
(16.90)
>2 =
nev?cos? no t3
1 +
再代人式（16.77）便得最优控制
neVRCOs No t3
(16.91)
neu?cos no t3
1 +
332

第十六章
外弹道优化理论
由式（16.65）知
最优的比例导引系数K*
3neRCosno(tf - t)3
(16.92)
3 + nev?cos? no(ty - t)3
当 ne→α 时,合适的比例导引系数为
(16.93)
如果保留‘的非线性项,则
vcos( no + g)g= v(cosnocos - sinnosing)s~ v(cosno - gsinno)s
,则状态方程为
再引人状态变量
X3 =
= v(cosno - sinno · 3)u
(16.94)
x2
X3
哈密尔顿函数为
H = u? + ^1x2 + ^2v(cosno - sinno · x3)u + ^3u
由 aH/au = O,得最优控制
经类似运算，最后可得①
wi(t)i - g[w2(t)ij1/2tanhi[w2(t)ij1/2(tf -- t)t
(16.95)
- 3nevRcos no( tf - t)3
(16.96)
式中
Wi(t)
3 + neucos? no(ty - t)3
- 3neVRsinno(tf - t)3
(16.97)
W2(t)
3 + nev?cos' no(ty - t)3
5线性系统最优制导律
16.6
在有控弹道领域，经常碰到线性系统模型
x = A(t)x + B(t)u + W(t)
(16.98)
x(to) = xo
n× n矩阵,分段连续函数;
式中
A(t)-
n × m矩阵,分段连续函数;
B(t)-
W(t)-
n × 1干扰列阵。
①·引自西北工业大学《科技资料》，1977年9月
333

火箭外弹道学
性能泛函为二次型
ip(n 4in + xorx),J
J(u)
(16.99)
式中
n × n 非负定对称矩阵;
S.0
m × m 正定对称矩阵。
R-
当 u（t）受约束时,最优制导律
u*（t）使哈密尔顿函数取最小值，即
H(t,x*,u*,^,c*)
minH(t,x*,u,,c*)
(16. 100)
ER"
当u（t）不受约束时，u（t）由哈密尔顿函数H取极小值确定。由式（16.43）知
(xTQx + uTR u) + aT[A(t)x + B(t)u + W(t))
H-
(16. 101)
则u（t）取极小值的必要条件为
R u + BT O
au
于是得
= - R-1BTa
(16. 102)
又由式（16.49）第二方程知
- AT -- Qx
(16. 103)
la(ty) = S
Sx(ty)
(16. 104)
其中，边值条件由式（16.54）、（16.59）给出。
式（16.103）表明，入是x的线性函数,设为
a = p(t)x + U(t)
(16. 105)
将它求导，并将状态方程及最优制导律代人便得
(p + pA + ATp - pBR-IBTp + Q)x + ü + (AT - pBR-IBT)U + pW = 0
该式对任意 x 均成立，从而有 Riccati 矩阵微分方程
(O + dia-d - di + d) - = dj
(16. 106)
p(ty)
以及
U. = - (AT -- pBR-IBT)U - pW
(16.107)
U(tf) = 0
对方程（16.106）、（16.107）逆向求解，即可得出 p（t）和 U（t）直至 t = to 的初值，则有
a(to) = p(to)x(to) + U(to)
(16. 108)
然后从to开始正向联立求解方程（16.98）和（16.103），其中方程（16.98）中的u（t）由式
（16.102）代人，方程（16.103）的初值取式（16.108)。
334

第十六章
外弹道优化理论
特别当Q =0时,方程（16.103）变为齐次线性方程
da
ATZ
(16. 109)
a(0) = Sx(ty)
式中，为新自变量
(16. 110)
tf - t
α = exp(ATt)a(0) = ΦT(t,0) Sx(tf)
(16.111)
式中,Φ(t,O)是方程 x = Ax 的状态转移矩阵。
又将式（16.98）写成以为自变量的形式
dx
- (Ax + Bu + W)
(16.112)
(x(0) = x(ty)
积分得
x(t) = Φ-l(t,)x(tf) -
Φ-1(t,n)(Bu
lp(M +
将式（16.111）代人式（16.102)，再将式（16.102）代人上式得
Φ-I(t,n)[ BR-1BTgT(n,O)Sx(ty) - W(n)]dn
x(t) = Φ-I(t,O)x(tf) +
(16.113)
由式（16.113）得出x（tf），代人式（16.111），再将式（16.111）代人式（16.102），便得到最优控制
的具体表达式。它是否最优?可适当改变其值，由H的变化趋势便可判断。
当状态方程（16.75）加上干扰w（t）时，指标函数仍如式（16.73）,求最优控制。
例题16. 1
状态方程为
X2
X1 =
()m + nq = zx
式中，6
vcos no。对照式（16.98）及式（16.99),此处
,S = 2ne
2 二0,
R = 2,W
w(t)
状态转移矩阵
(t,0)
= exp(At)
将各矩阵代人式（16.113）得
x(tf)dn --
2ne
+()x
61
=(2)x
0.
335

火箭外弹道学
dr
w(n)Jd
ne6?+3
1 -
(-t)w(n)d
()
w(n)dn
xi(t) +
( - t)w(n)dn
ne6?3
1 -
x(ty)
ne6?2
w()d
x2(t) +
则代人式(16.111）、（16.102)得
x(tf)
2ne
(1+
01
ne6?+3]
119u -
neb??
1 -
xi(t) +
(- t)w()dr
w(n)dn
x2(t) +
3 nebt
xi(t) + 2(t)t +
[up(u) ml
3 + n.6?,3l
2[x1(t) + x2(t)t +
[up(u ) mb
此结果与16.5节之式（16.75）、（16.73）的解答是相同的。事实上将式（16.87）代入式（16.83）第
二式,然后将入2代人式(16.77),则得
3 nebt
与本例比较起来,在于前者未考虑干扰 w(t)。
336

第十七章
无控火箭弹道偏差量及射表编制
17.1
理想弹道的计算是建立在六条基本假设基础上的。在实际射击中，对其标准弹道的计算条
件还需要规定得更具体一些。除了气象条件为标准值之外，对弹体质量（简称弹量）、药量、药温
等弹道条件（或称为射表条件），也必须确定出标准值,其中：
与被动段标准弹量mKn，而
（1）标准弹量 mn（标准全弹量
mon
mon
mKn + mp,mp 是标准
装药量）；
(2）标准药温
tn = 15℃;
(3）弹形、转动惯量均符合图纸规定,在弹道计算中,转动惯量取标准值，其中与弹形有关
的弹形系数需要通过射击试验确定出标准值；
（4）推力时间曲线取标准曲线；
（5）标准比冲量l1no
在此基础上计算出的初速 Vo 及主动段末端K点诸元，应与实测值的标准化数值（所谓标
准化数值就是将实测值消除非标准因素影响后的值）结合起来，以确定出Vo 及K点诸元的标
准值。
此外，还要求发射装置符合标准条件。
至于地球条件和地形条件，仍如第一章所述，即落点在起点水平面上，地表为平面，柯里奥
g= 9.80 m/s²,方向铅直向下。当然,若射程很大,则应该考虑重力
利加速度为零，重力加速度
加速度随高度的变化、柯里奥利加速度以及地表的曲率和重力加速度随高度的变化。
在实际射击中,诸因素与以上标准条件有定偏差，由此形成弹道的偏差量。上述对火箭
运动有关的因素与其标准值之差为1单位值时所引起的弹道偏差量，被称之为该因素的修正
系数。弹道偏差量与修正量是一个问题的两个方面：扰动引起弹道偏差量；对既定的火箭实施
射击，利用射表（给出标准条件下的弹道诸元）求取起始装定（火箭炮仰角和射向）中，则要对
射表中的射距离和方向加上修正量。显然，该修正量与相应偏差量仅相差负号。弹道修正量都
是由非随机因素引起的。
目前，偏差量计算多利用电子计算机求解方程组。利用第八章建立的一般性运动方程组，
当考虑某一因素（例如横风 w）影响时,则在方程组中只保留这一因素,而将其他因素取为标
准值,得到所谓相应于某一因素的非标准化方程组。将此方程组算出的弹道诸元，减去相应的
337

火箭外弹道学
弹道诸元标准值，得该因素每一单位偏差量相应的弹道诸元的偏差量（修正系数）。显然，当实
际的非标因素与其标准值相差不大时，其相应的弹道诸元偏差量，便是其偏差值与其修正系
数之积。以上为求差法。
对地面火炮，通常只考虑对落点修正，因此弹道诸元的修正量，主要是射程修正量和落点
侧偏。
制中已很少使用，但它可以便于考察影响落点偏差量的因素，在弹道设计中还是需要的；同时，
借此还可以分析计算机数值计算结果的可靠性。本章将重点介绍诸偏差量的内涵及影响因素。
总之，修正量计算不仅用于射表编制，而且对于型号设计及其他各种射击试验分析，都是
必须具备的知识。本章首先介绍在主动段和被动段内，弹道条件和气象条件所产生的弹道偏差
主动段的弹道偏差量
17.2
计算火箭弹道落点偏差量，分两步进行。第一步计算影响因素偏差量引起的K点诸元偏
差量△vk、△k、△xk△yk
等值；第二步计算被动段内的修正量。在主动段内，主要有弹量偏差量
（装药量偏差值△mp和空弹量 mk的偏差值△mk）、药温偏差量△t及低空风。关于风的影响已
在第七、九、十、十二章介绍过，此处不再重述。但是，关于低空弹道风的取值问题则需要讨论。
弹变化引起的弹道偏差量
17.2.1
援引方程组（2.34）有
K(μk)H(y)R(vk) - gtpsin
(0 + 0k)
uefrK(μ) -
K(μk)[K2(μk) -- K2(μo)]
$(0k) = $(00)
(17.1)
KVK
tpKi(μk)
(00 + 0k)
Vksin
μxk(μk)
其中 μo 采用式(2.29)
2souk
(17.2)
tp( ueff - βo)
从方程组（17.1）清楚地看出，弹量因素（mk、mp）对K点诸元的影响主要是通过比值
mp/（mk+ mp）起作用的，μk是决定火箭能量的一个重要示性数。固然mp或 mk的变化所引起
的全弹量 mo变化,能够使 Vk表达式第二项稍有影响,但这一影响是微不足道的。况且，μk对其
第二、三两项的影响比之第一一项要小得多，以致可以利用更简便的表达式
338

第十七章
无控火箭弹道偏差量及射表编制
K(uk)
(17.3)
UK 二
Weff.
来计算弹量的修正系数。此外，mp 和 mk 的改变量对μo 的影响很小,是不值得考虑的。
1.对 k 的修正
由式（17.3）知
UK
(17.4)
(1 - μk)K(μk)
1 - K
auk duk
(17.5)
mp + △mp
(17.6)
式中
Au
- μk
mo + Amp + Amk
都是标准值,为简化书写,特省略了脚注“n”。△μk还可以表示为下
注意在上式中的 mp、movμk
mp
(mkmp - mpmk)
(17.7)
Aμk =
mo
如欲分别计及 mp和 mk 白
的修正系数，则从（17.7）和（17.4）两式可知
Vxmk
(17.8)
moK(μx)
due
mo(1 -- μk)K(μk)
mp
Vmp
(17.9)
mo(1 - μk)K(μk)
amp
amk
mk
和Bmx，则引
(17.8）和(17.9）两式还可以用来计算散布。如果已知mp和mk的中间误差为B,
起的 Uk 的中间误差为
(17.10)
dwe
此式将是确定 mk 和mp之公差的重要依据。但要注意的是,有的生产部门在装配火箭弹时，依
据式（17.7）采取重药配重弹、轻药配轻弹的搭配方法，以使△μk尽可能小，从而可减小Vk的散
布。由于在这种情况下的△mp和 △mk
已不独立，就不能使用式（17.10)。
2.对 0k 的修正
ak
(0)3e
tpg
aμk
μkuefr K(μk)
μ'kueff
tpg
1[=(00) - s(6x)]
KUK
(*0)3e
cosOk
从而
339

火箭外弹道学
cos+k
tpg
s(00) - ε(8k) -
(17.11)
VK
a0kduk
(17. 12)
aμk
3.对K点坐标的修正
由式(17.1）第三式置
K(uk）,再两边取对数并微分得
K 二
Ueff.
d Ki(μk)
dyK
dμk
(60 + 6k)dk
cot
Ki(μk)
YK
一般第三项很小，可忽略，故得
K(μk)
(17.13)
YK
aμK
Ki(μk)
Oyk duk
Ayk
(17.14)
aμk
为求 △α，可近似取
x ～ycotk，则得
YK
Axk = .cotok · △yk -
(17.15)
sin?0k
对药温变化的修正
17.2.2
药温的变化是通过下列几个途径来影响K点诸元的。
（1）引起比冲量1,的变化。这不仅使主动段推力大小有所改变，而且总的推力冲量也改变
了，K点诸元自然会有所变化。由火箭发动机原理知
(17. 16)
αli
从而
ne
(17.17)
a nu eff
是由火药性质决定的系数,在药温 tz = － 40 ～ + 40 ℃ 的范围内,对 H火药,αl = 0.001 1,
对 HM² 火药,αit = 0.000 5。如测得ali/a tz,则
(17.18)
αl =
（2）引起火药燃烧速度uF的变化，致使tp有显著改变，从而阻力和重力之作用的时间改
变了，造成K点诸元相应的增量。由火箭发动机原理知
(15 ℃)
(17. 19)
αutuF
340

无控火箭弹道偏差量及射表编制
第十七章
式中，αu 是燃速的温度敏感系数,表示在任意初温下温度改变1℃ 时燃速的相对变化。例如当
燃烧室压力为107Pa时,测得H火药的αu 值如表17.1所示。
H 火药的 αu 值
表 17. 1
- 30
- 10
+ 10
+ 30
+ 50
0.002 6
0. 003 0
0. 003 4
0.004 2
0.004 4
由于任一种型号火箭的火药肉厚是确定的，这样，火药的平均燃速
uF 与tp 的关系为
uptp =
: const
tp
UF
考虑到式(17.19),得
(17.20)
= - αuttz
如果已测出ätp/atz,那么
(17.21)
αutp = -
(3）使推力大小改变,致使uo(亦vo）改变,这对6k是有影响的。将（17.2)式两边取对数并
微分之（略去对βo的影响）,再将（17.17）和（17.20）两式代人得
aμo
(au - an)μo
(17.22)
1.对 vk 的修正
由于 t，对k 的表达式每一项的影响都较明显，所以应该较仔细地考虑各项。由式（17.1)
第一式对 t,求导数
jane
aR(vk)
CO
tpco
K(μk)H(y)R(vk)
K(μk)H(y)
K(μk)
atz
(80 + 0k)
gsin
记下列符号
Uefr K(μk)
Vp 二 t
(*g + 0g)-
(17.23)
= gtpsin
UR
= VP VK - V
再考虑到
aR(Vk)
—[ F(vk) - R(vk)]
F()dv
avK
UK
VK
341

火箭外弹道学
UR
αIUp + αuVR -
+ autUg
R(vk)
VK
从而得到
anUp + αu(VR+ Vg
(17.24)
F(vk)
VR
1 +
R(vk)
2.对 8x 的修正
由 △t所引起的△tp使主动段长度在 K点附近有一相应的变化,从而有一相应的 k增量;
不仅如此，更重要的是，△，使整个主动段的推力加速度大小改变，火箭的离轨速度也变了，相
应的△k是不可忽视的。从式(17.1）第二式知,0k与tz之间存在下列复合函数关系
E(Ok) = f(μo(t2),tp(tz), Vk(t,))
由此得
a0k
af aμo
af atp
af
(17.25)
atz
Atz
atp atz
aμo
cosfk at?
K(μk)
af
tpg
tpg
K(μk)
K(μo)
a μo
IKUK
af
1[(0k) - s(00)]
af
—[(00) - s(0k)]
VK
将以上导数及（17.20）、（17.22）两式代人式（17.25），便得
tpgK(μk)
[(0) - s(0k)][cos0k
(17.26)
2VKUK
VK
3.对 K点坐标的修正
仿式（17.13）之推导,有
dtp
dyK
dtz
(00 + 0k)
YK
eff
a0k
(0 + 0k)
(17.27)
αlt -- αut +
cot
At.
可由式（17.15）计算求得。
对 x
低空风的层权
17.2.3
在计算风对主动段的影响时，曾设风速为常值。但在主动段内，风速的变化较大,那么，应
取风速为何值呢?这个问题涉及到所谓层权的概念。很明显，如果将主动段等分成N段，那么，
342

第十七章
无控火箭弹道偏差量及射表编制
相同的垂直风对各段弹道的影响程度是不一样的。可用某一系数来表示这种影响程度,现研究
尾翼式火箭低空风的层权问题。。如果对各段作用的垂直风是 1 m/s,在第 i段内作用的结果，
总偏角为山，则定义
(17.28)
qwi
为低空风在该段内的层权。下面近似求
文qui的计算式。
由式(9.69)，忽略低速旋转影响时，便得尾翼式火箭主动段的风偏近似为
kwI yo,(un, ux)dun
(17. 29)
PwK
如图17.1所示，垂直风（例如横风）沿弹道弧长s的分布曲线是不规则的。可将主动段从
so到 sk 的区间等分为N段,任取第i段,其弹道孤长从 si-1到 si;在该段内,可将风速取为常值
由 wli在弧段区间［si-1，s;］内作用的结果,便在 K点产生偏角为
wii,那么由
kwlio, (un, uk)dun
则主动段末的总偏角为
(17.30)
kwlid(un, ux)dun
中wK = -
其实，上式正是式（17.29）分段积分之和。
取式（17.29）中的风速为常值风速，它等效于实
际变化的风速(图17.1)对主动段的影响，仍以w记之，
此为低空弹道风，于是可从式（17.29）的积分号内提出
来。并考感到式（17.29）与式（17.30）相等时，则低空弹
道风为
Si
hy( un, uk)dun
(17.31)
kyp, ( un , uk )dun
实测 wl-'s 曲线
图 17. 1
显然，上式分子中的积分
ky.(un, uk)dun
正是式（17.28）的△山i，且
kyo( un, uk)dun
Apwi
kyo( un, uk)dun +
343

火箭外弹道学
(17.32)
(ui-l,uk)- Φ(ui,uk)
分母正是
中k(uo，uk）。可见
Φ(ui-l,uk)- Φ(ui, uk)
(17.33)
qwi
ywk(uo, uk)
利用式(7.120)、（7.74）,并取 C3 ～1,上式写为
Br(ui-1, uk)
Vi
Vi-1
Vi-1
(17.34)
VK
VO
则低空弹道风为
(17.35)
qwiwIi
t= 1
涡轮式火箭弹低空弹道风的层权，可运用以上思路重新推导,这里不予赘述。
被动段的修正系数
17.3
在弹道被动段，应对下列弹道条件和气象条件进行修正，即K点Vk和Sk，被动段弹量
mk :
气压、气温、纵风和横风。其中,横风引起侧偏，其余都影响射程。诸修正系数-一般应利用第八章
的方程组以求差法得到。在枪炮外弹道学中，对普通火炮弹道的修正计算已有详细推导，而且
对诸修正系数建立了表格，列于“地面火炮外弹道表”第二部分。在一般对修正量要求不很准
确的情况下（比如散布估算与分析），火箭外弹道的修正量计算，可以借鉴于地炮修正系数：
火炮初速变化1 m/s时的射程变化量;
po
即 △po =
即c =
100(
或气压变化
一弹道系数变化
Odc
100
100
ac/ 100
的射程变化量；
一射角变化1'时的火炮射程变化量；
a00
一纵风为 1 m/s 时的火炮射程变化量;
一横风为 1 m/s 时的落点侧偏;
气温变化1℃时的射程变化量。
至于气压修正系数为什么与弹道系数修正系数相同，从式（1.52）便不难理解。以上修正
月c*［=
系数，都是由决定地炮弹道的三个参量 c、Uo、o编表的。对火箭被动段，则可用
CkH(yk)、UK、Ok 查取。
在被动段内宜计算下列因素的变化所引起的弹道落点偏差量。
344

第十七章
无控火箭弹道偏差量及射表编制
1.弹量变化
id?
由于 Ck
× 103,则
Ack
Amk
mk
CK
于是得射程修正量为
Amk
Amk
aXm
ack
CK
CK
mk
mk
由于
aci100
Amk
100 Q&c
(17.36)
可见由于弹量增加，使被动段弹道系数减小，射程增加。
2. Uk 变化
由 Vk 的增量 △k 必将使射程增加,并且
(17.37)
3.0k 变化
在最大射程角以内,k增大,射程增加;k大于最大射程角时,k增大，射程将减小;在最
大射程角附近,k 的增量对射程的影响甚微。因此，Q。将有正负之别。由 △k引起的射程增量
(17.38)
Qe.40k
式中,△k的单位是分
4.气压变化
Apo
△po = - 100Qc
△Xh
(17.39)
ah
Po
气压增加，使空气阻力加大，故使射程减小。
5.气温变化
空气温度对射程影响较复杂。温度增加使空气密度减小；而温度增加使声速增加，马赫数
改变。阻力系数C（Ma）曲线上升段是马赫数的增函数,在下降段是马赫数的减函数。因此,空
气温度对射程的影响之修正系数的正负号，将依具体情况而定,很难直观判断。射程修正量为
△X. =
(17.40)
Qt△tB
式中,△tB 应取全弹道的某一平均偏差量。
345

火箭外弹道学
6. 风
纵风是顺风时，使被动段射程增加；是逆风时，射程减小。横风产生顺风向的侧向偏移量。
由纵风W和横风w，在被动段形成的落点射程偏差量及侧偏分别为
Wx
(17.41)
在被动段内，风速和气温都是沿高度而变化的。为了求出等效于实际风速及气温作用的平
均值，也需要将被动段分段。不过是沿高度划分，一般从地面到顶点S将弹道等分成N层，如图
17.2所示。每一层的高度为 △y =
Y/N。所谓层权，就是用以表示某层高度的实际风或实际温
度对全弹道影响量的百分数，可以用弹道方程组准确求得。但在实际上常采用较简便的近似层
权。实践表明，上述影响量的百分数，近似与弹箭通过该层的飞行时间与全飞行时间的比值相
的相对停留时间作为求弹道平均值的近似层权。下面求此近似层权。
(V·N=A
i-1
图 17.2
弹道分层
假设某一真空弹道高与真实弹道高 Y相等。由于弹箭由射出点0（由虚速法，此即虚射出
点 o，见图3.2）飞行到S的时间ts与由顶点下落到落点C 的时间相等。又由自由落体公式
28t3
知道，弹道高Y与全飞行时间T的关系为
gT,或 T =
Y :
假如弹箭由（i－ 1）点抛射出，飞行顶点 S又回到（讠1）点，（一1）点与（i－1）点处同一水
平面,故（ 1）被视为落点，（i－1）点为射出点,则弹箭沿弹道（i－ 1)S（－1）的飞行时间
Ti-1 =
Yi-l
346

第十七章
无控火箭弹道偏差量及射表编制
同样，对于i点到讠点有
这样就可以求出弹箭在第讠层中的相对停留时间，即近似层权为
Vyi-i - Vyi
Ti-1 -- T;
= 1b
因为
[N-(i- 1)]△y
Yi-1 =
yt = (N - i)y
Y - Nay
N-i+1-N-i
(17.42)
表 17.2是由上式得到的分成 1 ～10层的近似层权。
表 17.2
近似层权
10
0.06
0.05
0.05
0.07
0.09
0.11
0.18
0. 13
0. 29
1.00
0.07
0.06
0. 06
0. 10
0. 16
0.08
0. 12
0. 24
0.71
0.09
0.06
0.08
0.07
0. 14
0. 11
0.58
0.21
0.07
0. 06
0. 10
0.08
0.13
0.19
0.50
0.09
0.08
0.07
0. 12
0.17
0.44
0.09
0.07
0. 16
0. 12
0. 40
0. 11
0. 15
0. 08
0. 38
0. 10
0.35
0. 14
0.33
0. 13
0.32
10
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
由表可见，层权是上大下小，最高一层的速度最小，相对停留的时间最长，故层权最大。如
知道相应于各层的风速和气温，则弹道风速和弹道气温的偏差量为
Wx
qiWxi
(17.43)
qiWzi
i=1
△TB
i=1
347

火箭外弹道学
4偏流简介
17.4
偏流是重力引起的绕心运动所形成的质心偏移量。重力矩在半约束期内所形成的起始扰
动,摆动角速度是向下的，此外还有起始偏角和起始摆动角，致使K点速度方向有-一个偏角。
就涡轮式火箭弹而论，K点速度方向偏向左下方，如图17.3所示。此偏角叫做倾离偏角。对尾
翼式火箭弹，主动段末的倾离偏角基本偏向下方。
当火箭弹飞出炮口以后，由于重力的作用使速度√的方向逐渐向下转动，而重力却不能直
接使弹轴转动，便产生了攻角。当攻角出现后，涡轮式火箭弹相应产生翻转力矩，使弹顶向上转
动；因为陀螺效应，故弹顶向右（右旋弹）上方转动。弹轴在弹道坐标系内的运动情况可参阅图
17.4。也可把此攻角称为主动段内的动力平衡角。由于攻角出现后，相应产生偏角，偏角方向沿
右上方,如图17.5所示。
02
主动段内重力引起的攻角
图 17.4
倾离偏角
图 17.3
就涡轮式火箭弹而言，通常倾离偏角的实部绝对值小于主
Sg较大
动段内重力攻角引起偏角的实部；而倾离偏角的虚部绝对值，
通常大于后者的虚部,故二者合起来，在主动段末的总重力偏
Sg较小
角偏向左上方，这个偏角叫做固定偏角（定偏）。它的两部分都
与coso成正比（对倾离偏角已有公式可查;对主动段内的重力
偏角还未建立公式，但可想到此偏角是与重力法向分量成正比
的）,故在水平面上的投影与射角无关。
就尾翼式火箭弹而言，即使有低速旋转，主动段内的重力
偏角侧向分量也是很小的，可以不计，只是在被动段需要考虑。
图 17.5
主动段内与直力攻角相
涡轮式火箭弹（右旋）被动段内的动力平衡角大致指向右
应的偏角
方,故将产生相应的升力使质心向右偏移，那么，落点偏向右
348

第十七章
无控火箭弹道偏差量及射表编制
方。而且，射角越大，动力平衡角亦将越大，偏流就会越大。尾翼式旋转火箭弹在被动段内的动
力平衡角偏左，故偏流也是向左的。
涡轮式火箭弹落点偏流的方向,将取决于主动段与被动段内偏流的合成方向。一般而言，
在小射角时偏左，,射角较大时偏右，其间必存在无偏射角。
5火箭射表编制的基本原则
17.5
射表的内容
17.5.1
射表是保证进行有效射击的基本文件。一般火箭射表的内容主要分为基本诸元、修正诸元
和散布诸元三部分；此外还述及弹药、引信、火箭炮以及射表编制等有关的知识。所谓基本诸
Y、飞行时间 T、落速 Vc 和落角8c。其中弹道高作为计算弹道
元,是指射程 X、射角、弹道高
风、弹道温度等分层的参考，以及用来判断超越障碍进行射击的可能性；飞行时间用来计算对
活动目标射击时的提前量与确定空炸引信的时间；落速用以估算落点动能和弹箭所具有的穿
透力;落角作为发生跳弹和进行跳弹射击时的参考之用。在射表中，常常没有射角6o，而是瞄
准角或高角，以α 表示,它与其他有关角度间的关系示于图17.6中。
目标
射角与其他角度的关系
图 17.6
图中的ε是炮目高低角，Φ是定向器仰角；o 是平均起始偏角，它主要来源于半约束期内
火箭在重力作用下的倾离作用（见第十一章11.5节），及滑轨的弯曲变形，山o多为负值。地面射
表最基本的关系是瞄准角α（在高低角ε =0时）与射程X间的关系。射表中的修正诸元包括某
算为非标准条件下的射程，同时修正射向。至于散布诸元，即距离和方向概率误差等，用以估计
摧毁目标所需弹药量，以及作为实战试射的参考。典型的射表格式见表17.3。射表的形式和内
容依火箭的具体类型而异。比如尾翼式野战火箭只计及主动段内的横风所引起的方向偏差，纵
风只引起距离偏差。对远程火箭则要考虑柯里奥利加速度的影响，以及因重力加速度随地理纬
度的变化所引起的射程偏差量。
349

火箭外弹道学
表 17.3
典型的火筋射表格式之一
mil
高角变化-密位距离改变量
(4Bx)
窄夹叉
mil
Bx
概率误差
Bz
主动段终点的高度
YK
AZw
主动段横风速度 10 m/s
mil
方向修正量
主动段纵风速度 10 m/s
mil
主动段纵风速度10m/s
mil
表尺修正量
Allw
主动段横风速度 10 m/s
mil
mil
主动段横风速度 10 m/s
zb
方向修正量
1Zg
mil
△Xw
被动段纵风速度 10 m/s
xb
Ax.
弹道气
温10 ℃
地面
压 10 hPa
距离修正量
偏差量为负
ax
药温10℃
偏差量为正
m/s
VC
飞行时间
最大弹道高
[注］有的射表中的气压仍以 mmHg 为单位,其换算关系为:10 hPa～ 7.5 mmHg
350

第十七章
无控火箭弹道偏差量及射表编制
试验数据
17.5.2
射表是射击试验与弹道计算相结合的产物。射击试验的目的，在于校正弹道方程中的某些
重要参量。其中影响最大的力是火箭推力和空气阻力，通过对射程及某些弹道诸元的测量确
定，可以将它们校准。此外,对升力、静力矩以及偏流、密集度等等，都需要进行试验予以校正。
为节省人力、物力，射表射击试验应尽量结合研制过程中的工厂试验、定型试验以及其他单项
测试，在综合整理诸测试数据的基础上，再进行补充试验。所需测试数据有下列各类。
1.弹、炮参数
（1）火箭弹体：弹径，弹量，弹长，药量，质心位置，转动惯量，定心部位置，动、静不平衡度。
(2）火箭炮：滑轨长度及其在火箭重力作用下的仰角变化,滑轨波纹度,膛内椭圆度。
（3）火箭发动机：推力时间曲线，推力偏心，喷气导转力矩曲线。
(4)空气动力和力矩系数:C（ä,Ma),C'（ä,Ma),m'（,Ma),
2.气象数据
气温、气压、风速、风向从地面到高空的实际分布，空气湿度。
3.地形及重力加速度
试验场的炮目高差，当地的重力加速度。
4.飞行试验数据
试验射角选取最大射程角和最小射程角，并于其间加人-两个射角。每个射角的射击宜分
组进行，这样可减小当日系统误差。比如阵风大小随平均风速而异，射击时的平均风速不同，概
率误差亦将不同。试验以常温为主,适当做高温和低温试验。在不影响飞行性能的前提下，应尽
量多测-些所需的数据,计有：
炮口数据———0,6o,起始扰动；
主动段终点数据
XK,YK,VK,OK,tk;
落点数据-X,Y,T,Bx,Bz;
居一转速、坐标及速度随时间的变化规律。
跟踪数据
符合计算
17.5.3
经典的符合计算是指利用射击试验测得的射程反求弹道系数，符合出来的弹道系数将受
到两方面的影响，是攻角的实际存在，二是阻力定律与该弹箭的阻力系数不完全相似。当今
射表编制过程已经不用阻力定律，直接获取弹箭自身的阻力系数及其他气动数据；弹道模型在
第八章已具体给出，火箭主动段应采用6自由度刚体弹道模型，被动段可做简化（弹轴摆动角
加速度可取为零）。为了使地面所测推力曲线符合实际飞行状态，可将推力乘以系数Kp，以保
证主动段末端速度 Uk 的计算值与实测值相等。将阻力系数乘以KD,使射程计算值与实测值相
等。火箭被动段偏流是由动力平衡角2p产生升力使弹质心侧向偏移，由式（13.60）看出，82P
351

火箭外弹道学
与C"，成反比,而偏流与升力成正比，从而偏流与C"关系甚微,对偏流应对翻转力矩乘以符合
系数 KM,以体现式(13.60）具有明显影响的 ld。此外,将平均起始偏角乘以K，以符合实测的
k与计算值一致。符合计算所用方程中的非标准条件，必须与射击时的实际条件一致,况且须
用当地的重力加速度值。对Kp和KD，拟着重于最大射程角时的符合值，因为这可忽略射角8
的误差所造成的不利影响。
值得注意的是，所有测试数据必须满足精度要求，否则，将会把较大的测试误差带进符合
系数中去，这就失去了符合计算的意义。现有弹道诸元的测量主要采用测速雷达和坐标雷达，
测量值与弹道模型的计算值能科学地结合起来，卡尔曼（Kalman）滤波就是最好的办法之一。
不宜单一地做参数符合计算,利用参数辨辩识方法可以综合确定所需要的一组参数,在文献[4]、
[5]、［11中便有类似的实例。
射表编拟及计算
17.5.4
当确定出合适的Kp、KD、等符合系数之后，以表定的弹、炮数据，标准气象条件和标准
重力加速度，采用符合计算中所用到的弹道模型，计算出射表基本诸元。计算被动段扰动弹道
时，一般气温、气压、风速等偏差量，与普通地面炮射表一样处理。高温和低温是编拟修正量表，
还是各编独立射表，要根据使用需要和方便来确定。对于大型火箭，因为射击量少，落点概率误
差往往难以确定。这需要对型号研制过程中的密集度估算和射击数据进行合理的综合，并参照
一般落点概率误差随射角的变化规律来编拟。
352

主要符号汇编
A=J=J
赤道转动惯量，A
三圆运动的三个幅值的复数形式，见式（13.44）
A1A2\A3
A(U)
西亚切主要函数，见式（3.27)
A(w)
幅频特性，见式（15.42)
AR
火箭绕过后定心部中心R之横轴的转动惯量，见式（11.3）
火箭质心加速度，见式（1.54）
火箭质心加速度平均值
柯里奥利加速度，见式(1.56)
导弹法向加速度，见式(5.13)
推力加速度，αp = Fp/m,见式(1.14)
aP
火箭后定心部横向加速度，见图11.1
Rn
空气阻力加速度，见式（1.44)
弹轴与单位球面交点，见图8.14
B(yo, y)
Yo
函数,B(yo,y)
exp[i(y - yo)]dy
2y
函数 B（yo，）的实部和虚部
BR、B1
阻尼系数，见式（7.44)
极转动惯量,C = Jx
动量矩示性数，见式（4.9)
C2
能量示性数，见式（4.12)
Cm
弹体密度系数，见式（1.45）
C's
诱导侧向力系数导数，见式(8.159)
Cx
阻力系数，见式（7.5）、（14.33）、（14.37）
攻角为零时标准弹的阻力系数，见式（1.43）
Cxon( Ma)
升力系数，见式(7.2）、（7.6、（14.38)
升力系数导数，见式（7.6）、（14.39）
侧力系数，见式（14.40）
353

火箭外弹道学
侧力系数导数，见式（14.40）
Cm
马格努斯力系数，见式（8.155）
马格努斯力系数二次导数，见式(8.156)
弹道系数，见式（1.42)
火箭弹道被动段弹道系数，见式（1.62)①
CK
微分算子，D
ds
du
D(U)
西亚切主要函数，见式(3.25)
弹径
涡轮式火箭喷管喉部中心所在圆直径，见图8.7
d*
自由运动阻尼指数，见式（13.23）、（13.24)
di~d2
B()或 Bμ
随机变量山的中间误差（概率误差）
椭圆弹道偏心率，见式（4.16）
弹体定心部与炮管的配合间隙
指数函数，exp（）=
exp(w )
力的通用符号
Fc
柯里奥利惯性力，见式(8.109)
FP
火箭推力，见式(1.6)
F'P
喷气反作用力，见式（1.4）
阻力函数，见式(1.51)
F(V)
力矩等效力，见式（8.147)
西亚切辅助函数，见式（3.35）
fo-fi...f6
弹体重力
地心引力，见图1.4
重力加速度，见式（1.17）、（1.20)
地球表面（海平面）上的重力加速度，见式（1.19)
go
重力加速度的地面标准值
gon
哈密尔顿函数，见式（16.53）
增程弹增速段起点，见图2.2
H(y)
空气密度函数，见式(1.36)
位势高度，见式（1.27）
弹头弧形部长度，见图1.9
hr
354

主要符号汇编
比冲量，见式（1.13）
I(U)
西亚切主要函数，见式(3.27)
弹形系数，见式(1.41）
指标函数，见式（16.12）、（16.42）
转动惯量矩阵，见式（8.46）、（14.17)
[y]
动量矩矩阵，见式（8.44）
主动段终点，见图0.1
Ki(μ)
函数,见式(2.31)
函数，见式(2.25)
K2(μ)
Kx
直射距离计算所用的系数，见式(3.39)
克列罗系数，见式（1.19）
推力线偏心，见图7.7
拉格朗日函数，见式（16.54）
L(v)
函数，见式(2.18)
质量偏心，见图7.32
全弹长
火箭前后定心部间的距离
IB
阻力中心到弹体质心的距离
Id
喷喉到火箭质心的距离，见式（7.102），（14.34）
火箭后定心部中心到质心的距离
复力矩，见式（8.157）
马赫数
MG
空气陀螺力矩，见式（8.177）
MP
推力偏心矩，见式（7.13）
控制力矩，见式（14.34）
M pc
M.0
非周期性诱导滚转力矩，见式（8.176)
Mre
周期性诱导滚转力矩，见式（8.175)
诱导侧向力矩，见式(8.66)
Ms
M.P
喷管导转力矩，见式（8.66)
尾翼导转力矩，见式（8.76)、（8.104)
Mxd
极阻尼力矩，见式（8.78）、（8.105)
马格努斯力矩，见式（8.81）、（8.106)
My
355

火箭外弹道学
M.
静力矩，见式（8.73）、（8.99）
Mzd
赤道阻尼力矩，见式（8.74）、（8.102）
下洗延迟力矩，见式（8.180）
弹体质量
空气陀螺力矩系数二次导数，见式（8.179）
mG.
推进剂质量
mp
非周期性诱导滚转力矩系数，见式(8.176)
mr0
周期性诱导滚转力矩系数，见式（8.175）
mrc
诱导侧向力矩系数导数，见式(8.172)
m's
滚动力矩系数，见式（14.39）
mx
尾翼导转力矩系数，见式（8.77)
mzw
极阻尼力矩系数，见式（8.79）
mxd
马格努斯力矩系数，见式（8.82）
马格努斯力矩系数导数，见式（8.83)
马格努斯力矩系数二阶导数，见式（8.85）
m.
偏航力矩系数，见式（14.43）
静力矩系数，见式（8.73)
俯仰力矩系数，见式（14.41）
amz
静力矩系数导数，mz：
Imz.
俯仰力矩系数静导数，ma
dα
赤道阻尼力矩系数，见式（8.75)
mzd
赤道阻尼力矩系数导数，见式(8.75)
m zd
俯仰阻尼导数，见式（14.42)
俯仰操纵效率，见式（14.42）
俯仰操纵阻尼导数，见式（14.42）
下洗延迟力矩系数，见式（8.181）
下洗延迟力矩系数导数，见式（8.181）
推力和气动力的合力
356

主要符号汇编
转动惯量比，见式（9.16）
过载矢量，见式（14.49）
尾翼片数
尾翼式旋转火箭一个波长内的自转周数，见式(9.47)
涡轮式火箭一个波长入2内的自转周数,见式(10.27)
射出点，见图0.1
弹道起点
虚射出点，见图3.2
大气压力，见式（1.22)
空气中的水蒸气分压
初速变化 1 m/s时的射程变化
弹道系数变化1%时的射程变化
纵风 1 m/s 时的射程变化
横风 1 m/s 时的落点侧偏
射角变化1'时的射程变化
Q0
气温变化1℃时的射程变化
Q.
视线角，见图5.4
被动段第i层的层权，见式（17.43)
火箭主动段低空风在第i层的层权，见式（17.34）
qwi
通用气体常数,R = 8.314 32 × 103 J/(kmol·K)
大气常数,当 go = 9.806 65 m/s² 时,Ra= 2
29.271 3 m/K
函数，见式（2.20)
R()
RA
赤道回转半径
Rc
极回转半径
雷诺数
Re
函数，见式(7.95)
Rr(uo,u)
RR
绕火箭后定心部中心R的横向回转半径
诱导侧向力，见式(8.169)
Rs
空气阻力，见式（1.39）、（7.1）、（8.91）、（14.32)
R.
升力,见式(7.2)、(8.94)、（14.32)
侧力，见式（14.32)
357

火箭外弹道学
Rzm
马格努斯力，见式（8.130）、（8.164)
Rg.(uo, u)
函数，见式（7.68)
火箭到地心的距离
导弹到活动目标之间的距离
有效地球半径,在北纬45°32'33”处的ro=6 356.766 km
ro
地球半径
弹体最大横断面积
弹道顶点
Sc
炮弹弹道全弧长
Sd
动稳定因子，见式（13.29）
火箭喷管出口端面面积，见图1.2
陀螺稳定因子，见式（13.21）
弹道任意点到给定起点的弹道弧长
虚拟炮口位置到实际炮口的距离，见图12.11
有效滑轨长度，见式（7.79）
实际滑轨长度
S 00
热力学温度，T = t ＋ 273.15 K
火箭全飞行时间
T(U)
西亚切主要函数，见式(3.27)
弹丸飞达任意点的时间
摄氏温度
火箭前定心部脱离滑轨时的时间
导弹击中活动目标时的时间或导弹运动的终端时间
发动机工作时间
药温
假速度，见式（3.22）及图3.3
控制变量，见式（16.41）
无因次变量，见式（7.32)
火箭发动机燃气相对于火箭体的喷射速度
火箭发动机有效排气速度，见式(1.8)
代有效排气速度，见式（2.16)
ueff
弹道任意点的弹体质心速度
358

主要符号汇编
初速，见图0.1
VO
虚初速，见图3.2
VO
分别为第一和第二宇宙速度
Ia-Ia
火箭落速
VC
火箭在弹道K点处速度，即最大速度
VK
增程弹增速段增加的速度
UKH
不计阻力和重力时的火箭最大速度，见式(17.23）
UP
相对速度，见式（8.8）、（8.9）
Vr
目标速度
虚速，见式（1.48）
Vt
W(p)
传递函数
风速平均值
平行风速，平等”的方向
垂直风速，垂直的方向
纵风风速
Wx
横风风速
火箭全水平射程
火箭弹道任意点水平距离
火箭弹道顶点高
火箭弹道任意点高度
弧长相对值，1
1 = s/>1
弧长相对值，y2 = 2/入2
Y2
弹道起点处的海拔高度
Yg
落点侧偏
火箭弹道任意点侧偏
导弹冲角，见图14.4
射向角，见图8.13
药温对火箭比冲量影响系数，见式（17.18）
αIt
火药燃速的温度敏感系数，见式（17.19）
速度与相对速度之间的夹角，见图8.12
αw
导弹侧滑角，见图14.4
西亚切解法主要系数，见式(3.38)
β(c, Vo,60)
359

火箭外弹道学
动不平衡角，见式（8.158）
推力偏心角，见图7.7(α)
BR
雷达坐标系方位角，见图6.9
2βx
角射程，见图4.5
滚转角速度与速度之比值，见式(9.7)
火箭绕纵轴的滚转角
导弹速度倾斜角，见图14.3
落点距离及方向中间误差的相对值
Yx-Yz
复攻角，见式（8.149）
攻角 △的特征函数
推力偏心矩引起的复攻角
气动偏心角
Ar
相对复攻角
风引起的复攻角
动不平衡引起的复攻角
各起始扰动引起的复攻角
弹轴与速度矢量的夹角，即攻角或章动角
攻角△的二分量
1~2
表示 o = 1 rad 时的攻角
攻角的特征函数,例如
推力偏心矩引起的攻角，见式（7.91)
导弹推力调节机构偏转角，见图14.9
动力平衡角分量，见式（13.53）、（13.54）
相对攻角，见图7.26
风引起的攻角
导弹副翼、方向舵和升降舵的偏转角
相应于脚注的起始扰动引起的攻角
尾翼斜置角
喷管斜置角，见图8.7
遥控弹道跟踪线方位角，见图6.10
遥控弹道跟踪线超前瞄准线的角度，即提前量，见图6.10
13
遥控弹道瞄准线方位角，见图6.10
ET
360

主要符号汇编
椭圆弹道的极角，见图4.1
导弹、目标速度矢量与目标线之间的夹角，即前置角，见图5.4
火箭弹道任意点切线倾角，见图0.1
速度方位角在铅垂面内的分量，见图8.2
火箭落角
射角，见图0.1
00
虚射角，见图3.2
导弹俯仰角，见图14.5
比热比，见式（1.30)
地理纬度，见图1.4
A1
地心纬度，见图
11.4
尾翼式不旋转火箭弹摆动波长，见式（7.76）
拉格朗日乘子，见式（16.13）、（16.43）
尾翼式旋转火箭弹摆动波长，见式（9.39）
涡轮式火箭弹章动波长，见式（10.21）
入2
火箭发动机排出推进剂的相对值，见式(2.2)
参数，见式4.15)
导弹相对阻尼系数，见式（15.41）
(0)3
函数，见（2.24)
常数,π = 3.141 592 6.·
π(y)
气压函数，见式（1.34）
空气密度
均方差，见式（12.84)）
导弹、目标速度矢量方向角，见图5.4
虚温，见式(1.32)
复摆动角，见式(8.156)
火箭后定心部离轨时的弹轴摆动角及摆动角速度
推力线偏心的等效起始扰动，见式（9.54）、（10.33）
动不平衡的等效起始扰动，见式（9.80）、（10.52）
摆动角，见式（7.24)
中1~中2、中3
三圆运动的三个幅角，见式(9.51)
自由运动（对s）的圆频率，见式（13.23）、（13.24）
361

火箭外弹道学
弹轴方位角在铅垂面内的分量，即弹轴高低角，见图8.6
复偏角，见式（8.149）
亚的特征函数
推力偏心矩引起的复偏角
Ir
相对复偏角，见式（10.37）
风引起的复偏角，见式（10.44）
动不平衡引起的复偏角，见式（9.83）、（10.51）
各起始扰动引起的复偏角
偏角，见式（7.23）
亚的二分量
偏角山的特征函数
偏角的平均值，见式（7.127)
导弹偏航角，见图14.5
函数，见式（7.133)
pg(uo,u)
推力偏心矩引起的偏角，见式（7.96)
质量偏心Lm引起的偏角，见式(7.142)
导弹弹道偏角，见图14.2
垂直风引起的偏角特征函数，见式(7.120)
角推力偏心βp引起的偏角，见式(7.134)
气动偏心M引起的偏角，见式（7.140)
各起始扰动引起的偏角，见第七章7.4节
弹道坐标系 0－2y2z2的转动角速度矢量，见式(8.34)
地球自转角速度，见图1.4
频率，见式（15.30）
全弹的转动角速度矢量，见式（8.41）
弹轴坐标系 0 sns 的转动角速度矢量,见式(8.40)
导弹固有频率，见式（15.43)
Wa
362

附表 1
X-1
- 6
4000
288.9
263.6
-6
8000
238.3
100
100
288.3
263.0
100
237.6
200
287.6
200
- 6
200
262. 3
237.0
300
287.0
300
261.7
-6
300
236. 4
400
286. 4
400
261. 1
400
235.8
- 6
500
500
285.7
- 6
260.4
500
235. 1
285. 1
600
600
259.8
-7
600
234. 5
700
700
284. 5
259.1
-6
700
233.9
800
800
283.9
258.5
- 6
800
233. 2
-6
900
283. 2
900
257.9
900
232.6
1000
282.6
5000
257.3
9000
232. 0
100
100
- 6
256.6
282.0
231.3
100
200
281. 3
200
256.0
200
230. 7
-6
300
300
280.7
255.4
300
230.0
400
400
280. 1
229. 4
254.7
400
500
279. 4
500
-6
254. 1
500
228.8
600
600
278.8
-6
253.5
600
228.2
700
278.2
700
252.9
700
227.6
277.5
800
800
-6
252.2
800
227.1
900
900
276.9
900
251.6
226.6
- 6
2000
276.2
6000
- 6
250.9
10000
226. 1
-5
100
275.6
100
-7
100
250.3
225.6
200
274.9
200
249.7
200
225. 2
300
300
274.3
-- 6
249. 0
300
- 4
224.8
273.7
400
400
400
248. 4
-7
224. 4
500
- 6
500
273.0
247.7
500
224.0
600
272.4
600
247. 1
-7
600
-3
223.7
700
700
271.8
- 6
246. 4
700
223. 4
800
271.2
800
-6
245.8
800
223. 1
- 6
900
270.5
900
245.2
-6
900
222. 9
- 6
3000
269. 9
7000
244.6
-7
11000
222. 7
100
100
-6
269. 3
243.9
100
222. 5
200
200
268.6
-6
222. 3
243.3
200
300
268. 0
300
300
242. 7
-6
222. 1
400
400
267. 4
400
242. 1
-7
222. 0
500
266. 7
-6
500
- 6
241.4
500
221.8
- 1
600
266. 1
240.8
-7
600
221.7
700
265. 5
700
700
240. 1
221.6
800
264. 9
800
239.5
-6
221.6
800
- 1
900
-6
900
264. 2
-6
238.9
900
221. 5
-6
4000
263. 6
8000
238.3
12000
221.5
363

火箭外弹道学
p(y)
附表 2
π(y)
expl -
pon
900
800
700
600
500
400
300
200
100
000
0. 8981
0. 9090
0. 9200
0.9311
0. 9423
0. 9536
0. 9650
0. 9766
0. 9882
1. 0000
0. 7949
0.8047
0.8147
0.8428
0. 8350
0. 8452
0. 8556
0. 8661
0.876
0.8873
1000
0. 7016
0. 7106
0.7196
0. 7286
0.7378
0. 7471
0. 7565
0. 7659
0.7755
2000
0. 7852
0.6175
0. 6255
0. 6336
0.6418
0.6501
0. 6585
0. 6669
0.6755
0.6841
0. 6928
3000
0. 5417
0. 5489
0. 5562
0. 5636
0.5711
0. 5786
0. 5862
0. 5939
0.6017
4000
0. 6095
0.4737
0. 4802
0. 4867
0. 4934
0. 5000
0. 5068
0. 5136
0. 5205
0.5275
5000
0. 5346
0.4129
0.4186
0. 4245
0. 4304
0. 4364
0. 4424
0. 4486
0. 4548
0. 4610
0. 4673
6000
0.3585
0. 3637
0. 3689
0. 3742
0.3795
0. 3849
0. 3904
0. 3959
0. 4015
0. 4071
7000
0.3101
0. 3147
0. 3194
0. 3241
0. 3288
0. 3336
0. 3385
0. 3434
0. 3484
0. 3534
8000
0. 2672
0. 2713
0. 2754
0. 2796
0. 2838
0. 2880
0. 2923
0. 2967
0. 3011
0. 3056
9000
0. 2295
0. 2331
0. 2367
0. 2403
0. 2440
0. 2477
0. 2515
0. 2554
0.2593
0. 2632
10000
0. 1968
0. 1998
0. 2029
0. 2061
0. 2093
0.2125
0. 2158
0.2192
0. 2226
0. 2260
11000
0. 1687
0. 1713
0. 1739
0. 1766
0. 1794
0. 1822
0. 1850
0. 1879
0. 1908
0. 1938
12000
0. 1445
0. 1468
0. 1491
0. 1514
0. 1537
0. 1561
0. 1586
0. 1610
0. 1635
0. 1661
13000
0. 1239
0. 1258
0. 1278
0.1298
0. 1318
0. 1333
0. 1359
0. 1380
0. 1402
0. 1423
14000
0. 1062
0. 1078
0. 1095
0. 1112
0. 1129
0. 1147
0. 1165
0. 1183
0. 1201
0. 1220
15000
0. 09100
0. 09242
0. 09385
0. 09531
0. 09679
0. 09830
0. 09982
0. 1014
0. 1030
0. 1046
16000
0.07799
0.07921
0.08044
0. 08169
0. 08296
0. 08425
0. 08556
0. 08689
0. 08824
0. 08961
17000
0. 06685
0. 06788
0. 06894
0. 07001
0. 07110
0. 07220
0. 07333
0. 07447
0. 07562
0. 07680
18000
0. 05729
0.05818
0. 05909
0. 06000
0. 06094
0. 06188
0. 06285
0. 06382
0. 06481
19000
0. 06582
0. 04910
0. 04987
0. 05064
0. 05143
0. 05223
0. 05304
0. 05386
0. 05470
0. 05555
20000
0. 05641
0. 04208
0. 04274
0. 04340
0. 04408
0. 04476
0. 04546
0. 04616
0. 04688
0. 04761
0. 04835
21000
0. 03607
0. 03663
0. 03720
0.03778
0. 03836
0. 03896
0. 03957
0. 04018
0.04081
0. 04143
22000
0. 03091
0. 03139
0. 03188
0. 03238
0. 03288
0. 03339
0. 03391
0. 03444
0. 03497
0. 03552
23000
0. 02649
0. 02691
0. 02732
0. 02775
0. 02818
0. 02862
0. 02906
0. 02952
0. 02997
0. 03044
24000
0. 02271
0. 02306
0. 02342
0. 02378
0. 02415
0. 02453
0. 02491
0. 02530
0. 02569
0. 02609
25000
0.01946
0. 01976
0. 02007
0. 02038
0. 02070
0. 02102
0. 02135
0. 02168
0. 02202
0. 02236
26000
0. 01668
0. 01694
0. 01720
0.01747
0.01774
0. 01802
0.01830
0.01858
0.01887
0. 01916
27000
0. 01430
0. 01452
0. 01474
0.01497
0. 01521
0. 01544
0.01568
0. 01593
0. 01617
0. 01642
28000
0. 01225
0. 01244
0. 01264
0.01283
0. 01303
0. 01324
0.01344
0. 01365
0.01386
0. 01408
29000
0. 01050
0. 01066
0. 01083
0. 01100
0.01117
0. 01134
0. 01152
0. 01170
0.01188
0. 01207
30000
0. 01034
31000
364

附表
H(y) :
附表 3
Pon
000
100:
200
300
400
500
600
700
800
900
0. 9809
1. 0000
0. 9904
0. 9527
0. 9435
0. 9343
0.9714
0. 9620
0. 9252
0. 9161
0. 8894
1000
0. 8807
0. 9072
0. 8983
0. 8720
0. 8633
0. 8548
0. 8463
0. 8378
0. 8595
0. 7966
0. 7886
2000
0. 8047
0. 7806
0. 7726
0. 7648
0. 8211
0. 8129
0. 7570
0. 7492
0. 7115
0. 7041
0. 6968
3000
0. 7189
0. 7416
0. 7339
0. 7246
0. 6895
0. 6823
0.6752
4000
0. 6610
0.6472
0. 6335
0. 6268
0. 6201
0. 6069
0. 6403
0. 6681
0. 6134
0. 6541
0. 5623
5000
0. 5685
0. 5440
0.6003
0. 5939
0. 5875
0. 5748
0. 5562
0. 5501
0. 5811
0. 5204
0. 5031
0. 4864
6000
0. 4975
0. 5380
0. 4919
0. 5321
0. 5262
0. 5146
0.5088
7000
0. 4541
0. 4809
0. 4700
0. 4647
0. 4594
0. 4489
0. 4437
0. 4386
0. 4335
0.4754
0. 3899
0. 3993
0. 3945
0. 3852
0.4137
8000
0. 4088
0. 4040
0. 4285
0. 4235
0.4186
0. 3716
0. 3671
0. 3407
9000
0.3807
0. 3628
0.3583
0. 3539
0. 3495
0. 3451
0. 3761
0. 3275
0.3232
0.3189
0. 3146
0. 3060
0. 3017
0. 2975
0.3103
0. 3319
10000
0. 3363
0. 2808
0. 2727
0. 2567
0. 2891
0. 2850
0. 2686
0. 2646
0. 2606
0. 2767
0. 2933
1 1000
0. 2269
0. 2200
0. 2528
0. 2450
0. 2413
0. 2340
0. 2304
0. 2234
0. 2376
0. 2489
12000
0. 2036
0. 1975
0. 1944
0. 2005
0. 1915
0. 2100
0. 2068
13000
0. 2133
0. 1885
0. 2166
0. 1772
0. 1692
0. 1666
0. 1641
0. 1616
0. 1745
0. 1719
0. 1856
0. 1828
0. 1800
14000
0. 1450
0. 1473
0. 1496
0. 1428
0. 1406
0. 1385
0. 1567
15000
0. 1591
0. 1543
0. 1519
0. 1282
0.1187
0. 1322
0. 1302
0. 1243
0. 1224
0. 1205
0. 1262
16000
0. 1343
0. 1364
0. 1065
0. 1116
0. 1033
0. 1133
0. 1099
0. 1082
0. 1049
0. 1017
17000
0. 1169
0. 1151
0. 09131
0. 08992
0. 08719
0. 09273
0. 08854
0. 09418
18000
0. 09564
0. 1002
0. 09864
0. 09713
0. 07589
0. 07706
0. 08071
0. 07826
19000
0. 08197
0.07472
0. 08324
0. 07948
0. 08585
0. 08454
0. 06504
0. 06812
0. 06708
0. 06605
20000
0. 07134
0. 07025
0. 06918
0. 06404
0.07358
0. 07245
0. 05574
0. 05749
0. 05661
0. 06021
0. 05929
0. 05489
0. 06115
0. 06306
21000
0. 06210
0. 05838
0. 04777
0. 05082
0. 04927
0. 04704
0. 04852
0. 05322
0. 05241
0. 05004
0. 05161
0. 05405
22000
0. 04289
0. 04158
0. 04095
0. 04032
0. 04423
0. 04223
0. 04355
0. 04561
23000
0. 04632
0. 04492
0. 03850
0. 03619
0. 03564
0. 03509
0. 03456
0. 03733
0. 03676
0. 03909
0. 03791
24000
0. 03970
0. 03102
0. 03055
0. 03008
0. 02962
25000
0. 03249
0. 03150
0. 03299
0. 03199
0. 03403
0. 03351
0. 02700
0. 02659
0. 02538
0. 02785
0. 02618
0. 02578
0. 02742
26000
0.02872
0. 02828
0. 02916
0. 02176
0. 02350
0. 02279
0. 02244
0. 02209
0. 02387
0. 02314
27000
0. 02461
0. 02424
0. 02500
0. 01865
0. 01923
0. 02045
0. 01983
0. 01953
0. 01894
28000
0. 02014
0. 02142
0. 02077
0. 02109
0. 01598
0. 01623
0.01753
0. 01700
0.01648
0. 01726
0. 01674
29000
0. 01808
0.01780
0. 01836
0. 01370
30000
0. 01435
0.01413
0. 01391
0. 01457
0. 01502
0. 01479
0. 01574
0. 01526
0. 01550
0. 01349
31000
365

火箭外弹道学
附表 4
饱和蒸汽压力
压力／
压力／
压力／
压力／
压力／
压力／
温度 t/℃
温度 t/℃
温度 t/℃
温度 t/℃
温度 t/℃
温度 t/℃
0. 13 kPa
0. 13 kPa
0. 13 kPa
0. 13 kPa
0. 13 kPa
0. 13 kPa
31.55
30
20
17. 39
9.17
10
4.60
2.08
- 10
0.91
- 20
31
33.41
18. 50
21
9. 79
11
4.94
2.26
- 9
- 19
1.00
35. 36
32
19. 66
10. 46
5.30
12
2.46
1.08
- 18
37.41
20. 91
11. 16
13
5.69
2.67
-7
- 17
1.18
39.57
22.18
24
11.91
14
6. 10
2.89
-6
1.28
- 16
35
41.83
23.55
25
12. 70
15
6.53
3. 13
1. 39
- 15
44. 20
36
26
24. 99
16
13.54
7.00
3.39
-4
1.50
- 14
46. 69
26. 51
27
17
14. 42
7.49
3.66
1.63
- 13
38
49. 30
28
28. 10
18
15. 36
8.02
-2
3.69
1.76
- 12
52. 04
39
29. 78
29
19
16. 35
8.57
4.27
1.92
- 11
40
54.90
30
31.55
17. 39
20
10
9.17
4.06
2.08
- 10
Cxon(Ma)
附表 5
1943 年阻力定律
Ma
0. 159
0. 159
0. 158
0. 158
0. 157
0.157
0. 157
0. 157
0. 157
0. 157
0.7
0. 178
0. 174
0.170
0. 168
0. 166
0. 164
0. 162
0. 161
0. 160
0. 159
0.8
0.314
0. 302
0. 287
0. 270
0. 252
0. 234
0.219
0. 204
0. 192
0. 184
0.9
0.376
0.373
0.370
0. 366
0. 362
0.357
0. 351
0.343
0. 334
0. 325
1.0
0. 385
0.385
0. 384
0. 384
0. 383
0. 382
0. 382
0. 381
0.379
0. 378
1.1
0. 380
0.381
0.381
0.382
0. 382
0.383
0.383
0. 384
0. 384
0. 384
1.2
0.371
0.372
0.373
0. 374
0. 375
0.376
0. 377
0.378
0. 379
0.379
1.3
0. 363
0. 364
0. 365
0. 365
0. 366
0. 367
0. 368
0. 369
0.370
0. 370
1.4
0. 353
0. 353
0. 354
0.355
0. 356
0.357
0.358
0.359
0. 361
0. 362
1.5
0. 343
0.343
0. 344
0. 345
0. 346
0. 347
0. 348
0. 349
0.350
0. 352
1.6
0.333
0. 334
0.335
0. 336
0.337
0.338
0. 339
0. 340
0. 341
0. 342
1.7
0. 324
0. 325
0. 326
0. 327
0. 328
0.329
0.330
0.331
0. 332
0.333
1.8
0.317
0.318
0.318
0.319
0. 320
0.320
0. 321
0. 322
0. 322
0. 323
1.9
0.310
0.311
0.312
0.313
0.313
0.314
0.314
0.315
0.316
0.317
2.0
0. 273
0. 276
0.280
0.288
0. 284
0. 293
0. 298
0. 303
0. 308
0.317
0. 260
0. 261
0. 261
0. 262
0. 263
0. 264
0. 266
0. 268
0. 269
0. 270
0. 260
0. 260
0. 260
0. 260
0. 260
0. 260
0. 260
0. 260
0. 260
0. 260
366

附表
1943年阻力定律F（w）
附表 6
0.77
0. 76
0. 74
0.79
100
0.80
0.82
0.84
0.87
0.88
0.85
110
0.90
0.93
0.92
0.95
1.00
0.97
0.98
1.02
1.05
1.04
120
1.07
1. 12
1.09
1.14
1.16
1.18
1. 20
1.11
1.22
1. 24
1. 26
130
1.30
1.35
1.28
1.33
1.38
1.32
1.40
1.42
1.44
1.48
1.50
1.58
140
1.46
1.52
1.54
1.56
1.61
1.63
1.65
1.76
1.81
1.67
1.70
1.72
1.74
1.79
150
1.83
1.86
1.88
2.00
2.02
2.05
1.95
1.98
160
2.07
1.90
1.93
2. 10
2. 12
2.20
2.33
2.38
2.23
2. 36
170
2. 15
2.17
2.25
2.28
2. 30
180
2.44
2.52
2.66
2.41
2.46
2.49
2.54
2.57
2.60
2.63
2.71
2. 80
2.74
190
2.68
2.77
2.83
2.89
2.86
2.91
2.94
3.06
3.03
3.09
3.12
3.25
3. 15
3.19
2.97
3.22
200
3.00
3.28
3.37
3.40
3.53
210
3.31
3.34
3.44
3.47
3.50
3.57
3.76
3.70
220
3.60
3.63
3.73
3.80
3.66
3.86
3.90
3.83
4.07
230
4. 04
4.11
4. 18
4.25
3.93
3.97
4.00
4. 14
4.21
4.39
4.57
4.46
4.50
4. 54
4.35
4.43
240
4.28
4.32
4.61
4.76
5.02
250
4. 72
4.80
4.83
4.97
4.65
4.87
4.92
4.68
5.37
5.28
5.41
5.18
5.06
5.13
5.22
5.33
5.45
5.09
260
5.72
5.87
5.57
5.66
5.77
5.49
5.53
5.82
5.93
5.61
270
6.48
6. 20
5.98
6.03
6.08
.6.27
6.34
280
6. 14
6. 54
6.41
7.31
290
6.61
6.68
6.75
6.82
6.89
7.03
7. 11
7.20
6.96
7.60
7.51
7.70
7.82
8.07
8.36
7.94
8.21
7.41
300
8.51
9.32
9.81
10. 65
8.88
9.56
10. 10
8.69
9.09
10.37
310
10. 91
11. 20
12. 52
12.86
13. 55
13. 90
320
12. 18
13. 21
11.51
11.83
14. 24
17. 32
16. 20
16. 76
15.58
15.90
16.48
330
15. 25
17. 04
14. 59
14. 92
19. 68
340
18. 64
19.94
17.61
17.88
18.90
19. 16
19. 42
18. 14
18.39
22. 16
21. 11
21. 54
20.67
20. 90
21.33
21.75
21.96
20. 44
20. 19
350
23.53
23. 71
23.90
24. 09
23. 15
23. 34
22. 35
22. 74
22. 94
360
22. 55
25.17
25.63
25.33
25.79
370
25. 47
25.00
24. 27
24.65
24.83
24. 47
26. 49
27. 10
27. 23
27.37
26. 65
26.81
26. 96
380
26. 16
26. 33
25.96
390
27. 70
28. 03
28. 20
28. 36
28.67
28. 80
28.95
27.86
28. 52
27.53
29. 61
30. 18
29. 11
29.91
30. 05
30. 29
30. 42
29. 46
29. 77
29. 29
400
31.61
31.02
31.33
31.72
31.85
31.47
410
30. 56
30.87
31.17
30.71
32.98
32. 70
33. 13
33. 30
31.99
32. 59
32.83
32. 45
32. 14
32.31
420
33.83
34. 45
33.58
33.98
34. 59
34.71
33. 69
34.15
34. 30
33. 44
430
440
35.86
36. 00
35.37
35.53
35.71
36. 12
35. 09
34. 97
34. 84
35.23
37. 19
37.32
36. 65
37. 46
36. 79
37.05
36. 25
36.52
36. 92
36. 39
450
38.67
38.53
38.80
38. 40
38. 26
38. 13
37.86
37.99
460
37.59
37. 72
39.61
39.88
40. 03
39. 07
39. 34
39. 48
39. 73
40. 19
470
39.21
38. 94
41.63
40. 95
40.81
41. 22
41. 49
480
40.68
41.08
41.36
40. 38
40. 54
42. 72
42.87
43. 03
42. 59
42. 32
42. 45
490
42. 18
42.04
41.77
41.90
43. 39
43.95
44. 09
44. 37
44. 51
43.81
44. 23
43. 55
43.69
500
43. 23
45.46
45. 53
45. 76
45. 64
44. 79
45. 06
45. 22
45. 34
510
44. 65
44.93
47. 16
46.89
47. 03
46.47
46.75
46. 05
46.61
46. 19
46. 33
520
45. 90
48.41
48. 28
48. 56
47.86
48. 00
48. 14
47. 30
47.44
47.58
47.72
530
49. 79
49.97
49. 85
49. 58
49. 42
49. 55
48. 94
49. 11
49.27
48. 73
540
51. 22
51.36
50.66
50.80
50. 94
51.08
50. 38
50. 24
50. 52
550
50. 09
52.63
52. 49
52. 35
52. 77
51.79
51.93
52.07
52.21
51.65
51.51
560
53. 90
54. 06
53. 50
53. 72
54. 33
54. 21
53.05
53. 17
53.33
570
52.91
55. 60
55. 18
55. 04
55.32
55. 46
55.75
54. 76
54. 90
580
54. 48
54. 62
56.87
57. 02
56. 73
56.31
57. 16
56.03
56. 17
56. 45
56.59
590
55.89
367

火箭外弹道学
续附表 6
58. 54
58. 28
58. 14
58.42
58. 00
57.86
57.58
57. 72
600
57. 44
57.30
60. 15
60. 01
59.87
59.73
59.61
59. 45
58.86
59. 27
59. 04
610
58.69
61. 56
61. 42
61. 28
61.00
61.14
60. 86
60. 72
60. 58
620
60. 44
60. 30
62. 69
62.83
62.97
62. 55
62. 13
61. 99
62. 27
62.41
61.85
630
61.70
64. 37
64. 09
64. 23
63.95
63. 67
63.81
63. 53
63. 25
63. 39
640
63. 11
65.83
65.97
65.69
65.58
65. 24
65. 42
64. 99
64.81
64. 64
650
64. 49
67. 58
67. 30
67. 44
67. 18
67.02
66. 59
66.83
66. 40
66. 24
66. 11
660
69. 20
68. 79
68. 94
69. 04
68.62
68. 18
68. 43
68. 00
67. 84
67. 72
670
70.81
70.53
70. 67
70. 40
70. 26
70. 12
69. 99
69. 83
69. 64
680
69. 39
72. 27
72. 43
72. 18
72. 02
71.59
71.39
71.84
71.22
71.07
70. 95
690
73.93
74. 07
73. 79
73.65
72.86
73.51
73. 24 .
73. 40
73. 06
72.61
700
75. 06
74.97
74.89
74.81
74. 71
74. 74
74.62
74.51
710
74. 20
74. 34
76. 10
76. 24
75. 96
75. 70
75. 58
75.83
75.47
75. 36
75. 25
75.51
720
78. 79
78.62
78. 44
78.27
78.09
77.92
76.71
76.88
76. 55
76. 39
730
80. 55
80. 20
80.37
79.67
80. 02
79.85
79. 50
79. 32
79. 14
740
78.97
82. 32
81.96
82. 14
81.61
81.79
81.26
81.43
81.08
80.73
80. 90
750
83.73
83.91
83.56
84. 09
83.38
83. 20
83. 02
82.85
82.67
82. 49
760
85.69
85.87
85.51
85. 16
85.33
84. 98
84. 80
84. 62
84.44
770
84.27
87.66
87.48
87. 30
87. 12
86. 76
86. 94
86.58
86. 40
86.05
86. 23
780
89. 45
89.27
89. 09
88.73
88.91
88.55
88.37
88. 19
88.01
87.83
790
91.07
91. 25
90. 89
90.71
90. 53
90. 35
90. 17
89.63
89.81
89. 99
800
92. 87
92. 69
92. 05
92.51
92. 33
92. 15
91.97
91. 79
91.61
810
91.43
94. 86
94. 68
94. 50
94. 32
93. 95
94. 14
93.77
93. 59
93.41
820
93. 23
96.63
96. 45
96. 09
96. 27
95.95
95.77
95.59
95. 40
95. 22
95. 04
830
98. 48
98. 10
98. 29
97.92
97.73
97.55
97.37
97. 18
97.00
840
96.82
100. 16
100. 35
99.97
99.78
99. 60
99. 03
99.41
98.85
99. 22
98. 66
850
102. 26
102. 07
101.88
101. 69
101. 30
101.49
101. 11
100. 92
100. 54
100. 73
104. 25
104. 05
103.86
103. 67
103.47
103. 28
103. 08
102. 89
102. 70
102. 50
870
106. 00
106. 19
105.61
105. 80
105. 41
105. 22
105. 03
104. 64
104. 83
880
104. 44
108. 15
107. 95
107. 76
107. 56
107.37
107.17
106. 98
106. 78
106. 58
890
106. 39
109. 9
110. 1
109. 7
109.5
109. 3
108.9
109. 1
108. 5
108.7
108.3
900
112. 1
111.7
111.9
110.9
111.5
111. 1
111.3
110.7
110.5
016
110.3
113.9
114.0
113.7
113.5
113.3
113. 1
112.9
112. 7
112.5
920
112.3
116.0
115.6
115.8
115.2
115.4
115.0
114.8
114.6
930
114. 4
114.2
118.0
117.6
117.8
117.0
117.4
117.2
116.8
116.6
116. 4
116.2
940
120. 0
119.6
119.8
119. 2
119.4
118.8
118.6
119.0
118.2
118.4
950
121.9
122. 1
121.7
121.5
121.3
120.9
121.1
120. 7
120. 4
960
120.2
124.3
123. 9
124. 1
123. 7
123.5
123. 2
123.0
122. 8
122. 5
970
122.3
126.2
126. 5
126. 0
125.8
125.6
125. 4
125.2
125.0
124.7
980
124. 5
128.6
128. 4
128. 2
128.0
127.7
127.5
127. 1
127.3
126.9
126.7
990
130. 7
130.4
130.1
130. 2
129.9
129.5
129.7
129. 3
128.8
129. 0
1000
132.9
132.7
132.4
132.2
131.8
132.0
131.5
131.3
131. 1
130.9
1010
135.0
135.2
134.8
134.5
134. 3
134. 0
133.6
133.8
1020
133. 4
133.1
137.7
137.4
137. 2
136.9
136.7
136.4
135.9
136. 2
135.7
135.5
1030
140.3
140. 1
139.8
139.5
139.3
139.0
138.8
138.3
138.5
137.9
1040
142.8
142.6
142. 3
142.1
141.8
141.3
141.6
140.8
141. 1
140.6
1050
145.1
145.4
144.9
144.6
144. 4
143.9
143.6
144. 1
143. 3
1060
143. 1
148. 0
147.8
147.5
147.3
147.0
146. 7
146.4
145.6
146. 2
145.9
1070
150.6
150. 1
150.3
149.6
149.8
149. 0
149. 3
148.8
148.5
148.3
1080
153. 1
152.8
152.3
152.6
152. 1
151.8
151.6
151.3
150.8
151, 1
1090
368

附表
续附表 6
155. 5
155.3
155.1
154.8
154.6
154.3
153.8
154. 1
153.6
153.3
1100
158.0
157.7
157.5
157.2
157.0
156.7
156.2
156. 5
156. 0
1110
155.7
160. 2
160. 4
159.9
159.7
159.4
159.2
158.9
158.7
1120
158.5
158.2
162. 9
162. 7
162. 2
162. 4
161.9
161.7
161. 4
161. 2
160. 9
1130
160. 7
165. 4
165. 1
164. 9
164. 6
164. 4
164. 1
163. 9
163.7
163. 2
163. 4
1140
168. 0
167.7
167. 4
167. 2
166. 7
166.9
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312.0
311.7
311.3
1590
369

火箭外弹道学
续附表 6
Vr
317.6
318.4
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422.3
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1850
421.4
429.6
430. 1
428. T
429. 2
427.8
428. 2
427.3
426. 9
426.0
426.4
1860
434.2
434.7
433.8
433.3
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432. 4
431.5
430.5
431.0
1870
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439.3
437.9
438. 4
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437.0
437.5
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443.5
442.6
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441.2
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1900
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1910
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456. 2
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455.8
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1920
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460. 0
460. 5
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1930
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466.7
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464. 3
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1940
472.5
472.0
471.5
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471.1
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470.1
469. 1
468. 7
468. 2
1950
477.3
476.9
475.9
476.4
475.4
474. 9
474.4
474.0
473.0
473.5
1960
481.7
482. 2
481.2
480. 7
479.8
480.3
479.3
478.3
477.8
478.8
1970
487.1
486.6
486. 1
485.6
485. 1
484. 2
484.6
483.7
483. 2
1980
482.7
492.0
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489.5
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490. 0
488.6
489.0
488. 1
0661
487.6
496. 9
496. 4
495. 4
495.9
495.0
494. 5
494.0
2000
492.5
493. 0
493.5 °
370

附表
Ki(μ) = (1 -μ)ln(1-μ) + μ
附表 7
104 . Ki(μ)
104 . Ki(μ)
104 : Ki(μ)
104 、 Ki(μ)
836
0.38
: 154
0. 170
12.6
0. 050
0. 502
0.010
885
0.39
163
0. 175
15.1
0. 055
0. 607
0.011
935
0. 40
172
0. 180
18.1
0. 060
0. 723
0. 012
987
0. 41
183
0. 185
21.7
0. 065
0.849
0.013
1041
0.42
193
0. 190
24.8
0. 070
0. 984
0.014
1096
0.43
0. 195
28.5
0.075
1. 131
0.015
1153
0.44
215
0. 20
32.7
0. 080
1.287
0.016
1212
0. 45
238
0.21
37.5
0.085
1.453
0.017
1273
0. 46
262
0. 22
41.9
0. 090
1.630
0.018
1335
0.47
287
0.23
46.8
0. 095
1.816
0.019
1400
0. 48
315
0.24
51.4
0. 100
2.013
0.020
1466
0.49
342
0.25
57.4
0. 105
2. 220
0. 021
1534
0. 50
372
0.26
62. 3
0. 110
2.438
0. 022
1677
0. 52
403
0.27
68.5
0. 115
2.665
0. 023
1828
0. 54
435
0.28
75.4
0. 120
2. 903
0. 024
0.56
1988
468
0.29
81.9
0. 125
3. 151
0.025
2156
0.58
503
0. 30
88.1
0. 130
3. 409
0. 026
2335
0.60
539
0.31
95.7
0. 135
3.678
0.027
2523
0.62
577
0.32
103
0. 140
3.956
0. 028
2722
0. 64
617
0.33
110
4. 246
0. 145
0. 029
2932
0.66
658
0. 34
119
0. 150
4. 545
0.030
3154
0.68
700
0.35
127
0. 155
6.46
0.035
3612
0. 70
744
0.36
135
0. 160
8.32
0. 040
789
0.37
144
0. 165
10.7
0.045
K2(μ) =
附表 8
0.01 ln(1 - μ)
K2(μ)
K2(μ)
K2(μ)
K2(μ)
K2(μ)
3.526
0.42
3.025
0. 23
2.431
0. 120
1.055
0. 029
0. 00000
0. 010
3. 544
0.43
3.063
0.24
2.470
0. 125
1. 088
0. 030
0. 09455
0.011
3. 562
0.44
3.098
0.25
2. 506
0. 130
1.241
0.035
0. 1809
0. 012
3.579
0. 45
3. 132
0. 26
2. 541
1. 372
0. 135
0. 040
0. 2604
0.013
3.595
0. 46
3. 165
0.27
2.575
0. 140
1. 488
0. 045
0. 3340
0.014
3.611
0.47
0. 28
3. 196
2. 608
0. 145
1.591
0.050
0. 4026
0.015
3.627
0.48
3. 226
0. 29
2.639
0. 150
1. 684
0.055
0. 4668
0.016
3.642
0.49
3.254
0. 30
2. 669
0. 155
1. 769
0. 060
0. 5271
0.017
0. 50
3.657
3. 282
0.31
2.699
0. 160
1.846
0. 065
0. 5838
0.018
3.685
0.52
3.308
0. 32
2. 727
1.917
0. 165
0. 070
0. 6373
0.019
3.711
0.54
0. 33
3.334
2.754
0. 170
1. 984
0.075
0. 6881
0. 020
3. 736
0.56
3.358
0. 34
2.780
0. 175
2.046
0. 080
0. 7364
0.021
3. 760
0.58
3.382
0. 35
2. 806
0. 180
2. 104
0. 085
0. 7825
0. 022
3. 782
0.60
3.405
0.36
2.831
0. 185
2. 159
0. 090
0. 8265
0. 023
3.804
0.62
3.427
0.37
2.855
0. 190
2.210
0. 095
0. 8686
0. 024
3.824
0.64
3. 448
0.38
2.878
0. 195
2. 259
0. 100
0. 9089
0. 025
3.843
0.66
3.468
0. 39
2.901
0. 20
2. 305
0. 105
0.9477
0. 026
3. 861
0.68
3.488
0. 40
2.945
0.21
2. 349
0. 110
0. 9849
0.027
3.878
0. 70
3. 508
0.41
2.986
0. 22
2. 391
0. 115
1.020
0. 028
371

火箭外弹道学
L(v) =
附表 9
F(v)dv
20
30
10
40
50
60
70
90
80
100
3299
4282
5445
6800
8364
1218
1700
2478 × 10-2
1445
1015 × 10-1
200
2295
3015
3426
3872
4356
4884
5456
6085
1983 × 10~1
300
9583
8566
1782
7580
1336
1549
2034
2302
1147 × 100
6782 × 10-1
4221
4590
2884
3197
400
3524
3866
4973
5369
2585 × 100
5780
500
7079
7563
8043
8538
9064
9569
6644
1066
1011 × 10
6205 × 100
600
1363
1301
1180
1240
1427
1493
1559
1628
1698
1122 × 10
2152
2317
700
2072
1994
2233
1770 × 10
1844
1918
2402
2489
2761
2951
800
2668
2855
3048
3458
3148
3249
3353
2578 × 10
900
3900
4015
4251
3675
3786
4132
4496
4372
3566 × 10
4622
5421
4879
5011
5145
5282
5563
5708
5855
1000
6004
4749 × 10
7120
6789
6953
7290
7637
6627
7462
1100
6468
6156 × 10
6311
9139
7996
8365
8554
8746
8941
9544
8179
1200
7815 × 10
1039
1061
1083
1106
1129
1300
9962
1152
1176
9751 × 10
1017 × 102
1299
1377
1400
1325
1351
1224
1249
1274
1404
1431
1200 × 102
1500
1573
1487
1515
1543
1602
1632
1662
1692
1723
1459 × 102
1951
2020
1884
1917
2055
1851
1985
1600
1786
1818
1755 × 102
2273
2388
2236
2126
2311
2349
1700
2162
2199
2427
2090 × 102
2672
2715
2757
2801
2630
1800
2507
2589
2844
2548
2467 × 102
3211
2978
3117
3164
3259
1900
2933
3024
3070
3308
2889 × 102
2000
3357 × 102
注:当 < 100m/s 时,L() = 0.2478 × 10-4,3
L(0)
附表 10
R(v) =
70
80
40
50
60
90
10
20
30
100D
0. 8946
0. 2999
0. 7162
0. 4857
0.5576
0. 6344
0. 8029
0.3569
0.4188
0.2478
200
1.549
1.676
1.949
2.098
1.093
1.809
1. 199
1.311
1.427
0. 9913
300
3.373
4. 303
5.352
5.902
2.986
2. 261
2.677
3.817
4.817
2.445
11. 19
400
8.786
9. 380
9. 979
10. 58
11.80
6. 463
7. 034
7.612
8. 196
16. 79
17. 42
18.06
14. 90
15. 52
16. 15
500
13. 03
13. 65
14. 27
12. 41
22.61
21.96
23. 28
23. 94
600
21. 30
24.61
20. 00
20. 65
19.35
18.71
29. 39
30.09
30. 79
31.51
700
25.97
27. 32
28.00
28. 69
26. 64
25. 29
37.35
38.86
34. 39
35.86
36.60
35. 13
38. 10
32. 22
32. 94
33.67
45. 08
46. 68
42. 71
45.88
44. 28
900
40. 38
41,93
43. 39
39. 62
41.16
49. 96
54. 21
55.08
48.31
49. 13
52. 48
53. 34
1000
50. 79
51.63
47. 49
61.38
62. 31
64. 18
58.65
60. 46
63. 24
1100
55.97
56.85
57.75
59.55
71.96
72.97
73.98
66.08
68. 99
69.97
70. 96
67. 04
68. 01
1200
65. 13
82. 40
83. 49
84. 59
81.32
78. 13
79.18
80. 25
77. 08
1300
76. 04
75.01
96. 05
93. 69
91.36
92.52
94.87
86.81
87.94
89.07
90.21
85. 70
1400
105.8
107. 1
108.4
100.9
99.66
102. 1
103. 3
104. 6
1500
97. 25
98.45
118.9
120. 2
121.6
116.2
117.5
114. 9
112.2
113.6
1600
111.0
109.7
131.3
128.5
129.9
132. 7
134. 2
135.6
127.1
1700
124. 3
125.7
122, 9
145.9
149.0
150. 5
1800
147.5
138.5
141.5
142.9
140.0
137.1
144. 4
166. 2
163. 0
164.6
156.7
158,3
161.4
155.1
159.8
1900
152. 0
153.6
2000
167.8
注:当 v < 100m/s 时, R() = 0.2478 × 10-4²。
372

0. 02560
0. 07804
0. 08679
0. 06054
0. 09556
0. 12189
0. 19258
0. 20148
0. 00814
0. 04306
0. 05180
0. 10433
0. 15714
0. 17484
0. 18370
0. 16598
0. 01687
0. 03433
0.11311
0. 13949
0. 21039
0.21932
0. 13069
0. 22827
0. 25522
0. 06929
0. 26424
0. 14831
0.23723
0. 24621
0. 11252
0. 26364
0. 05996
0. 13010
0. 17424
0. 25462
0. 03375
0. 16539
0. 20980
0. 24562
0. 00756
0. 02502
0. 06870
0. 20089
0. 01629
0. 10374
0. 15655
0. 19199
0.21873
0. 23663
0. 04248
0. 05122
0. 14772
0. 22767
0. 07745
0. 12131
0. 18311
0. 09497
0. 13891
0. 08621
0. 06812
0. 14714
0. 25402
0. 05064
0. 12072
0. 18252
0. 23604
0. 26304
0. 02444
0. 05938
0. 10316
0. 13832
0. 15956
0. 17365
0. 19140
0. 20029
0.21813
0. 24502
0. 09439
0. 11193
0. 20920
0. 22707
0. 07687
0. 16480
0. 00698
0. 03317
0. 04190
0. 08563
0. 12951
0. 01571
0. 17306
0. 25342
0. 26243
0. 12013
0. 23544
0. 06754
0. 11135
0. 22648
0. 00640
0.02386
0. 03259
0. 04132
0. 08504
0. 12893
0. 13773
0. 14655
0. 18193
0. 05005
0. 05879
0. 09380
0.21753
0. 07629
24442
0.01513
0. 19970
0. 20861
0. 10257
0. 15537
0. 16421
0. 19081
0. 23484
0. 04074
0. 12834
0. 11076
0. 11955
0. 13715
0. 14596
0. 18134
0. 21694
0. 22588
0. 08446
15479
0. 24382
0. 25281
0. 10199
0. 26183
0. 03200
0. 09322
0. 16362
0. 00582
0. 07570
0. 17247
0. 01454
06695
0. 02327
0. 04947
0. 19021
0. 20801
0. 19911
0. 05821
0. 23424
0. 24322
0. 22528
0. 12776
0. 11896
0. 20742
0. 21634
. 15420
0. 16303
0. 18962
0. 13656
0. 17188
0. 10075
0. 03142
0. 07512
0. 10140
0.11018
0. 04015
0. 14537
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0. 01396
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附表 11
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续附表 11
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续附表 11
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续附表 11
.27244
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续附表 11
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1.91279
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15164
56846
2. 45997
51277
00069
62741
续附表 11
. 50916
.89982
3. 07295
. 98266
2. 35886
56465
2. 62337
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2. 1
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. 06187
21167
59947
66031
22
i2
30300
378

附表
()=1-lnl-l
附表 12
1.1
2. 2026
2. 0973
2. 0003
1.9102
1. 8261
1.2
1. 4094
1.3506
1. 2942
1. 2397
1.1871
1.3
0. 9040
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1.5
0. 1931
0. 1633
0. 1339
0. 1049
0. 0762
1.6
- 0. 0892
- 0.1420
. 0. 1157
-- 0. 1680
- 0. 1937
1.7
- 0.3433
-- 0.3675
-- 0.3915
- 0.4153
- 0.4389
1.8
- 0.5768
- 0.5993
- 0.6215
- 0.6437
- 0.6656
1.9
- 0.7946
- 0.8157
-- 0.8366
- 0.8574
- 0.8781
2.0
- 1.0000
- 1.0200
- 1.0398
- 1.0596
1.0792
2.1
- 1.1953
- 1.2144
- 1.2333
- 1.2522
- 1.2710
2.2
- 1.3823
- 1.4006
- 1.4370
- 1.4189
- 1.4551
2.3
- 1. 5624
- 1.5800
- 1.5976
- 1.6152
- 1.6327
2.4
- 1.7365
- 1.7707
- 1.7536
- 1.7877
- 1.8046
2.5
-- 1.9055
- 1.9221
- 1.9387
- 1.9553
- 1.9718
2.6
- 2.0700
. 2. 0862
- 2. 1186
- 2. 1024
- 2. 1347
2.7
- 2. 2306
2.2465
- 2.2623
- 2.2781
- 2.2939
2.8
- 2.3878
- 2.4033
- 2.4188
- 2.4343
- 2.4498
2.9
- 2.5419
- 2.5571
- 2.5723
- 2.6027
- 2.5875
3.0
- 2.6932
- 2.7081
- 2.7231
- 2.7380
2.7530
3.1
- 2.8567
-- 2.8714
- 2.8420
- 2.8861
- 2.9008
3.2
- 2.9885
- 3.0030
- 3.0175
- 3.0320
- 3. 0465
3.3
- 3. 1329
- 3.1616
- 3. 1472
- 3.1759
- 3. 1902
3.4
- 3.2896
- 3.2755
- 3.3038
- 3.3179
- 3.3320
3.5
- 3.4163
- 3.4303
- 3.4443
- 3.4582
- 3.4722
3.6
- 3.5555
3. 5694
- 3.5832
- 3. 5970
- 3.6108
3.7
- 3.7070
- 3.6932
- 3.7206
- 3.7343
- 3.7480
3.8
- 3.8296
- 3.8432
- 3.8567
- 3.8703
- 3.8838
3.9
- 3.9647
- 3.9782
- 3.9916
- 4.0050
- 4.0184
4.0
- 4. 1119
- 4. 1253
- 4.0986
- 4.1386
- 4.1519
4.1
- 4. 2314
-- 4.2578
- 4. 2446
- 4.2710
- 4.2842
4.2
- 4. 3632
- 4. 3763
- 4. 3894
. 4. 4025
- 4.4156
4.3
-- 4. 5070
4.4939
- 4. 5200
- 4. 5330
- 4.5460
4.4
- 4.6238
- 4.6367
- 4. 6496
- 4. 6626
- 4.6755
4.5
4.7785
- 4.7528
- 4. 7656
- 4.7913
- 4.8041
4.6
- 4.8809
- 4.8937
- 4. 9065
- 4.9192
- 4.9320
4.7
- 5.0083
- 5.0337
- 5.0210
- 5.0464
- 5.0591
4.8
- 5.1350
- 5.1476
-- 5.1603
- 5.1729
- 5. 1855
4.9
- 5.2735
- 5.2610
- 5.2861
- 5.2986
- 5.3112
5.0
- 5.3836
- 5.4113
- 5.4238
- 5.3988
5.4362
5.1
- 5.5110
- 5.5234
- 5.5359
- 5.5483
- 5.5607
5.2
- 5.6475
- 5.6351
-- 5.6598
- 5.6722
- 5.6846
5.3
- 5.7586
- 5.7709
- 5.7833
- 5.7956
- 5.8079
5.4
- 5.8816
- 5.8939
- 5.9061
- 5.9184
- 5.9307
5.5
- 6. 0041
- 6.0285
- 6.0163
- 6.0407
- 6.0529
5.6
- 6. 1261
- 6. 1382
- 6. 1504
- 6.1747
- 6. 1626
5.7
- 6.2718
- 6.2597
- 6.2476
- 6. 2839
- 6. 2960
5.8
-- 6. 3686
- 6.3807
- 6.3928
- 6.4049
- 6.4169
5.9
- 6.4892
- 6.5013
- 6.5133
- 6.5253
- 6.5373
6.0
- 6. 6094
- 6.6214
-6.6334
-- 6.6454
- 6.6574
379

火箭外弹道学
续附表 12
1.4707
1.5348
1. 6020
1.6726
1.7471
1.1
0. 9479
0. 9930
1. 0394
1. 0871
1. 1363
1.2
0. 5516
0. 5876
0. 6243
0.6617
0. 6998
1.3
0. 2234
0.2540
0. 2850
0. 3165
0. 3485
1.4
- 0.0624
- 0.0353
- 0.0079
0.0198
0.0478
1.5
- 0.3189
- 0.2943
- 0. 2695
- 0.2445
1.6
- 0.2192
- 0.5543
- 0.5315
- 0.5086
- 0.4856
- 0.4623
1.7
- 0.7735
- 0.7522
- 0.7307
- 0.7092
1.8
- 0.6875
-0.9799
- 0.9598
- 0.9395
- 0.9192
1.9
0.8987
- 1. 1762
- 1.1570
- 1.1377
- 1.1183
2.0
- 1.0988
- 1: 3640
- 1.3455
- 1.3270
- 1.3084
2.1
- 1. 2898
- 1.5446
- 1.5269
- 1.5090
2.2
- 1.4911
- 1.4731
- 1.7193
- 1.7021
- 1.6848
- 1.6675
2.3
- 1.6501
- 1.8888
- 1.8720
- 1.8553
- 1.8384
2.4
- 1.8216
- 2.0537
- 2.0374
2.0211
- 2.0047
2.5
- 1.9883
- 2.2147
- 2. 1988
- 2. 1828
- 2.1668
2.6
- 2.1508
- 2.3722
- 2.3566
- 2.3410
- 2.3253
- 2. 3096
2.7
- 2. 5266
- 2.5113
- 2.4959
- 2.4806
2.8
- 2.4652
- 2.6781
- 2.6631
- 2.6480
- 2.6329
- 2.6178
2.9
- 2.8272
- 2.8124
- 2.7976
- 2.7827
- 2.7678
3.0
- 2.9739
- 2.9593
- 2.9447
- 2.9301
- 2.9155
3.1
- 3.1186
- 3. 1042
- 3.0898
- 3.0754
- 3.0609
3.2
- 3.2613
3.2471
- 3.2329
- 3.2187
3.3
- 3.2044
- 3.4023
- 3.3883
- 3.3742
- 3.3602
- 3.3461
3.4
- 3.5417
- 3.5278
- 3.5139
- 3.5000
- 3.4861
3.5
- 3.6795
- 3.6658
- 3.6521
- 3.6383
3.6
- 3.6246
- 3.8160
- 3.8025
- 3.7888
- 3.7752
- 3.7616
3.7
- 3.9513
- 3.9378
- 3.9243
- 3.9108
3.8
- 3.8973
- 4.0853
- 4.0719
- 4.0586
- 4.0452
- 4.0318
3.9
- 4.2182
- 4.2049
- 4. 1917
- 4. 1784
- 4. 1651
4.0
- 4. 3500
- 4.3369
- 4.3237
- 4.3106
- 4. 2974
4.1
- 4. 4809
- 4.4678
- 4. 4548
- 4.4417
4.2
- 4.4286
- 4.6108
- 4.5979
- 4.5849
- 4.5719
- 4.5590
4.3
- 4. 7400
- 4.7270
- 4.7142
- 4. 7013
- 4. 6884
4.4
- 4.8682
- 4.8554
- 4.8426
- 4.8300
4.5
- 4.8170
- 4.9956
-- 4.9829
- 4.9702
- 4.9575
4.6
- 4.9447
- 5. 1224
- 5.1097
- 5.0971
- 5.0844
- 5.0718
4.7
- 5. 2484
- 5.2358
- 5.2233
- 5.2107
4.8
- 5.1981
- 5.3738
- 5.3613
- 5.3488
- 5.3362
4.9
- 5.3237
- 5.4985
- 5.4861
- 5.4736
- 5.4612
5.0
5.4487
- 5.6227
- 5.6103
- 5.5970
- 5.5855
5.1
- 5.5731
- 5.7463
- 5.7340
- 5.7216
- 5.7093
5.2
- 5.6969
- 5.8693
- 5.8570
- 5.8448
- 5.8325
- 5.8202
5.3
- 5.9919
- 5.9796
- 5.9674
- 5.9551
- 5.9429
5.4
- 6. 1139
- 6. 1017
- 6.0895
- 6.0773
- 6.0651
5.5
- 6. 2354
- 6.2233
- 6.2112
- 6. 1990
- 6. 1869
5.6
- 6.3565
-- 6. 3444
- 6.3324
- 6.3203
-- 6.3081
5.7
- 6.4772
- 6.4652
- 6.4531
- 6.4410
- 6.4270
5.8
- 6.5974
- 6.5854
- 6.5734
- 6.5614
5.9
- 6. 5494
-- 6.7173
- 6.7053
- 6.6933
- 6.6814
- 6.6694
6.0
380

附表
附表 13
Kx
fife
500
450
400
375
350
325
300
250
0. 903
0. 903
0. 903
0.903
0. 903
0. 903
0. 903
0.903
0.897
0. 896
0.898
0.898
0. 899
0.900
0.901
0. 901
0.2
0.889
0.890
0.892
0.893
0.897
0. 894
0.899
0.900
0.4
0.883
0.884
0. 886
0.888
0. 890
0. 894
0.897
0.898
0.6
0.878
0.876
0.880
0. 886
0.883
0.891
0. 896
0. 895
0.8
0. 869
0.872
0.878
0.875
0.882
0.888
0..894
1.0
0.895
0. 863
0.866
0. 869
0.873
0.877
0.885
0. 892
0.893
1.2
0.857
0. 864
0. 860
0.867
0.873
0.890
0.882
0.892
1.4
0.850
0. 854
0.858
0. 862
0. 868
888°0
0.879
0.890
1.6
0. 844
0.848
0.853
0. 865
0.858
0.877
0.886
0.880
1.8
0.838
0.843
0. 849
0.862
0.854
0.884
0.875
0.887
2.0
0.838
0. 832
0. 844
0.850
0.859
0.873
0.882
0.885
2.2
0.826
0.832
0.839
0.856
0.846
0.870
0. 880
0.884
2.4
0. 820
0. 826
0. 834
0.842
0.853
0.868
0.878
0.882
2.6
0.814
0.820
0.829
0.838
0. 866
0.849
0.876
0.881
2.8
0.808
0.816
0. 824
0.834
0.846
0. 864
0.875
0.880
3.0
0. 802
0. 820
0.811
0.829
0.843
0. 862
0.873
0.878
3.2
0.797
0.807
0.816
0.826
0.840
0.859
0.871
0.877
3.4
0. 792
0.802
0.813
0.823
0.837
0.857
0.869
0.876
3.6
0. 787
0. 797
0. 809
0.819
0. 835
0.855
0.867
0.874
3.8
0. 782
0. 791
0.805
0.816
0.833
0.853
0.865
0.873
4.0
0.777
0. 786
0. 801
0.813
0.830
0.852
0. 863
0.872
4.2
0. 773
0.782
0. 797
0.809
0.828
0.850
0. 862
0.870
4.4
0. 769
0. 778
0. 793
0. 806
0.825
0.848
0.860
0.869
4.6
0. 764
0.774
0. 790
0.803
0.823
0.846
0.858
4.8
0. 868
0.759
0.770
0.787
0.800
0. 820
0. 844
0.857
0.867
5.0
0. 754
0. 766
0. 784
0. 797
0.843
0.818
0.855
0.866
5.2
0. 749
0.762
0.780
0.795
0.815
0.841
0. 854
0. 864
5.4
0. 744
0.758
0. 776
0. 792
0.813
0.839
0.852
0.863
5.6
0. 740
0.754
0. 773
0. 790
0.811
0.837
0. 862
0.851
5.8
0. 735
0.770
0.749
0.787
0.809
0.849
0.835
0.861
6.0
0. 724
0.741
0. 763
0. 781
0. 805
0.830
0. 846
0.858
6.5
0.714
0.732
0.756
0.775
0. 800
0. 826
0. 842
0.855
7.0
0. 705
0. 750
0. 724
0. 769
0. 795
0.822
0.838
0.851
7.5
0. 696
0.716
0.744
0. 764
0. 790
0.818
0. 834
0.848
8.0
0.687
0.709
0. 729
0. 738
0.786
0.814
0.830
0.844
8.5
0. 702
0.679
0. 732
0.754
0. 782
0.810
0.827
0.841
9.0
0.671
0. 695
0. 727
0.749
0.778
0. 806
0.823
0.837
9.5
0. 664
0.689
0. 722
0. 745
0. 802
0. 774
0.819
0. 834
10.0
381

火箭外弹道学
续附表 13
1300
1200
1100
900
1000
800
700
600
0. 903
0. 903
0.903
0.903
0. 903
0.903
0. 903
0.903
0.890
0.891
0.892
0.893
0.894
0. 894
0. 895
0. 895
0.2
0.878
0.880
0.881
0.883
0. 887
0. 884
0.885
0.888
0.4
0.867
0.869
0.871
0.873
0.875
0.877
0.879
0.881
0.6
0.858
0.855
0. 861
0. 864
0. 866
0. 868
0.870
0.873
0.8
0. 844
0.847
0.851
0.855
0.857
0. 860
0. 862
0.865
1.0
0.833
0.837
0.841
0.845
0. 849
0.852
0.855
0.859
1.2
0.822
0.827
0.831
0.836
0.840
0. 844
0.852
0.848
1.4
0.812
0.817
0.821
0.827
0.831
0.836
0.840
0.845
1.6
0.808
0. 802
0.813
0.818
0.823
0.828
0. 832
0.838
1.8
0. 792
0. 799
0. 804
0.810
0.815
0.820
0.825
0.831
2.0
0. 783
0. 789
0. 795
0.802
0.807
0.812
0.819
0.825
2.2
0. 774
0. 781
0.787
0. 793
0.799
0.805
0.812
0.819
2.4
0. 765
0.772
0. 779
0. 785
0. 792
0. 798
0. 805
0.812
2.6
0. 756
0. 763
0. 771
0.778
0. 784
0. 791
0. 799
0. 806
2.8
0. 747
0.755
0. 763
0. 770
0.777
0. 785
0. 792
0. 800
3.0
0. 739
0.747
0.755
0. 763
0.778
0.770
0. 786
0.794
3.2
0. 731
0. 739
0.748
0. 756
0. 764
0. 772
0.779
0.788
3.4
0. 723
0.731
0. 740
0.749
0.757
0. 765
0. 773
0.782
3.6
0.715
0. 724
0. 733
0. 742
0. 750
0.759
0.767
0.776
3.8
0.707
0.716
0. 726
0.735
0. 743
0.752
0. 761
0.771
4.0
0. 700
0. 709
0.719
0.728
0. 737
0. 746
0.755
0. 765
4.2
0. 693
0. 702
0.712
0. 722
0. 731
0.740
0. 749
0.759
4.4
0. 696
0.687
0. 706
0.715
0. 724
0. 734
0. 743
0.755
4.6
0. 680
0.689
0. 700
0. 709
0.718
0.727
0.737
0.750
4.8
0.673
0.683
0. 693
0. 702
0.712
0. 721
0. 732
0.745
5.0
0. 666
0.676
0.687
0.696
0. 705
0.715
0.727
0. 740
5.2
0.659
0.670
0. 680
0. 690
0. 700
0.710
0. 722
0.735
5.4
0.653
0. 664
0.674
0.684
0. 694
0. 705
0.717
0. 730
5.6
0.647
0.658
0. 669
0.679
0. 689
0.699
0.712
0. 726
5.8
0. 641
0.652
0. 663
0.673
0.683
0. 694
0.707
0.721
6.0
0.627
0.638
0.649
0.659
0.670
0.681
0. 694
0. 708
6.5
0.613
0. 624
0. 635
0.646
0.657
0. 668
0. 682
0. 696
7.0
0. 599
0.610
0.622
0.633
0. 644
0.655
0. 669
0. 684
7.5
0. 586
0.597
0. 609
0. 620
0. 632
0. 644
0.658
0.674
8.0
0. 574
0. 585
0. 597
0. 608
0. 621
0.633
0.647
0. 664
8.5
0. 563
0.574
0.586
0.597
0.610
0.622
0. 636
0.654
9.0
0.551
0. 563
0.575
0.587
0. 600
0.612
0.627
0. 645
9.5
0. 540
0. 552
0. 564
0.577
0. 590
0.603
0.618
0.636
10.0
382

附表
续附表 13
1800
1900
2000
1500
1600
1700
1400
0. 903
0. 903
0. 903
0. 903
0. 903
0. 903
0.903
0.886
0.885
0. 884
0.889
0.888
0.887
0. 890
0.2
0.876
0.868
0.865
0.872
0. 870
0.874
0.877
0.4
0.858
0. 856
0.853
0.850
0.847
0.6
0. 864
0.861
0.838
0.840
0. 834
0.830
0.843
0.8
0.847
0.851
0.819
0.814
0. 835
0. 830
0. 826
0.823
1.0
0.839
0. 800
0.813
0. 808
0.823
0. 804
0.818
0.828
1.2
0. 785
0. 796
0. 790
0. 806
0. 801
0.812
0.817
1.4
0. 777
0. 772
0. 782
0.788
0.801
0. 794
0.807
1.6
0.758
0. 776
0. 770
0. 764
0. 782
0. 790
0. 797
1.8
0.758
0. 746
0. 764
0.752
0.779
0. 771
2.0
0.787
0. 740
0. 746
0. 734
0. 768
0. 760
0.753
0. 776
2.2
0.735
0. 729
0. 722
0. 750
0. 766
0. 742
0.758
2.4
0.718
0.711
0.733
0.725
0.741
0. 749
0. 757
2.6
0. 715
0. 707
0. 700
0. 730
0.740
0. 722
0. 748
2.8
0. 705
0. 731
0. 690
0. 714
0. 722
0.697
3.0
0. 739
0. 704
0. 680
0.696
0.688
0. 722
0.712
0. 730
3.2
0. 696
0.687
0.679
0.670
0. 705
0. 715
0. 722
3.4
0. 661
0.678
0.670
0. 696
0.687
0. 704
0.714
3.6
0.670
0. 652
0. 661
0.679
0. 688
0. 696
0. 706
3.8
0. 662
0. 653
0. 644
0.671
0.680
0.698
0. 688
4.0
0. 644
0.635
0.663
0. 654
0.672
0. 691
0. 681
4.2
0. 637
0. 646
0. 628
0. 655
0. 664
0.674
0.684
4.4
0.637
0.627
0.618
0. 646
0. 656
0.677
0.667
4.6
0.611
0. 639
0. 620
0. 629
0. 649
0. 660
0.670
4.8
0.613
0.622
0. 604
0. 632
0. 642
0. 663
0.653
5.0
0. 596
0.614
0.605
0. 635
0.625
0.646
0. 656
5.2
0. 599
0. 590
0.607
0.618
0. 639
0.628
0. 649
5.4
0.583
0. 600
0. 592
0.621
0.611
0. 632
0. 643
5.6
0.577
0.593
0.585
0. 604
0.615
0. 637
0. 626
5.8
0. 570
0.588
0. 579
0. 609
0. 599
0. 620
6.0
0. 631
0. 563
0.573
0.554
0. 584
0. 604
0. 594
0.616
6.5
0.559
0. 549
0.539
0. 570
0. 580
0. 590
0. 601
7.0
0. 535
0.525
0. 545
0. 556
0. 566
0.576
0. 588
7.5
0.512
0. 522
0. 532
0. 553
0. 543
0. 563
0. 575
8.0
0. 500
0. 520
0.510
0.531
0. 541
0.551
8.5
0. 565
0.488
0. 508
0. 498
0.518
0. 528
0. 540
9.0
0.551
0.497
0.477
0. 487
0. 506
0.516
0. 529
0. 539
9.5
0. 467
0. 486
0.476
0. 496
0. 506
0.518
0.528
10.0
383

火箭外弹道学
expli( u -- uo) Jdu
B(uo, u) × 105 = 105
附表 14
2u
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
100000
100000
100000
.0
100000
100000
0.00
100000
8561
7791
88881
6880
88476
87729
5790
86389
4453
2691
83820
0.01
77523
1 1092
84392
83807
10010
8731
82738
7209
80828
5354
2952
0.02
68246
81015
12674
80285
11356
9803
78961
7963
5736
76603
2903
72107
0.03
61142
13782
12268
78220
77362
8393
10490
75815
5873
73071
67855
2729
55161
0. 04
75799
14595
12913
74823
73073
10943
8628
69983
5870
64122
2496
49896
0.05
15207
73645
13375
72558
70619
11236
8735
67209
5777
60759
2238
45138
0. 06
15671
71694
13703
70500
8750
68383
11415
64672
5625
57674
1971
40765
0.07
16021
69903
68606
13931
8698
66318
11507
62323
5433
54809
1707
36694
0.08
16282
68244
66846
8595
14079
64394
11532
60127
5212
1452
52122
0.09
32870
16470
66694
14163
65197
62586
11504
8453
58057
4972
49585
29252
1212
0. 10
16678
63862
14183
62172
11328
8086
59254
54227
4459
44872
787
22521
0. 12
16714
61313
14056
59435
11037
56222
7644
50723
3929
40542
446
16325
0.14
16625
58987
13825
56992
10666
53424
7157
47474
199
3404
36512
10555
0. 16
16441
56840
13515
54591
102A0
50814
6645
44430
2898
50
32726
5131
0. 18
16184
54840
13148
9776
52408
48359
6122
41555
2419
29142
0. 20
14253
46377
10851
43042
7236
3616
28958
37695
621
13377
0. 30
11858
39486
8333
35262
4797
28702
1645
18246
0. 40
9407
33468
5957
28376
2755
415
20683
8699
0.50
7092
3888
27980
22053
1240
13318
0. 60
22838
5020
2217
16122
312
6448
0. 70
3259
994
17936
10493
0.80
1852
250
13218
5123
0. 90
829
8659
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
384

附表
续附表 14
2.2
2.4
2.0
1.8
1.6
1.4
100000
100000
100000
0. 00
100000
100000
100000
88595
88783
11065
9753
88946
10564
10849
89117
89065
89071
9210
10201
0.01
84285
84022
14638
14330
13924
13409
84511
84674
12007
84742
0.02
12774
84669
80606
17021
16641
16141
80924
0.03
15508
81196
81366
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18363
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17782
77798:1
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16150
0.04
15067
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0.05
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76432
17237
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76281
21370
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20100
20818
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19197
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20157
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18873
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49908
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20140
0.30
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21012
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15125
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1.80
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8498
1642
4624
2.00
451
4230
2. 20
2.40
2.60
2.80
3.00
3. 20
3.40
3.60
3.80
4. 00
385

火箭外弹道学
续附表 14
3.6
3.4
3.2
3.0
2.8
2.6
100000
100000
100000
100000
100000
0.00
100000
11302
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11318
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14988
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19344
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19478
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19448
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0.04
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20986
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20948
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0.05
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22036
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23281
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24028
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23618
0.08
69055
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64785
24930
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24964
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24891
66270
24692
66843
24349
0.09
67425
25492
63138
25618
63605
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25350
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26785
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26016
63196
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27675
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27560
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29460
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30714
30376
45185
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29804
47077
28969
47985
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38027
31203
38990
31161
30908
40013
30411
41059
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31090
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35071
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28902
38342
27613
39276
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30935
30382
32082
29829
33248
28979
34383
27808
35425
26301
0.60
36303
30038
28556
29609
29757
28888
30951
27852
32078
26482
33072
24767
0. 70
33853
29260
28676
26688
27921
27782
29113
26559
30202
24996
31113
23088
31761
0.80
28366
25208
27619
26447
26549
27612
25143
28631
23397
29427
29908
21315
0.90
24025
27376
26461
25245
25217
26354
23636
27275
27926
21720
19486
1.00
28212
25157
22274
23909
23386
22332
24305
20434
24950
25232
18236
15775
25053
1.20
22680
21022
21121
21931
19254
22565
17106
22841
22667
14719
12153
21950
1.40
20006
19986
18183
20607
16092
20876
13783
20708
11318
8782
20019
1.60
18722
18968
17211
15181
19229
12951
19068
10586
8170
18407
17172
5806
1.80
15289
17828
14361
12210
9940
17673
17039
7635
5397
15861
3350
14079
2.00
11639
16471
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9366
15863
7165
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13047
3112
10749
1516
7814
2.20
8853
14840
6749
13765
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2906
12157
7233
1408
383
3898
2.40
6377
4453
12914
2725
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9324
1314
6732
356
3614
2.60
4207
10700
2565
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1232
3369
2.80
2423
8234
5913
1160
311
3155
3.00
1096
293
5574
2966
3.20
277
2799
3.40
3.60
3.80
4. 00
386

附表
续附表 14
4.0
4.2
3.8
4.6
4.4
4.8
100000
0.00
100000
100000
100000
100000
100000
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0.01
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10741
11141
87220
87151
87385
11229
11043
10941
10839
0.02
82178
82010
14482
81976
81972
14763
82077
14626
14338
14200
82314
14886
17197
78097
78089
16855
0.03
78348
78223
17031
78140
16680
16510
78516
17347
74896
18244
19205
18844
18643
74886
0.04
19035
74949
18440
75389
75193
75047
20066
0.05
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19841
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20502
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20290
72196
72122
19622
72695
20691
20993
21240
0.06
21714
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21484
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69672
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06969
20753
21918
70311
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22228
21963
67699
67484
67463
21704
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65924
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65706
65470
23075
22792
22516
0.08
66209
23846
23616
23354
63870
23510
63584
23218
24379
24104
63708
23810
63614
64104
0.09
64409
24620
61993
61891
61855
23830
62416
25049
62167
24138
0. 10
24761
24453
25299
62740.
25523
25180
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58769
25857
58724
24844
59364
26166
59085
59725
0. 12
26434
$5997
26006
55941
27058
56353
26374
25644
56661
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56133
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57057
26670
26284
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54236
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27781
53899
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28072
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27210
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28014
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28672
52038
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52490
49640
49352
27223
27652
28490
28080
49164
49071
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50031
29166
0. 20
50523
40696
40862
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28411
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41143
29421
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41545
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42704
30601
0. 30
29888
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28780
35221
34840
29347
30777
35736
0.40
30375
31064
36382
37150
30251
.28777
29940
30736
29381
30800
30424
29911
0. 50
32126
31363
31033
33013
29215
27248
28594
30230
26659
26222
29771
27984
28857
30556
30713
0.60
29849
28319
23803
28939
24496
29474
23266
25337
29887
30143
26310
30205
0. 70
27393
27996
20879
29093
22310
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2650
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226
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822
217
2184
4148
4. 40
208
2092
4.60
4.80
387

火箭外弹道学
续附表 14
7.5
7.0
6.5
6.0
5.5
5.0
100000
100000
100000
100000
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26349
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19916
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14262
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19842
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21701
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23220
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1.60
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6994
18964
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22511
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2.00
4854
14831
16609
4239
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8493
21268
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2.20
14627
3631
3369
16575
18616
4154
20205
6027
20765
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19830
2. 40
11803
2673
14585
16626
2809
4032
18546
19779
6271
19788
9167
18203
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2.60
1976
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2536
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18415
4175
19207
6706
18618
9654
16405
12296
2.80
1535
14828
16790
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18178
4537
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1339
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17801
5065
17528
7887
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10545
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12224
3. 20
1373
15217
16731
3156
5705
17258
16403
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10815
10377
11840
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15358
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16521
6402
16531
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2041
15412
16152
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13633
9469
: 10372
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10240
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2613
15343
15607
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14517
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12040
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8647
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8772
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8389
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199
2007
4.80
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10302
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5.00
9607
6678
7361
7879
3540
6820
1020
4088
5.50
388

附表
续附表 14
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
uo
0.00
100000
100000
100000
100000
100000
100000
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0.02
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14286
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21798
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23358
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23302
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23359
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25957
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53694
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53428
53079
26828
52737
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0. 20
26277
51824
51734
26736
51461
'27065
51096
27210
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27 166
50324
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28138
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27604
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38146
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37860
27888
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28192
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26729
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27380
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28838
27860
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27202
25129
27049
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25694
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20244
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1.00
20149
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2. 20
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13692
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17643
2.40
4683
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13195
7628
12603
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13331
9392
8885
14432
16559
2.60
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12906
4804
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11904
6332
8510
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8432
13195
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2. 80
2421
12798
3591
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5102
10971
6554
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11211
8016
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3.00
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11011
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1611
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9718
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3.40
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13242
1917
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11196
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1080
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11543
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10217
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489
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- 46
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10022
1535
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3031
8226
5559
9309
4.00
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- 214
14039
12173
- 149
10261
8747
746
2144
7916
8489
4907
4. 20
1133
- 190
14200
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- 514
10584
77
8881
1312
4204
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7776
4.40
1687
17
14252
- 701
12832
10959
- 454
9130
557
7757
3461
7182
4.60
2353
392
- 708
14165
13082
- 832
11351
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- 98
7886
6721
2695
4.80
911
3094
13921
13234
- 542
11724
- 1048
9864
- 634
8132
1926
6398
5.00
3870
13505
1546
13261
- 213
12045
- 1096
10287
8470
1175
- 1034
6217
5.50
5679
11707
3419
12651
1188
12416
-- 509
11243
9539
- 1365
6354
- 465
389

火箭外弹道学
续附表 14
17.0
16.0
15.0
14.0
13.0
12.0
uo
100000
100000
100000
100000
100000
100000
0.00
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22413
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22112
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21907
66716
21955
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22959
64663
23096
64828
23025
65052
22773
65120
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22558
22612
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0.09
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0. 10
23181
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24508
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24571
60412
24278
60482
24036
60250
24110
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0.12
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25415
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25312
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24995
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24739
57571
24826
57175
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26007
54847
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25891
25550
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25282
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25384
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52645
26473
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26344
53202
53266
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25703
52964
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52518
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50627
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26313
26027
51275
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0. 20
26159
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27538
42524
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43271
26723
42841
26942
42288
0.30
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27566
27736
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27448
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36861
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27346
32485
26981
32905
26373
32815
26092
26510
32192
0.50
31548
26651
28326
26752
28871
26309
29288
25656
29124
25417
28414
25944
27758
0.60
26003
25318
26054
25915
25532
24848
26316
26069
24668
25280
24632
0.70
25305
25314
22814
25304
23454
23825
24706
24005
23489
23898
2263 1
24644
0.80
22009
20702
24612
24533
21377
23863
21704
23159
21276
23137
20359
23990
19782
0.90
23912
18903
23759
19602
23022
19875
22328
19352
22401
18388
23357
17872
1.00
22553
16022
22236
16739
21385
16872
20754
16159
21043
15140
22181
14795
1. 20
21265
13844
20776
14536
19847
14494
19332
19856
13604
12586
21135
1.40
12465
20051
12166
19392
12786
18427
12545
18077
11503
18842
10548
20208
1.60
10693
18902
10848
18086
11354
17134
10899
9743
16989
8912
17986
19375
9350
1.80
17809
9793
16860
10145
9476
15972
16064
8251
17268
7601
8345
18612
2.00
16764
8930
9094
15715
14941
8222
15291
6981
16664
6564
17890
7609
2.20
8204
15760
8154
14652
7100
14041
5903
14657
5761
16149
7085
17187
2.40
14795
7572
7292
13675
6091
13270
14146
4997
15697
5161
6726
16482
2.60
7002
13870
12788
6487
5182
12624
13740
4250
15284
4736
2.80
6490
15760
12986
6470
11995
5725
12097
4367
3651
13421
4462
14887
15009
6339
3.00
5956
12149
11299
4999
11680
3645
13167
3192
14485
4314
14224
6239
3.20
5449
11365
10702
4307
11365
3018
12960
2865
4268
14062
13403
6159
3.40
10641
4939
10206
3652
11137
2487
2659
12777
4299
13601
6071
12551
3.60
9983
4423
9808
3039
10984
12600
2056
2564
13095
4383
11675
5954
3.80
3902
9399
9505
2475
1726
10884
2566
12409
4496
12536
10789
5786
4.00
8894
3379
9291
1967
10832
1497
2650
12189
11923
4615
9906
5554
4. 20
8472
2861
9157
1525
10798
1367
11925
2800
11260
4717
9045
5249
4.40
8135
2356
9093
1156
10770
1331
11608
2996
10551
4781
8224
4.60
4865
7882
1873
9085
867
10729
1382
11230
3219
9810
4792
4403
7463
4.80
7712
1424
9119
661
10659
1510
10788
3448
9049
4734
6780
3869
5.00
7606
516
9284
521
2076
10275
3926
9418
7171
4235
5517
2298
5.50
390

附表
续附表 14
23.0
18.0
19.0
20.0
21.0
22.0
uo
0. 00
100000
100000
100000
100000
100000
100000
0.01
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10598
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87583
87628
87625
87583
10685
10631
10683
10706
0.02
82648
82585
82529
82585
82505
14023
14037
14114
13991
82645
14110
14144
0.03
16286
16392
78916
16303
16434
16398
78837
16247
78912
78840
78771
78741
18108
0.04
75636
18148
17979
75747
17932
75838
17995
75835
75752
75672
18099
0.05
73184
19448
73089
72999
19460
72957
19316
19263
19333
73181
19504
73080
0.06
7063 1
20567
20410
70718
70832
20425
70730
70583
20350
70830
29552
20614
68496
0.07
21257
68712
68604
21492
68588
68712
21337
68443
21323
21542
21474
22331
22279
22026
22257
0.08
66776
66663
66547
66489
22098
22110
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391

火箭外弹道学
续附表14
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7369
1634
5.50
392

附表
续附表 14
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393

火箭外弹道学
续附表14
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1 1284
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3747
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4419
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3322
11489
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4132
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11081
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3479
3610
10225 .
9881
3326
4. 20
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4. 40
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2075
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2459
8028
2464
7759
2054
7967
1588
5.50
394

附表
续附表 14
4. 20
4.30
4. 40
4.50
4.60
4. 70
uo
0.00
100000
100000
100000
100000
100000
100000
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2310
1935
7875
8137
5.50
1625
395

火箭外弹道学
续附表 14
56.0
54.0
50.0
52.0
49.0
48.0
uo
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100000
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$5145
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18233
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7957
16359
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7154
15539
7373
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7053
15199
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.7090
7304
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7417
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2.40
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14787
6631
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6687
14551
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5866
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:14092
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5621
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6052
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2.80
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7986
2221
7981
1864
8258
1680
5.50
396

附表
续附表 14
58.0
60.0
62.0
64.0
66.0
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52864
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23123
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24761
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2014
2246
1877
1959
8083
8433
2244
8437
397

火箭外弹道学
续附表 14
80.0
78.0
76.0
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8447
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2231
5.50
398

附表
续附表14
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28612
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2133
8205
2040
2171
5.50
399

火箭外弹道学
续附表 14
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21402
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66658
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$7520
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8302
1913
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2104
8167
2095
5.50
400

附表
续附表14
116.0
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2128
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2027
5.50
401

火箭外弹道学
续附表 14
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402

附表
续附表 14
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$782
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5.50
403

火箭外弹道学
续附表 14
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5.50
404

附表
续附表14
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11808
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9557
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2430
1006
2336
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8221
5.50
1986
2013
8328
2089
8303
8320
2090
8286
2001
405

火箭外弹道学
续附表 14
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0
5.5
11707
5679
9607
7361
6678
7879
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6820
1020
4088
5.50
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6811
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10.0
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2A82
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- 1881
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5562
5190
5983
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5149
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8422
-- 1200
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2073
7180
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1917
3604
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- 310
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2982
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3278
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7.50
7564
180
7690
2029
6064
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3985
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-- 1878 5426
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7518
953
6718
2688
4652
2975
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1235
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- 1966
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1792
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3453
2204
2964
- 103
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6044
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4143
2737
2707
1063
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9.50
4967
2746
3028
2014
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4327
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1860
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1966
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1278
2380
17. 00
18.00
406

附表
续附表 14
19.0
20.0
21.0
22.0
23.0
24. 0
5.50
7357
3093
3280
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- 934
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3505
2008
2566
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4520
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3211
3111
1092
- 1014
- 301
12. 00
1732
4206
2401
2413
$527
5642
4162
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- 340
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1379
1971
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-- 1687
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3396
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. 1596
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20. 00
2200
596
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2035
1095
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2006
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1111
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6. 50
1118
2057
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1966
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1163
7894
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793
1586
2372
1467
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30. 00
407

火箭外弹道学
续附表14
36.0
35.0
34.0
33.0
32.0
31.0
uo
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-- 245
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3342
2779
526
3118
- 391
13. 00
395
4372
3969
3086
1142
471
1209
2529
2864
- 438
- 656
3855
14. 00
1090
1156
2864
2312
425
2643
3622
- 473
4367
- 689
51
15. 00
2670
1111
387
2123
2451
- 501
3417
16
- 714
4151
3922
1077
16. 00
1958
2281
- 521
3234
3957
- 732
- 13
2685
1030
3732
1423
17. 00
2131
3070
- 537
- 744
3782
37
989
3561
2533
1375
1611
18.00
2922
- 753
3623
3406
. - 56
952
2397
1331
656
1493
1576
523
19. 00
- 72
3478
3265
919
2275
1291
1388
629
1470
2534
- 525
20. 00
- 1107
2063
1219
583
1211
1288
2306
- 524
3372
- 1081
3462
- 490
769
22. 00
1141
- 518
2115
- 1051
- 496
3133
712
3219
2204
1471
960
1006
24.00
490
2927
3009
663
2043
1386
862
944
- 345
1563
- 1321
26. 00
1905
1310
781
891
333
1443
2781
- 1257
- 963
3279
383
28. 00
461
- 321
1340
2606
- 1198
- 920
350
3076
2223
1482
742
1371
30.00
2451
322
2897
- 880
1392
2092
697
1287
32.00
1975
1311
657
1213
34. 00
36. 00
408

附表
续附表 14
42.0
41.0
40.0
39.0
38.0
37.0
8137
1625
1680
8554
2075
8739
8498
8028
2459
7759
2054
2464
5.50
7756
1307
8083
1566
8111
2021
7670
2252
7237
7195
2020
1511
6.00
1154
7452
1567
7647
1969
7394
1974
6902
1060
6838
6621
1546
6.50
7154
7125
1143
1857
6696
1617
6245
1617
6202
1087
752
6641
7.00
6805
1227
6544
1643
1648
6034
1206
5744
5968
704
6533
7.50
617
1340
6376
5933
5469
1588
1340
796
5425
451
5876
6431
653
8.00
1415
5870
5347
1420
453
967
$050
5279
364
5857
821
6260
8.50
5323
1396
4848
587
4803
1143
236
5263
5829
441
5967
1052
9.00
4791
1256
4488
794
270
4721
180
5309
5718
644
1263
9.50
5542
4340
998
4294
76
4762
285
5336
904
5476
1374
5013
10.00
3872
316
4345
4925
- 44
166
791
5066
1265
4599
1123
3921
11. 00
3992
- 137
74
4576
703
4718
4249
1180
3569
361
1037
3311
12. 00
4277
633
4420
1111
3950
3268
968
292
3011
3458
- 314
13. 00
577
4161
3691
3009
1055
912
237
2752
3198
3978
- 367
- 316
14. 00
1008
3464
865
2528
2785
2972
192
3748
- 410
4139
- 359
15. 00
349
826
2587
156
2332
2774
- 443
3545
310
3934
- 393
3537
1045
16.00
125
2159
- 469
2598
- 419
3364
277
3749
1006
3357
2498
1071
17. 00
2442
- 490
- 441
3201
249
3584
971
3195
1036
2346
329
1812
18.00
- 458
3055
226
3049
3434
940
1004
2210
306
1682
- 548
1997
19.00
206
3297
2917
2087
912
975
286
1567
1877
2788
- 556
- 758
20. 00
925
1877
1369
254
1671
- 565
- 761
2555
3223
- 98
860
3018
22. 00
1501
- 757
- 567
2359
3006
810
2807
- 115
1156
1887
1067
544
24. 00
766
2817
- 128
2626
1738
948
1100
512
6101
- 509
1953
26. 00
- 1020
1610
1051
484
849
918
- 498
1814
-- 989
2747
- 481
2826
621
28.00
832
- 486
1693
- 958
2588
- 471
584
2664
1243
1784
713
843
30. 00
2447
551
2520
-- 460
1182
1678
654
800
-- 300
414
1250
32. 00
- 1144
1584
1127
762
374
298
1171
- 1094
2314
298
- 843
2737
34. 00
340
- 287
1101
- 1048
2192
- 809
277
1871
2595
621
1240
36. 00
1147
- 777
2081
259
2466
1176
1777
590
1088
38.00
1692
561
1118
1034
40. 00
42. 00
44. 00
46. 00
409

火箭外弹道学
续附表 14
43.0
44.0
45.0
47.0
46. 0
48.0
uo
5.50
2310
1935
7875
7990
2412
8355
2168
8628
1818
8573
1680
8258
6. 00
7361
1860
7279
2050
1459
2137
7562
7841
7935
1702
8060
1417
6.50
1096
7015
1421
1815
7532
6740
1922
6860
1297
7244
1666
7474
7.00
873
6784
1032
6372
1739
1451
6286
7102
6972
1649
1284
7. 50
798
6603
738
6150
1076
5864
6388
1485
5990
1596
1329
6688
851
573
8.00
6406
6024
737
5816
6219
5598
5509
1469
1375
1170
8.50
6138
547
833
5711
5931
485
5464
5170
1254
5300
1369
4978
9.00
5776
642
5806
356
5415
525
970
1143
4887
5201
1277
9.50
814
363
5598
1250
5324
656
4741
5386
4909
1088
4608
998
10.00
1256
4823
5284
5315
196
4916
369
4470
822
4377
888
3918
887
11.00
370
74
4501
250
4407
4875
4906
1149
4048
226
12. 00
803
4056
4560
3516
802
279
3563
1066
4529
4150
- 20
- 210
3691
13. 00
736
207
155
1000
3756
734
3212
3259
4232
4264
- 55
4018
679
14. 00
- 268
3431
2950
189
3497
3975
2998
947
530
636
3934
- 101
3791
53
15. 00
- 314
3203
2770
903
3271
2722
491
2570
968
3265
3004
3734
- 139
3591
- 352
2523
599
16.00
2826
792
459
3088
3555
17. 00
2413
933
3413
- 382
- 15
2346
- 169
195
18.00
100
2006
763
- 407
431
2668
2259
2930
3394
3253
79
407
3108
2787
- 216
19. 00
2302
737
2121
877
3249
1870
- 507
2922
61
853
386
- 520
1997
1659
3118
2177
1748
714
20.00
- 471
172
675
22.00
863
2691
33
1783
2686
3058
- 490
- 538
1959
1538
2495
228
1208
881
821
2491
1779
1702
147
2854
- 547
24. 00
- 501
784
2324
127
2678
843
26. 00
- 749
2191
- 565
208
1075
1555
1359
192
963
728
2467
-- 136
- 738
2046
810
1239
28.00
2653
1431
559
1919
30. 00
459
766
1006
1500
694
- 142
2507
- 726
1136
2328
- 552
965
2378
758
437
695
1404
- 146
32.00
1587
- 474
664
2204
- 929
418
928
522
- 449
2321
- 900
1494
695
634
1319
34. 00
2391
- 462
496
727
872
560
1078
2207
640
1500
- 438
- 449
2275
1410
36. 00
1032
522
473
310
- 277
696
2170
2104
1424
- 428
38.00
-- 1005
1039
667
990
- 748
- 966
984
488
1356
243
2350
1982
268
40. 00
2244
229
1891
- 929
1262
42. 00
535
1066
1615
- 720
934
986
- 259
- 695
216
1808
51
942
1018
1544
2147
44.00
106
489
974
1480
46. 00
48.00
50. 00
410

附表
续附表 14
52.0
58.0
49. 0
50.0
56.0
54.0
2221
2244
1743
8344
2089
8437
7981
7986
8005
5.50
1864
2187
8527
7887
2024
6.00
1666
7403
7721
1447
1519
7494
1746
7337
2048
7815
7466
1306
6951
1345
1792
7062
1860
7136
1412
6. 50
7142
6850
1151
7037
6481
1032
6621
1530
7.00
1630
1018
1385
6510
6514
6873
1244
6002
6579
862
6377
794
6282
5983
1389
7.50
6627
1351
946
797
958
5639
997
1046
1609
5569
1375
6169
6117
8.00
689
6354
706
5393
5595
821
5951
750
5286
1306
5957
1094
6020
698
8.50
900
520
5241
5688
792
508
5123
1162
5218
5755
9.00
5616
1181
988
5365
425
948
4731
5149
923
5049
356
9.50
5479
1206
5162
5071
315
1040
692
4437
427
5015
4989
4699
1136
1037
5123
10. 00
4790
4203
638
228
913
4197
524
4857
4281
711
1029
3954
11.00
4228
851
490
4366
3655
99
4253
846
3692
624
3596
157
12. 00
4217
765
3544
364
3626
3538
84
882
3388
- 95
3851
13. 00
364
3085
- 37
3697
727
3812
501
3028
3591
14. 00
149
4007
- 155
3138
3047
2896
260
- 49
3739
788
102
3782
- 22
634
3750
15. 00
420
3273
647
3390
- 126
2597
-- 242
597
3156
866
3552
3072
16.00
190
3367
722
2761
- 93
2517
835
2895
31
3408
568
17. 00
2394
2260
3058
591
363
538
2830
2190
541
2237
3218
- 302
- 41
18.00
675
2462
2217
3108
- 142
784
2596
2527
- 18
- 62
2050
- 427
19.00
1661
321
495
2947
2560
1971
- 343
- 443
498
2399
- 233
2977
20. 00
461
- 372
2337
2722
464
1754
2888
2177
- 468
22. 00
811
2435
433
437
1574
1992
2533
- 483
1366
642
323
2693
1607
12
24.00
415
1423
300
- 493
1835
2525
1627
615
1458
2327
- 506
- 552
26.00
- 499
1700
2380
1332
590
1497
110
2525
- 552
752
2179
28.00
266
2252
569
1224
1385
97
2389
- 550
1323
178
868
779
30. 00
1287
550
1130
86
751
- 545
1230
2269
1047
32. 00
1808
- 543
- 712
540
77
1202
726
2161
970
1148
2094
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- 533
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- 149
34. 00
69
2063
702
1076
902
2157
400
- 523
581
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- 150
1244
36. 00
842
1011
681
- 151
2061
- 513
592
1177
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-- 437
1336
846
38. 00
789
- 151
- 503
1975
549
-- 426
832
1116
2011
40. 00
2074
- 417
1895
804
1062
- 150
512
-- 406
952
1926
- 414
640
1294
458
42. 00
779
1012
- 403
478
- 396
1847
916
1237
243
889
- 250
- 896
44. 00
448
1775
- 393
883
1186
: - 386
225
1733
- 671
- 242
204
2058
46. 00
- 377
1708
852
1138
210
- 648
1663
- 234
469
934
1420
864
48. 00
1094
824
961
- 227
1599
- 627
897
1366
50. 00
1484
1268
832
- 589
54. 00
58. 00
62. 00
411

火箭外弹道学
续附表14
70.0
68.0
64. 0
66. 0
60.0
62.0
2231
8294
8359
1877
8433
1959
8083
2246
8400
8039
1810
2014
5.50
7597
7540
1940
1585
1685
7902
1986
7649
7472
1608
7905
1614
6.00
1653
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7015
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1300
1721
1572
7039
1293
7437
1503
6.50
1368
6485
1496
6895
1109
6774
6473
.6709
1442
7.00
1064
1454
6966
6086
6477
1099
1007
1419
6394
6038
934
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1161
6480
1416
7.50
868
5787
979
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901
5908
1311
5714
6190
1351
5988
8.00
697
5571
995
5878
$462
690
5488
1158
920
8.50
5514
1233
600
5406
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5081
1021
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9.00
5258
579
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1023
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502
5218
1019
5261
9.50
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4749
4587
4795
619
5094
975
536
529
5095
1016
4880
598
10. 00
4509
4633
767
4419
705
4150
273
4713
717
4162
803
239
4320
11. 00
4026
786
3808
327
319
4340
4115
3728
828
392
213
4313
12. 00
$52
3488
102
3767
4073
563
653
3501
3665
69
481
4151
13. 00
195
3239
3788
3557
187
713
3158
263
3760
79
3672
734
14.00
-9
3281
3595
465
3008
557
41
3176
3673
380
670
3054
15. 00
3369
99
637
3132
2724
178
- 10
3339
657
3250
2652
281
16.00
3225
398
492
2627
2798
311
3303
- 117
2675
606
2668
- 122
17.00
584
2798
118
2384
3007
- 72
603
2917
223
2313
2940
- 188
18. 00
446
2324
2497
3007
262
- 170
560
2373
2367
140
3070
- 174
19.00
76
2111
2739
- 117
563
2649
181
2041
- 231
2671
550
2789
20. 00
- 150
2518
533
2428
1818
150
2A48
- 263
518
2567
290
1770
22.00
509
2243
126
1634
492
- 286
2262
2381
265
1588
2150
- 392
24.00
108
1478
2103
- 303
471
2221
246
1434
- 406
1992
411
2370
26. 00
1967
453
2084
- 315
230
1303
1855
2230
- 416
1295
28.00
437
1191
1964 :
217
376
1737
2107
- 422
380
1185
1584
30. 00
- 501
1093
- 426
1632
1998
362
366
1089
- 501
1481
252
2138
32. 00
1540
- 428
349
1901
1006
354
1391
- 500
240
2036
532
1049
34. 00
338
1813
932
342
1311
- 497
1945
976
516
1126
36. 00
- 533
867
1240
- 493
913
220
1862
501
1059
- 526
1975
38.00
- 488
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- 1175
211
856
998
- 518
1894
56
954
660
40. 00
203
1717
474
805
944
51
1820
- 510
903
641
741
42. 00
- 492
759
462
895
1752
- 502
47
856
698
1822
- 482
- 150
44. 00
851
- 494
606
43
1689
814
660
- 472
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- 148
755
46. 00
40
1631
590
776
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- 462
- 147
1692
926
732
422
- 383
48.00
575
741
593
-- 452
888
1634
- 145
711
397
1646
- 373
- 368
50. 00
1529
- 142
821
- 355
1535
- 350
1016
772
54. 00
- 214
320
- 338
1439
727
948
- 334
- 202
152
1385
- 555
775
1183
58. 00
686
889
136
1298
- 191
- 525
1109
725
62. 00
1221
- 498
1044
66. 00
70. 00
412

附表
续附表 14
82.0
80.0
78.0
76.0
74.0
72.0
uo
8205
1901
2171
8179
1994
8445
8243
2205
8130
1922
1938
8447
5.50
7545
1841
7657
1581
1798
7854
7563
1891
7602
7883
1576
1749
6.00
7224
6993
1536
1354
7296
6984
1652
1591
7177
1322
7348
1621
6. 50
6545
6846
1263
1213
6764
6510
1519
1308
1160
6819
6826
7.00
1517
6491
1034
1137
6264
1375
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1058
1076
6493
6322
1403
7.50
862
5917
6136
1104
5813
1206
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5856
6168
1049
1261
5851
8.00
5770
755
5691
1083
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1016
721
5826
1049
5434
1084
8.50
712
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5396
1047
5119
5456
817
655
1044
5463
5092
882
9.00
976
719
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5276
653
5092
1007
4836
679
9.50
5040
4692
754
864
4738
488
694
5074
4733
4665
501
10. 00
795
4484
4190
551
4548
378
791
4556
4162
4495
620
321
11. 00
671
3917
3965
491
274
4319
3961
732
289
3889
4339
413
12. 00
3527
3902
210
391
3910
643
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464
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152
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3991
13. 00
3401
139
3769
365
3397
615
3322
155
3789
283
670
3465
14. 00
101
3420
3429
548
363
3003
3362
41
3512
520
2993
15. 00
454
282
3351
539
2967
66
2890
197
3371
595
3038
107
2806
16. 00
484
3057
2620
2988
295
- 35
3141
455
387
2611
2904
- 85
17. 00
486
2630
2552
3042
137
2703
543
46
2466
3039
18. 00
247
409
2315
2689
2845
2307
- 90
341
2605
- 139
2930
351
19. 00
2279
- 43
2777
505
2433
2193
-7
2772
546
2529
20. 00
62
2558
477
2210
1969
2553
- 31
- 40
517
2308
1888
22. 00
2025
455
- 56
1782
2369
65
2123
1701
494
20
2333
24. 00
- 174
1623
- 75
2212
1966
476
84
1544
2175
2085
489
- 193
26. 00
2076
- 99
460
1831
1409
- 13
2039
1949
- 207
473
93
1344
28.00
1713
1293
447
- 25
1920
- 218
459
1831
1230
81
1848
30. 00
- 324
1191
- 34
- 226
1815
1727
72
1130
1743
- 331
424
1858
32. 00
1723
435
1635
- 232
64
1043
1650
- 335
1764
412
1007
196
34. 00
1553
966
425
57
1567
401
1680
- 338
932
188
1458
- 428
36. 00
897
51
1492
- 340
390
1604
866
181
1384
- 427
1735
327
38.00
- 340
1424
806
381
1535
174
1317
318
1663
- 425
810
323
40. 00
373
1473
753
168
1257
309
- 423
1598
758
314
1117
- 483
42.00
705
163
1202
-- 420
301
1538
711
306
1064
- 477
196
1653
44. 00
1152
- 416
1482
669
299
1016
190
1595
- 472
717
451
46. 00
1431
631
292
972
- 466
1540
184
440
089
810
48.00
- 486
597
285
1490
931
- 459
178
645
430
- 477
37
1577
50. 00
168
1398
585
411
708
- 461
1479
679
547
537
- 434
54.00
652
- 446
626
27
1393
490
522
: - 417
1437
637
763
- 138
58. 00
499
581
450
1356
- 400
713
606
-- 134
291
- 323
1353
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- 131
578
266
669
- 309
1278
- 306
837
650
123
- 182
66. 00
244
- 295
1210
- 293
790
617
111
- 173
1153
- 473
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70. 00
749
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101
1092
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1037
-- 430
578
887
78. 00
82. 00
86. 00
90. 00
413

火箭外弹道学
续附表14
92.0
94.0
86.0
88.0
90.0
84.0
2095
1899
8267
8167
2077
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1894
2133
8180
2040
8431
8225
5.50
1752
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1857
1623
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1794
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1598
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1667
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1492
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1666
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1393
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1215
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1010
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5007
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9.50
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825
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4670
797
4998
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10.00
493
757
498
4371
498
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4229
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11. 00
550
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4093
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609
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4034
4284
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13.00
479
164
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143
3473
552
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14. 00
230
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3473
3456
230
3074
541
3352
166
554
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3032
15. 00
399
2893
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52
3045
409
349
3315
2920
2972
475
49
16. 00
478
2908
158
2691
92
3085
491
2978
2649
218
26
3047
17. 00
2710
2553
354
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- 12
293
422
2581
2634
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- 15
223
18.00
107
2386
2680
2790
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2344
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2760
440
19. 00
252
2721
2439
2308
2362
- 59
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- 61
181
2758
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2359
20. 00
221
2503
355
2084
150
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421
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- 76
22. 00
1897
1952
125
- 123
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1949
2357
1867
37
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- 102
24. 00
1794
382
107
2201
- 143
1709
1791
2219
437
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- 122
1867
26. 00
91
2067
368
1655
2084
- 138
1572
423
- 90
1487
1732
28. 00
1538
1455
1967
-- 150
1615
411
1370
10
1958
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30. 00
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- 20
1864
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- 160
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1854
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- 120
436
1610
32. 00
- 28
392
: 1421
1772
426
1178
- 128
1762
- 118
1519
- 41
1102
34. 00
384
1679
1340
- 124
1098
1438
-- 134
417
- 47
1024
1640
- 237
36. 00
1027
1605
409
- 129
1365
- 139
- 52
954
1565
1479
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- 241
38.00
1538
1300
891
- 143
1497
- 56
- 243
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407
1412
47
40. 00
394
1240
- 60
835
399
1436
- 245
782
42
1351
1363
42. 00
-- 340
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1296
- 246
1379
391
39
733
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364
1416
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44. 00
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384
36
1256
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1363
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158
46. 00
1199
378
33
647
1208
623
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1165
1269
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- 334
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-- 409
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330
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1223
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159
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252
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-- 422
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152
1247
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- 431
1317
62. 00
454
1184
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70. 00
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359
1160
528
595
-- 123
- 357
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- 283
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- 282
1107
507
564
209
- 120
- 272
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1094
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561
- 158
- 271
78. 00
262
195
- 261
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86
537
678
- 151
988
- 412
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550
82.00
647
79
514
- 145
806
- 395
943
525
86.00
902
771
- 379
501
90.00
414

附表
续附表 14
96.0
98.0
100. 0
102. 0
104.0
106. 0
5.50
2104
8380
1913
8302
2059
2027
8165
2121
1933
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6.00
1867
7739
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7703
1867
1685
1692
7779
7587
6. 50
7157
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1473
7072
1434
1639
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1510
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7.00
1455
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1421
1384
1214
6823
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1211
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1014
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6053
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8.50
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9.00
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5254
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900
5461
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9.50
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10.00
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553
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433
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12. 00
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189
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3186
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16.00
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345
3215
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288
2893
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220
158
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17. 00
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18.00
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344
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19. 00
435
2808
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2808
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2494
2270
305
20. 00
315
- 38
2505
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2279
2673
340
2618
-4
2559
286
276
2284
- 73
22. 00
- 94
2054
2455
218
312
2217
2045
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24. 00
2031
264
1866
198
253
2272
2099
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- 121
- 101
195
1856
180
26. 00
317
2166
1738
1873
1707
236
247
- 122
- 142
2117
1942
303
166
222
28. 00
1657
1601
- 159
1570
2032
1737
233
- 160
1983
292
30. 00
79
1951
1539
1483
154
- 173
1916
1619
1451
- 172
222
69
1848
32. 00
347
1436
282
144
1814
1435
- 183
1380
1516
- 183
1344
61
275
339
-- 191
1345
1289
34. 00
- 168
1261
1757
136
1723
268
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- 174
332
1263
1676
1208
36. 00
1180
54
1690
1264
- 198
1108
376
325
38. 00
- 40
1268
1616
1191
48
1603
- 179
1192
- 204
1203
369
1550
1044
963
319
40. 00
- 45
- 183
1126
43
1537
- 133
906
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- 136
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985
1489
314
1068
42.00
- 146
1477
- 186
44. 00
387
1186
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358
1091
933
- 148
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- 139
1433
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- 52
- 65
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381
1369
46. 00
739
1137
- 150
352
1382
1042
155
- 140
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697
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-- 151
764
347
48. 00
- 247
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1321
- 142
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371
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- 152
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1156
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- 143
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358
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1086
27
546
359
1157
- 70
54. 00
- 330
- 245
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473
492
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58.00
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1118
- 324
1019
348
1012
- 243
246
1157
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428
308
21
130
1056
959
445
62. 00
- 318
- 382
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390
404
813
- 410
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243
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66. 00
421
1127
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350
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-- 399
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17
1132
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- 388
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1082
326
336
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- 378
367
127
78. 00
425
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1028
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536
1058
424
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- 333
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999
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297
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- 252
- 322
- 251
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243
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494
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170
451
- 110
973
619
90. 00
- 139
415

火箭外弹道学
续附表 14
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382
382
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- 312
90. 00
416

附表
续附表14
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126. 0
124. 0
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259
504
- 348
90. 00
417

火箭外弹道学
续附表14
1320.0
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6245
1207
6387
1096
6295
6234
8.00
957
5956
1079
5859
6007
5979
5861
1115
1054
861
924
883
901
8.50
5679
1029
5647
5545
5532
5423
786
9.00
802
5259
938
829
772
5283
5312
5426
769
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9.50
5175
5035
5007
795
673
837
5163
5063
4846
594
10.00
4925
728
767
4902
607
749
4741
4871
516
691
4337
563
11.00
534
4515
681
4518
4423
4394
4139
4164
4079
12.00
550
385
527
3967
569
3974
3772
3869
354
378
3658
540
372
3681
529
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13. 00
14.00
253
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246
436
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427
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3401
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274
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15. 00
235
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157
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16. 00
3209
381
2785
379
203
196
2948
162
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3016
3002
17. 00
94
291
259
300
334
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2723
2640
2659
2857
18.00
2706
334
336
2650
109
152
2481
2610
187
19. 00
2462
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261
218
48
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2453
2614
20. 00
2412
2396
188
13
2230
2188
22.00
147
2410
2163
1975
2228
277
2001
246
165
2213
24. 00
123
2008
- 10
229
2073
1842
26. 00
1799
104
- 31
1816
261
1849
- 14
- 48
1706
1662
248
1713
68
1940
1943
40
- 31
28.00
- 44
238
28
1595
77
1825
262
1828
1543
30. 00
1639
230
1491
1536
17
1726
1438
155
32.00
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- 24
1305
247
1637
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- 65
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34. 00
1625
- 33
- 44
241
1364
1557
- 52
- 40
1223
252
1545
36. 00
1418
- 58
1346
1149
1291
247
1473
- 46
38.00
1116
1281
1408
243
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- 6
- 63
1379
1050
52
40.00
- 114
- 10
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42.00
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- 68
1349
990
- 119
1321
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1281
936
236
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1168
44
231
1228
- 123
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- 14
44. 00
887
866
- 126
1218
227
1179
- 17
1173
41
46. 00
-- 170
822
38
202
224
48.00
1128
1134
- 129
1173
1193
- 173
35
199
1086
780
222
1092
100
776
1152
- 175
50. 00
96
193
704
1077
1012
953
- 178
54. 00
152
1131
- 209
642
890
92
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- 226
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- 211
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159
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62. 00
1050
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- 225
- 219
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13
1025
977
209
605
603
552
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- 218
70.00
- 191
530
10
935
- 189
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- 68
569
295
940
74.00
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- 187
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288
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- 139
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- 148
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-- 137
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- 146
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82. 00
70
654
- 70
293
300
625
815
775
287
86. 00
710
- 144
- 217
-- 213
- 69
280
280
682
745
250
- 276
684
90.00
418

附表
续附表 14
148. 0
150.0
144.0
146.0
142. 0
8215
1973
8307
8321
2030
2049
2083
8213
8290
5.50
1963
7738
7625
1818
7696
1717
1710
7728
7614
1733
6.00
1693
1463
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7234
7142
1591
1514
1493
7110
1472
7233
6.50
6705
1362
6776
1263
1387
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6786
1263
6683
7.00
1343
1113
6337
6353
6318
1200
6230
1239
1102
1226
6372
7.50
6009
1005
1031
5961
5868
1127
986
5997
5984
1125
8.00
5703
5600
1017
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5702
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8.50
904
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9.00
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5088
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4995
5147
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9.50
4851
4750
780
675
4891
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777
4877
700
4742
10. 00
644
4354
495
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502
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4371
4363
11.00
4128
3976
418
471
3968
581
4112
498
399
4106
12. 00
3736
3867
331
433
3716
512
338
3707
3872
404
13. 00
460
287
3571
3555
372
3402
3549
267
3584
448
14. 00
3386
414
3227
332
232
3218
3391
15. 00
301
3253
433
381
3131
289
2971
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179
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322
368
2970
16.00
2848
349
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159
231
3020
368
2876
2810
176
17.00
231
2632
2829
116
2791
2631
313
265
101
2760
18. 00
106
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2724
181
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2507
124
2720
145
19.00
71
2523
274
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224
2357
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55
251
2591
20. 00
245
2343
194
2132
2269
2373
221
2142
22.00
171
1944
- 7
2084
199
2190
209
1954
2044
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24.00
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2035
192
1794
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-- 36
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147
26.00
1061
168
1750
179
1657
1926
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- 53
216
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1679
- 67
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168
1633
1810
206
121
1588
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30.00
1709
- 79
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111
197
1456
1484
- 74
1724
67
32. 00
1620
103
190
1364
1392
- 83
1634
59
223
1399
34.00
1282
- 92
1310
52
1555
218
1318
1265
- 73
36. 00
- 98
1237
46
1483
213
1245
1191
- 79
-5
1485
38.00
41
1419
1179
209
- 85
1125
1421
1226
- 10
40.00
232
205
1120
1066
- 90
1362
229
1167
15
1024
42.00
- 56
1012
- 94
1309
- 19
225
970
1113
- 60
- 72
1296
44. 00
- 22
1260
1064
222
920
- 64
-- 75
1247
233
1119
46. 00
1019
875
- 78
- 67
1202
1074
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- 20
48. 00
834
- 69
1160
- 81
227
1033
801
- 22
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- 132
50. 00
959
223
727
- 26
1057
- 135
1018
217
708
31
54. 00
993
- 138
954
212
645
28
948
- 180
189
1012
58. 00
591
956
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- 182
185
589
68
834
- 211
62. 00
906
181
86
542
785
957
- 211
140
151
558
66. 00
- 211
741
912
137
517
147
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- 224
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80
70. 00
481
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144
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222
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205
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- 216
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200
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- 211
506
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246
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480
241
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- 182
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832
546
276
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-- 135
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-- 67
802
521
270
327
784
- 133
- 142
286
598
90.00
419

火箭外弹道学
续附表 14
160. 0
152.0
154. 0
156.0
158.0
2013
8221
2090
1986
8286
2001
8320
5.50
2089
8328
8303
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6.00
1729
7744
7639
1807
7660
7677
1815
1747
7743
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1549
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1159
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7.50
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6313
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1003
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9.00
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449
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4142
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331
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478
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490
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459
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312
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3526
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391
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224
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150
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279
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19. 00
2547
157
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288
189
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2358
20.00
60
259
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2329
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158
22. 00
2303
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134
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1945
223
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24.00
222
1970
1962
115
1784
207
2004
1784
153
- 12
26. 00
- 29
100
1827
1647
193
1870
1646
139
1792
28. 00
- 46
1754
1711
183
- 43
1674
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1527
1786
- 60
30.00
157
118
1422
174
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- 72
1572
148
1684
1433
159
32. 00
82
1329
111
1595
1481
152
1341
140
- 89
1438
34. 00
- 90
134
146
1259
: 1400
- 97
1357
1515
1540
36. 00
129
1444
140
1185
1284
91
1469
- 104
180
1209
38.00
1218
136
1119
86
- 110
175
1143
1404
1172
40. 00
- 104
82
- 115
1346
1159
- 109
172
1084
36
1361
1112
42. 00
1029
79
1293
169
1058
1066
1308
44. 00
202
- 114
1009
980
166
29
1259
- 97
962
- 117
199
1017
46. 00
963
196
972
26
- 121
1214
917
- 101
48. 00
1216
- 25
930
24
1173
875
- 103
194
- 28
1174
217
977
50. 00
801
- 107
1100
- 32
213
904
760
- 73
1086
- 85
54. 00
209
840
- 76
697
218
895
1022
665
- 29
58. 00
966
16 -
215
840
- 32
610
936
208
898
- 140
62. 00
563
- 34
848
204
- 141
842
544
66. 00
- 182
201
805
503
798
861
- 182
177
501
83
70. 00
759
18
174
821
465
871
- 182
702
134
- 210
74.00
433
- 208
79
667
834
131
449
602
141
-- 220
78. 00
128
800
420
138
572
73
838
- 218
197
455
82.00
- 216
544
806
71
193
429
209
476
828
86. 00
189
452
405
799
- 206
237
456
- 179
387
90. 00
420

附表
B,(y, u)
附表15
Rr(uo,u) × 105 = 105
dy
2y
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
0.00
6656
13253
19729
26026
32095
37880
43342
48443
53149
57437
0.01
7907
3114
13029
18228
23379
28393
33205
42020
37762
45947
0.02
2129
6204
10777
20302
15527
24998
29542
33875
37947
41723
0.03
1532
9236
5077
13646
18136
22589
26927
31087
35017
38677
0.04
4239
1124
8058
12185
16436
20685
24854
28866
32675
36237
0.05
833
3584
7108
10989
15031
19102
23117
27004
30707
34182
0.06
615
3051
6315
9977
13831
29000
17743
21621
25393
32396
0.07
455
2613
5642
9105
12788
20306
16553
23972
27490
30815
0.08
329
2241
5058
8338
11864
15494
19131
22698
26135
29391
0.09
237
1928
4549
7660
11039
14543
18071
21546
24905
28098
0. 10
169
1661
4101
7054
10296
13681
17107
20495
: 23780
26913
0. 12
78
1230
3346
6012
9003
12169
15405
18632
21781
24801
0. 14
30
906
2738
5149
7913
10881
13945
17023
20047
22963
0. 16
661
2243
4423
6982
9767
12672
15613
18520
21340
0. 18
475
1837
3808
6177
11550
14363
17161
19889
0. 20
:335
3280
1500
5473
7933
10551
13243
15938
18579
0.30
32
501
1535
4821
3046
6851
9023
11268
13527
0.40
124
665
1628
2932
4497
6249
8121
10056
0. 50
13
243
827
1741
2928
4327
7532
5880
0.60
63
378
988
1865
2965
4240
5641
0.70
144
521
1145
1992
4201
3025
0.80
39
246
667
1300
2121
3096
0.90
95
358
813
1451
2247
1.00
27
172
482
196
1598
1.20
19
127
364
740
1.40
286
14
98
1.60
12
78
1.80
2. 00
421

火箭外弹道学
续附表15
4.0
3.8
3.6
3.4
3.2
3.0
2.8
2.6
2.4
2.2
77221
76872
76239
75286
73978
72290
70192
67666
64701
61290
65164
64726
64019
63013
61681
60000
57952
55524
52711
49515
0.01
60698
60224
59487
58460
57117
55441
53414
51027
48278
45173
0.02
57461
56959
56199
55157
53807
52135
50125
47770
45071
42035
0.03
54856
54331
53553
52497
51142
49474
47479
45152
42A95
39518
0. 04
52651
52106
51312
50245
48885
47221
45239
42938
40319
0.05
50726
50163
49355
48278
46915
45255
43286
41007
38423
35546
0.06
49014
48435
47613
46528
45162
43505
41548
39291
36739
33907
0.07
47465
46871
46038
44945
43576
41924
39978
37741
35220
32429
0.08
46052
45444
44600
43500
42129
40481
38546
36329
33836
31085
0.09
44751
44131
43276
42170
40797
39153
37229
35031
32566
29852
0.10
42416
41772
40899
39781
38407
36770
34868
32705
30292
27649
0. 12
40364
39699
38810
37683
36307
34679
32797
30668
28035
25727
0. 14
38533
37848
36945
35810
34434
32815
30953
28857
26540
24024
0. 16
36880
36178
35262
34120
32744
31135
29293
27228
24955
22499
0.18
35372
34654
33726
32578
31204
29604
27782
25747
23518
21118
0.20
29364
28582
27612
26447
25088
23541
21815
19925
17893
15748
0.30
24966
24140
23145
21980
20648
19160
17529
15775
13922
12004
0.40
21527
20672
19666
18511
17215
15792
14257
12634
10948
9236
0.50
18729
17856
16849
15714
14460
13106
11668
10172
8646
7123
0.60
16388
15507
14508
13400
12195
10913
9573
8202
6826
5481
0. 70
14393
13511
12527
11453
10303
9096
7854
6603
$371
4191
0.80
12666
11790
10829
9794
8701
7571
6427
5293
4198
3172
0.90
11158
10294
9360
8369
7337
6286
5238
4218
3252
2370
1.00
8647
7825
6960
6067
5163
4271
3410
2605
1877
1249
1.20
6658
5895
5113
4328
3557
2821
2137
1526
1005
588
1.40
5066
4374
3685
3013
2375
1787
1267
827
479
230
1.60
3790
3178
2586
2028
1518
1068
692
398
189
63
1.80
2772
2246
1753
1306
914
335
158
52
2.00
1971
1532
1135
791
507
287
134
44
2.20
1350
997
691
411
249
115
37
2.40
883
610
217
101
2.60
542
343
192
88
29
2.80
306
170
78
25
3.00
152
69
22
3.20
63
20
3.40
18
3.60
3.80
4. 00
422

附表
续附表 15
4.2
4.4
4.6
5.0
7.5
4.8
6.0
6.5
7.0
5.5
77328
77228
73209
76967
76582
76111
73615
72900
74789
72774
0.01
65369
65372
65213
64926
63402
62320
64545
61754
61612
61423
0.02
60943
60988
60872
60625
60282
59212
58170
57465
57251
57539
0.03
57737
57814
57730
54241
57200
56188
54496
57514
55176
54474
0.04
55158
55262
55204
53762
52776
54725
52057
55015
52078
51828
0.05
53103
52975
52903
51715
53070
52635
49794
50752
50057
49999
0.06
48208
51071
51220
51208
48991
51062
48299
49932
48024
50814
0.07
49553
49376
49546
49196
48351
47430
46455
46619
49427
46741
0.08
47845
48032
47949
47735
48058
46924
45336
46022
45041
45187
0.09
44059
46448
46652
46695
45625
43754
43884
46603
46405
44741
0.10
42886
45162
45382
45365
43565
42687
45441
44432
45181
42574
42854
0. 12
43145
43103
42297
43192
42990
40549
41463
40791
40464
0.14
40826
41102
41219
41199
41069
40429
38961
38621
39626
38680
0.16
39018
39318
39465
39358
37021
38768
37338
36986
39459
37994
0.18
37385
37873
37902
37708
37818
37274
36529
35880
35532
35519
0. 20
35896
34558
36241
36428
36478
36415
35916
34188
35198
34180
0.30
29966
30555
29966
30400
30681
30827
30856
29370
28970
28879
0.40
26129
25626
26484
26708
26814
26685
26214
25668
25255
25102
0.50
23205
22231
22788
23494
23667
22227
23691
22842
23332
22427
0.60
21109
21272
20182
19465
20533
20878
19948
20065
21020
20589
0. 70
17147
17781
18291 :
19107
18739
18348
18090
18684
18966
19255
0.80
15166
15826
16370
16804
17488
17131
17185
16817
16543
17537
0.90
13446
14696
16090
14124
15165
16043
15531
15853
15515
15233
1.00
13718
12628
13221
14866
14110
11938
14727
14697
14393
14119
1. 20
10108
9411
10726
11265
11719
12493
12803
12771
12546
12280
1.40
7387
8069
8694
9254
11080
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2022
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306
15
610
5.50
423

火箭外弹道学
续附表 15
9.5
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14. 0
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2269
2333
2018
2211
1371
1730
981
5.50
424

附表
续附表 15
16.0
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7400 -
7519
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3036
3183
3331
3399
3381
3342
425

火箭外弹道学
续附表 15
27.0
28.0
29.0
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1.00
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14863
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13273
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1.40
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11938
12019
11955
12019
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10820
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6371
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4445
4524
4511
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4321
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4376
4375
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4.60
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4170
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3948
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3563
3556
3596
3598
3537
3435
3354
5.50
426

附表
续附表 15
40.0
41.0
42.0
43.0
44.0
45.0
38.0
39.0
37.0
36.0
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78106
77866
77841
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66311
66163
66297
10'0
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61906
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$2822
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19863
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19704
19698
19773
19829
0.80
19798
18392
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1.20
15025
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13361
13403
13454
13456
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12219
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10063
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6195
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4472
4495
4.60
4384
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5.50
427

火箭外弹道学
续附表 15
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3878
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3883
3841
5.50
428

附表
续附表 15
62.0
64. 0
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4056
4030
4064
4031
3990
3985
5.50
429

火箭外弹道学
续附表 15
82.0
84.0
86.0
88.0
90.0
92.0
94.0
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20083
20180
20111
20106
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20138
20149
20161
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4115
4134
4121
4100
4097
4113
4076
5.50
430

附表
续附表 15
100.0
102. 0
104.0
106. 0
108.0
110.0
112.0
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20174
20206
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20167
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15450
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11402
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4173
4162
4166
4183
4141
4172
4140
4157
4154
5.50
431

火箭外弹道学
续附表 15
134.0
132.0
130.0
128.0
126. 0
124.0
122. 0
120. 0
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$1422
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43328
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43320
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5706
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4207
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4188
4198
4191
4177
4186
5.50
432

附表
续附表 15
150.0
148. 0
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40146
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20256
20239
20223
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20236
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20238
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9045
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9026
2.40
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6659
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5735
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5471
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5470
5456
5461
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5244
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5236
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5019
5027
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5019
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4.60
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4811
4819
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4802
4811
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4641
4631
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4626
5.00
4226
4230
4218
4218
4224
4212
4209
4216
5.50
433

火箭外弹道学
续附表 15
7.5
6.0
6.5
7.0
8.0
8.5
9.0
9.5
5.5
10.0
uo
15
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106
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2018
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1774
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229
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1341
6. 50
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406
10
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662
201
937
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9.50
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20.0
18.0
19.0
14.0
15.0
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12.0
17.0
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13.0
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2687
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2075
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2239
2093
1869
2201
1599
1670
1628
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7.00
1404
1806
2027
1983
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1489
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1861
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1730
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1205
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21
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18
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254
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16.00
82
203
13
17.00
74
18.00
10
19. 00
20.00
434

附表
续附表 15
22.0
21.0
23.0
24.0
25.0
26.0
27.0
30.0
28.0
29.0
5.50
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3399
3381
3342
3354
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3598
3435
3596
6.00
3048
2790
2940
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3034
3016
3062
3240
3268
3157
6.50
2466
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2788
2595
2776
2744
2755
2827
2919
2975
7.00
2208
2298
2431
2528
2549
2506
2521
2548
2633
2708
7.50
2165
2004
2051
2282
2339
2303
2330
2315
2380
2463
8.00
1844
185i
1933
2050
2159
2138
2124
2135
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2162
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1713
1737
1997
1991
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1839
1944
1968
1980
2038
9.00
1596
1571
1578
1651
1758
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1857
1838
1864
1829
9.50
1482
1469
1454
1493
1585
1680
1729
1724
1705
1716
10.00
1363
1378
1356
1364
1430
1527
1600
1619
1602
1595
11.00
1188
1202
1101
1184
1192
1253
1340
1407
1425
1411
12. 00
966
1045
844
1059
1044
:1052
1107
1187
1266
1248
649
856
13. 00
744
927
941
935
927
986
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438
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674
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685
678
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320
385
417
395
391
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613
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60
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50
201
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107
209
172
216
26. 00
37
93
149
28. 00
30.00
435

火箭外弹道学
续附表 15
31.0
32.0
33.0
34. 0
38.0
35.0
36.0
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3239
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2144
2146
1996
2053
9.00
2001
2008
2021
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2008
2105
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1948
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1887
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144
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101
128
124
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91
115
f11
34. 00
50
81
36. 00
18
38. 00
40. 00
436

附表
续附表 15
45.0
42.0
43.0
47.0
48.0
49.0
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50.0
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to
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2533
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2071
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1516
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12. 00
1475
1497 ,
1419
1422
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1375
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18.00
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702
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458
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462
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358
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314
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239
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221
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194
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199
193
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174
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101
132
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103
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159
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164
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104
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110
130
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15
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31
51
12
46. 00
48.00
50.00
437

火箭外弹道学
续附表 15
70.0
68.0
64. 0
66.0
60.0
62.0
56.0
58.0
54.0
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4019
4031
4030
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3985
3998
3940
3945
3898
3957
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3674
3692
3675
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3654
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3605
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3542
3399
3382
3369
3363
3336
3343
3298
3319
3297
6.50
32A4
3094
.3142
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3109
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3028
3048
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2676
2708
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2641
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2589
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2552
2503
2519
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2411
2457
2425
8.50
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2352
2362
2364
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2325
2310
2290
2257
2276
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2251
2217
2221
2219
2182
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2124
9.50
2138
2118
2089
2090
2100
2052
2058
2054
2008
2007
2010
10.00
1886
1877
1886
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1849
1818
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1667
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1620
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1137
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16.00
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990
1011
17. 00
1019
1017
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1014
979
086
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510
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421
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297
277
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262
241
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218
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241
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200
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184
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206
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171
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158
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108
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101
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50.00
107
89
87
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53
54. 00
66
42
33
58.00
41
29
62. 00
26
66. 00
70.00
438

附表
续附表·15
72.0
74. 0
76.0
78.0
80.0
82.0
84.0
86.0
88.0
90.0
5.50
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4064
4049
4078
4092
4076
4097
4115
4100
4113
6.00
3701
3723
3706
3724
3748
3734
3743
3769
3758
3761
6.50
3396
3427
3415
3420
3451
3443
3442
3470
3467 .
3462
7.00
3134
3168
3166
3160
3190
3193
3208
3183
3216
3205
7.50
2907
2939
2947
2935
2960
2973
2960
2978
2995
2983
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2596
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1916
1911
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521
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254
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236
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220
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167
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120
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147
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170
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106
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130
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151
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76
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50
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24
26
38
82. 00
17
22
24
90.00
100. 00
439

火箭外弹道学
续附表 15
108. 0
110.0
104.0
106. 0
102.0
98.0
100.0
96.0
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4157
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4141
4140
4149
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4034
4121
5.50
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3807
3815
3813
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3786
6.00
3522
3511
3522
3506
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3511
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3479
3488
3486
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3262
3266
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3238
3252
3224
3236
3224
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3035
3037
3022
3041
3021
3028
3009
3003
3013
2994
7.50
2836
2843
2840
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2827
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2808
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2814
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2661
2671
2662
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2632
2639
2615
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2508
2500
2514
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2319
9.50
2247
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2232
2232
2214
2219
2215
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2196
10.00
2030
2017
2010
2017
2005
2002
1994
1992
1977
1984
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1843
1832
1829
1831
1815
1816
1818
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1798
1803
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1682
1680
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1656
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1648
1642
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1540
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1544
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1531
1529
1515
1512
1516
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14. 00
1427
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1422
1412
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1402
1395
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15. 00
1328
1329
1314
1314
1316
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. 1301
1286
1279
16. 00
1242
1232
1223
1228
1220
1208
1213
1207
1191
1195
17. 00
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1147
1147
1148
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1119
18.00
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1076
1072
1080
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1061
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1045
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1044
19. 00
1015
1015
1015
1002
999
1002
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982
986
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906
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893
880
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857
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816
802
804
804
792
786
789
777
769
773
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727
717
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715
695
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689
26.00
663
664
653
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632
635
626
615
28. 00
609
598
596
594
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581
572
561
564
30. 00
551
547
549
539
532
534
525
516
518
510
32.00
505
498
507
491
485
493
476
478
470
458
34. 00
470
461
455
457
449
440
435
442
423
424
36. 00
429
423
409
425
417
411
393
404
388
394
38.00
396
395
389
381
382
376
365
366
348
361
40. 00
370
363
356
357
351
341
337
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325
324
42.00
341
335
333
329
319
320
315
303
303
300
44. 00
313
314
308
299
300
295
284
284
280
46. 00
290
281
282
277
267
266
263
251
48. 00
273
265
261
251
251
248
236
232
234
50. 00
237
22A
233
220
210
208
206
194
190
54. 00
200
201
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188
186
184
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169
169
157
58.00
178
169
167
165
156
152
151
135
141
135
62. 00
151
150
141
137
137
127
122
122
12
104
66. 00
128
125
124
115
110
110
101
94
85
94
70. 00
113
105
100
100
92
86
85
77
69
74.00
92
84
16
78
70
78
63
62
45
78. 00
77
72
71
64
57
51
40
41
35
82. 00
48
48
43
35
29
18
14
90.00
24
19
15
11
100. 00
440

附表
续附表 15
112.0
114.0
116.0
118.0
120. 0
122.0
124. 0
126.0
130.0
128.0
5.50
4172
4166
4183
4186
4198
4177
4191
4188
4198
4207
6.00
3830
3820
3833
3842
3832
3841
3853
3844
3849
3861
6.50
3535
3525
3532
3546
3539
3541
3556
3550
3549
3563
7.00
3278
3272
3272
3288
3286
3282
3297
3297
3292
3304
7.50
3052
3052
3046
3061
3064
3057
3069
3075
3068
3077
8.00
2850
2857
2849
2860
2869
2861
2868
2878
2872
2876
8.50
2671
2683
2676
2681
2694
2688
2703
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2699
9.00
2511
2526
2521
2521
2536
2531
2544
2545
2541
9.50
2368
2384
2384
2379
2393
2396
2390
2401
2407
2401
10.00
2241
2254
2260
2271
2253
2263
2265
2281
2272
2276
11. 00
2024
2028
2041
2038
2050
2037
2049
2060
2047
2059
12. 00
1846
1841
1853
1859
1853
1862
1869
1864
1870
1879
13.00
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1688
1691
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1700
1701
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1712
1710
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14. 00
1553
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1554
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1570
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1576
1582
15. 00
1433
1444
1440
1443
1454
1452
1452
1463
1463
1461
16. 00
1327
1339
1342
1338
1348
1353
1349
1357
1363
1359
17.00
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1253
1243
1250
1253
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1262
1262
1272
1272
18.00
1162
1160
1171
1174
1180
1171
1185
1181
1188
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19.00
1093
1089
1094
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1101
1104
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1112
1113
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20. 00
1027
1028
1027
1037
1040
1037
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917
918
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927
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940
937
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24. 00
816
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828
827
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849
26.00
741
741
741
751
753
752
763
761
769
28.00
665
676
676
676
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686
696
687
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698
30. 00
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610
620
620
621
641
630
631
630
638
32.00
561
560
563
572
572
573
581
583
582
590
34. 00
510
519
518
520
529
530
530
539
540
540
36.00
468
473
481
492
481
483
492
493
501
502
38. 00
438
436
440
449.
448
450
459
460
467
40. 00
400
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411
419
429
429
430
369
42. 00
375
382
381
385
393
402
392
394
402
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181
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175
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185
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28
29
40
35
40
45
50
50
59
441

火箭外弹道学
续附表 15
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uo
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294
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236
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229
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221
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209
209
204
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202
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185
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169
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170
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163
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155
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107
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100
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82
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75
70
68
68
63
100.00
442

附表
103
附表 16
[1 -- Br(y, u)]dy
4"(uo, u) × 103 :
Vu/(2元)
0. 25
0. 30
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0.40
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161
0.85
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106
0.90
53
443

火箭外弹道学
续附表 16
Vu/(2元)
1.70
1.65
1.60
1.55
1.50
1.45
1.35
1.40
2元
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1.30
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1. 15
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1.00
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2331
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2024
1956
1988
1922
0.00
2280
2247
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2146
2119
2090
2053
2008
1960
1912
1870
1834
1801
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2024
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1967
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1980
1947
1912
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1520
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48
1.00
478
447
416 :
385
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192
155
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81
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200
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1.50
16
19
1.55
59
30
1.60
29
1.65
444

附表
续附表 16
u/(2元)
0/3.50
3.00
2.90
2.20
2.80
2.00
2. 10
1.90
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2. 70
4.00
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1.80
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3287
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2440
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2691
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2288
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1918
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2277
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1973
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1899
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2008
2043
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1094
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610
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1.05
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1000
1288
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1.10
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508
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731
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1.60
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499
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210
344
258
301
83
137
56
110
162
29
1.70
445

火箭外弹道学
续附表16
Vu/(2元)
2. 10
3.00 | 3.50
2.80
12.20
2.90
1.90
1.95
2.00
1.85
2.30
2.40
2. 70
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1.80
2.60
4.00
2.50
28
228
470
539
826
81
133
315
395
182
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505
55
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200
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1.80
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154
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301
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51
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100
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1.90
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164
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1.95
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48
139
182
2.00
70
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535
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24
157
198
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381
115
237
311
2.05
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251
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133
213
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323
46
91
174
2. 10
487
333
621
190
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23
110
150
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2.15
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310
598
464
167
241
87
204
127
2.20
575
288
105
182
219
254
64
144
2.25
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420
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42
83
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160
2.30
532
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101
139
210
398
21
62
2.35
223
51
80
154
189
40
117
2.40
202
357
490
133
168
97
20
2.45
113
182
336
470
39
148
2.50
446

附表
附表 17
Sc( c, Vo, 00)
km
0 50
VO
50
400
100
200
300
500
600
700
2.8
0.04
0.71
1.6
4.4
6.4
0.18
8.7
5.6
0.04
0.70
2.7
0. 18
1.6
4.0
0.2
7.4
0.70
2.5
5.0
6.5
0.04
0. 18
3.7
0.4
1.5
4.6
2.4
0.04
0. 18
0.69
5.8
0.6
1.5
3.4
2.3
4.2
0.04
0.18
0.69
3.2
5.3
1.5
0.8
3.0
3.9
0.18
0.68
2.2
0. 04
4.8
1.0
1.5
3.6
4.4
2.1
2.9
0.04
0. 18
0.68
1.2
1.4
4.2
2.1
0.67
0.04
0. 17
1.4
2.7
3.4
1.4
3.9
0.17
2.6
3.3
0.04
0.67
2.0
1.4
1.6
2.0
2.5
3.1
3.7
0.66
1.4
0.04
0. 17
1.8
0.17
2.4
3.0
3.5
0.65
1.9
2.0
0.04
1.4
2.5
2.9
0.64
1.3
2.1
3.0
0.04
1.7
0.17
1.2
1.6
1.9
2.2
2.5
4.0
0.04
0.62
0.17
0.60
1.8
2.0
1.2
1.5
2.3
0.17
5.0
0.04
1.6
1.8
2.1
0.04
0.17
1.1
1.4
0.59
6.0
1600
1400
2000
1000
1200
1800
800
900
700
70.9
45.4
57.5
25.5
34.8
8.7
17.7
11.4
14.4
40.9
47.6
27.6
34.2
12.8
15.4
21.4
10.3
8.0
0.1
18.4
36.8
9.4
23.1
27.9
32.4
11.5
13.8
0.2
7.4
20.0
23.7
27.1
30.3
16.2
8.7
10.5
0.3
12.4
6.9
17.7
20.6
25.9
9.7
23.4
8.1
11.3
14.5
6.5
0.4
20.6
18.3
22.7
9.0
10.4
13.2
15.9
0.5
7.6
6.1
9.6
16.5
20.2
18.4
12. 1
14.4
8.4
5.8
7.1
0.6
15.0
16.7
18.2
9.0
6.7
11.2
13.2
7.8
5.5
0.7
16.6
7.4
12.2
13.7
15.3
6.3
8.4
10.4
0.8
5.3
9.7
11.3
15.3
7.0
7.9
12.7
14. 1
5.0
6.0
0.9
10.6
12.0
13. 1
14.2
6.6
7.5
9.1
5.7
4.8
1.0
11.5
10.6
12.4
5.3
6.8
8.1
9.4
6.0
4.4
1.2
10.3
4.9
5.6
8.5
9.5
11. 1
6.2
7.4
4.2
1.4
10. 1
8.7
9.4
4.6
6.8
5.7
7.8
3.9
5.2
1.6
9.3
8.7
6.3
8.0
4.8
5.4
7.2
4.3
3.7
1.8
8.6
7.5
8.0
4.6
5.9
6.7
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3.5
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447

火箭外弹道学
续附表17
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448

附表
续附表 17
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4.7
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3.8
3.4
6.0
449

火箭外弹道学
续附表 17
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4.8
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4.3
4.0
3.8
6.0
450

附表
续附表 17
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4.1
6.4
451

火箭外弹道学
续附表 17
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5.9
6.3
5.6
5.2
4.9
4.7
4.4
6.0
452

附表
续附表 17
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453

火箭外弹道学
续附表 17
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5.0
7.7
7.4
7.1
6.7
6.2
5.7
5.5
5.3
5.0
6.0
454

附表
续附表 17
0 = 45°
700
500
600
400
100
200
300
50
29.3
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0.30
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10.6
57.3
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18.7
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0.30
1.2
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17.4
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20.3
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6.9
7.3
7.7
5.8
6.0
5.5
5.2
6.0
455

火箭外弹道学
续附表 17
0 = 50°
50
100
200
300
400
500
600
700
0.30
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1600
1800
2000
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105.6
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187. 1
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20.7
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20.6
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7.8
8.9
8.3
9.5
9.8
6.0
5.5
5.7
6.2
6.0
6.7
7.1
7.7
8.1
8.4
456

附表
续附表 17
0 = 55°
100
200
300
400
500
600
700
0.3
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19.7
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19.4
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5.8
6.1
6.4
6.9
7.9
7.4
8.4
8.8
457

火箭外弹道学
续附表 17
0 = 60°
600
700
500
400
300
200
100
59.7
30.5
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19.6
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0.30
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10.2
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10.5
11.7
9.4
8.1
6.5
3.6
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1.1
2.0
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8.2
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5.5
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3.0
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7.1
6.6
6.3
6.0
5.7
6.0
458

附表
续附表 17
0 = 65°
VO
50
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200
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5.0
6.5
6.9
7.4
7.7
6.0
5.7
6.0
6.4
6.7
459

火箭外弹道学
续附表 17
0 = 70°
400
200
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100
300
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10.6
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9.1
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4.0
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7.8
7.0
7.4
6.5
5.0
6.7
6.1
5.8
6.4
6.0
460

附表
续附表 17
0 = 75°
VO
400
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50
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18.0
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10.3
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3.9
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9.8
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3.8
1.0
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1.2
9.3
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6.0
o = 80°
400
300
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17.3
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4.9
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0.9
0.26
5.0
4.4
3.8
2.4
0.9
0. 26
6.0
461

火箭外弹道学
续附表 17
0 = 85°
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100
200
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400
0.26
4.2
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3.2
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0.9
2.6
4.6
5.6
5.0
0. 26
0.9
2.1
4.1
4.9
6.0
0. 26
0.8
2.8
3.8
4.4
462

参考文献
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